1.4.2空间图形的公理 教案 2017-2018学年 高中数学 北师大版 必修二
空间图形的公理教案
一、教材的地位与作用
本节课为北师大版《必修2》第一章4.2节的第一课时，是在学习了简单几何体、直观图、三视图和空间图形基本关系的基础上，来进一步研究空间四个公理和等角定理，属“概念分类型课”，培养学生归纳能力、三种数学语言的转换能力和空间想象能力，对学生学习立体几何意义很大，是对前面所学内容的延续，同时为后面具体研究空间线面、面面的平行和垂直等做好铺垫，具有承前启后的作用。
二、教学目标：
1.知识与技能：①通过学生动手实验、动态图片演示，使学生了解空间图形的
四个公理和等角定理的概念
②让学生在探究的过程理解三个公理，并能将文字语言、符号
语言和图形语言的相互转化
2.过程与方法：让学生体会从整体到局部，具体到抽象、抽象到具体的过程，
培养学生类比归纳的能力
3.情感态度与价值观：使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学
生学习的积极性，提高学生的观察能力
三、教学重难点
教学重点：①空间四个公理和等角定理概念的生成与理解
②空间四个公理和等角定理概念的应用
教学难点：空间四个公理和等角定理概念的应用
四、教法与学法
教学用具：投影仪、正（长）方形模型、直尺、棉线
五、教学过程
一、追溯
1. 回顾平面的两个特征：①无限延展②平直的（没有厚度）
2.平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
3. 用文字语言、符号语言和图形语言表述空间点线面的位置关系几种情况
4. 公理概念：就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明
的客观规律
设计意图：复习平面的概念及其表示方法（符号语言、图形语言），和空间点、线、面位置关系及表示，为讲解四个公理和定理作铺垫，承上启下。
二、讲解新课
创设情景、导入课题
探究问题一：①用一段较长拉直的棉线的两个端点固定在教室弧形黑板的上，
让学生观察棉线与黑板的置关系
②把一把直尺边缘紧贴在桌面上，观察直尺的整个边缘与桌面的
位置关系
设计意图：通过两个具体的实验，让学生直观感受棉线、直尺与两种面的位置关系，比较两种情况，引导学生过渡到抽象的线面位置关系，让学生体会具体到抽象的过程，培养学生类比归纳的能力，引导学生归纳出公理1
公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
符号语言：A AB B αα∈⎫⇒⎬∈⎭
⇒ α． 图形语言：
或者：∵,A B αα∈∈，∴AB ⇒α
新知提炼：公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
探究问题二 ①给出一只四条不是一样长腿的小凳子和一只三条腿的小凳
子，让两个学生来观察那种凳子摆放平稳？
②让学生观察以下三张生活中常见的图片，为什么这样设计？
实例:(1) 自行车的撑脚； (2)摄像机的三角支架； (3)三轮车 设计意图：用身边常见的现象和具体的模型给学生直观印象，动手比较两种
凳子摇摆的情况，以及比较第二组图片中常见的设计，从具体物体摆放平稳过渡到抽象的点面的关系，使学生在课堂上有动脑思索和探究和数学思维活动，培养学生的抽象思维能力和归纳概括能力，引导学生归纳出公理2。
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合 图形语言：
或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.
新知提炼：有且只有一个”的含义分两部分理解----①存在性 ②唯一性 公理2应用：①确定平面；②证明两个平面重合
思考交流：
1. 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（推论1）
2. 经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？ （推论2）
3. 经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？ （推论3） 注：讲解公理2的三个推论时重在理解，淡化证明
公理2及三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．
探究问题三： 问题：如下图所示，三角板与平面α有一个公共点A ，那么三角板与平面α有多少个公共点？
动态的flash 课件直观显示平面β经过三角板面，动态生成平面α与平面β的交线AB
设计意图：揭示了平面的平直性、可延展性同时，体现flash 课件的直观性，有助于培养学生的空间想象能力.完成从局部到整体的认识过程，从具体问题转
化到面与面公共点的问题，探索出公理3
公理3如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公
共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
符号语言：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭
图形语言： 或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈
新知提炼：①公理3应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上
②公理3揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
注：今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)
探究问题四：观察下图中的椎体和柱体，侧棱之间的关系如何？
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行
符号语言：||||a b a b c ⎫⇒⎬⎭
∥c 图形语言： 新知提炼：①公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质
都适用。
②作用：判断空间两条直线平行的依据。
定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
AO ∥11,AO BO ∥11B O
新知提炼：等角定理说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,是异面直线所成角的基础.
三、范例讲解
例1 在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
111111AOB AO B AOC AO B π∴∠=∠∠=-∠，
证明：如图，连接BD
FG CBD ∆ 是的中位线，FG ∴∥1,
2
BD FG BD = EH 同理∥1,2
BD EH BD = FG ∴∥EH FG 且=EH EFGH ∴四边形为平行四边形
设计意图：
① 如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，
否则称为空间图形；
②考查公理4和公理2的推论的应用。
③让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线,AB CD 在原正方体中的位置关系是
....A B C D 0平行相交且垂直异面直线相交成60 ( )
解：将平面图形还原成正方体，如图所示
AB BC CA D ==∴ 选
设计意图：考查平面图形与立体图形相互转换能
力，培养学生的空间想象能力。
四、课堂练习
1.已知AB ∥PQ ,BC ∥QR ,030ABC ∠=,则PQR ∠= .0030150或
2．以下四个命题中，正确命题的个数是________．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面； ③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A 、
B 、
C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：1
3．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l ，设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⇒ α，
CD ⇒β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD 的两腰，
∴AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD=M.
