周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识 一．重难点归纳 函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。
如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
(2）三角函数的周期①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；(3)与周期有关的结论 ①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；④若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑤y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑥y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 二．例题 例1已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),试证明(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减命题意图 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析 本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得技巧与方法 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xx x --)=f (0)=0∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数例2设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图 本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力 知识依托 认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)＝ f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口错解分析 不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形技巧与方法 由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x x x x f x f f f =+=⋅是解决问题的关键(1) 解 因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x xx xf f f +=≥, x ∈［0,1］ 又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21, f (41)=a 41(2)证明 依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即 f (x )=f (2－x ),x ∈R又由f (x )是偶函数知 f (－x )=f (x ),x ∈R∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解 由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n 21)=…… =f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21) =［f (n 21)］n=a 21∴f (n21)=a n 21又∵f (x )的一个周期是2∴f (2n +n 21)=f (n21), ∴a n =f (2n +n 21)=f (n21)=a n 21因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n三．练习1 下列函数中的奇函数是( )A f (x )=(x －1)xx -+11 B f (x )=2|2|)1lg(22---x xC f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x x D f (x )=x x x x sin cos 1cos sin 1++-+2.（重庆卷6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是（ C ）(A)f (x )为奇函数 （B ）f (x )为偶函数(C) f (x )+1为奇函数 （D ）f (x )+1为偶函数3 函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x =1对称 4 函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是____ 5 若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________6．设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1 求证 (1)f (x )是奇函数 (2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a参考答案:1 解析 f (－x )=2222(0)() (0) (0)() (0)x x x x x x x x x x x x ⎧⎧->-+<⎪⎪=⎨⎨--<--+>⎪⎪⎩⎩ =－f (x )，故f (x )为奇函数答案 C 3 解析 f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称 答案 C4 解析 令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减答案 (－∞,－1] 5 解析 ∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0 f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0 又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0 答案 (－∞,0） 6 证明 (1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x )∴f (x )是奇函数(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ) ∵f (x +a )=f ［x -(-a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ), 故f (x )是以4a 为周期的周期函数四．