一次函数的对称变换(2020年6月9日,有改动)
函数的平移与对称变换“三系列”之一：
一次函数的对称变换（初二上册学完一次函数就可用）
一、直线型函数的关于“坐标轴”呈轴对称的变换
1、求直线3x 2y －=关于y 轴对称的新直线的表达式？
〈小明同学的解法〉：设旧直线3x 2y －=与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点，
则点A 为（ ，0），点B 为（0， ），
又设新直线与x 轴交于点
A '，则点A '与点A 关于y 轴对称，∴ 点A '为（ ， ）， 设新直线的表达式为：b kx y +=，把
B （0，3－）、A '（2
3－，0）代入之得： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⨯0b k 2
33b 0k －－，解之得：2k －=，3b －= ∴ 所求新直线的表达式为： 。
2、求直线3x 2y －=关于x 轴对称的新直线的表达式（请你模仿“小明”，写出解答过程）。
3、求直线3x 2y －=关于y 轴对称的新直线的表达式？
〈小通同学的解法〉：设点E （0，m ），点F （1，n ）是旧直线3x 2y －=上的两点， 则易求点E 为（0， ），点F 为（1， ），从而由题意知：
点E 、F 关于y 轴的对称点1E （ ， ）和1F （ ， ）必在新直线上。
设新直线的表达式为：b kx y +=，把1E （0，3－）、1F （1－，1－）代入
之得：⎩⎨⎧=+=+⨯1b k 3b 0k －－－，解之得：⎪⎩⎪⎨⎧=
=
b k ， ∴ 所求新直线的表达式为：3x 2y －－=
〈老师〉问：为什么要把点E 、F 的横坐标分别预设为“0,1”？
〈小通〉答：因为原表达式中，自变量的取值范围是“一切实数”，并且由这些“简单横坐标”很容易算出对应的“纵坐标”，我懂方法，懂变通！俺的招牌是：深究本质，开创新招。
4、求直线3x 2y －=关于x 轴对称的新直线的表达式（请你模仿“小通”，写出解答过程）。
5、求直线3x 2y －=关于y 轴对称的新直线的表达式？
〈小王同学的解法〉：设点P （x ，y ）是所求新直线上的任意一个点，
则点P 关于y 轴的对称点Q （x －，y ），必定在旧直线3x 2y
－=的图像上 ∴ 把Q （x －，y ）代入3x 2y
－=得：()3x 2y －－•= 整理得：3x 2y －－=，即为所求新直线的表达式。
6、求直线3x 2y －=关于x 轴对称的新直线的表达式（请你模仿“小王”，写出解答过程）。
二、直线型函数的关于“原点”呈中心对称的变换
1、求直线3x 2y －=关于原点呈中心对称的新直线表达式？
①、〈小明同学的解法〉：设旧直线3x 2y －=与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点，
则点A 为 ，点B 为 ；
则A 、B 两点关于原点的对称点的坐标为：
1A ， 1B ； 设新直线的表达式为：b kx y +=，把1A 、1B 两点坐标代入之得：
⎪⎩⎪⎨⎧ ，解之得：=k ，=b ；
∴ 所求新直线的表达式为：=y ；
〈点评〉：小明抓住“常规点”来求待定系数，当然允许！
2、求直线3x 2y －=关于原点呈中心对称的新直线表达式？
②、〈小通同学的解法〉：设点E （0，m ），点F （2，n ）是旧直线3x 2y
－=上的两点，则易求点E 为 ，点F 为 ；
由题意知：点E 、F 关于原点的对称点1E ， 1F 必在新直线上， 设新直线的表达式为：b kx y +=，把1E 、1F 两点坐标代入之得：⎪⎩⎪⎨⎧ 解得：=k ，=b 。
∴ 所求新直线的表达式为： ； 〈点评〉：小通抓住“易算点”来求待定系数，当然快哉！
3、求直线3x 2y －=关于原点呈中心对称的新直线表达式？
③、〈小王同学的解法〉：设点P （x ，y ）是所求新直线上的任意一个点，
则点P 关于 的对称点Q ，必定在旧直线3x 2y
－=的图像上，
∴ 把点Q 坐标代入旧表达式3x 2y －=得： ， 整理得： ，即为所求新直线的表达式。
〈点评〉：小王借助“变量点”的变换代入，直取结果，大道至简，王者风范！
三、“小巧”同学来进行规律总结
1、函数b kx y +=关于“x 轴”对称的直线的表达式，只需把 量换成 ，而 量不变，最后整理为： ；
2、函数b kx y +=关于“y 轴”对称的直线的表达式，只需把 量换成 ，而 量不变，最后整理为： ；
3、函数b kx y +=关于“原点”对称的直线的表达式，既需把 量换成 ，又需 把 量换成 ，最后整理为： ；
〈小巧〉自叹：我善总结技巧来“又快、又准”地抓分，虽雕虫小技， 但方便踏实。
四、应用练习(首推“巧”之规律，若不方便，就用“王”之方法！)
1、直线1x 3y
+=－关于“y 轴”对称的直线的表达式为 ； 2、直线1x 2y
－－=关于“x 轴”对称的直线的表达式为 ； 3、直线3x y
－=关于“原点”对称的直线的表达式为 ； 4、函数1x 2y
2－=关于“x 轴”对称的直线的表达式为 ； 5、函数()52x 3y
2+=－－关于“y 轴”对称的直线的表达式为 ； 6、函数3x x y
2－－=关于“原点”对称的直线的表达式为 ； 7、函数x
2y －
=关于“x 轴”对称的直线的表达式为 ； 8、函数x 2y －=关于“原点”对称的直线的表达式为 ； 9、直线1x 3y +=－关于“直线2y －=”对称的直线的表达式为 ；
10、直线1x 3y
+=－关于“点（2，3－）”对称的直线的表达式为 ；。
专题24一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称(原卷版)