又∵AB⇒α，CD⇒β，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β，又∵α∩β=l，∴M∈l，即AB，CD，l共点
设计意图：
①强化概念的内涵与外延
②公理3的灵活应用
③强化图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用
六、课堂小结
(1)四个公理及推论的概念及作用；
（2）等角定理的概念及应用。
1.4.2空间图形的公理 教案 (高中数学必修二北师大版)
第2课时空间图形的公理(公理4，定理)(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解公理4及等角定理，会用公理4和等角定理进行简单的推理论证．(2)了解异面直线所成的角的定义，会求异面直线所成的角．2．过程与方法通过学习公理4及等角定理培养学生的空间想象能力，通过异面直线所成的角让学生体会数学的转化、化归方法．3．情感、态度与价值观培养学生严谨的思维习惯与严肃的科学态度．●重点难点重点：公理4与等角定理．难点：异面直线所成的角．公理4表明了平行的传递性，可以作判断两条直平行的依据，其直接作用是证明等角定理，为研究异面直线所成角打基础．等角定理是定义异面直线所成角的理论基础．(教师用书独具)●教学建议本节知识是上节课的继续，上节课讲了3个公理、异面直线的概念，本节课解决异面直线所成角及它的理论基础公理4、定角定理，因此教学时宜采用探究式模式，让学生以长方体为载体，通过“观察”引入公理4，通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角时经常要使用的方法，这种把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法很重要，要让学生在学习中认真体会．●教学流程通过问题引出公理4，等角定理及异面直线所成的角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握公理4的应用⇒通过例2及互动探究，使学生掌握等角定理的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握如何求异面直线所成的角⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行矫正1．把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？2．在空间中有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行吗？3．在平面上，“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．那么在空间中，结论是否仍然成立呢？【提示】 1.平行.2.平行.3.仍成立．1．公理4空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．在四棱柱ABCD—A′B′C′D′中，棱AB与棱B′C′什么关系？在平面内我们是如何定量的研究两条相交直线的位置关系的？那么在空间中又如何定量的确定棱AB与棱B ′C ′的相对位置关系？【提示】 棱AB 与棱B ′C ′是异面直线；在平面内我们通过两条直线的“夹角”来定量的确定两条相交直线的位置关系，类似的，我们可以用两条棱“所成的角”来定量的确定异面直线的相对位置关系．已知棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD 、AD 的中点．求证：四边形MNA ′C ′是梯形．【思路探究】【自主解答】 如图，连接AC .∵M 、N 分别为CD 、AD 的中点，∴MN 綊12AC .由正方体的性质可知AC 綊A ′C ′，∴MN 綊12A ′C ′，∴四边形MNA′C′是梯形．1．解答本题易出现“只证MN∥A′C′”，而忽视“证明MN≠A′C′”的错误．2．公理4是证明两直线平行的重要方法，应用的关键在于寻找与所证直线平行的“中间直线”．图1－4－10已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、CC1的中点，如图1－4－10所示．求证：BF綊ED1.【证明】如图所示，取BB1的中点G.连接GC1、GE.∵F为CC1的中点，∴BG綊C1F.∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF綊GC1.又∵EG綊A1B1，A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，。
北师大版高中数学必修2教案备课空间图形的公理
§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理第1课时空间图形的公理(公理1、2、3)学习目标核心素养1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成——点、线、面的基本位置关系．2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基本关系．(重点、易错点)3．掌握空间图形的公理1、2、3.(重点、难点)1.通过了解空间图形的基本构成，培养直观想象素养．2．通过学习空间图形的公理1、2、3提升逻辑推理素养.1．空间图形的基本关系位置关系图形表示符号表示点与线的位置关系点A不在直线a上A∉a点B在直线α上B∈a点与面的位置关系点A在平面α内A∈α点A在平面α内B∉α直线与直线的位置关系平行相交a∥b异面平行a∩b＝O相交a与b异面位置关系直线线在面内aα与平面的位置关系线面相交a∩α＝A线面平行a∥α平面与平面的位置关系面面平行α∥β面面相交α∩β＝a对于长方体有12条棱和6个面．思考1：12条棱中，棱与棱有几种位置关系？提示：相交，平行，既不平行也不相交．思考2：棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．思考3：六个面之间有哪几种位置关系．提示：平行和相交．2．空间图形的公理(1)三个公理：名称内容图形表示符号表示公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A，B，C三点不共线，则点A，B，C确定一个平面α使A∈α，B∈α，C∈α公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则lα公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A∈α，A∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l，且A∈l推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面．推论2：两条相交直线确定一个平面．推论3：两条平行直线确定一个平面．公理1及其推论给出了确定平面的依据．思考4：两个平面的交线可能是一条线段吗？提示：不可能．由公理3知两平面的交线是一条直线．思考5：经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示：不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．1．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为()A．P∈a，a∥αB．a∩α＝PC．P∈a，P∉αD．P∈a，aα[答案]C2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对C[若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．]3．如下所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是()D[画空间图形时，被遮挡部分应画成虚线，故选D.]4．据图填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC________平面ACD＝AC.[答案]∈∉∩三种语言的相互转换(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解](1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.[跟进训练]1．(1)如果aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，那么l与α的位置关系是________．(2)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？(1)直线l在平面α内[如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2，lα.](2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线.点线共面问题[思路探究]先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内．或利用公理1的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合．[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2α，∴B∈α.同理可证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2α，∴A∈α.∵A∈l2，l2β，∴A∈β.