随机变量的数学期望课件
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(课件)概率论与数理统计：离散型随机变量的数学期望
xi pij xi pi ,
i1 j1
i 1
E(Y )
y j pij y j p j .
j1 i1
j 1
(2) 若 (X,Y ) 为连续型随机变量,其概率密度为 f (x, y) ,
则有
E(Z ) E[g(X , Y )] g(x, y) f (x, y)dxdy .
特别地,
5
(5 x)
1
dx
25
(25 x)
1
dx
55
(55 x)
1
dx
0
60
5
60
25
60
60
(60 x 5)
1
dx
55
60
11.67 .
思考题:
求随机变量的数学期望与随机变量函 数的数学期望的公式有何联系呢？
谢谢聆听！
随机变量 (X , Y ) 的函数,且 E(Z ) 存在.
(1)若 (X , Y ) 为离散型随机变量,其分布律为
P{X xi , Y y j} pij , i, j 1, 2, ,
则有 E(Z ) E[g( X , Y )]
g(xi , y j ) pij .
i1 j1
特别地,
E(X )
E(Y ) 1 3 2 1 3 3 2 , 8 48
E( X 3Y 2 ) (03 12 ) 1 (03 22 ) 1 (03 32 ) 1 (13 12 ) 1
4
8
4
8.
(13 22 ) 1 (13 32 ) 1 7
8
84
例 4.10 地铁到达某站时间为每个整点的第 5 分, 25 分,55 分钟.设一乘客在早8 点到9 点之间随机到达 该地铁站,求其候车时间（单位：分）的数学期望.
随机变量的数学期望 ppt课件
概率论与数理统计
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
ppt课件
2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
ppt课件
24
例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
ppt课件
12
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
ppt课件
32
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
ppt课件
2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
ppt课件
24
例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
ppt课件
12
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
ppt课件
32
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy
第一节数学期望ppt
0
0
xe x e x dx 1 e x 1
0
0
0
概率论
3) 正态分布 N(, 2)
概率论
X ~ f (x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2
E( X ) x
1
( x )2
Z是一维随机变量,则
(1) 若( X ,Y )是二维连续型,
概率密度为f ( x, y), 则有:
E(Z ) E[g(X ,Y )] g(x, y) f (x, y)dxdy
(2) 若( X ,Y )是二维离散型,
概率分布为P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1, 2,
一般是比较复杂的 .
概率论
2. 定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数)
(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk,
(k 1,2,),若 g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
E( X ) xk pk
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f (x), 若
pk (1 p)nk
n!
pk (1 p)nk
k1 k !(n k)!
k1 (k 1)!(n k)!
n
np
(n 1)!
pk1 (1 p)n1(k1)
k1 (k 1)!(n k )!
n1
令l k 1 np
C
l n1
p
l
(1
p)n1l
g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有
概率论数理统计课件第11讲期望
2 , 0 y 1 f y ( y ) 1 y 2 0, 其它 1 2 2 E (Y ) y dy 0 1 y2
1 , f ( x) 0,
0
法二 依题意X的概率密度为
0 x 其它
E (Y ) sin x
a
甲仪器测量结果
a
乙仪器测量结果
较好
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。
又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发 炮弹，其落点距目标的位置如图：
中心
中心
乙较好
甲炮射击结果
乙炮射击结果
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 。
如果分别用随机变量X1，X2表示甲、乙品 牌手表日走时误差，则X1，X2的分布律为：
X1 -2 -1 0 1 2 X2 P -2 -1 0 1 2
P 0.03 0.07 0.8 0.07 0.03
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
可以算得两种手表平均日走时误差即数 学期望分别为E(X1)=0， E(X2)=0 问：能否断定两种手表质量一样好？ 衡量办法：求偏离程度的平均值
例5：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分 别为 4e 4 x , x 0, 2e 2 y , y 0, f X ( x) fY ( y ) 其他, 其他. 0, 0,
求 E(XY)。 解： 因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立。
所以，
E[ g ( X , Y )]