专题24 一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称（原卷版）类型一 平移1．（2022秋•南京期末）将一次函数y ＝﹣2x +3的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（ ）A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝﹣2x ﹣5C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝﹣2x +72．（2022秋•埇桥区期中）将直线y ＝x +1向上平移5个单位长度后得到直线y ＝kx +b ，则下列关于直线y ＝kx +b 的说法错误的是（ ）A ．函数图象经过第一、二、三象限B ．函数图象与x 轴的交点在x 轴的正半轴C ．点（﹣2，4）在函数图象上D ．y 随x 的增大而增大3．（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =√33x +1与直线l 2：y =√3x 交于点A 1，过A 1作x 轴的垂线，垂足为B 1，过B 1作l 2的平行线交l 1于A 2，过A 2作x 轴的垂线，垂足为B 2，过B 2作l 2的平行线交l 1于A 3，过A 3作x 轴的垂线，垂足为B 3…按此规律，则点A n 的纵坐标为（ ）A ．（32）nB ．（12）n +1C ．（32）n ﹣1+12D ．3n −124．（2022•南京模拟）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD 截得的线段长度m 与直线在x 轴上平移的距离t 的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．5B ．5√2C ．10D ．10√25．（2021秋•白银期末）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，且P'在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为．6．（2008秋•宿迁期末）已知直线l1：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为4．（1）求直线l1的解析式；（2）直线l1经过怎样平移可以经过原点；（3）求直线l1关于y轴对称的直线的解析式．类型二旋转7．（2022•碑林区二模）把一次函数y＝x+1的图象绕点（2，0）顺时针旋转180°所得直线的表达式为（）A．y＝﹣x+2B．y＝﹣x+3C．y＝x﹣4D．y＝x﹣58．（2022•安阳县一模）将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数图象是（）A．B．C．D．9．（2021秋•华容区期末）已知一次函数y＝3x+12的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB 绕点A顺时针旋转90°，则点B的对应点B'的坐标为（）A．（8，﹣4）B．（﹣16，4）C．（12，8）D．（﹣12，16）10．（2021秋•三元区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（）A．（0，﹣4）B．（0，−94）C．（0，−43）D．（0，−34）11．（2022秋•虹口区校级月考）平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（）A．y=−12x−11B．y=−12x−2C．y=12x+1D．y=12x−812．（2022•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（）A．﹣1B．0C．1D．213．（2022•敖汉旗一模）如图一次函数y＝x+√3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B 顺时针旋转30°交x轴于点C．则线段AC的长为．14．（2022春•顺德区校级月考）如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q 的坐标为．15．（2022秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A 顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．类型三对称16．（2021秋•藤县期末）直线y＝2x+3与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为（）A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣317．已知，点A（m+1，1），B（3，n﹣2）关于x轴对称，则一次函数y＝mnx﹣n的图象大致是图中的（）A．B．C．D．18．（2021秋•新郑市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，m）在第三象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（）A．3B．1C．﹣1D．﹣319．（2022秋•苏州期末）如图，直线y=−23x+4交x轴，y轴于点A，B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P'恰好落在x轴的正半轴上，则点P'的横坐标为（）A．313B．35C．53D．13320．（2021春•莒南县期末）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为．21．已知直线l1的解析式为y＝2x﹣6，直线l2与直线l1关于y轴对称，则直线l2的解析式为．22．（2022•南通一模）已知一次函数y＝2x+3，则该函数图象关于直线y＝x对称的函数解析式为．23．