同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2常用方法有：(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.[跟进训练]2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．[证明]因为D∉l，所以D和l可确定一平面，设为α.因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα，所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．点共线与线共点问题1．如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H 四点，如果EF，GH交于一点P，那么点P，B，D共线吗？请说明理由．提示：连接BD(图略)．∵EF，HG相交于一点P，且EF平面ABD，GH平面CBD，∴P∈平面ABD且P∈平面CBD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，∴点P，B，D共线．2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，能否判断B，Q，D1三点共线？提示：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C平面A1D1CB，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线．【例3】已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．[思路探究]解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上．[证明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．1．证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．2．证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．[跟进训练]3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．[解]如图，连接EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊12A1B.又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面，且EF＝12D1C，∴D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．1．思考辨析(1)不平行的两条直线的位置关系为相交．()(2)两个平面的交线可以是一条线段．()(3)直线l在平面α内，可以表示为“lα”．()(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线．()[解析](1)×，不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错．(2)×，两个平面的交线是直线，故(2)错．(3)√，正确．(4)×，可能相交或平行，故(4)错．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]3．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．平行、相交或异面[两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．]4．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．[解]如图所示．∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面，设这个平面为α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴lα.即过a，b，l有且只有一个平面．。
空间图形的基本关系与公理 教案 2017-2018学年 高中数学 北师大版 必修2
教学设计整体设计教学分析教材从简单、熟知的几何体——长方体出发，将它上面某些不同位置的点、线、面用不同色彩来区分，让学生仔细地观察，具有很强的可读性．教材举出实例，并给出了两幅实物图片，旨在激发学生学习的兴趣，让学生觉得四个公理确实是显而易见的．本节的等角定理没有给出证明，而是通过从平面到空间的类比得到和理解这个定理，显得直观且可信．三维目标1．掌握五类位置关系的分类及其有关概念，掌握平面的基本性质，即公理1,2,3.提高学生的归纳、类比能力．2．掌握公理4和等角定理，并会运用它们解决问题，培养学生发展空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力．重点难点教学重点：4个公理和等角定理的应用．教学难点：空间图形的位置关系和公理的归纳．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心．”结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面．图1思路2.(事例导入)观察长方体(图1)，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等．空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题．推进新课新知探究提出问题①为了直观地了解点、线、面的位置关系，我们先观察一个长方体，如图2.该长方体中有几个顶点？几条棱？几个面？图2②观察图2所示的长方体，归纳空间点与直线的位置关系．③观察图2所示的长方体，归纳空间点与平面的位置关系．④观察图2所示的长方体，归纳空间两条直线的位置关系．⑤观察图2所示的长方体，归纳空间直线与平面的位置关系．⑥观察图2所示的长方体，归纳空间平面与平面的位置关系．讨论结果：①长方体有8个顶点、12条棱、6个面.12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面．②空间点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外．如图2(1)中的点B在直线b上，但在直线a外．③空间点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外．如图2(1)中的点B在平面α内，但点A在平面α外．④空间两条直线的位置关系有三种：1°图2(1)中直线a和b在同一个平面内，而且没有公共点，这样的两条直线叫作平行直线．2°图2(1)中直线b和c只有一个公共点B，这样的两条直线叫作相交直线．3°图2(1)中直线a和c不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作异面直线．⑤空间直线与平面的位置关系有三种：1°图2(1)中直线b和平面α有无数个公共点，我们称这条直线在这个平面内．2°图2(2)中直线b和平面α只有一个公共点A，我们称这条直线与这个平面相交．3°图2(2)中直线a和平面α没有公共点，我们称这条直线和这个平面平行．⑥空间平面与平面的位置关系有两种：1°图2(2)中平面α和平面β没有公共点，这样的两个平面叫作平行平面．2°图2(3)中平面α和平面β不重合，并且有公共点，这样的两个平面叫作相交平面．提出问题①把一根直尺边缘上的任意两点放在平整的桌面上，可以看到直尺边缘与桌面重合，这是显而易见的事实，请用公理的形式把它表示出来．②在日常生活中，照相机的脚架，施工用的撑脚架，天文望远镜的脚架等都制成三个脚，这样，可以使这些物体放置得很平稳．我们知道，两点确定一条直线．那么怎样确定一个平面呢？归纳出公理．③1°经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？2°经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？3°经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？④长方体表面中的任意两个面，要么平行，要么交于一条直线．其实空间任意两个不重合的平面都有这样的性质．那么，两个平面在什么情况下相交？并归纳出公理．⑤在平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，那么在空间中呢？⑥在平面内，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(如图3，AO∥A′O′，BC∥B′O′，∠AOB和∠A′O′B′相等，∠AOC和∠A′O′B′互补．)在空间中呢？图3讨论结果：①公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．如图4，直线AB在平面α内，记作直线ABα.图4②公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．如图5，经过不在同一条直线上的三点A，B，C的平面α，又可记作“平面ABC”．图5③1°2°3°三种情况都可以确定一个平面，把这三个结论通常看成平面的性质．④公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．通常将平面α与平面β的公共直线即交线a 记作α∩β＝a .⑤公理4 平行于同一条直线的两条直线平行．在图6的长方体中，a ∥b ，b ∥c ，不难看出a ∥c .