概率论§4.1 数学期望
概率论 数学期望
0 . 0779
E ( Y ) 2732 . 15 , 即平均一台收费
2732 . 15 .
13
例4 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方 案有如下两种： (1) 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； (2) 分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若 结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则 对 k 个人的血逐个化验, 找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且 每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪 一方案较经济.
xf ( x)dx
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望
记作 E( X ), 即
E( X )
xf ( x)dx
数学期望的本质 —— 加权平均 它是一个数不再是随机变量
6
例1 甲、乙两选手进行打靶，击中环数 为X1,X2，它们的分布律为
X1 pk X2 pk 7 0.2 7 0.3 8 0.3 8 0.5 9 0.4 9 0.1 10 0.1 10 0.1
数学期望的概念源于此
4
数学期望的定义
设 X 为离散 随机变量. 其分布律为
P( X xk ) pk ,
k 1
k 1,2,
若无穷级数 xk pk 绝对收敛, 则称
其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即
E ( X ) xk p k
k 1
5
定义
设连续型随机变量X 的密度为 f (x) 若广义积分
20
E 例9 设 X 服从参数为 的泊松分布，求 X 。
解：已知泊松分布律为：
PX k
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。
具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。
数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。
具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = ∫x*f(x)dx数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。
例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。
2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。
通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。
3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。
例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。
4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。
游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。
5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。
通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。
6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。
通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。
总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
概率论——数学期望
概率论——数学期望
数学期望是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的平均值。
在数学上，数学期望可以定义为随机变量的每个可能取值乘以其对应的概率，并将这些乘积相加。
设随机变量X的取值有n个，分别记为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn。
则X的数学期望E(X)可以表示为：
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + … + xn*pn
数学期望可以理解为随机变量所取得值的加权平均。
每个取值乘以其概率，再将所有乘积相加，就得到了数学期望。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，例如在赌博中，可以用数学期望来计算每次下注的预期收益；在保险业中，可以用数学期望来评估保险责任的大小；在金融学中，可以用数学期望来衡量金融产品的风险与回报等。
需要注意的是，数学期望不一定是随机变量取值的实际可能值，而是其平均值。
因此，即使随机变量的可能值与数学期望相差较大，在大量重复实验中，随机变量的平均取值仍然趋近于数学期望。
这正是数学期望的统计意义所在。
数学期望是概率论中用于描述随机变量的平均值的概念。
它可以通过将随机变量的可能取值与对应的概率相乘，再将所有乘积相加得到。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，可以用于预测和评估各种概率事件的平均效果。
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
4.1数学期望
k 1 p kx k 1 x1 p
1 p
11
k p x k 1
'
x 1 p
1 p (1 x) 2
x 1 p
常见 r.v. 的数学期望
分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
E (Y ) g ( x) f ( x)dx
16
3、 r.v.函数的数学期望 3.2、二维r.v.函数Y=g(X)的数学期望 定理4.1（3）设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2, Z = g(X ,Y ),
21
k 2
3、 r.v.函数的数学期望
例8. 设 X ~ E( ), 求 E( X2 ) .
解:由于 可得：
e x , x 0 f ( x) 。 0, 其它
EX x f ( x)dx x e
2 2 2 0 0
x
dx
2
2
22
§4.1随机变量的数学期望
5
§4.1随机变量的数学期望
例1 设X ~ B ( 1 , p ), 求 E( X ) .
解
X 0 1
pk 1 p p
E( X )= 0×（1-p）+1×p=p
6
§4.1随机变量的数学期望
例2： 解 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
E ( X ) kC p (1 p)
若级数 g ( xi , y j ) pij 绝对收敛 , 则 i , j 1
数学期望的定义
pk
(1
p)(n1)k
np
k 0
2、若X ~ B ( 1 , p ), 即 X ~ 10 p
1 p
则 E(X) p
12
§4.1
随机变量的数学期望
2020/3/10
三、常用离散型随机的变量数学期望
3、 X ~ Possion (), 即 P( X k) k e , k 0,1, ,
则
E( X ) k p(1 p)k1 p kqk1
k 1
k 1
p
qk
k 1
q
p
1
q
q
q
p
(1
1 q)2
1 p
.