易错题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数f(x)在定义域R 上不是常数函数，且f(x)满足条件，对任意x ∈R ，都有f(4+x)= f(4-x),f(x+1)=f(x-1),则f(x)是（ ） A 、奇函数但非偶函数 B 、偶函数但非奇函数 C 、奇函数又是偶函数 D 、非奇非偶函数 2、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f(x)＋f(－x)＝0,g(x)g(－x)＝1，且x ≠0,g(x)≠1，则)(1)()(2)(x f x g x f x F +-=（ ） A ．是奇函数但不是偶函数 B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案：B3、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知函数f (x )满足：f (p +q )= f (p ) f (q )，f (1)= 3，则)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)9() 10 ()5(2f ff+的值为A.15B.30C.75D.60答案：B4、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，当x∈[-3,-2]时，f（x）=4x+12，则f（112.5）的值为A．2 B．3 C．4 D．5答案：A5、(山东省博兴二中高三第三次月考)若奇函数()()f x x R∈满足()()()()22,22f f x f x f=+=+，则()5f的值是A．0 B．1 C．52D．5答案：D6、(广东省五校2008年高三上期末联考)定义在R上的函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x都有3()()2f x f x=-+，且(1)1,f-=(0)2f=-，则(1)(2)(3)(20f f f f+++鬃?的值为A．2-B．1-C．0 D．1答案：D．解析：本题考查了函数的对称性和周期性．由3()()2f x f x=-+，得(3)()f x f x+=，因此，()f x是周期函数，并且周期是３函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称, 因此，()f x=-3()2f x--，所以，(1)1f=(1)(2)(3)0f f f++=，(1)(2)(3)(2008)f f f f+++鬃?＝(1)f7、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知)(xf是偶函数，)(,xfRx若将∈的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数，)2008()10()9()8(,1)2(fffff++++-=则等于（）A．－1004 B．1004 C．－1 D．1答案：D8、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知函数)(xfy=的定义域为R，它的反函数为)(1xfy-=，如果)(1axfy+=-与)(axfy+=互为反函数且aaf=)(（a为非零常数），则)2(af的值为（）A．a-B．0 C．a D．a2答案：B9、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)定义在R上的函数y＝f（x）满足：f（－x）＝－f（x），f（1＋x）＝f（1－x），当x∈[－1,1]时，f（x）＝x3，则f（2 007）的值是（）(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2答案：A 10、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)定义在R 上的函数()f x满足()(4)f x f x-=-+，当2x>时，()f x单调递增，如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x+<--<+且则的值（）A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0 D．可正可负答案：A11、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知)(xf是定义在R上的函数，且)2()(+=xfxf恒成立，当)0,2(-∈x时，2)(xxf=，则当[]3,2∈x时，函数)(xf的解析式为（）A．42-x B．42+x C．2)4(+x D．2)4(-x答案：D12、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的奇函数)(xf满足)3()3(xfxf-=+，若当x ∈(0，3)时，xxf2)(=，则当x∈(- 6，-3)时，)(xf=( ) A.62+x B.-62+x C.62-x D.-62-x答案：B13、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)设定义在R 上的函数f(x)的反函数为f－1(x)，且对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝3，则f－1(x－1)＋f－1(4－x)等于（）A．0 B．—2 C．2 D．2x—4答案：A14、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)设函数f (x)是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若f(2)>１，f (2008)=33-+aa，则a的取值范围是（）A. (－∞, 0)B. (0, 3)C. (0, +∞)D. (－∞, 0)∪(3, +∞) 答案：B15、(山东省济南市2008年2月高三统考)已知()f x是以2为周期的偶函数，当[0,1]x∈时，()f x x=，那么在区间[1,3]-内，关于x的方程()1f x kx k=++（其中k是为不等于l的实数）有四个不同的实根，则k的取值范围是A．(1,0)-B．1(,0)2-C．1(,0)3-D．1(,0)4-答案：C16、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)函数()f x的定义域为R，对任意实数x满足(1)(3)f x f x-=-，且(1)f x-＝(3)f x-，当12x≤≤时，()f x＝2x，则()f x的单调减区间是（）A.[2k，2k+1](k Z∈) B.[2k-1，2k](k Z∈)C.[2k，2k+2] (k Z∈) D.[2k-2，2k](k Z∈)答案：A17、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数 ()4+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．()()32f f >B ．()()52f f >C ．()()53f f >D ．()()63f f > 答案：D18、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数)(,2121x x x x ≠，||||)()(1212x x x f x f -<-恒成立，”则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是 A ．xx f 1)(=B ．||)(x x f =C ．x x f 2)(=D ．2)(x x f =答案：A。
