抽象函数周期性的判断及其简单运用

抽象函数周期性的判断及其简单运用
朱永瑛
江苏省洪泽县教师进修学校(223100)
所谓周期函数就是：对定义域为D 的函数()f x ，对任意x D ∈，存在常数0T >()x T D +∈有()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数．对具体的函数其周期性可以借助函数表达式，根据周期函数的定义进行判断．那么，抽象函数的周期性如何判断？又如何运用于解题呢？ 1抽象函数周期性的判断
1.１类型一 ()()f x a f x b +=+
定理一：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()y f x =是周期函数，||a b −是函数的一个周期．
证明：∵()()f x a f x b +=+对任意x D ∈都成立，∴()()f x a a f x a b −+=−+，
即()()f x f x b a =+−.
∴||b a −为函数()f x 的一个周期. 1.2 类型二 ()()f x a f x b +=+
定理二：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=−+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()y f x =是周期函数，2||a b −是函数的一个周期．
证明：∵()()f x a f x b +=−+对任意x D ∈都成立, ∴()()()f x a a f x a b f x b a −+=−−+=−+−， 即()()f x f x b a =−+−.
∴()[2()]f x b a f x b a +−=−+−，
∴(){[2()]}[2()]f x f x b a f x b a =−−+−=+−， ∴()f x 是周期函数,2||b a −为函数的一个周期.
1.3 类型三1()()f x a f x +=，(或者1
()()f x a f x +=−)
定理三：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有1()()f x a f x +=，(或1
()()
f x a f x +=−
) (其中a 为常数，0a ≠)，则函数()y f x =是周期函数，2||a 是函数的一个周期．
证明：∵()1/()f x a f x +=，
∴11
(2)()()1/()
f x a f x f x a f x +===+，
∴函数()f x 是周期函数，2||a 是它的一个周期. 同理可证()1/()f x a f x +=−是周期函数，且
2||a 是它的一个周期．
1.4 类型四()()f a x f a x +=−且()()f b x f b x +=−
定理四：定义在R 上的函数()f x ，若对任意的x R ∈，有()()f a x f a x +=−且()()f b x f b x +=−，(其中,a b 是常数，a b ≠)则函数()y f x =是周期函数，2||a b −是函数的一个周期．
证明：∵()()f a x f a x +=−且()(f b x f b +=− )x 对任意x R ∈都成立，
∴[(2())][(2)]f x x b f a x a b +−=++−
[(2)](2)[()]f a x a b f b x f b b x =−+−=−=+− [()]()f b b x f x =−−=， ∴[2()]()f x a b f x +−=，
∴()f x 是周期函数,2||a b −是函数的一个周期.
注：1．上述函数的定义域未必一定是实数集，符合条件的任意数集都可以；
2．定理四中，由()()f a x f a x +=−且()f b x + ()f b x =−可知函数图象关于直线x a =和直线x b =对称，即函数有两条对称轴，故本定理又可通俗地说成:有两条(或两条以上)对称轴的函数为周期函数． 2 利用周期性求值
在解决一些抽象函数的函数值问题时，若能充分利用函数的周期性，问题常会得到巧妙的解决． 例１函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈，都有(1)(3)f x f x +=+，求(2)(4)(6)f f f ++ (2008)f ++ 的值．
解析：∵(1)(3)f x f x +=+，
∴函数()f x 是周期函数，周期为2， ∴(0)(2)(4)(6)(2008)f f f f f ===== ． ∵()f x 是奇函数， ∴(0)0f =，∴(2)(4)(6)(2008)0f f f f ===== ， ∴(2)(4)(6)(2008)0f f f f ++++= . 例2函数()f x 对任意的x R ∈，有()(1)f x f x =+ (1)f x +−，且(0)9,(10)30f f ==.求(101)f 的值． 解析：本题看起来不属于所述抽象函数中任意一种类型，但若对()(1)(1)f x f x f x =++−稍作变形，将式中的x 取作1x +，再将两式联立，便可发现其属于类型2．
∵()(1)(1)f x f x f x =++−①，将式中x 取作1
x +34 福建中学数学 2008年第8期
得(1)(2)()f x f x f x +=++②，
联立①、②可得(1)(2)0f x f x −++=， ∴(1)(2)f x f x −=−+，
∴()(3)[(6)](6)f x f x f x f x =−+=−−+=+， ∴()f x 是周期为6的周期函数， ∴(101)(6165)(5)f f f =×+=
(4)(6)(10)(0)30939f f f f =+=+=+=.