（2022秋•望花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+6交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是．24．（2022秋•沙坪坝区期末）如图，正比例函数y1＝x与一次函数y2=ax−53(a≠0)交于点A（﹣1，m）．（1）求出一次函数y2的解析式，并在图中画出一次函数y2的图象；（2）点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，过点B作直线BD∥x轴，交一次函数y2的图象于点D，求△CBD的面积．25．（2022秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G 的[l1，l2]伴随图形．例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为；（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为；②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．。
一次函数图象的变换--对称
一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。
知识点：1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。
设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。
2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。
设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。
下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。
分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（ x , y ）在直线l上，则点（ x , -y ）在直线y=2x+6上。
即：-y=2x+6y=-2x-6所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.关于直线对称。
2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。
即：y=2(-x) +6y=-2x+6所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10所以点C （-x+10, y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。
即：y=2（-x+10）+6y=-2x+26所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。
关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。
点关于一次函数对称
点关于一次函数对称
一次函数对称：
1、定义：
一次函数的对称是指可以通过某种变换来使函数的图像变得对称，这
种变换是把函数折叠后，将原函数的一半区域映射到其他一半区域，
使得函数呈现出对称性。
2、对称轴及其直线表达式：
对于具有对称性的函数，一次函数的对称轴是把函数折叠之后，将原
函数图像左半部分映射到右半部分的轴线。
其直线表达式是：y=kx+b ，其中k是函数的斜率，如果b=0，则为垂直对称；如果k=0 ，则为水平对称。
3、三个特殊的对称：
（1）原点对称：当函数的对称轴为原点时，此对称称为原点对称，其
直线表达式为：y=kx。
（2）垂直对称：当函数的对称轴是垂直于x轴的，此对称为垂直对称，其直线表达式为：y=b。
（3）水平对称：当函数的对称轴是水平于x轴的时候，此对称为水平
对称，其直线表达式为：x=b。
4、对称图像：
对于对称图像，当把某一自变量变成它的相反数，或者把单调的函数
变成它的倒图，图形就变得对称了。
两个函数的对称图像还可以叠加出一个新的函数，新函数的课值等于两个相对应自变量和函数值相加或相减。
5、一些关于对称的应用：
（1）对称在微积分中有很多应用，对导数、积分等数学概念及其计算有很大帮助；
（2）空气粘度图型是一种球形、圆柱或抛物面等有对称性的图形；（3）在许多物理实验中，常常利用对称性推理来确定力的方向，特别是复杂的力学现象；
（4）在生物学中，例如有机体的形状或器官的对称也是一种对称性形式；
（5）绝缘分析和电路的设计也要利用到对称性的知识；
（6）在机械工程中，大多数零件或者结构都具有某种程度的对称性，需要运用到对称性的相关知识。
一次函数的几何变换
）左右平移过程中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量，向左平移自变量变小，因此要加上平移的变大，因此要减去平移的量，简述为“左加右减”．
“左加右减，上加下减；左右平移在括号，上下平移在末稍”．
（）关于轴对称（翻折）后，纵坐标不变，横坐标变为相反数．
即关于轴对称后的解析式为18/06/12
x x 2y y =kx +b y
（）关于原点对称（绕原点旋转即关于原点对称后的解析式为【方法】口诀：“关于谁，谁不变；另一个，变相反；关于原点都要变”．
（）关于直线对称（翻折）
【方法】
①根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．3y =kx +b 已知直线与直线1y =kx +b 2y =n
【方法】根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．
直线绕原点逆时针旋转后的解析式为（ ）．
A. B. C. D. y =3x O 90∘y =− x 13
y =3x
y = x 13
y =−3x。
一次函数的图像平移对称垂直规律探究