抽象函数周期性的判断及其简单运用
抽象函数周期性的判断及其简单运用朱永瑛江苏省洪泽县教师进修学校(223100)所谓周期函数就是：对定义域为D 的函数()f x ，对任意x D ∈，存在常数0T >()x T D +∈有()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数．对具体的函数其周期性可以借助函数表达式，根据周期函数的定义进行判断．那么，抽象函数的周期性如何判断？又如何运用于解题呢？ 1抽象函数周期性的判断1.１类型一 ()()f x a f x b +=+定理一：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()y f x =是周期函数，||a b −是函数的一个周期．证明：∵()()f x a f x b +=+对任意x D ∈都成立，∴()()f x a a f x a b −+=−+，即()()f x f x b a =+−.∴||b a −为函数()f x 的一个周期. 1.2 类型二 ()()f x a f x b +=+定理二：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=−+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()y f x =是周期函数，2||a b −是函数的一个周期．证明：∵()()f x a f x b +=−+对任意x D ∈都成立, ∴()()()f x a a f x a b f x b a −+=−−+=−+−， 即()()f x f x b a =−+−.∴()[2()]f x b a f x b a +−=−+−，∴(){[2()]}[2()]f x f x b a f x b a =−−+−=+−， ∴()f x 是周期函数,2||b a −为函数的一个周期.1.3 类型三1()()f x a f x +=，(或者1()()f x a f x +=−)定理三：定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有1()()f x a f x +=，(或1()()f x a f x +=−) (其中a 为常数，0a ≠)，则函数()y f x =是周期函数，2||a 是函数的一个周期．证明：∵()1/()f x a f x +=，∴11(2)()()1/()f x a f x f x a f x +===+，∴函数()f x 是周期函数，2||a 是它的一个周期. 同理可证()1/()f x a f x +=−是周期函数，且2||a 是它的一个周期．1.4 类型四()()f a x f a x +=−且()()f b x f b x +=−定理四：定义在R 上的函数()f x ，若对任意的x R ∈，有()()f a x f a x +=−且()()f b x f b x +=−，(其中,a b 是常数，a b ≠)则函数()y f x =是周期函数，2||a b −是函数的一个周期．证明：∵()()f a x f a x +=−且()(f b x f b +=− )x 对任意x R ∈都成立，∴[(2())][(2)]f x x b f a x a b +−=++−[(2)](2)[()]f a x a b f b x f b b x =−+−=−=+− [()]()f b b x f x =−−=， ∴[2()]()f x a b f x +−=，∴()f x 是周期函数,2||a b −是函数的一个周期.注：1．上述函数的定义域未必一定是实数集，符合条件的任意数集都可以；2．定理四中，由()()f a x f a x +=−且()f b x + ()f b x =−可知函数图象关于直线x a =和直线x b =对称，即函数有两条对称轴，故本定理又可通俗地说成:有两条(或两条以上)对称轴的函数为周期函数． 2 利用周期性求值在解决一些抽象函数的函数值问题时，若能充分利用函数的周期性，问题常会得到巧妙的解决． 例１函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈，都有(1)(3)f x f x +=+，求(2)(4)(6)f f f ++ (2008)f ++ 的值．解析：∵(1)(3)f x f x +=+，∴函数()f x 是周期函数，周期为2， ∴(0)(2)(4)(6)(2008)f f f f f ===== ． ∵()f x 是奇函数， ∴(0)0f =，∴(2)(4)(6)(2008)0f f f f ===== ， ∴(2)(4)(6)(2008)0f f f f ++++= . 例2函数()f x 对任意的x R ∈，有()(1)f x f x =+ (1)f x +−，且(0)9,(10)30f f ==.求(101)f 的值． 解析：本题看起来不属于所述抽象函数中任意一种类型，但若对()(1)(1)f x f x f x =++−稍作变形，将式中的x 取作1x +，再将两式联立，便可发现其属于类型2．∵()(1)(1)f x f x f x =++−①，将式中x 取作1x +34 福建中学数学 2008年第8期得(1)(2)()f x f x f x +=++②，联立①、②可得(1)(2)0f x f x −++=， ∴(1)(2)f x f x −=−+，∴()(3)[(6)](6)f x f x f x f x =−+=−−+=+， ∴()f x 是周期为6的周期函数， ∴(101)(6165)(5)f f f =×+=(4)(6)(10)(0)30939f f f f =+=+=+=.例3函数()f x 是定义在R 上的函数且(4)[1f x + ()]1()f x f x −=+，(0)18f =，求(2008)f 的值．解析：由题设可得1()(4)1()f x f x f x ++=−，猜想其可能属于类型3，通过(8)f x +变形到(4)f x +，再由(8)f x +变形到()f x ，可发现果然如此．∵(4)[1()]1()f x f x f x +−=+，又(1)1f ≠(因为如果()1f x =，则(4)(11)11f x +−=+即02=，显然不成立．)，∴1()(4)1()f x f x f x ++=−，∴1(4)(8)1(4)f x f x f x +++=−+1()11()1()11()f x f x f x f x ++−=+−−1()f x =−，∴1(16)(8)f x f x +=−+11/()f x =−−()f x =，∴()f x 是周期为16的周期函数．∴(2008)(161258)f f =×+ (8)f ==−1/(0)f =−1/18．例4 若函数()f x 是实数集上的偶函数，对任意的x R ∈，都有(3)(1)f x f x −=+;而函数()g x 对任意的x R ∈，都有(2007)(2006)(2008)g x g x g x +=+++，且2(1)log 3g =，2(2)log 6g =，(5)(3)f g =，求(1)f + (5)(9)(2009)f f f +++ 的值．