i j
有E ( X Y ) ( xi y j ) pij
i j
xi pij y j pij
1 , f ( x) 0,
0
法二 依题意X的概率密度为
0 x 其它
E (Y ) sin x
a
甲仪器测量结果
a
乙仪器测量结果
较好
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。
又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发 炮弹，其落点距目标的位置如图：
中心
中心
乙较好
甲炮射击结果
乙炮射击结果
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 。
如果分别用随机变量X1，X2表示甲、乙品 牌手表日走时误差，则X1，X2的分布律为：
X1 -2 -1 0 1 2 X2 P -2 -1 0 1 2
P 0.03 0.07 0.8 0.07 0.03
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
可以算得两种手表平均日走时误差即数 学期望分别为E(X1)=0， E(X2)=0 问：能否断定两种手表质量一样好？ 衡量办法：求偏离程度的平均值
例5：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分 别为 4e 4 x , x 0, 2e 2 y , y 0, f X ( x) fY ( y ) 其他, 其他. 0, 0,
求 E(XY)。 解： 因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立。
所以，
E[ g ( X , Y )]
i j
有E ( X Y ) ( xi y j ) pij
i j
xi pij y j pij
数学期望ppt课件
k 1
10:24
11
2、连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x)
若积分
xf (x)dx
绝对收敛，则称积分 xf (x)dx 的值为
随机变量X的数学期望，记为 ( X )
即
( X ) xf (x)dx
10:24
12
关于定义的几点说明：
则X 所取可能值为: 200
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值
等于 200 3 0 1 150(法郎).
4
4
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
10:24
9
二、数学期望的定义
数学期望的分类
数学期望
离散型随机变量的 数学期望
连续型随机变量的 数学期望
10:24
10:24
4
分析：
很容易设想出以下两种分法：
（1）A得200·(1/2) 法郎，B得200·(1/2) 法郎；
（2）A得200·(2/3) 法郎，B得200·(1/3) 法郎。
10:24
5
既然前两种分法都 不合理，那么第（3） 种更合理的办法又该 怎样分呢？
10:24
6
假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:
数学期望在生活中的应用
医学信息工程系
10:24
1
内容提要：
1 数学期望的起源
2 数学期望的定义
3 数学期望的应用
10:24
2
表示随机事件发生可 能性大小的量
表述随机变量取值 的概率规律
随机试验结果的 量的表示
10:24
11
2、连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x)
若积分
xf (x)dx
绝对收敛，则称积分 xf (x)dx 的值为
随机变量X的数学期望，记为 ( X )
即
( X ) xf (x)dx
10:24
12
关于定义的几点说明：
则X 所取可能值为: 200
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值
等于 200 3 0 1 150(法郎).
4
4
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
10:24
9
二、数学期望的定义
数学期望的分类
数学期望
离散型随机变量的 数学期望
连续型随机变量的 数学期望
10:24
10:24
4
分析：
很容易设想出以下两种分法：
（1）A得200·(1/2) 法郎，B得200·(1/2) 法郎；
（2）A得200·(2/3) 法郎，B得200·(1/3) 法郎。
10:24
5
既然前两种分法都 不合理，那么第（3） 种更合理的办法又该 怎样分呢？
10:24
6
假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:
数学期望在生活中的应用
医学信息工程系
10:24
1
内容提要：
1 数学期望的起源
2 数学期望的定义
3 数学期望的应用
10:24
2
表示随机事件发生可 能性大小的量
表述随机变量取值 的概率规律
随机试验结果的 量的表示
大学课件概率论与数理统计第4章随机变量的数字特征
(3) Ef (X) g(X) E[f (X)] E[g(X)]
特别地 E[X Y] E[X] E[Y]
E[aX bY c] aE[X] bE[Y] c
(4) 若X, Y相互独立，则E[XY] E[X] E[Y]
(5) 若a X b,则E[X]存在，且a E[X] b
注：这些性质可以推广到多个随机变量上。
E[X] (1) 125 75 2 15 3 1 17 216 216 216 216 216
由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注 者是不利的。
离散型随机变量函数的数学期望
已知P( X xk ) pk，当 g( xk ) pk 时，
k
g(X)的数学期望为
E[g(X)] g(xk )P(X xk )
E[ X ] 1 0.910 11（1 - 0.910） 7.513 10
结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数
二、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在
数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区
间[xi, xi+1)的概率是
阴影面积近似为
9 P(X 9) 10 P(X 10)
由于打出环数的概率不同，所以不 是1到10的算术平均.