图6⑥在空间亦有：定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 应用示例思路1例1 在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．活动：只需证明FG ∥EH 且FG ＝EH 即可．图7证明：如图7，连接BD .因为FG 是△CBD 的中位线，所以FG ∥BD ，FG ＝12BD . 又因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD . 根据公理4，FG ∥EH ，且FG ＝EH .所以，四边形EFGH 是平行四边形．点评：证明平行四边形常用方法：对边平行且相等；对边分别平行；对角线相交且平分．要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形.变式训练如图7，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，且AC ＝BD .求证：四边形EFGH 是菱形．证明：连接EH .因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD . 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG ＝12BD ，EF ＝12AC . 所以EH ∥FG ，且EH ＝FG .所以四边形EFGH 为平行四边形．因为AC ＝BD ，所以EF ＝EH .所以四边形EFGH 为菱形.例2 如图8(1)，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是…( )图8A ．平行B ．相交且垂直C ．异面直线D ．相交成60° 分析：如图8(2)，将上面的展开图还原成正方体，点B 与点D 重合．容易知道AB ＝BC ＝CA ，从而△ABC 是等边三角形，所以选D.答案：D点评：解决立体几何中的翻折问题时，要明确在翻折前后，哪些量发生了变化，哪些量没有变化.变式训练图9表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中相互异面的有__________对．图9答案：三思路2例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．图10活动：学生自己思考或讨论，再写出答案(最好用实物投影仪展示写的正确的答案)．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．解：在图10(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在图10(2)中，α∩β＝l，aα，bβ，a∩l＝P，b∩l＝P.变式训练1．画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α，B∉α，A∈l，B∈l；(2)aα，bβ，a∥c，b∩c＝P，α∩β＝c.答案：如图11.图112．根据下列条件画出图形．(1)平面α∩平面β＝l，直线ABα，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β＝F，F∉l；(2)平面α∩平面β＝a，△ABC的三个顶点满足条件：A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来．(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面．图13证明：如图13，点A是直线a和直线b的交点，在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A，B，C有一个平面α，因为A，B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内．同理，直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面．又因为A，B在a上，A，C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A，B，C.于是根据公理2，经过不共线的三点A，B，C的平面有且只有一个．所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内．图14证明：如图14，直线a，b，c，d两两相交，交点分别为A，B，C，D，E，F，∵直线a∩直线b＝A，∴直线a和直线b确定平面设为α，即a，bα.∵B，C∈a，E，F∈b，∴B，C，E，F∈α.而B，F∈c，C，E∈d，∴c，dα，即a，b，c，d在同一平面内．点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点；(2)两条相交直线；(3)两条平行直线.知能训练1．画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由．图15解：如图15，∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面BDC′.∴EF为所求．2．已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P，Q，R三点，求证：P，Q，R三点共线．证明：如图16，∵A，B，C是不在同一直线上的三点，图16∴过A，B，C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且ABβ，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l，同理可证：Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三点共线．3．O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1，B1，A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上．图17证明：如图17，连接A1C1，AC.因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1.易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A，O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1.而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.。
《1.4.2 空间图形的公理公理4、定理》课件 5-优质公开课-北师大必修2精品
学 方
＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB
当 堂
案
双
设 计
所成的角．
基 达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课
堂
互
图1－4－13
动
探 究
【思路探究】 如何找出异面直线所成的角？
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教
学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
巧
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
课
【自主解答】 如图所示，取BD的中点G，连接EG， 标
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教
学
教 法
1．公理4
分
析
文字语言
教
学
方 案
平行于同一条直线的
设
计 两条直线平行
课
前
自
主
导 学
2.定理(等角定理)
图形语言
思
想
方
法
技
符号语言
巧
当
若a∥b，b∥c，
堂 双
基
则 a∥c
达 标
课 时 作 业
课 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个
互
动 的角．
探
究
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学
思
教
想
法
方
4.2空间图形的公理 教案 2017-2018学年 高中数学 北师大版 必修二
空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标1、知识与技能：（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法：（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值：让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教法1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教法：探究交流法 四、教学过程（一）创设情景、导入课题1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）新课探究1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：共面直线2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
《1.4.2 空间图形的公理公理4、定理》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
分别证明角的解答】(1)连接BD、B1D1， ∵E、F分别为AD、AB的中点， ∴在△ABD中有EF∥BD，
且 EF 1 BD.