例题：直线y=-2x-3向左平移3个单位得到的解析式为（ 单位得到的直线解析式为（ ）
），向右平移6个
一次函数图象平移垂直对称变化
2、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的垂直规律：
若一次函数直线
y
k
x
1
b1
与直线
y
k
x
2
b2
互相垂直，
则斜率
k
1.k
2
1
，即：k
,
1
k
2
互为负倒数。
b1
与
b2之间
例题：直线y=3x+5向上平移3个单位得到的解析式为（ 单位得到的直线解析式为（ ）
），向下平移6个
（2）左右平移；直线y=kx+b向左平移m（m＞0）个单
位长度得到直线y=k（x+m）+b；直线y=kx+b向右平移 m（m＞0）个单位长度得到直线y=k（x-m）+b ；简记
为：左加右减（只改变x）
没有关系
例题:若一次函数直线 y=3x-2与直线y=kx-5互相垂直， 则3×k=-1，则k=-1/3。
一次函数图象平移垂直对称变化
3、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）对称的规律： （1）关于x轴对称的直线的解析式为-y=kx+b： （2）关于y轴对称的直线的解析式为y=-kx+b （3）关于原点对称的直线的解析式为-y=-kx+b （4）关于y=x对称的直线的解析式为x=ky+b
老张讲数学
一次函数图象平移垂直对称变化
一次函数图象平移垂直对称变化
1、一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的平移规律：
一次函数图像的平移对称旋转问题
一次函数图象的平移变换问题的探究求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.一、一次函数平移的三种方式：⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题：（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是所谓平移变换就是在平面内，.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ） （2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ） （3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.下面我们来探索直线的平移问题.【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=32x －2的关系. .【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．2lx练习1. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 2. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 3. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。
一次函数的平移和对称
函数图像的对称性一、点的对称1、在平面直角坐标系中，已知点P),(ba，则（1）点P到x轴的距离为b；（2）点P到y轴的距离为a；（3）点P到原点O的距离为PO＝22ba+2、平行直线上的点的坐标特征：a)在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A、Bb)在与y点C、D的横坐标都等于n；3、对称点的坐标特征：c)点P),(nm关于x轴的对称点为),(1nmP-，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；d)点P),(nm关于y轴的对称点为),(2nmP-，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；e)点P),(nm关于原点的对称点为),(3nmP--，即横、纵坐标都互为相反数；关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称4、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：f)若点P（nm,）在第一、三象限的角平分线上，则nm=，即横、纵坐标相等；g)若点P（nm,）在第二、四象限的角平分线上，则nm-=，即横、纵坐标互为相反数；XXX XP在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上二、(一次函数)： 1、若直线与直线关于（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为 （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为（3）原点对称，则直线l 的解析式为 （4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为（5）直线对称，则直线l 的解析式为2、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠（2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b =（4）两直线垂直⇔121-=k k三、二次函数：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。
一次函数图象的变换--对称
一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。
知识点：1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。
