2019年湖南省株洲市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2019年湖南省株洲市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合M={-1，0，1，2}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A. {−1,0，1，2，3}B. {−1,0，1}C. {1,2}D. {1,2，3}2.复数z=2+1i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A. 2−iB. 2+iC. 4−iD. 4+i3.如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3335，6665，则图形Ω面积的估计值为（）A. 13B. 12C. 14D. 164.已知向量a⃗=（1，1），b⃗ =（-1，2），c⃗=（k，1），且（2a⃗+b⃗ ）⊥c⃗，则实数k=（）A. −4B. 4C. 0D. 145.等差数列{a n}的公差为1，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前10项和S10=（）A. 110B. 90C. 55D. 456.执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A. 2018B. 2019C. 12D. 27.某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示．则该物质含量的众数和平均数分别为（）A. 83和84B. 83和85C. 85和84D. 85和858.已知命题p：∀x＞0，e x＞x+1，命题q：∃x∈（0，+∞），ln x≥x，则下列命题正确的是（）A. p∧qB. (￢p)∧qC. p∧(￢q)D. (￢p)∧(￢q)9.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（）A. 96B. 120C. 144D. 18010.已知函数f（x）=sin2x+√3cos2x，给出下列四个结论：①函数f（x）的最小正周期是π②函数f（x）在区间[-π6，π3]上是减函数③函数f（x）的图象关于点（π3，0）对称④函数f（x）的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π3个单位得到其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 411.已知抛物线y2=4x与双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线的交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=2，则该双曲线的离心率为（）A. √2B. √3C. 2D. √512.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，F为棱AA1上的点，且满足A1F：FA=1：2，点F，B，E，G，H为过B，E，F三点的面BMN与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的交点，则下列说法错误的是（）A. HF//BEB. 三棱锥的体积V B1−BMN=4C. 直线MN与面A1B1BA的夹角是45∘D. D1G：GC1=1：3二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.曲线y=x2+ln x+1在点（1，2）处的切线方程为______．14.若x，y满足条件{x−2y−2≤0x−y+1≥0y≤0，则z=2x+y的最大值为______．15.设直线l：3x+4y+a=0，与圆C：（x-2）2+（y-1）2=25交于A，B，且|AB|=6，则a的值是______．16.数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，S n=（1-12n）a n+1，b n=log2a n，则数列{1b n b n+1}的前n项和T n=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3acosB=bsinA．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若D为BC的中点，AB=2，AD=√7，求△ABC的面积．18.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，AB=10，AE=6，BE=8（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）若线DE与面ABCD的夹角正弦值为35，求几何体ABCDE的体积．19. 随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大．某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包．该通信公司选了人口规模相当的4个城市采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价：x （单位：元/月）和购买总人数y （单位：万人）的关系如表：定价x （元/月）2030 50 60 年轻人（40岁以下） 10 15 7 8 中老年人（40岁以及40岁以上）2015 3 2 购买总人数y （万人） 30301010（Ⅰ）根据表中的数据，请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的回归方程；并估计10元/月的流量包将有多少人购买？（Ⅱ）若把50元/月以下（不包括50元）的流量包称为低价流量包，50元以上（包括50元）的流量包称为高价流量包，试运用独立性检验知识，填写下面列联表，并通过计算说明是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关？ 定价x （元/月）小于50元大于或等于50元总计年轻人（40岁以下） 中老年人（40岁以及40岁以上）总计参考公式：其中=x，=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i ni=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx−2，=y−x −．K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d 参考数据： P （K 2≥k 0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.7063.8415.0246.6357.87910.82820. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，椭圆C 截直线y =1所得的线段的长度为2√2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．21. 已知函数f （x ）=ln （x +1）+ax 2-x ，g （x ）=a ln x -1x -ln （x +1）-ax 2+2x（Ⅰ）若a ＞0，讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）设h （x ）=f （x ）+g （x ），且h （x ）有两个极值点x 1，x 2，其中x 1∈（0，1e ]，求h （x 1）-h （x 2）的最小值．（注：其中e 为自然对数的底数）22. 在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为{y =sinϕx=1+cosϕ（φ为参数），现以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设P ，Q 是圆C 上的两个动点，且∠POQ =π3，求|OP |+|OQ |的最大值．23. 已知函数f （x ）=|2x -a |+|x -1|，a ∈R ．（Ⅰ）若a =-2，解不等式f （x ）≤5；（Ⅱ）当a ＜2时，函数f （x ）的最小值为3，求实数a 的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={-1，0，1，2}，N={x|1≤x≤3}；∴M∩N={1，2}．故选：C．进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：∵z=2=，∴，故选：B．利用复数代数形式的乘除运算，把复数化简为z=a+bi的形式，再求其共轭复数即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：设图形Ω的面积为S，因为由电脑随机从正方形中抽取10000个点，落在Ω图形内和图形Ω外的豆子分别3335，6665，所以=，故选：A．根据几何槪型的概率公式进行估计即可得到结论．本题主要考查几何槪型的应用，利用面积比之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4.【答案】A【解析】解：∵向量=（1，1），=（-1，2），=（k，1），∴=（1，4），∵（2），∴（2）=k×1+1×4=0，解得k=-4．故选：A．先求出向量2的坐标，由（2），利用向量垂直的性质能求出k的值．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：∵a2，a4，a8成等比数列，∴a42=a2a8，可得（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），又等差数列{a n}的公差为1，化简得：a1=1，a10=10，则{a n}的前10项和S10==55．故选：C．由a2，a4，a8成等比数列，列出关系式，通过公差，解得：首项，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得x=2，y=0．