2
∵E1 、F1分别为B1C1、C1D1的中点，
1 ∴在△C1D1B1中有E1F1∥B1D1且 E1F1 B1D1. 2
而在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，BB1 ∴四边形BB1D1D为平行四边形. ∴BD∥B1D1且BD=B1D1. ∴EF E1F1.
四边形EFGH为菱形. 理由：由(1)知，若
则四边形EFGH为平行四边形. 且 EF 3 AC，EH 2 BD.
5 5 2 3 2 若 AC BD， 则 EF AC BD EH. 3 5 5
∴平行四边形EFGH为菱形.
【互动探究】在本例中若条件不变，请回答下列问题并证
明
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形；
【例2】如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，E、F、E1、F1分别 为所在边的中点. 求证：(1)EF E1F1；
(2)∠EA1F=∠E1CF1. 【审题指导】空间中证明线线平行，线段与线段长度相等，
可以利用平行关系和线段长度关系的传递性，选择“中间
线段”证明.空间中证明角与角相等，可以利用“等角定理”
(2)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形. 【解题提示】解答本题一方面要应用公理4证明平行关 系，另一方面要利用异面直线所成角的定义证明垂直关系.
【解析】(1)当
AH CG 2 且AC⊥BD时，四边形EFGH HD GD 3
为矩形.
AH CG 2 时，四边形EFGH为平行四边 理由：由例题知 HD GD 3
由 AC BD 及AC⊥BD得四边形EFGH为正方形.
2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理学案北师大版
第1课时 空间图形基本关系的认识与公理1～3[核心必知]1．空间图形的基本位置关系点⎩⎨⎧点与直线⎩⎪⎨⎪⎧ 点在直线上点在直线外点与平面⎩⎪⎨⎪⎧点在平面内点在平面外2．空间图形的3条公理表，则[问题思考]1．三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面．2．三条两两相交的直线，可以确定几个平面？提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面．讲一讲1．如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．[尝试解答] 证明：∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα.即aα，∴a，b，c三线共面．证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．练一练1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，如图．∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理2可知：lα.∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知lβ.∴平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴直线a，b，c和l共面.讲一讲2.已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R三点共线．[尝试解答] 证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∴B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上．练一练2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.讲一讲3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．[尝试解答] 证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．练一练3．已知在正方体ABCDA′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P.证明：由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．因为E，F不与A′，B重合，所以EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形．设D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P.已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解] ∵A，B，C，D共面，∴点A在点B，C，D所确定的平面内．∵点B，C，D，E四点共面，∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面．[错因] 在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础．[正解] A，B，C，D，E五点不一定共面．(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A ∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．1．下列图形中不一定是平面图形的是( ) A ．三角形 B ．菱形C ．梯形D ．四边相等的四边形解析：选D 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 2．(重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是 ( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：选A 如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a >0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，显然A 、B 、E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2. 3．下列四个命题中，真命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ②两条直线可以确定一个平面③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A 两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，①错；两条直线异面时不能确定一个平面，②错；空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，④错．∴只有③对．4．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与D1C的位置关系是__________；(2)直线A1B与B1C的位置关系是__________；(3)直线D1D与D1C的位置关系是__________；(4)直线AB与B1C的位置关系是__________．答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．答案：平行、相交或异面6．证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．证明：设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1，l2，l3，且l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C(如图所示)．∵l1与l2相交，∴l1与l2确定一平面α.∵B∈l2，C∈l1，∴B∈α，C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α，即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行解析：选B 若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD 相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作( )A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．A b，bβ D．A b，b∈β解析：选B ∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A∈b，bβ.3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR解析：选C ∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：选C 与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则( )A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上解析：选A 因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M 一定在直线AC上．二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．第2课时空间图形的公理4及等角定理[核心必知]1．公理4平行于同一条直线的两条直线平行．2．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形．4．异面直线所成的角(1)过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．(2)当异面直线a与b所成的角为直角时，a与b互相垂直．[问题思考]1．公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．2．两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定．只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．讲一讲1.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为线段A 1B ，B 1D 1，A 1B 1上的点，若B 1N B 1D 1＝BM BA 1＝13，且PN ∥A 1D 1.求证：PM ∥AA 1.[尝试解答] 证明：∵PN ∥A 1D 1，B 1N B 1D 1＝13，得B 1P B 1A 1＝13， 又BM BA 1＝13，∴PM ∥BB 1. 