例3函数()f x 是定义在R 上的函数且(4)[1f x + ()]1()f x f x −=+，(0)18f =，求(2008)f 的值．
解析：由题设可得1()
(4)1()f x f x f x ++=−，猜想其
可能属于类型3，通过(8)f x +变形到(4)f x +，再由(8)f x +变形到()f x ，可发现果然如此．
∵(4)[1()]1()f x f x f x +−=+，又(1)1f ≠(因为如果()1f x =，则(4)(11)11f x +−=+即02=，显然不成立．)，
∴1()
(4)1()
f x f x f x ++=−，
∴1(4)(8)1(4)f x f x f x +++=−+1()
11()
1()
11()
f x f x f x f x ++
−=+−−1()f x =−，
∴1(16)(8)
f x f x +=−
+1
1/()f x =−−()f x =，
∴()f x 是周期为16的周期函数．
∴(2008)(161258)f f =×+ (8)f ==−1/(0)f =−1/18．
例4 若函数()f x 是实数集上的偶函数，对任意的x R ∈，都有(3)(1)f x f x −=+;而函数()g x 对任
意的x R ∈，
都有(2007)(2006)(2008)g x g x g x +=+++，且2(1)log 3g =，2(2)log 6g =，(5)(3)f g =，
求(1)f + (5)(9)(2009)f f f +++ 的值．
解析：()f x 的条件属于类型四. 在(2007)g x + (2006)(2008)g x g x =+++中，令x 为2006x −即得：(1)()(2)g x g x g x +=++①，在①式中再取x 为1得：(2)(1)(3)g g g =+，∴(3)(2)(1)1g g g =−=．
又()f x 是偶函数，且(3)(1)f x f x −=+， ∴()f x 关于直线0x =和直线2x =对称， ∴()f x 是周期为4的函数，
∴(1)(5)(9)(2009)f f f f ==== ． 而(5)(3)1f g ==，
∴(1)(5)(9)(2009)f f f f ++++ 503(5)503f ==.
发掘“中巧” 减轻负担
谭 明 谢秋莲 沈文选
湖南师范大学数学与计算机科学学院(410081)
问题是数学的心脏，因此数学学习中解题的教
与学是必不可少的，特别是高三学习中大多数的时间都是围绕题目在转，面对浩如烟海题目是不是做得越多越好了？当然不是，题目不在多，而在精，在于解题后多总结和归纳，发掘一些解题的中巧，通过解一题学会一类题的解法，这样学习效率才可以提高，负担才能真正的减轻．以下来看几个中巧： 1 消数法
解题的过程中有时候为了解题的方便，时常会引入与一些最后结果无关的量，通过构建这些量与所求问题的解之间的关系，再消去这些量而得到了所求问题的解．
例1如图所示，已知,,AB mAM AC nAN O ==为BC 的中点，求m +n 的值．
解：设,(1)MO tMN ON t MN ==−．
1)t AM t AN =−+（，
所以有 1/2,/2t m t n −==．消去t 可得m +n =2． 当然这个题目还有其他的方法可以解答，但是这种利用等式消数的方法最简单的． 2.模式法
数学是模式的科学，解题的过程中如果能够看出问题的模式，则解题的方法易得．
利用模式来解题一般很简单，这样做当然可以减轻学习的负担，并且这样做得多了可以加深对知识间内部联系的理解，知识也学活了．一般有以下
C
2008年第8期 福建中学数学 35。