满足条件y＜2019，执行循环体，x=-1，y=1；满足条件y＜2019，执行循环体，x=，y=2；满足条件y＜2019，执行循环体，x=2，y=3；满足条件y＜2019，执行循环体，x=-1，y=4；…观察规律可知，x的取值周期为3，由于2019=673×3，可得：满足条件y＜2019，执行循环体，当x=2，y=2019，不满足条件y＜2019，退出循环，输出x的值为2．故选：D．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y=2019 时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：根据频率分布直方图得出众数落在第三组[80，90）内，所以众数为=85，含量在[60，70）之间的频率为0.1，含量在[70，80）之间的频率为0.2，含量在[80，90）之间的频率为0.4，根据概率和为1，可得含量在[90，100）之间的频率为0.3，所以频率分布直方图的平均数为：65×0.1+75×0.2+85×0.4+95×0.3=84．故选：C．根据频率分布直方图中最高小矩形得出众数落在第三组，从而求出众数的值，再根据每个小组的频率以及中间值求出频率分布直方图的平均数．本题考查考查频率分布直方图中众数和平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：令f（x）=e x-x-1，则f′（x）=e x-1，当x＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）＞f（0）=0，∴∀x＞0，e x＞x+1，p真；令g（x）=lnx-x，g′（x）=-1=，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=-1＜0，所以g（x）≤0在（0，+∞）恒成立，则q为假命题；则p∧（￢q）为真命题，故选：C．利用导数和函数零点分别判断命题p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，构造函数利用导数研究函数最值是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，柱体的底面由一个边长为4的正方形和一个底边长为4，高为2的三角形组成，故柱体的底面面积S=4×4+×2×4=20，柱体的高即为三视图的长，即h=6．故柱体的体积V=Sh=120，故选：B．由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，分别求出柱体的底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，难度不大，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），①因为ω=2，则f（x）的最小正周期T=π，结论正确．②当时，，y=sinx在[0，π]上不是单调函数，结论错误．③因为f （）=0，则函数f（x）图象的一个对称中心为结论正确．④函数f（x）的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到，结论错误．故正确结论有①③，故选：B．先利用两角和与差的三角函数公式对函数f（x）化简，求解函数的周期判断①的正误；利用函数的单调性判断②的正误；利用函数y=sinx的对称中心判断③的正误；利用函数的图象的变换判断④的正误；本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的周期性、对称性、单调性以及图象平移问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|=m+1=2，∴m=1，∴n2=4，∴n=±2，点M（1，±2）代入双曲线的渐近线方程，∴，∴==5，∴，故选：D．设出M坐标，利用抛物线的定义以及双曲线方程，转化推出a，c关系，即可得到双曲线的离心率．本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.【答案】C【解析】解：A项：因为面AD1∥面BC1，且面AD1与面MBN的交线为FH，面BC1与面MBN的交线为BE，所以HF∥BE，A正确；B项：A1F：FA=1：2，MA1：AB=1：2，MA1=1，同理可得C1N=BC=2，B1N=4，V=V N-MBB1=S△BMB1•B1N=••2•3•4=4，B正确；C项：∵B1N⊥面A1B1BA，所以∠NMB1即为所求线面角，tan∠NMB1=≠1，即∠NMB1≠，C错；D项：==，MB1=3，∴C1G=，∴D1G=，D1G：GC1=1：3，D对．故选：C．利用平面与平面平行的性质判断A正误；通过等体积转换求解三棱锥N-BMB1的体积判断B 的正误；通过作面的垂线求线面角判断C的正误；通过三角形相似判断D的正误．本题考查面面平行的性质定理，等体积转换求解三棱锥的体积，线面角的求法，以及利用平行关系推导三角形相似进而利用相似比求线段长，比较综合，属于中档题．13.【答案】y=3x-1【解析】解：曲线f（x）=x2+lnx+1，可得f′（x）=2x+，f′（1）=2+1=3，所以k=3，切线方程为：y-2=3（x-1），即y=3x-1．故答案为：y=3x-1．先对原函数求导，再令x=1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程．本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程．14.【答案】4【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y 得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z 经过（2，0）时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=2x+y得z=2×2+0=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4，故答案为：4．先作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合是解决此类问题的基本方法．15.【答案】10或-30【解析】解：根据题意，圆C：（x-2）2+（y-1）2=25，其圆心C（2，1），半径为r=5，又由|AB|=6，则d===4，即圆心到直线的距离为4；则有d==4，解可得a=10或-30；故答案为：10或-30．首先利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出a即可．本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交的垂径定理以及点到直线距离公式的应用．16.【答案】nn+1【解析】解：a1=2，S n=（1-）a n+1，n≥2时，S n-1=（1-）a n，两式作差，得a n=（1-）a n+1-（1-）a n，化简得=2，检验：当n=1时，S1=a1=a2，即a2=4，=2，所以数列{a n} 是以2为首项，2为公比的等比数列；a n=2n，b n=log2a n=n，==-，前n项和T n=1-+-+…+-=1-=．故答案为：．由题意可得S n=（1-）a n+1，n≥2时，S n-1=（1-）a n，两式作差，得=2，经过检验得出数列{a n} 的通项公式，进而求得==-，裂项相消求和即可．本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．17.【答案】解：（Ⅰ）∵√3acosB=bsinA，∴√3sin A cos B=sin B sin A，∵A，B∈（0°，180°）∴tan B=√3，∴B=60°．（Ⅱ）设BD=x，在△ABD中，由余弦定理：x2+22-2×2x cos60°=7，解得：x=3或-1（舍去），∴BC=6，∴S△ABC=12×2×6×sinB=3√3．【解析】（Ⅰ）利用正弦定理把边化角，利用B的正切值求角；（Ⅱ）先利用余弦定理解出BD，求出BC，再利用面积公式即可求解．本题考查正余弦定理综合应用，利用正弦定理边角互化达到化简的目的，利用余弦定理求三角形的边，以及面积公式的应用，属于基础题．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，∴DA⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面ABE，∴DA⊥面ABE，∴DA⊥BE，又∵AB=10，AE=6，BE=8，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥BE，又DA∩AE=A，∴BE⊥面ADE，∴平面ADE⊥平面BCE．解：（Ⅱ）作EF⊥AB于F，连结DF，则∠EDF为线DE与面ABCD的夹角，∵线DE与面ABCD的夹角正弦值为35，∴sin∠EDF=EFDE=35，∵EF=6×810=245，∴DE=8，∴DA=√82−62=2√7，∴几何体ABCDE的体积：V E-ABCD=13×2√7×10×245=32√7．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出DA⊥BE，AE⊥BE，由此能证明BE⊥面ADE，从而得到平面ADE⊥平面BCE．（Ⅱ）作EF⊥AB于F，连结DF，通过DE与面ABCD夹角的正弦值求得EF，进而得到DA的值，再利用锥体体积公式求出体积即可．本题考查面面垂直判定定理的应用，已知线面角的三角函数值求线段长，以及锥体体积公式，作出面的垂线是解题关键．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意，计算=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=−20×10−10×10+10×(−10)+20×(−10)(−20)2+(−10)2+102+202=-0.6， =y−x −=20-（-0.6）×40=44； 所以：y 关于x 的回归方程是：=-0.6x +44， 当x =10时，=-0.6×10+44=38， 所以估计10元/月的流量包将有38万人购买；（Ⅱ）由题意填写列联表如下； 定价x （元/月） 小于50元 大于或等于50元 总计 年轻人（40岁以下）25 15 40 中老年人（40岁以及40岁以上） 35 5 40 总 计60 2080由表中数据，计算K 2=80×(25×5−35×15)260×20×40×40≈6.667，且6.667＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关． 