设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。
2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。
设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。
下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。
分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（x , y ）在直线l上，则点（x , -y ）在直线y=2x+6上。
即：-y=2x+6y=-2x-6所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.关于直线对称。
2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。
即：y=2(-x) +6y=-2x+6所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10所以点C （-x+10, y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。
即：y=2（-x+10）+6y=-2x+26所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。
关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。
数学实验一次函数图象的对称变换
数学实验:一次函数图象的对称变换作者：李德志来源：《读与写·下旬刊》2012年第05期(安徽省阜阳市插花中学安徽阜阳 236136)摘要：尝试用数学实验教学方式，是一种新的教学方式的探索，但是目前广大数学教师对它的认识还较少，在中学数学教学中开设数学实验课值得探索。
本文通过对点关于点或直线对称变换的探索和验证，进一步探索直线关于点或直线对称变换的规律，再通过函数图象来验证.用这种方式对培养学生的创新意识和实践能力具有意想不到的效果。
关键词：对称变换；实验；归纳；函数图象中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2012）05-0166-02数学实验就是运用计算机、几何画板等相关软件的信息技术工具解决数学问题，在中学，数学实验就是学生利用计算器或计算机等信息技术工具，自己动手学习和解决数学问题。
在近几年的探索中，笔者逐渐摸索出来实验过程中的方法和步骤。
首先，应该有指导思想，即教师创设恰当的问题情景，或直接利用教科书中的数学实验题，引导学生通过操作计算机，主动、积极、审慎地思考问题，创造性地解决问题，培养他们的探索意识和能力；其次，要有实施实验的具体步骤，主要包括以下一些内容：实验课题、实验背景、实验目的、实验工具、实验方法、实验过程、对实验结果的分析猜想、对实验结果的证明、结合实验结果进行问题讨论、结论的拓广等。
以下就“函数图象的对称变换的验证”为例探讨实施数学实验教学的一般方法。
实验课题：函数图象的对称变换的验证。
实验背景：初中学生学习一次函数知识的时候，学习过一个点关于坐标轴或原点对称时，对称的两个点坐标的变化规律。
学生学习的过程中，对抽象函数符号表示的函数y=ax+b的研究，一直以来是学习的难点，特别是在给定条件时研究该函数的性质，更是感到困难重重，通过研究特殊而推知一般的方法在这里就可以起到帮助学生理解抽象问题的作用.对称变换是其中一种重要的变换，通过研究点的对称变换的结论可以猜想函数图象的对称变换规律，并且用它解决实际问题，经过类比可以探求其他变换的规律.对培养学生的主动探究和知识拓展有重大的指导意义.此外，经过学生的亲身实践，不仅可以体验数学过程，还能提高学习数学的兴趣。
一次函数对称问题
一次函数对称问题一次函数对称问题，这听起来好像是个严肃的话题，但实际上，咱们可以把它聊得轻松一点。
想象一下，你走在大街上，突然发现两边的建筑物在你面前对称得像镜子里的倒影。
哎呀，这可不是巧合，这可得从数学的角度来捋一捋。
一次函数，简单说，就是一种直线方程，通常写成y = mx + b。
这里的m就是斜率，b则是y轴的截距。
没啥复杂的，就是一条直线在平面上滑来滑去。
这条直线就像你平常吃的方便面，简单又美味，但吃久了也会觉得单调。
这个对称问题又是个啥呢？其实嘛，想想你跟朋友站在一条直线上，假设你们站在x轴的两边，正好是对称的。
这个时候，如果你的朋友往前走一步，你要不要跟着走？当然要啊，不然就没意思了。
这个对称就是一次函数的一种表现。
当我们把这条直线在y轴上折一折，它的两个部分就像你和朋友一样，相互呼应，彼此对称。
想象一下，在数学的世界里，这种美感可是让人心醉神迷。
而且一次函数对称问题不仅仅是个图形上的小把戏，它在生活中也随处可见。
比如你跟朋友一起去吃饭，点了同样的菜，结果你们各自只吃了一半，这就是一种对称呀。
一人一半，各自都满意，这样的场景是不是很有趣？再比如说，一对恋人，他们在一起时，往往会有许多相似之处，像两颗星星在天空中闪烁，对称又和谐。
生活中每一个小细节，几乎都能找到一次函数对称的影子。
再说到数学课上，老师一讲到一次函数，大家的眼神就像被一盆冷水浇灭了热情。
可是你想啊，掌握了这些知识，考试的时候可是能得不少分的呢！想象一下，考试前的晚上，你在灯下捧着书，突然灵光一现，觉得原来对称是这么简单。
这种成就感简直让人想跳起来，仿佛自己发现了新大陆。
怎么才能把一次函数的对称问题理解得更透彻呢？学会用图形来理解是个好办法。
拿一张白纸，画出x轴和y轴，接着把y = mx + b这条线画出来。
然后，试着在y轴上折一下，看它是不是变得像个双胞胎一样。
这种直观的理解，简直像吃了一口甜蜜的巧克力，心里满是欢喜。
很多同学可能会觉得一次函数只是个冷冰冰的数学公式，但其实它有它的温度。