而BB 1∥AA 1，∴PM ∥AA 1.空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行． (2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行． 练一练1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为BC 和AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 与C ′D ′的位置重合，G ，H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明：在梯形ABCD 中，EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )．在梯形ABC ′D ′中，G ，H 分别是AD ′，BC ′的中点， ∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)．又CD ＝C ′D ′，∴EFGH ，∴四边形EFGH 为平行四边形.讲一讲2.如图所示，已知E ，E 1分别是正方体AC 1的棱AD ，A 1D 1的中点， 求证：∠C 1E 1B 1＝∠CEB .[尝试解答] 证明：连接EE 1，∵E ，E 1分别是AD ，A 1D 1的中点， ∴A 1E 1AE ，∴四边形A 1E 1EA 为平行四边形， ∴A 1A E 1E . 又A 1AB 1B ，由基本性质4知B 1BE 1E ，∴四边形E 1EBB 1为平行四边形， ∴E 1B 1∥EB . 同理E 1C 1∥EC .又∠C 1E 1B 1与∠CEB 的对应边方向相同， ∴∠C 1E 1B 1＝∠CEB .1．证明两角相等的方法①等角定理；②三角形全等；③三角形相似．2．利用等角定理证明两角相等，关键是证明角的两边分别平行，另外要注意角的方向性．练一练2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：(1)EF E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF12BD.同理，E1F112B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD B1D1，又EF 12BD，E1F112B1D1，所以EF E1F1.(2)分别取A1B1、A1D1的中点M、N，连接BM、DN、MF1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，由题意，MF1BC，A1M BE，∴四边形BCF1M，四边形A1EBM是平行四边形，∴A1E∥BM∥CF1.同理可证A1F∥DN∥CE1.又A1E、A1F、CF1、CE1，分别为∠EA1F、∠E1CF1的对应两边，且方向相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD是异面直线C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[错解] 如图，∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD.故选A.[错因] 错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内．[正解] 构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(1))；(2)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(2))；(3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，使∠ABC＝∠BCD.由(1)知AB∥CD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线．[答案] D1．下列结论正确的是( )①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c .A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③解析：选B ①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．2．已知直线a ，b ，c ，下列三个命题： ①若a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ；②若a ∥b ，a 和c 相交，则b 和c 也相交； ③若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c . 其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B ①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确．可能平行，可能相交也可能异面．3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( ) A ．相交 B ．异面 C ．相交或异面 D ．平行解析：选C 如图所示的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与直线B 1C 1是异面直线，与B 1C 1平行的直线有A 1D 1，AD ，BC ，显然直线AA 1与A 1D 1相交，与BC 异面．4．如图，夹在两平行平面间的两条线段AB ，CD 交于点O ，已知AO ＝4，BO ＝2，CD ＝9.则线段CO ，DO 的长分别为________，________.解析：∵AB ，CD 相交于O 点，∴AC ，BD 共面． 又AC 与BD 不相交，∴AC ∥BD .∴CO DO ＝AO BO，又DC ＝9，AO ＝4，BO ＝2.∴CO ＝6，DO ＝3. 答案：6 35．已知E ，F ，G ，H 为空间中的四个点，且E ，F ，G ，H 不共面，则直线EF 和GH 的位置关系是________．解析：假设共面，则E ，F ，G ，H 共面，与已知矛盾， ∴EF 与GH 不共面，即异面． 答案：异面6．如图所示，不共面的三条射线OA ，OB ，OC ，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC . 证明：在△OAB 中，∵OA 1OA ＝OB 1OB，∴A 1B 1∥AB . 同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .∴∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC .∴△A 1B 1C 1∽△ABC .一、选择题1．若直线a ∥b ，b ∩c ＝A ，则a 与c 的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面或相交解析：选D a 与c 不可能平行，若a ∥c ，又因为a ∥b ，所以b ∥c ，这与b ∩c ＝A 矛盾，而a 与c 异面、相交都有可能．2．如图所示，在三棱锥P ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对解析：选B 据异面直线的定义可知共有3对．AP 与BC ，CP 与AB ，BP 与AC . 3．如图所示，在长方体木块AC 1中，E ，F 分别是B 1O 和C 1O 的中点，则长方体的各棱中与EF 平行的有( )A．3条B．4条C．5条 D．6条解析：选B 由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是( )A．5 B．10 C．12 D．不能确定解析：选B 如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 12BD，FG12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D 若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线②直线AM与BN是平行直线③直线BN与MB1是异面直线④直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．解析：由异面直线的定义知③④正确．答案：③④三、解答题9．长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D 1E ∥BF ； (2)求证：∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，∵A 1B 1C 1D 1，∴EM C 1D 1，∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MBC 1F ，∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点． 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD＝λ，故EHλBD .同理FG μBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交． 设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .。
高中数学第一章立体几何初步142空间图形的公理课件北师大版必修2
2．空间两个角α，β的两边分别对应平行且方向相同，若α＝ 50°，则β等于( )
A．50° B．130° C．40° D．50°或130°
解析：由等角定理知β与α相等，故选A. 答案：A
3．垂直于同一条直线的两条直线( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
解析：可借助正方体来分析，可知平行、相交及异面都有可 能，故选D.
结论
这两条相交直线所成的锐角(或直角)即 为异面直线a，b所成的角
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°
特殊 情况
当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则 a∥d.( √ ) (2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线．( × ) (3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a α，b β，则 a，b是异面直线．( × )
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．公理4 (1)内容：平行于同一条直线的两条直线平行． (2)符号表述： ba∥∥cb⇒a∥c.
2．两条直线的位置关系
平 直行 线特 记征 法 记： ：作在 直m∥同 线n一m. 与平直面线内n没平有行公，共点.