(q 1 p)
某篮球运动员投篮命中率为50%，规定该运动员首 次投篮命中时即刻停止，则投篮次数 X 的平均值为2， 即平均每投篮 2 次才进1个球，正好也反映了命中率.
X
~
x1 p1
x2 p2
xk pk
若级数 xk pk 绝对收敛,则称其和为 X 的数学期望，
k 1
又称期望,均值或（加权）平均值，记作 E( X ), 即
E( X ) xk pk k 1
7
§4.1
随机变量的数学期望
2020/3/10
一、离散型随机变量的数学期望的定义
E(X) 0
E(Y ) 0
它们具有相同的数学期望，但是却是两 个完全不同的随机变量.
注：随机变量的概率分布，才是随机变量唯一 的本质特征.
9
考研资料——概率论基础知识4
概率论基础知识(4)第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望§4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为：若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+90.1+10 0.6=9.3乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。
例3：设 ，求E(X)解：由于，其分布律为，k=0,1,2…,所以例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。
X 的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于,求导数将x=0.8代如上式，便得将此结果代入原式便得：（次）§4.1.2连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称此积分为X 的数学期望，记为E(X)，即，例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：这里a,k均为已知正数。
试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。
W的分布函数为两边求导，使得进而便可求得W的数学期望由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度ƒw(z)，而根据V的概率密度ƒv(v)也可直接求出W 的数学期望值，即§4.1.3随机变量函数的数学期望值1.一维随机变量函数的数学期望定理1：设X为随机变量，Y=g(X),(1)如果X，且级数(2)如果Xƒ(X)，且积分绝对收敛，则有证略求：例8：已知X的分布律为解：例9：设，求解：（令 m=k-2）例10：设，求解：由于X的概率密度为于是例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知，并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数，即其概率密度为令解得 a=3500（吨）但，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。
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C k1 n1
pk
1
(1
p)( n1)( k 1)
k 1
np( p 1 p)n1 np
8
(3) 泊松分布 X～P()
X的分布律为 P{X k} k e (k 0,1, 2,L )
k!
E(X )
k k e
e
k1
0 0.15 0.15 1 0.45 0.25
解: E(XY)=010.15+020.15 +110.45+120.25
=0.95 21
例3 设(X, Y)在区域A上服从均匀分布，其中
A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。
求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY)。
y
解： 由题设可知
6
常见离散型分布的期望
(1) (0-1)分布（即两点分布） X～B(1, p) 随机变量X取0与1两个值，其概率分别为 1-p和p，分布律为
X0 1 P 1p p
数学期望 E(X)=0(1p)+1p = p
7
(2) 二项分布 X～B(n, p)
X的分布律为
P(X=k)=Ck n
pk
(1
0x
(X ,Y )的概率密度为
2 f (x, y) 0
(x, y) A 其它
x y 1 0
0
0
1
E(X )
xf (x, y)dxdy dx x 2dy
1 1x
3
E(-3X+2Y)=
0
dx
0
2(3x 2 y)dy 1
则称积分 xf (x)dx 为X 的数学期望。
通常记为E(X)
即 E(X )
xf (x)dx
11
常见连续型分布的期望
(1) 均匀分布 X～U (a,b)
X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,
0,
a xb 其它
由定义可知 X 的数学期望为
E(X ) xf (x)dx
bx
ab
a
b
dx a
=
2
12
(2) 指数分布
X的概率密度为
ex ,
f (x)
x0
0,
x0
( 0)
由定义可知 X 的数学期望为
E( X ) xexdx
0
利用定积分公式
=
1
0
x n e ax dx
n! a n 1
13
(3) 正态分布 X～( ,2)
性质5（有界性）若 a X b，则有aE(X )b
性质6
|E(X)|E(|X|)
性质7 （柯西-许瓦兹不等式） 若E(X2)，E(Y2)均存在，则E(XY)存在，且有
[E(XY )]2 E(X 2 )E(Y 2)
24
性质8 设随机变量X与Y相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y)
k0 k !
k1 (k 1)!
令i=k1 可得 E( X ) e i
i0 i!