解析：()f x 的条件属于类型四. 在(2007)g x + (2006)(2008)g x g x =+++中，令x 为2006x −即得：(1)()(2)g x g x g x +=++①，在①式中再取x 为1得：(2)(1)(3)g g g =+，∴(3)(2)(1)1g g g =−=．又()f x 是偶函数，且(3)(1)f x f x −=+， ∴()f x 关于直线0x =和直线2x =对称， ∴()f x 是周期为4的函数，∴(1)(5)(9)(2009)f f f f ==== ． 而(5)(3)1f g ==，∴(1)(5)(9)(2009)f f f f ++++ 503(5)503f ==.发掘“中巧” 减轻负担谭 明 谢秋莲 沈文选湖南师范大学数学与计算机科学学院(410081)问题是数学的心脏，因此数学学习中解题的教与学是必不可少的，特别是高三学习中大多数的时间都是围绕题目在转，面对浩如烟海题目是不是做得越多越好了？当然不是，题目不在多，而在精，在于解题后多总结和归纳，发掘一些解题的中巧，通过解一题学会一类题的解法，这样学习效率才可以提高，负担才能真正的减轻．以下来看几个中巧： 1 消数法解题的过程中有时候为了解题的方便，时常会引入与一些最后结果无关的量，通过构建这些量与所求问题的解之间的关系，再消去这些量而得到了所求问题的解．例1如图所示，已知,,AB mAM AC nAN O ==为BC 的中点，求m +n 的值．解：设,(1)MO tMN ON t MN ==−．1)t AM t AN =−+（，所以有 1/2,/2t m t n −==．消去t 可得m +n =2． 当然这个题目还有其他的方法可以解答，但是这种利用等式消数的方法最简单的． 2.模式法数学是模式的科学，解题的过程中如果能够看出问题的模式，则解题的方法易得．利用模式来解题一般很简单，这样做当然可以减轻学习的负担，并且这样做得多了可以加深对知识间内部联系的理解，知识也学活了．一般有以下C2008年第8期 福建中学数学 35。
(完整版)专题函数的周期性
专题函数的周期性一知识点精讲1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集2性质①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；3•几种特殊的具有周期性的抽象函数:函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数)(1) f x f:X a，则y f x的周期T a .(2) f x a f x，贝U f x的周期T2a .(3) f x a的周期T2a .，贝U T xf x(4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a .(5) f(x a)1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T2a .(6) f(x a) 1 f(x)，则f1 f (x)x的周期T4a数.(7) f(x a) 1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T4a .(8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a .(9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是以2 b a为周期的周期函数.(10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数f (x)是2 b a为周期的周期函数.(11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数f (x)是以4 b a为周期的周期函数.(12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a.二典例解析1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( )A.0.5B. —0.5C.1.5D. —1.52. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( )②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为2 2的解析式。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。
这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。
2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。
如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。
奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。
如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。
偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。
3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。
傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。
4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。
周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。
具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。
所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。
综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。
专题函数周期性
专题 函数的周期性一 知识点精讲1 ．周 期函 数的定 义：对 于 f (x) 定 义域内 的每 一个 x，都存在非零 常数 T ，使得f (x T ) f ( x) 恒成立，则称函数 f ( x) 拥有周期性， T 叫做 f (x) 的一个周期，则 kT （ k Z, k 0 ）也是 f (x) 的周期， 所有周期中的最小正数叫 f (x) 的最小正周期． 周期函数的定义域必然是无量集 2 性质①若 f ( x ) 的周期中，存在一个最小的正数，则称它为 f ( x ) 的最小正周期；②若周期函数 f ( x ) 的周期为 T ，则 f (x) (0) 是周期函数，且周期为T 。