【解析】（Ⅰ）利用所给公式与参考数值即可求解回归方程，令x=10 代入即可求出此时y 的估计值； （Ⅱ）根据流量包的定价和购买总人数的关系表中的数值填写列联表，计算K 2的值，比较它与6.635的大小即可．本题考查了线性回归方程的求法应用问题，也考查了独立性检验的应用问题和计算能力，属于基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）由ca =√22，2a 2+1b 2=1，a 2=b 2+c 2．解得a =2，b =c =√2．得椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =-1或x =1，此时四边形OADB 的面积为√6．当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y =kx +m ，联立椭圆方程{x 2+2y 2=4y=kx+m 消y 可得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2-4=0．△=（4km ）2-4（2k 2+1）（2m 2-4）=8（4k 2+2-m 2）＞0，则m 2＜4k 2+2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−41+2k 2．y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m =2m1+2k 2 |AB |=√1+k 2⋅2√2√4k2+2−m 21+2k 2．点O 到直线AB 的距离d =|m|√1+k 2由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x D =−4km 1+2k 2，y D =2m1+2k 2． 因为点D 在曲线C 上，所以有（−4km 1+2k 2）2+2（2m1+2k 2）2=4整理得1+2k 2=2m 2．由题意四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为 ∴S 平行四边形OAPB =|AB |•d =√1+k 2⋅2√2√4k2+2−m 21+2k 2×|m|√1+k2=2√2|m|1+2k2×√4k 2+2−m 2 由1+2k 2=2m 2得S OADB =√6，故四边形OADB 的面积是定值，其定值为√6．【解析】（Ⅰ）根据椭圆C 截直线y=1所得的线段的长度为2，可得椭圆过点（，1），结合离心率即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论：当直线l 的斜率不存在时，四边形OADB 的面积为； 当直线l 的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由=，得，y D =．代入曲线C ，整理出k ，m 的等量关系式，再根据S 平行四边形OAPB =|AB|•d ，写出面积的表达式整理即可得到定值．本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题． 21.【答案】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域是（-1，+∞），f ′（x ）=2ax 2+(2a−1)x x+1=x[2ax−(1−2a)]x+1． ①当0＜a ＜12时，f （x ）在（-1，0），（12a -1，+∞）单调递增；f （x ）在（0，12a -1）单调递减． ②当a =12时，f ′（x ）=x 2x+1≥0，f （x ）在（-1，+∞）单调递增．③当a ＞12时，f （x ）在（-1，12a -1），（0，+∞）单调递增；f （x ）在（12a -1，0）单调递减． （Ⅱ）h （x ）=x -1x +a ln x ，h ′（x ）=1+1x 2+a x =x 2+ax+1x 2，由题意得方程x 2+ax +1=0的两根分别为x 1，x 2，且x 1+x 2=-a ，x 1x 2=1． ∴x 2=1x 1，a =-x 1-1x 1．则h （x 1）-h （x 2）=h （x 1）-h （1x 1）=2[（-x 1-1x 1）ln x 1+x 1-1x 1]设u （x ）=2[（-x -1x ）ln x +x -1x ]， 则u ′（x ）=2（1x 2-1）ln x =2(1−x)(1+x)x 2ln x ，当x ∈（0，1e ]时，u ′（x ）＜0恒成立， ∴u （x ）在x ∈（0，1e ]上单调递减， ∴u （x ）min=u （1e ）=4e ，即h （x 1）-h （x 2）的最小值为4e ． 【解析】（Ⅰ）对函数f （x ） 求导，对a 的指分情况讨论即可确定f （x ）的单调区间；（Ⅱ）先对h （x ） 求导，令导数式等于0由韦达定理求出两个极值点x 1，x 2，利用根与系数的关系整理h （x 1）-h （x 2），构造关于x 1 的函数，求导根据单调性确定最值即可．本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、一元二次方程的根与系数，考查学生的运算推理能力，属于难题．22.【答案】解（Ⅰ）圆C 直角坐标方程为（x -1）2+y 2=1，x 2+y 2-2x =0C ：ρ2-2ρcosθ=0，ρ=2cosθ P （ρ1，θ），Q （ρ2，θ+π3）|OP |=ρ1=2cosθ，|OQ |=ρ2=2cos （θ+π3），|OP |+|OQ |=2cosθ+2cos （θ+π3）=3cosθ-√3sinθ=2√3cos （θ+π6） ∵{−π2＜θ＜π2−π2＜θ+π3＜π2，∴-π2＜θ＜π6∴θ=-π6时，|OP |+|OQ |取得最大值2√3． 【解析】（Ⅰ）先由参数方程写出直角坐标方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到圆的极坐标方程； （Ⅱ）先根据∠POQ= 设出P ，Q 的极坐标，再对|OP|+|PQ|化为辅助角的形式，求出θ 的范围进而求出|OP|+|OQ|的最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解（Ⅰ） a =-2时，不等式为|2x +2|+|x -1|≤5①当x ≤-1 时，不等式化为-2x -2-x +1≤5，x ≥-2，此时-2≤x ≤-1②当-1＜x ＜1 时，不等式化为2x +2-x +1≤5，x ≤2时，-1≤x ＜1； ③当x ≥1 时，不等式化为2x +2+x -1≤5，x ≤43，此时1≤x ≤43 综上所述，不等式的解集为{x |-2≤x ≤43}（Ⅱ）法一：函数f （x ）=|2x -a |+|x -1|，当a ＜2，即a2＜1时， f （x ）={−3x +a +1，x ＜a2x −a +1，a2≤x ≤13x −a −1，x ＞1 所以f （x ）min =f （a2）=-a2+1=3，得a =-4＜2（符合题意），故a =-4． 法二：f （x ）=|2x -a |+|x -1|=|x -a2|+|x -a2|+|x -1|≥|x -a2|+|x -1|≥|（x -a2）-（x -1）|=|a2-1| 所以f （x ）min =|a2-1|=3，又a ＜2，所以a =-4． 【解析】（Ⅰ）a=-2时，f （x ）=|2x+2|+|x+1|，f （x ）的两个零点分别为-1和1，通过零点分段法分别讨论x≤-1，-1＜x ＜1，x≥1，去绝对值解不等式，最后取并集即可；（Ⅱ）法一：a ＜2 时，＜1，化简f （x ）为分段函数，根据函数的单调性求出f （x ）在x= 处取最小值3，进而求出a 值．法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f （x ）最小值，进而求a ． 本题考查绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的最值，体现了分类讨论的数学思想．属中档题．。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学一、选择题1．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于()A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅答案 C解析A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1<x<2}．2．设z＝i(2＋i)，则等于()A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i答案 D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.3．已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于()A. B．2 C．5 D．50答案 A解析∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B. C. D.答案 B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)等于()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1答案 D解析当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝e x－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案 B解析对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确，对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确，综上可知选B.8．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于()A．2 B. C．1 D.答案 A解析由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.9．