共面
(1)直线相 直交 线特 记征 公 法： 共 ：点 直在同 .线一m与平直面线内n有相且交只于有点一A，个
跟踪训练 2 空间中角A的两边和角B的两边分别平行，若∠A ＝70°，则∠B＝________.
解析：由于角A的两边和角B的两边分别平行，所以有∠A＝ ∠B或∠A＋∠B＝180°.
因为∠A＝70°， 所以∠B＝70°或∠B＝110°. 故填70°或110°. 答案：70°或110°
《空间图形的公理》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《空间图形的公理》教学设计◆教材分析本节课为北师大版《必修2》第一章4.2节的第二课时，是在学习了简单几何体、直观图、三视图和空间图形基本关系的基础上，来进一步研究空间四个公理和等角定理，属“概念分类型课”，培养学生归纳能力、三种数学语言的转换能力和空间想象能力，对学生学习立体几何意义很大，是对前面所学内容的延续，同时为后面具体研究空间线面、面面的平行和垂直等做好铺垫，具有承前启后的作用。
◆教学目标【知识与能力目标】①通过学生动手实验、动态图片演示，使学生了解空间图形的四个公理和等角定理的概念；②让学生在探究的过程理解三个公理，并能将文字语言、符号语言和图形语言的相互转化；【过程与方法目标】让学生体会从整体到局部，具体到抽象、抽象到具体的过程，培养学生类比归纳的能力；【情感态度价值观目标】使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，提高学生的观察能力。
◆教学重难点【教学重点】①空间四个公理和等角定理概念的生成与理解；②空间四个公理和等角定理概念的应用；【教学难点】空间四个公理和等角定理概念的应用。
◆课前准备◆教学过程一、复习导入部分用文字语言、符号语言和图形语言表述空间点线面的位置关系几种情况 二、探究新知： 探究问题一：①用一段较长拉直的棉线的两个端点固定在教室弧形黑板的上，让学生观察棉线与黑板的置关系 ②把一把直尺边缘紧贴在桌面上，观察直尺的整个边缘与桌面的位置关系设计意图：通过两个具体的实验，让学生直观感受棉线、直尺与两种面的位置关系，比较两种情况，引导学生过渡到抽象的线面位置关系，让学生体会具体到抽象的过程，培养学生类比归纳的能力，引导学生归纳出公理1公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
符号语言：A AB B αα∈⎫⇒⎬∈⎭⊂α． 图形语言：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB ⊂α新知提炼：公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 探究问题二①给出一只四条不是一样长腿的小凳子和一只三条腿的小凳子，让两个学生来观察那种凳子摆放平稳？②让学生观察以下三张生活中常见的图片，为什么这样设计？实例:(1) 自行车的撑脚； (2)摄像机的三角支架； (3)三轮车设计意图：用身边常见的现象和具体的模型给学生直观印象，动手比较两种凳子摇摆的情况，以及比较第二组图片中常见的设计，从具体物体摆放平稳过渡到抽象的点面的关系，使学生在课堂上有动脑思索和探究和数学思维活动，培养学生的抽象思维能力和归纳概括能力，引导学生归纳出公理 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面符号语言：,,,,,,A B CA B CA B Cααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合图形语言：或者：∵,,A B C不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B Cα∈.新知提炼：有且只有一个”的含义分两部分理解----①存在性②唯一性公理2应用：①确定平面；②证明两个平面重合思考交流：1.经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（推论1）2.经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？（推论2）3.经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？（推论3）注：讲解公理2的三个推论时重在理解，淡化证明公理2及三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法。
1.4.2空间图形的公理(一)学案(北师大版必修2)
4．2空间图形的公理(一)自主学习掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点线共面问题．学会运用平面的性质证明点共线、线共点以及线共面问题．加强由实际模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号：__________________________________________________________________．2．公理2：经过不在同一条直线上的三点，______________一个平面．3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________通过这个点的公共直线．符号：__________________________________________________________________．4．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：________．(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：______________________．(3)直线l在面α内也在面β内：____________．(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：________________．对点讲练点、线共面例1已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面．点评证明多线共面的一种方法是先由公理2确定一个平面，再利用公理1依次证明其余各线也在这个平面内．另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合．变式训练1两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内．证明多点共线问题例2已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．点评证明多点共线的方法：一是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．二是P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．变式训练2如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R．求证：P、Q、R三点共线．证明线共点问题例3在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3．求证：EF、GH、BD交于一点．点评证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论．变式训练3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．1．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据．2．注意事项(1)应用公理2时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．(2)在立体几何中，符号“∈”与“”的用法与读法不要混淆．(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化．课时作业一、选择题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个2．点A在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为()A．