||3．几种特其他拥有周期性的抽象函数：函数 yf x 满足对定义域内任一实数 x （其中 a0 为常数）（ 1）（ 2）fx f xa ，则 yf x 的周期 Ta ． fx af x ，则 f x 的周期 T2a ．（3） fx a1 x 的周期 T 2a ．f ，则 fx（ 4） fx a f x a ，则 f x 的周期 T2a ． （5） f ( xa) 1f ( x) ，则 f x 的周期 T 2a ．1 f ( x)（6） f ( xa)1f (x)，则 f x 的周期 T 4a 数．1 f (x)（7） f ( xa) 1 f ( x) ，则 f x 的周期 T 4a ．1 f ( x)（ 8）函数 y f (x) 满足 f ( a x) f (a x) （ a 0 ），若 f ( x) 为奇函数，则其周期为T 4a ，若 f (x) 为偶函数，则其周期为T2a ．（9）函数 yf ( x) x R 的图象关于直线 xa 和 xb a b 都对称，则函数 f (x) 是以 2 b a 为周期的周期函数．（10）函数 yf ( x) x R 的图象关于两点A a, y 0 、B b, y 0ab 都对称， 则函数f ( x) 是 2 b a 为周期的周期函数．（ 11）函数 yf (x)x R 的图象关于 A a, y 0和直线 xb ab 都对称，则函数f (x) 是以 4 ba 为周期的周期函数．(12)f ( x a)f ( x)f (x - a) ，则 f (x) 的周期 T6a .二典例解析1．设 f(x) 是 ( －∞ , +∞ ) 上的奇函数， f(x+2)=－f(x) ，当 0≤ x ≤1 时，f(x)=x ，则 f=()B.－D. －2．若 y =f (2 x ) 的图像关于直线 xa和 xb(ba) 对称，则 f ( x ) 的一个周期为（）2 2A ．a bB ． 2(b a)C ．ba D ． 4(b a)223．已知在 R 上是奇函数满足 f (x 3)f ( x), f (1) 2 ，则 f (5)4．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f ( x 2) f (x) ，则 f (2008) =例 5．已知函数 y f (x) 是定义在 R 上的周期函数， 周期 T 5 ，函数 yf ( x)( 1 x 1)是奇函数又知 y f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数， 在 [1,4] 上是二次函数， 且在 x2 时函数取得最小值 5 。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
抽象函数与周期函数
函数周期性和抽象函数常见函数周期:①y=sinx ，最小正周期T ＝2π； ②y=cosx ，最小正周期T ＝2π； ③y=tanx ，最小正周期T ＝π； ④y=cotx ，最小正周期T ＝π.周期函数f(x) 最小正周期为T,则y=Af(ωx+φ)+k 的最小正周期为T/|ω|.2.几种特殊的抽象函数的周期：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为大于0的常数）（二）主要方法：1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=;二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.2.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
练习：1.设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。
2.设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f 3.已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=4.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()212f =-则f(2009)=5．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=6. 已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x ) =1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）7 .已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是（） 8.f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）9.设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<；(C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<例1 ：设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０．(Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ； (Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记n a ＝ｆ（２ｎ＋n 21），求n a ．例2： 已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (12)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明: (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减。
周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明
周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明周期函数是指函数在一些时间间隔内重复出现相同的值的函数。
周期函数的周期是指函数在一个完整的周期内重复出现的时间间隔。
在讨论周期函数的注意点之前，我们先来了解一下常见的抽象函数周期性的证明。
常见抽象函数周期性的证明：1.偶函数的周期性证明：偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
要证明一个函数是偶函数，需要通过代数方法来验证上述等式是否成立。
其中常见的方法有代入法和变量替换法。
例如对于函数f(x)=x^2-1，将x替换成-x，得到f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f(x)，所以函数f(x)是一个偶函数。
2.奇函数的周期性证明：奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。
要证明一个函数是奇函数，也需要通过代数方法来验证上述等式是否成立。
同样常见的方法有代入法和变量替换法。
例如对于函数f(x)=x^3+x，将x替换成-x，得到f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)，所以函数f(x)是一个奇函数。