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 4＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.10．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0答案 C解析设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.11．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.12．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A. B. C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2. 由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.二、填空题13．若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由解得即C点坐标为(3,0)，故z max＝3×3－0＝9.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．答案0.98解析经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________.答案解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝，由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26－1解析依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.三、解答题17.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.18．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：≈8.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.产值负增长的企业频率为＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝i(y i－)2＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，s＝＝0.02×≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．21．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－(x>0)．因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.由1<x0<α得0<<1<x0.又f＝ln－－1＝＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 经检验，点P在曲线ρcos＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.23．[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0. 所以，a的取值范围是[1，＋∞)．祝福语祝你考试成功!。
湖南省株洲市2019届二模-答案
株洲市2019届高三年级教学质量统一检测（二）参考答案及评分标准(理科数学)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）9题答案提示：③-①=100，②-④=60，③-⑤=20，①-④=60，⑤-②=80 故③>⑤>①=②>④11题答案提示：依题可知，D D CC 11正方形的中心为所求点M,即3=AM12题答案提示：由图可知，)(x f 在R 上为单调递减函数，设)1()()(-+=x f x f x h ，易知)(x h 在R 上也为单调递减函数，又3)2()1()1(=-+-=-f f h ，故当1->x 时满足题意。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2; 14．0; 15．⎩⎨⎧≥⋅==-2,431,41n n a n n ; 16.3 16题答案提示：122,DF DF a +=又1DB DF =,2BF a =，22a DF =，3(,)22c bD -，代入椭圆方程中得到223c a =，故3e =。
三、解答题（本大题共6小题，共70分．） 17（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在ΔBCD中，由正弦定理BDCBCBCD BD ∠=∠sin sin ,656213243sin ππ或=∠∴=⨯=∠∴BDC BDC ，∵BD BC >6π=∠∴BDC ---------------------5分（Ⅱ）在ΔABE中，求得AB =令m,AE BE n ==AB则1sin 602ABES mn ∆=︒=-------------.6分又2222cos60m n mn =+-︒，-----------------7分2212,122,12n mn mn mn +-+≥≤ mn=m ---------------------.9分min ABE 故 (S )∆=12分18（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）连接BD ，∵菱形ABCD 中3π=∠BAD ，∴ΔABD 为等边三角形，又M 为BC 中点，则AB DM ⊥,又PA PB =，则AB PM ⊥,又M PM DM = , ∴⊥AB 平面PMD -----------------5分又//AB CD ,∴⊥CD 平面PMD ，又 CD 平面PCD ， ∴平面⊥PCD 平面PMD .----------------6分（Ⅱ）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，且交线为AB ，AB PM ⊥，⊂PM 平面PAB , ∴ABCD PM 平面⊥，-----------------7分以M 为原点，,MB MD MP ，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PM a =，则(0,)P a ，(1,0,0)A -，(0,D -，则），（），，（a 0,10,3,1==， -------------------------------------------------8分设平面ADP 的一个法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙0n AP ，即⎩⎨⎧=+=+003az x y x ，可取)3,,3(--=a a --------------------9分 又平面PAB 的法向量可取)0,1,0(=，∴3534,cos 2=+=<a a n m，∴a =，即PM =分又菱形ABCD 的面积32=⨯DM AB , ∴四棱锥P ABCD -的体积为23323131=⨯⨯=⨯=PM S V .---------------------12分 AB19（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）将(1,2)A 代入抛物线22y px =，2p =24y x \=抛物线的方程为，准线方程为1x =- ---------------------4分（Ⅱ）法一：不妨B 在C 的左边，从而可设直线AB 的方程为1(y 2)(m 0)x m -=->，即21x my m =-+，由2214x my m y x ì=-+ïïíï=ïî，得24840y my m -+-=。
株洲市2019年第二次模拟考试-高考模拟
株洲市2019年第二次模拟考试-高考模拟各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢第Ⅰ卷（选择题共45分）一、（18分，每小题3分）1．下列词语中，加点字的读音全都正确的一项是A．熟稔（rěn）押解（jiè）甲胄（zhòu）引吭高歌（kàng）B．荫庇（yīn）纰漏（pī）狙击（jū）亘古未有（gèn）c．勖勉（xù）麾下（huī）休憩（qì）奇葩异草（bā）D．广袤（mào）骁勇（xiāo）沉疴（kē）龇牙咧嘴（zī）2．下列词语中，没有错别字的一组是A．景仰削足试履赏赉生死攸关B．谙习越俎代疱定型变幻莫测c．安详功亏一篑诡秘晶莹剔透D．祛署循私舞弊拮据烜赫一时3．依次填入下列各句横线上的词语，恰当的一组是①人们要正确对待他人和自己，要正确处理人与人之间的关系，不要妒贤忌能，不要___________他人。
②课文被视为精确无误的典范，学生只有迷信的义务，很少有____________的权利，更谈不上去化解了。
③我们只有走教育的产业化道路，才能实现教育的规模生产和规模______________。
A．强求质疑效益B．苛求置疑效率c．苛求质疑效益D．强求置疑效率4．下列句子中，加点的成语使用正确的一句是A．日本的历史教科书，能够不惜笔墨地把子虚乌有的神话故事写进去，而对其野蛮的侵略史却“惜墨如金”。
B．环境污染造成的严重社会问题正深入人心，成为各国政府十分关注的问题。
c．当代诗坛颇不景气，想起唐诗宋词的成就，不禁令人产生今非昔比的感慨啊。
D．近几年，黄河、岷江的部分河段多次出现断流现象，面对这江河日下的情况，人们开始冷静地思考环保问题。
5．下列各句中，没有语病的一句是A．邮票的图案设计、边框的图案装饰、色彩的运用、文字说明和面值数字的安排，都凝结着美术工作者的辛勤劳动成果。
B．我们一贯主张，国与国之间的事端应通过和平谈判来解决，反对诉诸于武力或以武力相威胁。
湖南省株洲市2019-2020学年高考数学模拟试题含解析