A∈l，l∈αB．A∈l，l⊂αC．A⊂l，l∈αD．A⊂l，l⊂α3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合二、填空题5．下列命题中，正确的是____________．(填序号)①若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点；②若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线；③若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于直线l，且A在l上；④两条直线不能确定一个平面．6．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为________________________________________________________________________；(2)图②可以用符号语言表示为________________________________________________________________________．7．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．(填序号)①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1四点共面；③A、O、C、M四点共面；④B、B1、O、M四点共面．三、解答题8．如图三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．9．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB α，CD β． 求证：AB 、CD 、l 共点(相交于一点)．4．2 空间图形的公理(一) 答案自学导引1．两点 A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l α 2．有且只有3．一个 一条 P ∈α，且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l 4．(1)A ∈α，A ∉β (2)A ∈α，B ∉α且A ∈l ，B ∈l (3)l α且l β (4)m α，nα且m ∩n ＝A对点讲练例1 证明 方法一⎭⎪⎬⎪⎫直线a ∥b ⇒过a ，b 有且只有一个平面，设为αl ∩a ＝A ⇒A ∈a l ∩b ＝B ⇒B ∈b⎭⎪⎬⎪⎫⇒A ∈α，B ∈α A ∈l ，B ∈l ⇒l α⇒a ，b ，l 共面． 方法二 ∵a ∥b ，∴a ，b 确定一个平面α．设a ∩l ＝A ，直线a ，l 确定一个平面β． 设b ∩l ＝B又∵B ∈α，B ∈β，a α，a β，∴平面α与β重合．故直线a ，b ，l 共面． 变式训练1已知 如图所示，l 1∩l 2＝A ， l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ．求证 直线l 1、l 2、l 3在同一平面内． 证明 方法一 (同一法)∵l 1∩l 2＝A ，∴l 1和l 2确定一个平面α． ∵l 2∩l 3＝B ，∴B ∈l 2． 又∵l 2α，∴B ∈α． 同理可证C ∈α．又∵B ∈l 3，C ∈l 3，∴l 3α． ∴直线l 1、l 2、l 3在同一平面内． 方法二 (重合法) ∵l 1∩l 2＝A ，∴l 1、l 2确定一个平面α．∵l 2∩l 3＝B ，∴l 2、l 3确定一个平面β． ∵A ∈l 2，l 2α，∴A ∈α．∵A ∈l 2，l 2β，∴A ∈β．同理可证B ∈α，B ∈β，C ∈α，C ∈β．∴不共线的三个点A 、B 、C 既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l 1、l 2、l 3在同一平面内． 例2 证明 方法一 ∵AB ∩α＝P ， ∴P ∈AB ，P ∈平面α．又AB 平面ABC ，∴P ∈平面ABC ．∴由公理3可知：点P 在平面ABC 与平面α的交线上， 同理可证Q 、R 也在平面ABC 与平面α的交线上． ∴P 、Q 、R 三点共线． 方法二 ∵AP ∩AR ＝A ，∴直线AP 与直线AR 确定平面APR ．又∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，∴平面APR ∩平面α＝PR ． ∵B ∈面APR ，C ∈面APR ，∴BC 面APR ． ∵Q ∈BC ，∴Q ∈面APR ，又Q ∈α，∴Q ∈PR ， ∴P 、Q 、R 三点共线．变式训练2 证明 ∵AB ∩α＝P ，CD ∩α＝P ， ∴AB ∩CD ＝P ．∴AB ，CD 可确定一个平面，设为β． ∵A ∈AB ，C ∈CD ，B ∈AB ，D ∈CD ， ∴A ∈β，C ∈β，B ∈β，D ∈β．∴AC β，BD β，平面α，β相交． ∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，BD ∩α＝R ，∴P ，Q ，R 三点是平面α与平面β的公共点．∴P ，Q ，R 都在α与β的交线上，故P ，Q ，R 三点共线． 例3 证明 ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ∥AC ．又∵DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，∴FH ∥AC 且HF ＝25AC ，从而FH ∥GE ．故E ，F ，H ，G 四点共面． 又∵GE ≠FH 且GH ∥FH ．∴四边形EFHG 是一个梯形，则GH 和EF 延长后交于一点设为O ． 又O ∈GG ，GH 平面ABD ，则O ∈平面ABD ，同理O ∈平面BCD ． ∴O ∈平面ABD ∩平面BCD ＝BD ． 则O 在直线BD 上．所以EF 、GH 、BD 交于一点．变式训练3 证明 连接EF ，D 1C ，A 1B ． ∵E 为AB 的中点， F 为AA 1的中点，∴EF 綊12A 1B ．又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面，且EF 綊12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交于点P ． 又D 1F平面A 1D 1DA ，CE 平面ABCD ．∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3，可得P ∈DA ， 即CE 、D 1F 、DA 相交于一点． 课时作业1．A [由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A ．]2．B 3．D4．C [∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A 的一条直线而不是A ． 故α∩β＝A 的写法错误．] 5．①②③6．(1)α∩β＝l ，m α，n β，l ∩n ＝P ，m ∥l (2)α∩β＝l ，m ∩α＝A ，m ∩β＝B 7．④解析 连接AO ，AO是平面AB1D1和平面AA1C1C的交线，∵M∈A1C，A1C面AA1C1C，∴M∈面AA1C1C，又M∈面AB1D1，∴M∈AO，即A1M1O三点共线，因此①②③均正确．只有④不正确．8．证明∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ．由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b．∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P．∴a、b、c三条直线相交于同一点．9．证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰，∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M．又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β．又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．。