3.周期为2π的三角函数的周期性证明：对于常见的三角函数sin(x)和cos(x)，它们的周期都是2π，也就是说sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x + 2π) = cos(x)。
可以通过代数方法来证明它们的周期性，我们需要利用三角函数的性质和三角恒等式。
例如对于函数f(x) = sin(x)，我们有f(x + 2π) = sin(x + 2π)= sin(x)cos(2π) + cos(x)sin(2π) = sin(x)，而且sin(x)在区间[0,2π]上单调递增，所以可以得出函数f(x)的周期是2π。
同理，对于函数f(x) = cos(x)，我们有f(x + 2π) = cos(x + 2π) = cos(x)cos(2π) - sin(x)sin(2π) = cos(x)，而且cos(x)在区间[0,2π]上单调递减，所以可以得出函数f(x)的周期是2π。
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周期函数
一、周期函数的定义
1、 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．
时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意：
① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其定义域必为至少一端无界的集合。
理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n 是整数),即x+nT 也在定义域内,故周期函数定义域必是无界集。
例题：sin (010)y x x π=≤≤ 是周期函数吗？
② 变的只能是x
T 的变化只能发生在x 上。
例如()sin(38)f x x =+ 是周期函数，则()sin[3()8]f x T x T +=++，不能写成()sin(38)f x T x T +=++。
例题：sin 2sin 33x x π⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，那么2π 是sin ()3x 的周期吗？
③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。
例如：()[]f x x x =-（33x -≤≤ ）（[]x 是取整函数，表示不超过x 的最大整数），该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域两端都有界，所以其必不为周期函数。
二、 周期函数问题的相关题型及解答。
核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期T ，即将题目里各种()f x 的等式往()()f x T f x +=方向化简。
化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意()f x 本身的对称性和奇偶性。
三、抽象函数的周期总结
1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。
证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T 叫函数f x ()的周期。
2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。
证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+⇒=+-。
3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x ()
4. f x a f x ()()
+=-
1
型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=-
+=-
-
=21
1
1。
5. f x a f x ()()
+=
1
型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=
+=
=21
1
1。
6. f x a f x f x ()()
()
+=
+-11型：f x ()的周期为4a 。
证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]()
()+=++=++-+211 =
+
+--+-
=-1111111f x f x f x f x f x ()
()()()
()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=-
+=-
-
=4221
21
1。
7. )
(1)
(1)(x f x f a x f +-=
+ )(x f y =的周期为a T 2=
证明：1()(2)[()]1()f x a f x a f x a a f x a -++=++=++=1()11()
()1()11()
f x f x f x f x f x -
-+
=
=-++。
8、 1
)(1
)(+-
=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为3T a =
证明：1
1()1
[()]1()1()1()1
11
[(2)]()()1(2)11()
(3)()
f x f x a a f x a f x f x f x a a f x f x f x a f x f x a f x +++=-
=-
=-
++-
++++=-=-=+++-++=
9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ )(x f y =的周期为a T 6= 证明：)()()2(x f a x f a x f -+=+
(3)(2)()f x a f x a f x a +=+-+
(3)()
[(3)3](())()
f x a f x f x a a f x f x +=-++=--=
10.两线对称型：函数f x ()关于直线x a =、x b =对称，则f x ()的周期为||22b a -。
证明：
f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()
()()()()=-=-⎧⎨
⎩⇒-=-⇒=+-222222，。
8. 一线一点对称型 ： 函数f x ()关于直线x a =及点（b ，0）对称，则f x ()的周期为
||44b a -。
证明：
f x f a x f b x f x f a x f b x f x b a f x ()()
()()()()()()=--=-⎧⎨
⎩
⇒-=--⇒+-=-222222，所以f x b a f x b a b a f x b a f x f x ()[()]()[()]()+-=+-+-=-+-=--=44222222
9. 两点对称型： 函数f x ()关于点（a ，0）、（b ，0）对称，则f x ()的周期为||22b a -。
证明：f a x f x f b x f x f a x f b x f x f x b a ()()
()()
()()()()222222-=--=-⎧⎨
⎩⇒-=-⇒=+-。