湖南省株洲市2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S【答案】C 【解析】 【分析】设公差为d ，则由题意可得()()113479a d a d +=+，解得1451a d =-，可得1(554)51n n a a -=.令554051n -<，可得 当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <，由此可得数列{}n a 前n 项和()*n S n N ∈中最小的. 【详解】解：等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，设公差为d ， 则()()113479a d a d +=+，解得 1451a d =-， 11(554)(1)51n n a a a n d -∴=+-=.令554051n -<，可得545n >，故当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <， 故数列{}n a 前n 项和()*n S n N ∈中最小的是13S.故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.2．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π【答案】D 【解析】 【分析】根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【详解】设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形， 所以AM BC ⊥，又因为PA BC ⊥，且PA AM A =I ， 所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥， 由三线合一性质可知,PB PA PC ==所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，43,AB =25,PA PB PC === 设底面等边ABC ∆的重心为O '， 可得226433AO AM '==⨯=，2220162PO PA AO '=-'=-=， 所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方，设为O ，如下图所示：由球的性质可知，PO ⊥平面ABC ，且,,P O O '在同一直线上，设球的半径为R ， 在Rt AOO ∆'中，222AO AO OO ='+'， 即()22162R R =+-， 解得5R =，所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=， 故选：D. 【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 3．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A试题分析：由题意可得：131 255iii-=--. 共轭复数为3155i+，故选A.考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系4．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．64【答案】B【解析】【分析】设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为3122x x-，设落在小正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解。
湖南省2019年高考数学(文科)模拟试卷含答案
湖南省2019年高考模拟试卷含答案数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，时量120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U R =，集合{}|lg A x y x ==，集合{}|1B y y ==，那么()U A C B =（ ）A . ∅B .(]0,1C .(0,1)D .(1,)+∞2．若复数z 满足(34)5i z +=，则下列说法不正确的是 A ．复数z 的虚部为45i - B ．复数z z -为纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点位于第四象限D ．复数z 的模为13．若x y >，则下列不等式成立的是A ．ln ln x y >B ．0.50.5x y >C ．1122x y >D. 33x y >4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”。
其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”。
则该人第三天所走的路程为 A ．6里 B ．12里C ．24里D ．48里5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为 A．B ．0CD6．已知点P 是抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若侧视图5PF =，则点P 的横坐标为A ．1B ．2C ．3D ．47．为了解某城镇居民的家庭年收入与年支出的相关关系，随机抽查5户家庭得如下数据表，根据数据表可得回归直线方程为0.760.4y x =+，则m = A ．6.8 B ．7.0C ．7.1D ．7.58．cos x xx x y e e -=+的部分图像大致为A B C D9．将函数2sin 3y x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数()y f x =的图像，则下列说法不正确的是 A ．函数()f x 的图像关于直线4x π=对称B ．函数()f x 的一个零点为012x π=C ．函数()f x 在区间[,66ππ-上单调递增D ．函数()f x 的最小正周期为23π10 则该几何体的表面积为 A ．6+ B ．6C ．6+D ．711．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:340l x y -=与双曲线的左、右两只分别交于,A B 两点，若||||4AF BF -=，且右焦点F 到直线l的距离为125，则该双曲线的离心率为A ．53B ．32CD ．212．已知在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，且PAB △三角形，底面ABCD 是边长为3的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为A ．74π B ．4π C ．7π D ．16π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后x y O πx y O πx yO πx y O π的横线上)13．在数列{}n a 中，11n n a a +-=，n S 为{}n a 的前n 项和. 若735S =，则3a =_______.14．设,x y 满足约束条件220101x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≥≥，则1z x y =+-的最小值为____________.15．已知向量a=(1，2)，b=(1，1)，c=2a+k b ，若b ⊥c ，则a·c =________.16．设函数224,0()3,0x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+⎪⎩＞≤，若()(1)f a f <，则实数a 的取值范围是________.三、解答题(本大题共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）在ABC △中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边,(sin sin )sin a A C b B +=.(Ⅰ)若c a =，求角B ； (Ⅱ)若3B π=，三角形ABC的面积为，求a .18．（本小题满分12分）甲、乙两陶瓷厂生产规格为600×600的矩形瓷砖（长和宽都约为600mm ），根据产品出厂检测结果，每片瓷砖质量X （单位：kg ）在[7.5-0.5,7.5+0.5]之间的称为正品，其余的作为废品直接回炉处理.正品瓷砖按行业生产标准分为“优等”、“一级”、“合格”三个标准，主要按照每片瓷砖的“尺寸误差”加以划分，每片价格分别为 7.5元、6.5元、5.0元. 若规定每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a ,b (单位：mm)，则“尺寸误差”为|a -600|+|b -600|， “优等”瓷砖的“尺寸误差” 范围是[00.2],，“一级”瓷砖的“尺寸误差”范围是(0.2,0.5]，“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围是(0.51]，. 现分别从甲、乙两厂生产的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：（甲厂产品的“尺寸误差”频数表） （乙厂产品的“尺寸误差”柱状图）（Ⅰ）根据样本数据分别计算甲、乙两厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值； （Ⅱ）若用这个样本的频率分布估计总体分布，求乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格； （Ⅲ）现用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片，再从抽取的20片瓷砖中的“一级”瓷砖与“合格”瓷砖中随机选取2片进一步分析其“平整度”，求这2片瓷砖的价格之和大于12元的概率.519．（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDPQ 中，四边形ABQP 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AC ⊥CD ，E 为QD 的中点，且AE ∥平面QBC .（Ⅰ）证明：AC ⊥平面ABQP ;（Ⅱ）若QB =BC =2，ACE －ACD 的体积.20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设椭圆短轴的两个顶点为,P Q ，过椭圆的上顶点P作两条互相垂直的直线12,l l 分别与椭圆的另一个交点为,A B ，若43QA QB ⋅=-，求PAB △的面积.21．（本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x x ax =-+()a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对任意的0x ＞，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：当0x ＞时，ln 10x e x x x -+-＞. 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），线段OD（O 为坐标原点）的中点M 在曲线1C 上，设动点D 的轨迹为曲线2C ．在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 3ρθρθ=+.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程.（Ⅱ）若直线l 与y 轴交于点P ，与曲线2C 交于点A 、B ，求PA PB +. 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知0,0a b >>，函数()332f x x a x b =-++ （Ⅰ）当3,1a b ==时，求不等式()6f x ≥的解集； （Ⅱ）若函数()f x 的最小值为2，求ab 的最大值.数学（文史类）参考答案一、选择题： 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．D 7．D 8．A 9．C 10．B 11．D 12．C 二、填空题：. 13．4 14．－4 15．1 16．)1,0()1,2( -- 三、解答题：17．（本题满分12分 解：（Ⅰ）由B b C A a sin )sin (sin =+及正弦定理可得， 2)(b c a a =+，即ac a b +=22…………(2分）又a c =，所以a b 2=…………(4分）∴222c a b +=，所以2π=B …………(6分）（Ⅱ） 3π=B ，由余弦定理有，ac c a b -+=222由(Ⅰ)知ac a b +=22，∴a c 2= …………(9分）由三角形ABC 的面积为32可知，3223s i n 212==a B ac ，∴2=a …………(12分） 18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）甲厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值为：（30×0.1+30×0.2+5×0.3+10×0.4+5×0.5+10×0.6）÷100=0.23 …………(2分） 乙厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值为：（30×0.1+25×0.2+5×0.3+10×0.4+5×0.5+5×0.6+5×0.7）÷100=0.225……(4分） （Ⅱ）乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格为：[(15+30+25)×7.5+(5+10+5)×6.5+(5+5)×5]÷100=7.05 …………(6分）（Ⅲ）用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片， 则“一级”瓷砖抽取1002020⨯=4片，记为A 、B 、C 、D ；“合格”瓷砖瓷砖抽取1002010⨯=2片，记为E 、F ；…………(8分）从中选取2片有：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF 共15种选法；其中价格之和大于12元，即选取的2片都为“一级”瓷砖的有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种选法. …………(11分）所以选取的2片瓷砖的价格之和大于12元的概率52156==P. ………(12分） 19．（本题满分12分）解：（Ⅰ） AB ∥CD ，AC ⊥CD ，∴AC ⊥AB 又P A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AC又P A AB =A ，P A ，AB ⊂平面ABQP ，∴AC ⊥平面ABQP . …………(5分）（Ⅱ） AC =3，BC =2，AC ⊥AB ，∴1222=-=AC BC AB ，即AB =1 …………(6分）取QC 的中点F ，连接EF ，FB .E ，F 分别QD ，QC 的中点，∴EF ∥CD 又AB ∥CD ，∴EF ∥AB∴E ，F ，B ，A 确定平面ABFE ， 又AE ∥平面QBC ，AE ⊂平面ABFE ，平面QBC 平面ABFE =BF ，∴AE ∥BF ，又EF ∥AB ∴ABFE 为平行四边形∴AB =EF =21CD =1. ∴CD =2 …………(9分）∴CD AC S ACD ⋅=∆21=3四边形ABQP 为矩形, P A ⊥平面ABCD , ∴QB ⊥平面ABCD ，又E 为QD 的中点∴E 到平面ABCD 的距离为21QB =1∴ACD E V -=)21(31QB S ACD ⋅⋅∆=33. …………(12分）20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）设过椭圆右焦点且垂直于x 轴的直线为：x c =，将x c =代入椭圆方程得：22221c y a b+=，且222a b c =+，故2b y a =±，即弦长为22b a=.①又离心率为2，即2c e a == ②由①②解得1a b ==，故椭圆方程2212x y +=为所求. …………(5分） （Ⅱ）由椭圆方程2212x y +=知点(0,1)P ，设过点P 的两条直线12,l l 的方程分别为 1:1,l y kx =+，21:1l y x k =-+，联立1l 与椭圆方程，即22221(12)4012y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，故2412A kx k =-+，即222412(,)1212k k A k k--++，同理可求得22242(,)22k k B k k -++…………(8分）又(0,1)Q -,由43QA QB ⋅=-,得2242(,)1212k k k -⋅++222424(,)223k k k k =-++, 得211k k =⇒=±.…………(11分）此时4141(,),(,)3333A B ---或4141(,),(,)3333A B ---，故PAB ∆的面积为169. …………(12分）21．（本题满分12分）解：(Ⅰ)xaxa x x f -=-='11)()0(>x …………(1分） (1)若0≤a ，则0)(>'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增；(2)若0>a ，由0)(>'x f 得a x 10<<；由0)(<'x f 得ax 1>∴函数)(x f 在)1,0(a 上单调递增；在),1(+∞a上单调递减. …………(3分）（Ⅱ）若0≤a ，则01)1(>+-=a f ，∴不满足0)(≤x f 恒成立.…………(4分）若0>a ，由(Ⅰ)可知，函数)(x f 在)1,0(a 上单调递增；在),1(+∞a上单调递减)1()(max a f x f =∴a1ln =，又0)(≤x f 恒成立0)(max ≤∴x f ，即01ln ≤a，解得：1≥a综上所述，实数a 的取值范围为),1[+∞. …………(6分）（用分离参数的方法也可以） （Ⅲ）法一:由(Ⅱ)可知，当1=a 时，0)(≤x f 恒成立，即01ln ≤+-x x∴1ln -≤x x ，又0>x ，∴x x x x +-≥-2ln所以121ln 2-+-≥-+-x x e x x x e x x…………(8分）记12)(2-+-=x x e x g x )0(>x ，则22)(+-='x e x g x记22)(+-=x ex h x,则2)(-='x e x h ，由0)(='x h 得2ln =x当)2ln ,0(∈x 时，0)(<'x h ；当),2(ln +∞∈x 时，0)(>'x h∴函数)(x h 在)2ln ,0(上单调递减；在),2(ln +∞上单调递增.………(10分）所以)2(ln )(minh x h =22ln 22ln +-=e 2ln 24-=0>∴0)(>x h ，即0)(>'x g ，故函数)(x g 在),0(+∞上单调递增01)0()(0=-=>∴e g x g 即0122>-+-x x e x 所以01ln >-+-x x x ex.…………(12分）法二：记1ln )(-+-=x x x ex g x)0(>x ，x e x g x ln )(-='记x e x h xln )(-=，xe x h x 1)(-='02)21(<-='e h ，01)1(>-='e h ，且函数)(x h '在),0(+∞上单调递增∴存在唯一的)1,21(0∈x 使得0)(0='x h ，即010x e x =…………(8分） 当),0(0x x ∈时，0)(<'x h ，当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x h ∴函数)(x h 在),0(0x 上单调递减；在),0+∞x 上单调递增∴)()(0min x h x h =0ln 0x e x -=，又010x e x =，即00ln x x -= ∴00min 1)()(x x x h x h +==2≥，所以0)(>x h ，即0ln )(>-='x e x g x)(x g ∴在),0(+∞上单调递增 …………(10分） （1）当1≥x 时，0)1()(>=≥e g x g（2）当10<<x 时，1ln )(-+-=x x x e x g x )ln 1()1(x x e x-+-=又0110=->-e e x ，且01ln ln =<x ，∴0ln 1>-x 所以0)(>x g由（1）（2）可知当0>x 时，01ln >-+-x x x e x. …………(12分）22．（本题满分10分）（I ）直线l 的直角坐标方程为03=--y x ， …………(2分）曲线1C 的普通方程为4)122=+-y x （. …………(5分）（Ⅱ）设D(x ，y)，则由条件知M )2,2(yx 在C 1上，所以2C :4)2()1222=+-yx （, 即16)222=+-y x （. …………(7分） 易知点P )3,0(-，设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==t y t x 22322(t 为参数)，代入2C :16)222=+-y x （得到：03252=--t t ，设)223,22(11t t A +-，)223,22(22t t B +-则2521=+t t ，321-=t t ，故PB PA +624)(2122121=-+=-=t t t t t t…………(10分）23．（本题满分10分） 解：（Ⅰ）当3,1a b ==时，()3332f x x x =-++()6fx ∴≥即33326x x -++≥1616x x >⎧⎨-≥⎩或21333326x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-++≥⎩或2333326x x x ⎧<-⎪⎨⎪---≥⎩65x ∴≥或56x ≤-解得不等式解集为5665x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或。
2019届湖南省株洲市高三第二次教学质量检测(二模)数学(文)试题(解析版)
2019届湖南省株洲市高三第二次教学质量检测（二模）数学（文）试题一、单选题1．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据交集的定义，找出集合M,N的公共元素即可。
【详解】因为集合，所以，故选C.【点睛】本题考查集合的表示方法，交集的定义与运算，属于基础题。
2．复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算，把复数化简为的形式，再求其共轭复数即可。
【详解】故选B.【点睛】对于复数的四则运算，要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为a,虚部为b，模为，对应点为(a,b),共轭复数为。
3．如图，在边长为的正方形内有不规则图形，由电脑随机从正方形中抽取个点，若落在图形内和图形外的豆子分别为，则图形面积的估计值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据几何槪型的概率公式进行估计即可得到结论．【详解】解：设图形的面积为S，∵由电脑随机从正方形中抽取个点，落在图形内和图形外的豆子分别为,∴故选A.【点睛】本题主要考查几何槪型的应用，利用面积比之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．已知向量，且，则实数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求出向量的坐标，由得；代入坐标求出k 的值．【详解】由得，。
故选A.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，向量垂直的坐标表示，是基础题．5．等差数列的公差为，若成等比数列，则的前项和（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由成等比数列，所以，又，解得：，再利用求和公式即可得出．【详解】解：∵成等比数列，∴，可得，又，化简得：，则{a n}的前10项和．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．执行如图的程序框图，则输出的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．【详解】解：模拟执行程序框图，可得.满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；…观察规律可知，x的取值周期为3，由于，可得：满足条件，执行循环体，当,不满足条件，退出循环，输出x的值为2．故选：D．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键．7．某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示.则该物质含量的众数和平均数分别为（）A．和B．和C．和D．和【答案】C【解析】根据频率分布直方图中最高小矩形得出众数落在第三组，从而求出众数的值，再根据每个小组的频率以及中间值求出频率分布直方图的平均数。
湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量统一检查(二模)参考答案
株洲市2019届高三年级教学质量统一检测（二）语文参考答案一、现代文阅读（共36分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）1、C（A项，《朱子读书法》为“近世”士子读书方法指南；讨论的也不是《朱子读书法》能否成为指南。
B项，原文为“不仅仅”为了获取外在知识。
D项，《四书章句集注》为“从小学开始到科举求官”的教科书，选项时间有误。
）2、A（“传统中国的读书方法与意义”是本文的论题而非论点。
论题是提出的问题或涉及的内容和范围。
论点是针对论题发表的具体观点、看法、主张，是对论题的答复。
文章标题可以是论题或论点，本文是论题。
）3、D（应为儒家的“入世”思想）（二）实用类文本阅读（12分）4、B（句前缺少限制性，如“特朗普认为”）5、A（“其高端智能化制造业”，原文中没有“智能化”）6、①“材料一”侧重分析美国发动贸易战的原因；把收入分配（贫富）差距扩大的国内矛盾转嫁给其他国家。
（2分）②“材料二”侧重分析美国的贸易霸凌主义本质；拖慢甚至终止中国的经济发展，把中国引向“中等收入陷阱”。
（2分）③“材料三”侧重分析中国如何应对美国发动的贸易战；通过进一步改革开放，化解风险，转危为机。
（2分）（三）文学类文本阅读（15分）7、C（A项中“最具代表性”文中没有；B项“根本原因”是彻悟；D项强加因果。
）8、参考要点：（1）不同点：蒙娜丽莎微笑：神秘（1分），主要是快乐的微笑（1分）；佛菩萨：无限的喜悦（1分），“举身微笑”，弥漫全身（1分）。
共同点：根植于内心或有一颗喜乐的心灵（1分），常人难以仿效或企及（1分）。
（言之成理即可）（6分）9、参考示例：（1）微笑的真义是指“因心的喜乐而生发微笑，也会因微笑而永葆心的喜乐”，只有微笑要根植内心，超脱不执着，平常人也可以拥有最美的微笑。
（2）点题，与第②段相照应（呼应）。
（3）深化（升华）主旨，表明了作者对平常人发自内心、纯真善良微笑的期待和赞许。
（每点2分。
从内容解说、情感、结构、表达效果等角度结合文本分析作答，言之成理即可）（6分）二、古代诗文阅读（共34分）（一）文言文阅读（19分）10、A11、B（“辟召”包括中央政府和地方官聘请两方面，师爷由主官私人聘请）12、B（此时彭宠还没有“怨”）13、（1）恰逢上谷太守耿况派骑兵来救朱浮，朱浮才得逃走，仅（才）只身免于死（逃出了险境），（蓟）城向彭宠投降了。
湖南省株洲市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题含解析
湖南省株洲市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称， 又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题 2．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】复数1z i =-在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，该点位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题. 3．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()4k πωϕπ-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω-g …，求得12ω„②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【详解】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ„，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x Q 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-g…，12ω∴„②． 由①②可得ω的最大值为1． 当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=g ，满足4πx =-为()f x 的零点， 同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 故11ω=为ω的最大值， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题． 4．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。
湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测(二模)文科数学试题(教师版)
文科数学
一、选择题 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .
1. 已知集合 M
1,0,1,2 , N x 1 x 3 ，则 M N （ ）
A. 1,0,1,2,3
B. 1,0,1
C. 1,2
D. 1,2,3
【答案】 C 【解析】 【分析】 根据交集的定义，找出集合 M,N 的公共元素即可。
的面积为 S，
∵由电脑随机从正方形中抽取 10000 个点，落在图形
3335,6665
S
,∴
3335
1
1
,S .
1 10000 3
3
故选 A.
内和图形 外的点分别为
【点睛】本题主要考查几何概型的应用，利用面积比之间的关系是解决本题的关键，比较基础．
4. 已知向量 a 1,1 ,b 1,2 ,c k,1 ，且 2a b c ，则实数 k （ ）
利用复数代数形式的乘除运算，把复数化简为
z a bi 的形式，再求其共轭复数即可。
1 【详解】 z 2 =2-i ， z 2 i . 故选 B.
i
【点睛】 对于复数的四则运算， 要熟悉复数的相关基本概念， 如复数 a bi a, b R 的实部为 a, 虚部为 b，
模为 a2 b2 ，对应点为 (a,b), 共轭复数为 a bi 。
到跳出循环时 x 的值是解题的关键．
7. 某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如
图所示 . 则该物质含量的众数和平均数分别为（
）
A. 83 和 84
B. 83和 85
C. 85 和 84
湖南省株洲市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
湖南省株洲市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解. 【详解】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.2．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．34【答案】C 【解析】 【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可. 【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x yy x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C 【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 3．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103π B ．256πC ．409πD ．503π【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，找出△PAB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求. 【详解】如图；设AB 的中点为D ；∴△PAB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r 12=AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；∵CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面PAB ；且DC 226CA AD =-=. ∴O 在CD 上；故有：AO 2＝OD 2+AD 2⇒R 2＝（6-R ）2+r 2⇒R 6=； ∴球O 的表面积为：4πR 2＝4π25036π⨯= ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.4．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增k ππD ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可. 【详解】由图象可得，函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22T πω==.将点,03π⎛⎫⎪⎝⎭代入()()2cos 2f x x ϕ=+中，得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈，解得()726k k Z πϕπ=-∈，由0ϕπ<≤，可得56πϕ=，所以()52cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()52226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当1k =-时，函数()y f x =在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 正确；令()52226k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得()1151212k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 当2k =时，函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误； 令()5262x k k Z πππ+=+∈，得()26k x k Z ππ=-∈，故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈，故C 正确； 令526x k ππ+=()k Z ∈，得5212k x ππ=-()k Z ∈，故函数()y f x =的对称轴是5212k x ππ=-()k Z ∈，故D 正确.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.6．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103 【答案】D 【解析】 【分析】计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC 正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，D 错误，得到答案.由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4； 乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A ，B ，C 正确. 因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误. 故选：D . 【点睛】本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．已知向量11,,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭r r ，若()()a b a b +⊥-r r r r，则实数m 的值为（ ）A ．12B．2C ．12±D．2±【答案】D 【解析】 【分析】由两向量垂直可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，整理后可知220a b -=r r ，将已知条件代入后即可求出实数m 的值. 【详解】解：()()a b a b +⊥-r r r r Q ，()()0a b a b ∴+⋅-=r r r r ，即220a b -=r r ，将1a =r 和22212b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭r 代入，得出234m =，所以2m =±. 故选:D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.8．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BC．D【答案】B 【解析】 【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线by x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率.【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bcy x a a=-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bcb a a kc a b-==-=-，222b a ∴=，因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 9．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） AB．CD【答案】D 【解析】 【分析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足MA MB=2，2∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，∴141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得a b 2==，2=． 故选D ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．10．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1-D ．1【答案】B 【解析】 【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 11．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ）A B ．C ．12D 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】b c a b ++b c a b++由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B Q π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 3b A a B π==⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.12．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B I 等于（ ） A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<< D ．{}25x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得A B I . 【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。