1.离散型随机变量的数学期望
设随机变量X的分布律为 P( X xk ) pk ,
若当 xk pk 时，则称 xk pk 为随机
k
k
变量X的数学期望或均值，记作 E[ X ] ，即有
E[ X ] xk pk xk P(X xk )
均匀分布的期望
例7 设X服从均匀分布，其分布密度为
x
b
3.2.3离散型随机变量的数学期望课件高二下学期数学选择性
.
3.若X服从参数为N,M,n的超几何分布,即X~H(N,M,n),则E(X)=
.
过关自诊
1.一名射手每次射击中靶的概率为0.9,则独立射击3次中靶的次数X的数学
2.7
期望是
.
解析 E(X)=3×0.9=2.7.
2.在10件产品中有3件次品,从中不放回地抽5件产品,抽到次品数的数学期
是
3
2
.
C 23 C 01
P(X=0)= C 2
4
B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
=
1
C 13 C 11
,P(X=2)=
2
C 24
=
1
,故
2
X的
4.随机变量ξ的分布列如图所示,则其数学期望E(ξ)=( B )
ξ
1
2
P
a
b
A.1
B.2
C.3
D.不能确定
解析 由题意可知a+b+a=1,即2a+b=1,而
D.E(aX)=44.1
解析 由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,
解得b=0.4,a=7.
∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1,E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52.
故ABD正确.
1.定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
数学期望的定义与性质优秀课件
N
4
kNk
k2
N
4
=k
k2
Nk N
4
kfk
k2
4
定 义 ：设离散型随机变量 的可能的取为ai(i=1,2...)，
其分布列为 P { a i} p i, i 1 ,2 , . 若
aipi
绝对收
i1
敛，则称随机变量 存在数学期望
E = ai pi i 1
思考 ：1、为什么要绝对收敛？
变量，设其可能取值为bj,(j 1,2,...)
则 P(bj)
P(ai)
g(ai )bj
由数学期望的定义有：Eg()EbjP(bj) j1
b j P ( ai ) j1 g (ai )b j
g (ai )Байду номын сангаасP ( ai ) j 1 g ( ai )b j
g(ai)P( ai) i1 16
其 分 布 列 为 ： 1 k 1 1 k
q
k
1 qk
由此可求的每人所需的平均检验次数：
E=a1p1a2p2 1kqk (11k)(1qk)
1qk 1k
每 人 检 验 一 次 ， 所 以 当 1-qk+1k1时 ， 即 q>1kk,
需 要 分 组 ， 若 q已 知 ， 还 可 以 从 E=1-qk+1k
6
例1 谁的技术比较好? 甲,乙两个射,他 手们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率
8 9 10 0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
7
解 设 甲 ,乙 射 手 击 中 的 环 数 分 别 为 ,.
4
kNk
k2
N
4
=k
k2
Nk N
4
kfk
k2
4
定 义 ：设离散型随机变量 的可能的取为ai(i=1,2...)，
其分布列为 P { a i} p i, i 1 ,2 , . 若
aipi
绝对收
i1
敛，则称随机变量 存在数学期望
E = ai pi i 1
思考 ：1、为什么要绝对收敛？
变量，设其可能取值为bj,(j 1,2,...)
则 P(bj)
P(ai)
g(ai )bj
由数学期望的定义有：Eg()EbjP(bj) j1
b j P ( ai ) j1 g (ai )b j
g (ai )Байду номын сангаасP ( ai ) j 1 g ( ai )b j
g(ai)P( ai) i1 16
其 分 布 列 为 ： 1 k 1 1 k
q
k
1 qk
由此可求的每人所需的平均检验次数：
E=a1p1a2p2 1kqk (11k)(1qk)
1qk 1k
每 人 检 验 一 次 ， 所 以 当 1-qk+1k1时 ， 即 q>1kk,
需 要 分 组 ， 若 q已 知 ， 还 可 以 从 E=1-qk+1k
6
例1 谁的技术比较好? 甲,乙两个射,他 手们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率
8 9 10 0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
7
解 设 甲 ,乙 射 手 击 中 的 环 数 分 别 为 ,.