= e e =
9
常见离散型随机变量的数学期望
分布
概率 分布
数学 期望
参数为p 的 0-1分布
P( X 1) p P( X 0) 1 p
p
二项分布
P(X
k)
p)nk ,k
0,1,L
,n
n
E( X ) kCnk pk (1 p)nk
k0
n
k
n!
pk (1 p)nk
k1 k !(n k)!
n
np
(n 1)!
pk 1(1 p)(n1)(k 1)
k 1(k 1)!(n k)!
n
np
8
P( X
1)P(Y
1)
3 8
2
即 X 和Y 并不相互独立
27
例4 设X～ B(n, p)，求E(X)。
解: 这里利用数学期望的性质来求E(X)
在每次成功概率均为p的n次独立重复试验中
记
随机变量
Xi
1，第i次试验中A出现 0，第i次试验中A不出现
则X1,X2,…, Xn相互独立
1 x1
3
E(XY)=
xyf (x, y)dxdy
0
0
dx
x 2 ydy 1
1 1 x
1222
数学期望的性质
设 X ,Y 是随机变量，a, b, c是常数 ( 以下设所遇到的随机变量的数学期望存在)
性质1（保常数） 对于常数a，有 E(a)=a
17
定理 设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X)，其中 g(x)是连续函数：
(1) 设X是离散型随机变量，分布律为
P(X = xk)= pk (k=1,2,…)
若 g(xk ) pk 绝对收敛，则有
k 1
E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk
k 1
(2) 设X是连续型随机变量，概率密度为 f(x)。
X的概率密度为 f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
- x
2
由定义可 X 的数学期望为
E(X ) x
1
e dx
(
x )2 2 2
2
令 x t 可得
奇函数和偶
E(X )
1
t2
( t )e 2 dt
= 2
若 g(x) f (x)dx 绝对收敛，则有
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
18
定理 设Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的函数， 其中g为连续函数：
(1) 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为
P(X=xi，Y=yj)= pij ( i,j=1,2,…)
y j pij y j p• j
19
j1 i1
j 1
(2) 设(X,Y)是连续型随机变量，其概率密度为
f(x,y)。
若积分
g(x, y) f绝(x对, y)收dx敛dy，则有
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)dxdy
第四章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差和相关系数 §4.4 矩和协方差矩阵
1
引例：某大学一位教师给15位研究生上课， 期末考试成绩如下：
72，81，90，85，76，90，80，83 78，75，63，73，30，82，90
教学院长认为：试题太容易，因为得90分的就有 3人！
故 E( XY ) aibj pij aibj P( X ai )P(Y bj )
i, j
i, j
ai P( X ai ) bj P(Y bj )
i
j
E( X )E(Y )
25
若E(XY )=E(X)E(Y)，则X 和Y 不一定相互独立
pij Y -1
研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平 均粒数及每粒的平均重量；
考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否 高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的 波动是否小。
3
由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值， 虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些 数字特征在理论和实践上都具有重要意义。
且E(X)=0.1, E(X2)=0.9。 求对应于可能值x1, x2, x3的概率p1,p2,p3。
解: E(X)=(1)p1+0p2+1p3=0.1
X2 0 1
E(X2)=0p2+1(p1+p3)=0.9
P p2 p1+p3
并且 p1+p2+p3=1
计算可知 p1=0.4, p2=0.1, p3=0.5
性质2（保线性） E(aX + bY +c)= aE(X )+ bE(Y )+c
性质3（保加法）E(XY)=E(X) E(Y)
n
n
推广 : E[ Xi ] E( Xi )
i 1
i 1
23
性质4（单调性）若随机变量X 0 ，则有E(X )0 若X1X2，则有E(X1) E(X2)
0
X
-1
18 18
0
18
0
1
18 18
p• j
38 28
1
pi•
18 38
18 2 8
18 38
38 1
26
X Y -1
0
1
P
28 48
28
E(X ) E(Y ) 0; E( XY ) 0;
显然有 E( XY ) E( X )E(Y )
但是 P( X 1,Y 1) 1
特别的
E(X ) xf (x, y)dxdy xfX (x)dx
E(Y ) yf (x, y)dxdy yfY ( y)dy
20
例2 设随机变量(X,Y)的分布律如下: