2019-2020西城区北京四中初二上学期期中数学试卷.pdf

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北京四中初二上册期中考试数学(含解析).docx

北京四中初二上期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传，下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）．A ．B ．C ．D ．2．下列各式不能分解因式的是（）． A ．224x x - B ．214x x ++C ．229x y +D ．21m -3．点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是（）． A ．(3,5)B ．(3,5)-C ．(5,3)-D ．(3,5)--4．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，若3c m CD =，则点D 到AB 的距离是（）． A ．5cm B ．4cm C ．3cmD ．2cm5．下列各式中，正确的是（）． A ．3355x xy y--=- B ．a b a bc c +-+-= C ．a b a bc c---=-D ．a ab a a b-=--6．下列命题是真命题的是（）． A ．等底等高的两个三角形全等 B ．周长相等的直角三角形都全等C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D 是等腰Rt ABC △内一点，BC 是斜边，如果将ABD △绕点A 逆时针方向旋转到ACD '△的位置，则ADD '∠的度数（）． A ．25︒ B ．30︒ C ．35︒ D ．45︒AC D BD'ACD B8．在等腰ABC △中，已知2AB BC =，20AB =，则ABC △的周长为（）． A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x 的范围是（）．A ．212x <<B ．57x <<C ．16x <<D ．无法确定 10．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：（1）AD BF =；（2）CF CD =；（3）AC CD AB +=；（4）BE CF =；（5）2BF BE =，其中正确的结论个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．若式子24x x -有意义，则x 的取值范围是__________．12．计算212293m m +=--__________．13．如图，在ABC △中，AB AC =，20A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠为__________度．14．若关于x 的二次三项式2x kx b ++的因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为__________．15．若7a b +=，5ab =，则22a ab b -+=__________．16．当x 取__________值时，2610x x ++有最小值，最小值是__________．17．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则列出的方程是__________．18．如图，ABC △中，在BC 上截取BD BA =，作ABC ∠的平分线与AD 相交于点P ，连结PC ，若2BD CD =，ABC △的面积为22cm ，则DPC △的面积为__________．19．如图，把ABC △沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则2∠的度数为__________．20．如果满足条件“30ABC ∠=︒，1AC =，(0)BC k k =>”的ABC △是唯一的，那么k 的取值范围是__________．FEAC BDEDBC AP D BCA三、解答题21．把多项式分解因式（每题4分，共8分）（1）33312a b ab -；（2）222()4()4x x x x ---+．22．（每题4分，共8分）（1）计算：21111a a a a a ÷----．（2）解方程：542332x x x+=--． 23．（本题5分）已知：如图，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AB CD =，AE BF ∥且AE BF =．求证：EC FD =．24．（每题4分，共8分）（1）先化简，再求值：21123369m m m m m ⎛⎫+÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中9m =．（2）已知113x y -=，求代数式21422x xy y x xy y----的值．25．列分式方程解应用题：（本题5分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系）赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车和自行车的速度．四、解答题26．（本题4分）某地区要在区域S 内（即COD ∠内部）建一个超市M ，如图所示，按照要求，超市M 到两个新建的居民小区A ，B 的距离相等，到两条公路OC ，OD 的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）27．（本题5分）阅读下列材料：如图，在四边形ABCD 中，已知105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ADC ∠=∠=︒．求证：CD AB =．小刚是这样思考的：由已知可得，60DCA ∠=︒，75DAC ∠=︒，30CAB ∠=︒，180ACB DAC ∠+∠=︒，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A 作AE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，则AB AE =，E D ∠=∠． ∵在ADC △与CEA △中， 75D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADC △≌CEA △，得CD AE AB ==．请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，若180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠，请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明：若不相等，请说明理由．ACBDEDBCA28．（本题7分）在等边ABC △中，D 为射线BC 上一点，CE 是ACB ∠外角的平分线，60ADE ∠=︒，EF BC ⊥于F ．（1）如图1，若点D 在线段BC 上．求证：①AD DE =；②2BC DC CF =+；（2）如图2，若点D 在线段BC 的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．图2ABD CFE图1ACBEDF附加题（满分20分）：1．（本题4分）已知2310a a --=，求62120a a -+=__________． 2．（本题4分）如图，45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒，2BD =，则四边形ABCD 的面积为__________．3．（本题6分）已知22m n =+，22n m =+，m n ≠，求332m mn n -+的值．4．（本题6分）已知：ABC △中，2ABC ACB ∠=∠，ABC ∠的平分线BD 与ACB ∠的平分线CD 相交于点D ，且CD AB =，求证：60A ∠=︒．DCBA北京四中初二上期中数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCACDDDBCD二、填空题（本题共20分，每小题2分）题号 11 12 13 14 15 答案 4x ≠23m -+ 601-34题号 16 17 18 19 20 答案 3-，1480480420x x -=+21cm 325︒2k =或01k <≤三、解答题21．（1）解：33223123(4)3(2)(2)a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-．（2）解：2222222()4()4(2)(2)(1)x x x x x x x x ---+=--=-+．22．（1）解：原式1(1)(1)11a a aa a a -+=⋅--- 11a aa a +=-- 221(1)(1)a a a a a a -=--- 1(1)a a =--．（2）解：去分母得，54(23)x x -=-，整理得，77x =，解得，1x =．经检验，1x =为原方程的解．22．证明：∵AE BF ∥， ∴A FBD ∠=∠． ∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC BD =．在AEC △和BFD △中， A FBD AC AE B BD F ∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩， ∴AEC △≌BFD △（SAS ）． ∴EC FD =．24．（1）解：原式233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+ 22(3)(3)(3)2m m m m m-=⋅-+ 33m m -=+． ∵9=m ， ∴原式931932-==+．（2）解：∵113x y-=，∴3x y xy -=-，21426144232x xy y xy xyx xy y xy xy----==----．25．解：设自行车的速度为x 千米/小时，则自驾车的速度为2x 千米/小时．依题意得：2020529x x -=，解得18x =．经检验，18x =是原方程的解，且符合实际意义． 236x =．答：自行车的速度为18千米/小时，则自驾车的速度为36千米/小时．26．解：如图所示，点M 即为所求．27．解：CD 与AB 相等，证明如下：作AE AB =交BC 延长线于点E ， ∴B E ∠=∠． ∵B D ∠=∠， ∴D E ∠=∠．∵180ACB CAD ∠+∠=︒，180ACB ECA ∠+∠=︒， ∴DAC ECA ∠=∠．在DAC △和ECA △中，D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DAC △≌ECA △（AAS ）， ∴CD AE =，∴CD AB =．28．（1）证明：①过点D 作DG AC ∥交AB 于点G ． ∵ABC △是等边三角形， ∴AB AC =，60B ACB ∠=∠=︒， ∴60BDG ACB ∠=∠=︒， ∴60BGD ∠=，∴BDG △是等边三角形， ∴BG BD =， ∴AG DC =．∵CE 是ACB ∠外角的平分线， ∴120DCE AGD ∠=︒=∠． ∵60ADE ∠=︒，∴120ADB EDC ADB DAG ∠+∠=︒=∠+∠， ∴EDC DAG ∠=∠， ∴AGD △≌DCE △． ∴AD DE =．②∵AGD △≌DCE △， ∴GD CE =， ∴BD CE =，∴2BC BD DC DC CF =+=+．（2）①成立；②不成立，此时2BC CF CD =-．过D 作DG AC ∥交BA 延长线于G ．同（1）可证明AGD △≌DCE △， ∴AD DE =，GD CE =． ∴BD CE =，在CEF △中，60∠=︒ECF ，90∠=︒CFE ， ∴2=CE CF ．∴2=-=-BC BD CD CF CD ．附加题（满分20分）： 1．【答案】1309【解析】∵2310a a --=，∴231a a =+，∴422(31)9613310a a a a a =+=++=+， ∴822(3310)108966010039271189a a a a a =+=++=+，∴8622120392711891201309(31)12013093131a a a a a a a a -+++++====++．2．【答案】2【解析】延长AD 交BC 于点H ． ∵45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒， ∴90AHB ∠=︒，∴AHB △与CHD △均为等腰直角三角形．设CH m =，BH n =，则AH n =，DH m =．在Rt BHD △中，222BH HD BD +=，∴22224m n +==，则2211=222ABH CDH ABCD S S S m n +=+=四边形△△．故答案为2．3．解：∵22m n =+，22n m =+，∴2222m n n m -=+--， ∴()()m n m n n m +-=-， ∵m n ≠， ∴1m n +=-． ∴332m mn n -+222m m mn n n =⋅-+⋅222mn m mn mn n =+-++ 2()m n =+2=-．4．证明：过点A 作AE BC ∥交BD 延长线于E ，连接CE ．设AC 、BE 相交于点O ，则1ACB ∠=∠，23∠=∠．∵2ABC ACB ∠=∠， ∴3ACB ∠=∠， ∴OB OC =，12∠=∠， ∴OA OE =．又∵AOB EOC ∠=∠， ∴AOB △≌EOC △．∴BAC CED ∠=∠，543∠=∠=∠，AB CE =． ∵CD AB =， ∴CD CE =，∴36CED CDE ∠=∠=∠+∠，又∵57DCE ∠=∠+∠，67∠=∠， ∴60CED CDE DCE ∠=∠=∠=︒， ∴60BAC CED ∠=∠=︒．HDCBA北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【答案】D【解析】观察可知，D 中的图形为轴对称图形．故选D ．2．【答案】C【解析】2242(2)x x x x -=-；2211()42x x x ++=+；21(1)(1)m m m -=+-．故选C ．3．【答案】A【解析】点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是(3,5)．故选A ．4．【答案】C【解析】由角平分线性质定理可知，点D 到AB 的距离是等于3cm CD =．故选C ．5．【答案】D 【解析】3355xxy y --=；a ba bc c +---=；a ba bc c --+=-．故选D ．6．【答案】D【解析】有一边对应相等的两个等边三角形全等为真命题．故选D ．7．【答案】D【解析】由题意知，ABD △≌ACD '△，∴AD AD '=，D AC DAB '∠=∠，∴90D AD D AC CAD DAB CAD ''∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴45ADD '∠=︒．故选D ．8．【答案】B【解析】若AB 为底边，则10BC CA ==，不能构成三角形，∴AB 为腰，∴20AC =，10BC =，故ABC △的周长为50．故选B ．9．【答案】C【解析】倍长中线，得到一个边长分别为5，7，2x 的三角形，则75275x -<<+，即16x <<．故答案为C ．10．【答案】D【解析】易证ACD △≌BCF △，则AD BF =，CF CD =．∵AD 平分BAC ∠，AD BF ⊥，∴AB AF =，BE EF =，∴AC CD AC CF AF AB +=+==，2BF BE =．∵BE EF CD CF =>=，即BE CF >．故（1）（2）（3）（5）正确，即正确的结论个数为4．故选D ．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．【答案】4x ≠【解析】由题意，得40x -≠，∴4x ≠．故答案为4x ≠．12．【答案】23m -+ 【解析】2122122(3)1226293(3)(3)(3)(3)(3)(3)3m m m m m m m m m m m +--+=-==---+-+-+-+．故答案为23m -+．13．【答案】60【解析】∵AB AC =，20A ∠=︒，∴80ABC C ∠=∠=︒．∵线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，∴AE BE =，∴20ABE A ∠=∠=︒，∴802060CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为60．14．【答案】1-【解析】22(1)(3)43x kx b x x x x ++=--=-+，∴4k =-，3b =，∴1k b +=-．故答案为1-．15．【答案】34【解析】∵7a b +=，5ab =，∴222()239a b a b ab +=+-=，∴2234a ab b -+=．故答案为34．16．【答案】3-，1【解析】22610(3)1x x x ++=++，当3x =-时，有最小值1．故答案为3-，1．17．【答案】480480420x x -=+ 【解析】由题意可知，所列方程为480480420x x -=+．故答案为480480420x x -=+．18．【答案】21cm 3【解析】∵2BD CD =，∴2ABD ACD S S =△△，∴13ACD ABC S S =△△． ∵BD BA =，BP 平分ABD ∠，∴AP PD =，∴12PDC APC ADC S S S ==△△△， ∴1163PDC ABC S S ==△△．故答案为21cm 3．19．【答案】25︒【解析】由折叠性质，易得122A ∠+∠=∠，∴225∠=︒．故答案为25︒．20．【答案】2k =或01k <≤【解析】作30MBN ∠=︒，在射线BN 上任取一点C ，使BC k =．①如图1，当01k <<时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，此时只与圆有唯一的交点，∴ABC △是唯一的．②如图2，当1k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，B ， ∴ABC △是唯一的．③如图3，当2k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，是唯一的， ∴ABC △是唯一的．故当2k =或01k <≤时，ABC △是唯一的．故答案为2k =或01k <≤．图1NMC B A图2N M C B A 图3N M C B A。

2019 2020北京四中初二上册期中考试试卷数学含解析x

北京四中初二上期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）．DA B C．．．．2）．把多项式．分解因式，结果正确的是（2aa4?22)a?2)(a?a(2)2)(a?((a?4)a?a4(a?2)? DB A C．．．．2．）3．分式的取值范围是（有意义，则x1?x B C DA1x?1?xx??1x?1?．．．．）．4．点关于轴成轴对称的点的坐标是（y3)A(2,3)2)?(2,(3,?3),?3)(?2,(?2 C A BD．．．．△中，已知???AA???CAB≌使5．在和，添加下列条件中的一个，不能，B??AB?A?ABCABC△△．．△）．一定成立的是（???CAB????? C ADB ．．．．?C??B?CAC?ACC?BCB?B??．）6．下列各式中，正确的是（y?yx??a?b1?bx??? A B．．22abb22yx?yx?1x?3?? D C ．．22)?xy(x?y3?9x?x，则这个等腰三角形的周长为（）．7．等腰三角形的两边长分别为和63B C D A 181515．．．或．1212的度数是（边上的高，则是，，中，．如图，8．）BDDBC?ACABC△AB??A36AC??A?18．B．?24 C?30．D?36．1的度．如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证91???30?3．数为（）A?30．B?45．C?60．D?75．）．，若10．如图，和分别垂直平分和，则等于（ABMPPAQ?QNAC130???BACA?50．B?75．C?80．D?105．二、填空题用科学记数法表示为．已知某种植物花粉的直径为纳米，即米，把110.000035350000.000035 __________．2 __________．12．分解因式：??6x?3x310?1 __________．计算：．13?3|)|(?2?1)??(2．若于交于，，．14 如图，在中，，平分E?ADABDEDBCCAB30B??ABCC??90???△Rt，cm1DE?则__________．?BC cm，在同一直线上，且、、、，是等边三角形，点15．如图，已知DE?DFEBDCD?C△ABCCG则__________度．??E，中，、分别平分，、．如图，16ABCO?ABCBOACB?∥OMABC△?．，则__________，的周长OMN10cmBCACON∥?△cm2112x?14xy?2y??3?__________．17．已知，则代数式xyx?2xy?y 的面积为，则，且，平分如图18．中，，的面积为4ABAD?ACDABD3△△ABCAC??BAC2△__________．最小时，是正方形19．如图，的一条对称轴，点是直线上的一个动点，当PPDMNABCD?PCMN __________．??PCD上的一个动点（点，点是折线段20．如图所示，长方形中，，E4EAB?3?4BCCA?DABCD?为等腰三角运动的过程中，能使，点是点关于的对称点．在点与点不重合）EPAABEPCB△．．．．的位置共有__________个．形的点E．三、解答题分解因式22)y(2?m92)mx(??．．213222xx(??1)4．22．计算abb32b3?)(?．23．4b3a9a?x12?．24．2x1?1?xa1．25．先化简，再求值：，其中1?a?3?(1?)21?12aa?a? 83x?1??．解方程：26．21?x1x?．，27．已知：如图，，AE?ADBAC?AB?AC?DAE?．求证：CEBD?428．列分式方程解应用题甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇字的文章与乙打一篇字的文章所用的时间相同．已9001000知甲每分钟比乙每分钟多打个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？529．小明在做课本中的一道题：如图，直线，所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这1b a两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图，画，量出直线与的夹角度数，即2PCbCP ∥a直线，所成角的度数．b a（）请写出这种做法的理由．1（）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图）：①以为圆心，任意长为半径画圆弧，分P23别交直线，于点，．②连结并延长交直线于点，请直接写出图中所有与相PABADBA?D3PCb a等的角．（）请在图画板内作出“直线，所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求b33a作出图形，并保留作图痕迹．530．（本题8分）（）如图（），已知：在中，，，直线经过点，⊥直线，⊥BDA11CE△ABC??BAC?90?ACABll直线，垂足分别为点、．证明：．EDCEBD?DE?l（）如图（），将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，EAD221AC△ABC?ABl?，其中为任意锐角或钝角．请问结论且是否成立？如成?CE??BDBDA??AEC??BAC?DE?立．请你给出证明．若不成立，请说明理由．（）拓展与应用：如图（），、是直线上的两动点（、、三点互不重合），点为EEAFDD?BAC33l 平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，BDBAC??ACF??CEAEC?△ABFBDA△求证：．EF?DF附加题2122?a?b042a??a?．已知:．，__________则1??，b1a?zxy 2．已知：的值为，则__________．zb)?(yac?)?(bcx(?)?a??ccb??ab??caa??by，中，直角边3．等腰轴两个动点，交轴于点轴、、点，点分别是BADAC?BAC??90ABCRt△xx 斜边．交轴于点yEBC点的坐标．，，求），若）如图（（0)B(2,,1)(0A11C恰为，运动到使点连接当等腰），（）（如图中点时，求证：．DED22CDE?ADBAC??△RtABC的平分线，试探究：）如图（不断运动的过程中，若满足（），在等腰始终是BDABCABC?△Rt33、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．、线段BDODOA67北京四中初二上期中数学试卷参考答案二、填空题5? 11．103.5?21)3(x? 12．13．4 14．3 15．15 16．10．174．181.5．1945．204三、解答题22)x2)(m??9ym(2? 21．解：22)yx?9?(m?2)(．)y33?y)(x??(m?2)(x222x?1)4?(x 22．解：22)1?2x?(x?1?2x)(x?221)x(?x?1)?(．ab3b2b3．解：23?)?(4b9a?3a3ab39ab????43bb227a2a3b???32b6a1．??ab2x21?．解：242x1?x1?x??1x2?)?)(1?(1xx81．?x1?a1?1a．解：原式25?(?)?21aa?1a?a?1?2a11?a?????1?aa??a1a?1??a．时，原式当．31??11??3a??3 21aa???a12221??8?x(x?3)(x?1)．解：，26221?8?x?4x?3?x，4x?4，1x?，1?x是原方程的增根，所以原方程无解．经检验：，27．证明：∵，BAE???BAEBAC???DAE，∴，即EACBAE??DAB???DAE??BAE?BAC??中，在和ADB△AEC△AE?AD??，EAC??DAB???ACAB??），∴≌（SAS△△AECADB∴．CEBD?个字，则甲每分钟打个字，28．解：设乙每分钟打5)(x?x9001000，由题意得，?xx?5得：，45?x检验：是原方程的解，且符合题意．45x?个字，乙每分钟打个字．答：甲每人每分钟打455029．解：（）两直线平行，同位角相等．1（），21??PDA?BDC????PAB，）作线段（的垂直平分线EFAB3是所求作的图形．则EF）∵，，30．解：（1l?lBD?CE∴，???BDA?90AEC?9，又∵??90?BAC，∴，??90?BAD????BAD?CAE?90?ABD，∴ABD???CAE中，在和CAE △△ABDCAE?ABD????，?90ADB??CEA????AC?AB?），≌（∴AAS△△ABDCAE，∴，AEBD?CE?AD，∵AE?DE?AD．∴BD?DE?CE（）成立，2?，∵?AEC??BAC?BDA???，∴?CAE?180??BAD??BAD????DBA∴，ABD??CAE?在和中，CEA△ADB△?ABD??CAE??，CEA??ADB???AB?AC?∴≌（），AAS△ADBCEA△∴，，BDAE?CEAD?∴．DE?AD?BD?CE?AE （）由（）知，≌，2CEA△△ADB3∴，，BD?AECAE???DBA∵和均为等边三角形，ACF△△ABF∴，?60??CAF??ABF∴，CAF??CAE??DBA??ABF?∴，FAEDBF???∵，AFBF?在和中，EAFDBF△△FB?FA??，FAE???FBD??BD?AE?∴和（），SAS△DBF△EAF∴，，AFEBFD?DF?EF??∴，?BFD?60DFA??DFA?AFE??????DFE∴为等边三角形．DEF△∴．EFDF?附加题：10a2，1．解：由题可知，2a?b???a2212∴?ba?1a?2?2(a?1)?2)a?a?1)((3a?22aa??3a?a?a??222．2??xyz，．解：令2k???c?abb?c?a?bc?a?则，，，)?bk(c?ay?)b?c?k(ax?k(b?c?a)?z代入zb)y?(a??c)x?(c?a)(b，)ca?b??b)?(a?b)(?b?c)(bc?a)?(c?a)(c?a?(222222，bc?ab?a??b?cb?ab?ac?cac?a??bc?．0?轴于点，3．（）如图，过点作yCF?F1C），则≌（AASACFABO△△，，∴2OB?1AF?CF?OA?，∴1OF?．∴1)?(C?1,轴于点（）如图，过点作交，y2GCACCG?，≌（）则ASA△△ACGABD，∴，GCG?AD?CD??ADB?，∵?DCE???GCE?45，）∴≌（SAS △DCEGCE△，∴G???CDE．∴CDE???ADB（）如图，在上截取，连接，AHOD3?OBOH，由对称性得，AHD?AD?AH??ADH∴，BEO???BAO?ADH???AHD∴，BHA??AEC?，，又∵ABH??ABACCAE??（≌∴），AASACE△△BAH∴，OA2BHAE??∵，OD?DH211∴．)OD?BD2(OA?12北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1A【答案】．【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直选项经过折叠后不能重合．线就叫做对称轴．A A ．故选：2A【答案】．2?4a?aa(a?4)．【解析】A ．故选：3A 【答案】．21x??1?0x．，解得【解析】分式有意义，则分母x?1 A．故选：B4【答案】．y3)?A(2,3)y??3(2,2x?．【解析】点轴成轴对称的点的坐标其，，即关于B．故选：B5【答案】．△?????ABC△SAS，≌，【解析】、，条件判定可利用A???CAAC?ACBBAB??A?AA?△?????ABC△，，无法判定≌，、B???CBC?BACBBAAB?A??A?△?????ABC△CSAS，，、，条件判定可利用≌???CBAC?ACAB?A?A?AAB?△????ABCASA△．条件判定可利用，、，≌???DCAB?C??CB?AB?AA??A B ．故选：6D 【答案】．a?b1?b?，本选项错误，、【解析】A abb?x?yx?y??，本选项错误，、B22x?31?C，本选项错误，、2?9xx?322yyx?x??、，本选项正确．D2)?y?y(xx D ．故选：7B【答案】．6?3363?不能构成三角形．，底边为【解析】若腰为，则1315?6?3636?．故腰为，则周长为，底边为B ．故选：8A【答案】．AC?AB，【解析】∵1?B??C?(180???A)?72?，∴2AC?BD，∵?18C?90????DBC?．∴A ．故选：9C【答案】．??60???3?1??2?90．【解析】C ．故选：10C【答案】．??130?A，【解析】∵??50??C?B，∴QN AC，和和分别垂直平分∵ABMPAQ?CQ，∴，APBP??QAC??C，∴，BPAB????PAB??QAC??B??C?50?，∴?PAQ??BAC?(?PAB??QAC)?80?．∴C ．故选：二、填空题11 5?【答案】．103.5?n11010≤a?，这种记【解析】把一个绝对值小于（或者大于等于的形式（其中）的实数记为）110a?5?0.000035．数法叫做科学记数法．把用科学记数法表示为103.5?5?．故答案为：10?3.521)?3(x 12【答案】．2221)x??1)?xx?3?3(3(?2x3x?6．【解析】21)?3(x．故答案为：13 【答案】．41?10()?(2?1)?|?3|?2?1?3?4．【解析】2．故答案为：41414 3【答案】．DC?CABAC?，，，平分【解析】∵ABDEAD?1??DECD，∴?30B?Rt△BDE?，中，又∵在，∴2?BD?2DE3cmBD?BC?CD?．∴3．故答案为：15 15【答案】．ABC△是等边三角形，【解析】∵??120??ACD?ACB?60，∴，CDCG?，又∵?150???FDE?CDG?30，，∴，又∵DEDF??15?E?．∴?15．故答案为：16 10【答案】．ABC?BO，平分【解析】∵MBO?ABO??，∴AB∥OM，又∵BOM?ABO??，∴MOB?MBO??，∴OBOM?，∴NCON?，同理可得10cmBC??NC?ON?MN?BM?MN△OMNOM?．的周长为∴10．故答案为：17 【答案】．411xy3??，【解析】将等式两边同时乘以xyxy?3xy?，得y14xy?2?2x∴yxy??x2xy?2(xy)?14?xyy?2?xxyxy?6?14?xy?3?xy2．4?．故答案为：41518 1.5【答案】．ACDF?，作，【解析】过ABDE?D BAC?的平分线，∵是AD，∴DFDE?13?AB??SDE，∵△ABD23?DE，∴23?DF，∴21?SDF?1.5AC?∴．△ADC21.5．故答案为：1945【答案】．，【解析】连结PBBCMN，垂直平分∵PC?PB，∴PBPC?PD?PD?，∴∵两点之间直线最短，BD?PD≤PB，∴BD?PD≤PC，∴PDPC?，即的最短距离为BD BCDPC?，此时平分?45PCD??．∴?45．故答案为：20【答案】．4为等腰三角形一腰长时，【解析】①BP个，符合点的位置有E2BC．的垂直平分线与以为圆心是为半径的圆的交点即是点PBBA C为顶点时，为底边时，②BP个，的位置有符合点E2BCC．为圆心为半径的圆与以是以为圆心为半径的圆的交点即是点PBBA PC为顶点时，这样的等腰三角形不存在，③以为底边，B BC为半径的圆没有交点．为半径的圆与以为圆心因为以为圆心BBBA16．故答案为：417。

北京四中初二数学期中试卷

北京四中初二数学期中试卷(考试时间为100分钟，试卷分为A卷、B卷满分为120分) 试卷部分A卷一、选择题：(每小题3分，共24分)1．下列命题中，不正确的是()A．关于某条直线对称的两个三角形全等B．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的平分线重合C．线段有2条对称轴D．角是轴对称图形2．下列因式分解中，结果正确的是()A．B．C．D．3．要使代数式有意义，则的取值范围是( )A．B．C．D．4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A．B．C．D．5．将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是()6．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点7．如图，已知△ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是( )A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙8．如图，已知，，，则为()A．67°B．46°C．23°D．无法确定二、填空题：(每小题2分，共20分)9．已知点和点关于轴对称，那么____________。

10．若，则____________；若，则____________。

11．若，则的值是____________。

12．等腰三角形的一边是3，另一边是8，则它的周长是____________。

13．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如下图所示，这时实际时间应是____________。

14．如图所示，三角形纸片ABC，，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为____________。

15．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且，则的大小等于______。

16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为____________。

北京市北京市西城区北京师范大学附属中学2019-2020学年八年级上学期数学期中试卷及参考答案

北京市北京市西城区北京师范大学附属中学2019-2020学年八年级上学期数学期中试卷一、单选题1. 下列各式：中，分式有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2.已知，那么等于（）A .B .C .D .3. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A . AB=CDB . EC=BFC . ∠A=∠D D . AB=BC4. 使分式有意义的x的取值范围是（）A . x≠0B . x≠﹣1C . x≠1D . x≠25. 如图，AB=CD，AD=CB，判定△ABD≌△CDB的依据是（）A . SSSB . ASAC . SASD . AAS6. 下列各式中最简分式是（）A .B .C .D .7. 如图，Rt△ABC中，∠ABC的平分线交于，若，则点到的距离是（）A . 5cmB . 4cmC . 3cmD . 2cm8. 若分式方程有增根，则a的值是( )A . 1B . 2C . -1D . -29. 如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A . AB=DC，AC=DB B . AB=DC，∠ABC=∠DCBC . BO=CO，∠A=∠D D . AB=DC，∠DBC=∠ACB10. 如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A . AD ＝BEB . BE ⊥AC C . △CFG 为等边三角形D . FG ∥BC二、填空题11. 用科学记数法表示:0.00000108=________.12. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第________块．13. 若 (2x+5)有意义，则x 满足的条件是________．14. 计算: ________.15. 如果多项式y -(m-1)y+1是完全平方式，那么m 的值为________16. 当x=________时，分式的值为零.17. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=________18. 已知a ＝ (n ＝1，2，3，…)，记b ＝2(1－a )，b ＝2(1－a )(1－a )，…，b ＝2(1－a )(1－a )…(1－a )，则通过计算推测出表达式b ＝________ (用含n 的代数式表示)．三、解答题19. 分解因式：（1）（2） a ﹣2a b+ab 20. 计算:（1）计算:（2）（3）21. 先化简，再任取一个你喜欢的x 的值，代入求值。

2019-2020北京四中初二上册期中考试试卷数学(含解析).docx

北京四中初二上期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）．A ．B ．C ．D ．2．把多项式24a a -分解因式，结果正确的是（）． A ．(4)a a - B ．(2)(2)a a +- C ．(2)(2)a a a +- D ．2(2)4a --3．分式21x -有意义，则x 的取值范围是（）． A ．1x ≠ B ．1x = C ．1x ≠-D ．1x =-4．点(2,3)A 关于y 轴成轴对称的点的坐标是（）． A ．(3,2)- B ．(2,3)-C ．(2,3)--D ．(2,3)-5．在ABC △和A B C '''△中，已知A A '∠=∠，AB A B ''=，添加下列条件中的一个，不能．．使ABC △≌A B C '''△一定成立的是（）． A ．AC A C ''=B ．BC B C ''=C ．B B '∠=∠D ．C C '∠=∠6．下列各式中，正确的是（）． A ．1a b bab b++= B ．22x y x y-++=- C ． 23193x x x -=--D ．222()x y x y x y x y --=++7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）． A ．12B ．15C ．12或15D ．188．如图，ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 是AC 边上的高，则DBC ∠的度数是（）． A ．18︒B ．24︒C ．30︒D ．36︒9．如图，330∠=︒，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证1∠的度数为（）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒10．如图，130BAC ∠=︒，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠等于（）． A ．50︒B ．75︒C ．80︒D ．105︒二、填空题11．已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为__________．12．分解因式：2363x x -+=__________．13．计算：101()(21)|3|2---+-=__________．14．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ．若1c m DE =，则BC =__________cm ．15．如图，已知ABC △是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG CD =，DF DE =，则E ∠=__________度．16．如图，ABC △中，BO 、CO 分别平分ABC ∠、ACB ∠，OM AB ∥，ON AC ∥，10cm BC =，则O M N△的周长=__________cm ．17．已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y--=--__________．18．如图ABC △中，AD 平分BAC ∠，4AB =，2AC =，且ABD △的面积为3，则ACD △的面积为__________．19．如图，MN 是正方形ABCD 的一条对称轴，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC PD +最小时，PCD ∠=__________．20．如图所示，长方形ABCD 中，4AB =，43BC =，点E 是折线段A D C --上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，能使PCB △为等腰三角形．．．．．的点E 的位置共有__________个．三、解答题分解因式21．22(2)9(2)x m y m -+-．22．222(1)4x x +-．计算23．3423()39b b ab a a b÷⋅-． 24．21211xx x++-．25．先化简，再求值：21(1)121aa a a -÷+++，其中31a =-．26．解方程：238111x x x +-=--．27．已知：如图，AD AE =，AB AC =，DAE BAC ∠=∠．求证：BD CE =．28．列分式方程解应用题甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？29．小明在做课本中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画P C a∥，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由．（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D．②连结AD并延长交直线a于点B，请直接写出图3中所有与PAB∠相等的角．（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．30．（本题8分）（1）如图（1），已知：在ABC=，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥∠=︒，AB AC△中，90BAC直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE BD CE=+．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC=，D、A、E三点都在直线l上，且△中，AB AC∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE=+是否成立？如成立．请BDA AEC BACα你给出证明．若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC∠平分线上的一点，且ABF △和ACF △均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，求证：DF EF =．附加题1．已知:2a b -=，2240a a +-=，则121a b+=+__________．2．已知：x y zb c a c a b a b c==+-+-+-，则()()()b c x c a y a b z -+-+-的值为__________．3．等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ．（1）如图（1），若(0,1)A ，(2,0)B ，求C 点的坐标．（2）如图（2），当等腰Rt ABC △运动到使点D 恰为AC 中点时，连接DE ，求证：ADB CDE ∠=∠．（3）如图（3），在等腰Rt ABC △不断运动的过程中，若满足BD 始终是ABC ∠的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．北京四中初二上期中数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 AAABBDBACC二、填空题11．53.510-⨯ 12．23(1)x - 13．4 14．3 15．15 16．10 17．4 18．1.5 19．45 20．4三、解答题21．解：22(2)9(2)x m y m -+-22(2)(9)m x y =-- (2)(3)(3)m x y x y =--+．22．解：222(1)4x x +-22(12)(12)x x x x =+-++ 22(1)(1)x x =-+．23．解：3423()39b b ab a a b ÷⋅-33493272b a aba b b =-⋅⋅22336b a a b =-⋅ 12ab =-．24．解：21211x x x ++-12(1)(1)x x x x -+=-+ 11x=-．25．解：原式211()1121a aa a a a +=-÷++++ 211121a aa a a +-=÷+++ ()211a a a a+=⋅+ 1a =+．当31a =-时，原式3113=-+=．26．解：2(3)(1)81x x x ++-=-，224381x x x ++-=-，44x =， 1x =，经检验：1x =是原方程的增根，所以原方程无解．27．证明：∵DAE BAC ∠=∠，BAE BAE ∠=∠， ∴DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠，即DAB EAC ∠=∠，在AEC △和ADB △中， AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEC △≌ADB △（SAS ），∴BD CE =．28．解：设乙每分钟打x 个字，则甲每分钟打(5)x +个字，由题意得，10009005x x=+，得：45x =，检验：45x =是原方程的解，且符合题意．答：甲每人每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．29．解：（1）两直线平行，同位角相等．（2）1PAB PDA BDC ∠=∠=∠=∠，（3）作线段AB 的垂直平分线EF ，则EF 是所求作的图形．30．解：（1）∵BD l ⊥，CE l ⊥， ∴90BDA AEC ∠=∠=︒，又∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒， ∴CAE ABD ∠=∠，在ABD △和CAE △中，90ABD CAE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ABD △≌CAE △（AAS ）， ∴BD AE =，AD CE =， ∵DE AD AE =+， ∴DE CE BD =+．（2）成立，∵BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE α∠+∠=∠+∠=︒-， ∴CAE ABD ∠=∠，在ADB △和CEA △中， ABD CAE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ADB △≌CEA △（AAS ）， ∴AE BD =，AD CE =， ∴BD CE AE AD DE +=+=．（3）由（2）知，ADB △≌CEA △， ∴AE BD =，DBA CAE ∠=∠， ∵ABF △和ACF △均为等边三角形， ∴60ABF CAF ∠=∠=︒，∴DBA ABF CAE CAF ∠+∠=∠+∠， ∴DBF FAE ∠=∠， ∵BF AF =，在DBF △和EAF △中， FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DBF △和EAF △（SAS ）， ∴DF EF =，BFD AFE ∠=∠，∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DEF △为等边三角形． ∴DF EF =．附加题：1．解：由题可知2b a =-，222a a =-， ∴121a b++ 22(1)(1)(2)a a a a -++=+- 232aa a =--3222aaa =-+-2=-．2．解：令x y zk b c a c a b a b c===+-+-+-，则()x k b c a =+-，()y k c a b =+-，()z k a b c =+-，代入()()()b c x c a y a b z -+-+-()()()()()()b c b c a c a c a b a b a b c =-+-+-+-+-+-， 222222b c ab ac c a bc ab a b ac bc =--++--++--+， 0=．3．（1）如图，过点C 作CF y ⊥轴于点F ，则ACF △≌ABO △（AAS ）， ∴1CF OA ==，2AF OB ==， ∴1OF =， ∴(1,1)C --．（2）如图，过点C 作CG AC ⊥交y 轴于点G ，则ACG △≌ABD △（ASA ）， ∴CG AD CD ==，ADB G ∠=∠， ∵45DCE GCE ∠=∠=︒， ∴DCE △≌GCE △（SAS ）， ∴CDE G ∠=∠， ∴ADB CDE ∠=∠．（3）如图，在OB 上截取OH OD =，连接AH ，由对称性得AD AH =，ADH AHD ∠=∠， ∴AHD ADH BAO BEO ∠=∠=∠=∠， ∴AEC BHA ∠=∠，又∵AB AC =，CAE ABH ∠=∠， ∴ACE △≌BAH △（AAS ）， ∴2AE BH OA ==， ∵2DH OD =， ∴2()BD OA OD =+．北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴．A 选项经过折叠后不能重合．故选：A ．2．【答案】A【解析】24(4)a a a a -=-．故选：A ．3．【答案】A 【解析】分式21x -有意义，则分母10x -≠，解得1x ≠．故选：A ．4．【答案】B【解析】点(2,3)A 关于y 轴成轴对称的点的坐标其2x =，3y =-，即(2,3)-．故选：B ．5．【答案】B【解析】A 、A A '∠=∠，AB A B ''=，AC A C ''=可利用SAS 条件判定ABC △≌A B C '''△， B 、A A '∠=∠，AB A B ''=，BC B C ''=无法判定ABC △≌A B C '''△，C 、A A '∠=∠，AB A B ''=，AC A C ''=可利用SAS 条件判定ABC △≌A B C '''△，D 、A A '∠=∠，AB A B ''=，C C '∠=∠可利用ASA 条件判定ABC △≌A B C '''△．故选：B ．6．【答案】D【解析】A 、1a b b ab b++≠，本选项错误， B 、22x y x y -+-=-，本选项错误， C 、23193x x x -=-+，本选项错误， D 、222()x y x y x y x y --=++，本选项正确．故选：D ．7．【答案】B【解析】若腰为3，底边为6，则336+=不能构成三角形．故腰为6，底边为3，则周长为66315++=．故选：B ．8．【答案】A【解析】∵AB AC =， ∴1(180)722B C A ∠=∠=︒-∠=︒， ∵BD AC ⊥，∴9018DBC C ∠=︒-∠=︒．故选：A ．9．【答案】C【解析】1290360∠=∠=︒-∠=︒．故选：C ．10．【答案】C【解析】∵130A ∠=︒，∴50B C ∠+∠=︒，∵MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，∴BP AP =，AQ CQ =，∴PAB B ∠=∠，QAC C ∠=∠，∴50PAB QAC B C ∠+∠=∠+∠=︒，∴()80PAQ BAC PAB QAC ∠=∠-∠+∠=︒．故选：C ．二、填空题11．【答案】53.510-⨯【解析】把一个绝对值小于1（或者大于等于10）的实数记为10n a ⨯的形式（其中110a <≤），这种记数法叫做科学记数法．把0.000035用科学记数法表示为53.510-⨯．故答案为：53.510-⨯．12．【答案】23(1)x -【解析】2223633(21)3(1)x x x x x -+=-+=-．故答案为：23(1)x -．13．【答案】4 【解析】101()(21)|3|21342---+-=-+=．故答案为：4．14．【答案】3【解析】∵AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥，AC DC ⊥，∴1CD DE ==，又∵在Rt BDE △中，30B ∠=︒，∴22BD DE ==，∴3cm BC CD BD =+=．故答案为：3．15．【答案】15【解析】∵ABC △是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，120ACD ∠=︒，又∵CG CD =，∴30CDG ∠=︒，150FDE ∠=︒，又∵DF DE =，∴15E ∠=︒．故答案为：15︒．16．【答案】10【解析】∵BO 平分ABC ∠，∴ABO MBO ∠=∠，又∵OM AB ∥，∴ABO BOM ∠=∠，∴MBO MOB ∠=∠，∴OM OB =，同理可得ON NC =，∴OMN △的周长为10cm OM ON MN BM MN NC BC ++=++==．故答案为：10．17．【答案】4 【解析】将等式113x y -=两边同时乘以xy ，得3y x xy -=， ∴21422x xy yx xy y ----2()142x y xyx y xy --=--61432xy xyxy xy --=--4=．故答案为：4．18．【答案】1.5【解析】过D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE DF =， ∵132ABD S AB DE =⋅=△， ∴32DE =， ∴32DF =，∴1 1.52ADC S AC DF =⋅=△．故答案为：1.5．19．【答案】45【解析】连结PB ，∵MN 垂直平分BC ， ∴PB PC =，∴PD PC PD PB +=+， ∵两点之间直线最短， ∴PB PD BD +≤， ∴PC PD BD +≤，即PC PD +的最短距离为BD ，此时PC 平分BCD ∠， ∴45PCD ∠=︒．故答案为：45︒．20．【答案】4【解析】①BP 为等腰三角形一腰长时，符合点E 的位置有2个，是BC 的垂直平分线与以B 为圆心BA 为半径的圆的交点即是点P ． ②BP 为底边时，C 为顶点时，符合点E 的位置有2个，是以B 为圆心BA 为半径的圆与以C 为圆心BC 为半径的圆的交点即是点P ． ③以PC 为底边，B 为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B 为圆心BA 为半径的圆与以B 为圆心BC 为半径的圆没有交点．故答案为：4．。

2023北京四中初二上学期期中数学试卷及答案

2023北京四中初二（上）期中数学考生须知 1.本试卷共7页，第一部分共24道小题，第二部分共2道小题，满分110考分.考试时间100分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号. 3.答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题和作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.第一部分一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)1. 下列博物院的标识中是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 2. 如图，用三角板作ABC 的边AB 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（）A. ()22244ab a b =B. 236a a a ⋅=C. 224a a a +=D. ()236239a b a b −=4. 如图，ABC 被木板遮住了一部分，其中6AB =，则AC BC +的值不可能是（）A. 11B. 9C. 7D. 5 5. 根据分式的基本性质，分式a a b −−可变形为（） A. a a b − B. a a b + C. a a b −− D. a b a − 6. 如图，已知AD ∥BC ，欲用“边角边”证明△ABC ≌△CDA ，需补充条件（）A. AB = CDB. ∠B = ∠DC. AD = CBD. ∠BAC = ∠DCA 7. 如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠P AH 的度数（）A. 随着θ的增大而增大B. 随着θ的增大而减小C. 不变D. 随着θ的增大，先增大后减小8. 用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号()4,8,8，()3,6,3,6，()3,3,4,3,4表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（）A. ()3,12,12B. ()3,4,6,4C. ()3,3,4,12D. ()3,3,3,6二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)9. 计算：()0π 3.14−=______；132−= − ______. 10. 要使分式53x −有意义，则x 的取值范围是______． 11. 已知一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是___________．12. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于_____�13. 如图，60ABC ∠=°，3AB =，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当ABP 是直角三角形时，t = ______．14. 有两个正方形A 、B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将A 、B 并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A ，B 的面积之和为______．15. 数学课上，老师提出问题，任意画两条长度不等的线段a 、b ，利用尺规作图作Rt �ABC ，使线段a 、b 分别为三角形的一条直角边和斜边，小勇所作之图如下：请你回答下列问题：（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是_____；（只填序号）�以B 为圆心，BA 的长为半径画弧，交射线AG 于点D ．�画直线BF ．�分别以点A ，D 为圆心，大于线段AB 的长为半径画弧，交于点F ．�以点A 为圆心，线段b 的长为半径画弧，交直线BF 于点C ，连接AC ．�画射线AG ，并在AG 上截取线段（2）�ABC=90°的理由是_____．16. 在等边ABC 中，M 、N 、P 分别是边AB 、BC 、CA 上的点（不与端点重合），对于任意等边ABC ，下面四个结论中：�存在无数个MNP △是等腰三角形；�存在无数个MNP △是等边三角形；�存在无数个MNP △是等腰直角三角形；�存在一个MNP △在所有MNP △中面积最小．所有正确结论的序号是_____________．二、解答题(本大题共8小题，第17题每小题4分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分)17. （1）计算：()2384ab a b −⋅；（2）计算：2202220202024−×(需简便运算)；（3）计算：()2215105x y xyxy −÷；（4）计算：()()()22322x y x y x y +−+−；（5）因式分解：()()22x m x n +−+；（6）因式分解：22363ax axy ay ++．18. 如图，A ，C ，D 三点共线，ABC 和CDE 落在AD 的同侧，AB CE ∥，BC DE =，B D ∠=∠，求证：（1）ABC CDE △≌△；（2）AB CE AD +=19. 先化简：222142x x x÷−−，再从0，1−，2−，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值． 20. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 顶点都在网格线的交点上，点A 坐标为()4,1−−，点B 坐标为()1,1−−，点C 坐标为()3,3−.（1）画出ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △；（2）请写出点B 关于x 轴对称点的坐标为______；（3）点P 在y 轴上，且ABP 与ABC 的面积相等，则点P 的坐标为______.21. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，ABC ∠为直角．以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与 DE 交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与 DE 交于点G ；作射线BF ，BG ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出DBG ∠，GBF ∠，FBE ∠的大小关系．22. 如图(1)，等边ABC 中，D 边上的动点，作等边DCE △使得点B 和点E 位于CD 两侧，连接AE .（1）DBC △与EAC 全等吗？请说明你的理由；（2）求证：AE BC ∥；（3）如图（2），将（1）动点D 运动到边BA 的延长线上，其余条件不变，请问是否仍有AE BC ∥？证明你的猜想.23. 阅读下列材料：对于多项式22x x +−，如果我们把1x =代入此多项式，发现22x x +−的值为0，这时可以确定多项式中有因式()1x −；同理，可以确定多项式中有另一个因式()2x +，于是我们可以得到：()()2212x x x x +−=−+．又如：对于多项式2232x x −−，发现当2x =时，2232x x −−的值为0，则多项式2232x x −−有一个因式()2x −，我们可以设()()22322x x x mx n −−=−+，解得2m =，1n =．于是我们可以得到：()()2232221x x x x −−=−+．请你根据以上材料，解答以下问题：（1）当x =______时，多项式265x x −−的值为0，所以多项式265x x −−有因式______，从而因式分解265x x −−=______；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：376x x −+．24. 如图，已知ABC 是等边三角形，点E 在射线AB 上且2ACE a ，在射线CE 上取点D 使得CD CA =，连接AD 并延长交射线CB 于点F ．（1）当0260α°<<°时，①DAB ∠=______；(请用含α的代数式表示)②求证：CE BE CF +=；（2）当602120α°<<°时，请根据题意补全图形，并写出线段CE ，BE ，CF 间的数量关系______.第二部分附加题(共10分)25. 找规律.第1组：114133+=，222435+=；第2组：1183515+=，22281517+=；第3组：11125735+=，222123537+=； ……（1）请写出第4组等式_____，_______；（2）请写出第n 组等式______，______；（3）若()222960396050k k +=>，则k =______．26. 为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法，因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明A B >，只需要证明0A B −>；同样的，要证明A B <，只需要证明0A B −<．例如：小明对于命题：任意的实数a 和b ，总有222a b ab +≥，当a b =并且只有a b =时，等号成立，给出了如下证明：证明：∵()22220a b ab a b +−=−≥，∴222a b ab +≥，当a b =并且只有a b =时，等号成立．（1）请仿照小明的证明方法，证明如下命题：若a ，b ，x ，0y ≥，且a x ≥，则()()()2222a x b y a b x y −+−≤+−+．（2）若120n a a a ≥≥≥≥ ，120n b b b ≥≥≥≥ ，且12121n n a a a b b b +++=+++= ，求()()()221122n a b a b a b −+−++− 的最大值．参考答案第一部分一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)1. 【答案】B【分析】根据轴对称的定义进行判断即可.【详解】解：根据轴对称图形的概念可知,选项A �C �D 不是轴对称图形,故选B.【点睛】本题考查轴对称图形的概念.判定轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.2. 【答案】B【分析】根据三角形高的画法进行判断即可．【详解】解：选项A ，C ，D �都不是ABC 的边AB 上的高，故选：B ．【点睛】此题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键．3. 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方、合并同类项等知识点逐项判定即可．【详解】解：A ．()222416ab a b =，故A 错误，不符合题意；B ．235a a a ⋅=，故B 错误，不符合题意；C ．2222a a a +=，故C 错误，不符合题意；D ．()236239a ba b −=，故D 正确，符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项法则等知识点，熟练掌握相关运算法则是解答本题关键．4. 【答案】D【分析】根据三角形三边关系判断即可．【详解】解：∵AB =6，∴AC +BC ＞AB =6，∴11，9，7都满足，5不满足，故选D ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边． 5. 【答案】D【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】a a a b b aa ab −−−−==−，故选�D ．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 6. 【答案】C【分析】由平行线的性质可知DAC BCA ∠=∠，再由AC 为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC ≌△CDA ，可添加AD =CB 即可．【详解】∵AD ∥BC ，∴DAC BCA ∠=∠．∵AC 为公共边，∴只需AD =CB ，即可利用“边角边”证明△ABC ≌△CDA ．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键．7. 【答案】C【分析】由旋转的性质可得BC ＝BP ＝BA ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，由外角的性质可求∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【详解】解：∵将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，∴BC ＝BP ＝BA ，∴∠BCP ＝∠BPC ，∠BP A ＝∠BAP ，∵∠CBP +∠BCP +∠BPC ＝180°，∠ABP +∠BAP +∠BP A ＝180°，∠ABP +∠CBP ＝90°，∴∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，∵∠CP A ＝∠AHC +∠P AH ＝135°，∴∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，∴∠P AH 的度数是定值，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．8. 【答案】D【分析】本题考查的是密铺，正多边形的内角度数，解题的关键是要掌握“密铺图形的公共顶点处的角的度数和为360°”【详解】解：观察可知“半正密铺”图案记号()4,8,8，则表示由一个正方形和两个正八边形组成的；A.()3,12,12是由一个正三角形、两个正十二边形组成，正三角形的一个内角为60°，正十二边形的每一个内角为： (122)18015012−×°=°， ∴60150150360°+°+°=°，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意；B. ()3,4,6,4是由一个正三角形、两个正方形和一个正六边形组成，正三角形的一个内角为60°，正方形的内角为90°，正六边形的内角为： (62)1801206−×°=°， ∴60902120360°+°×+°=°，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意；C. ()3,3,4,12是由两个正三角形、一个正方形、一个正十二边形组成，正三角形的一个内角为60°，正方形的内角为90°，正十二边形的每一个内角为： (122)18015012−×°=°， 60290150360∴°×+°+°=°，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意；D. ()3,3,3,6是由三个正三角形、一个正六边形组成，正三角形的一个内角为60°，正六边形的内角为： (62)1801206−×°=°， 603120300∴°×+°=°，不能表示“半正密铺”图案，符合题意；故选：D �二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)9. 【答案】 �. 1 �. 23− 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质计算，即可得出答案．【详解】解：()0π 3.141−=；13322− − =− ．故答案为：1；23− 10. 【答案】x ≠3【分析】根据分式有意义，分母不为0，列不等式求解即可.【详解】解：根据题意，要使分式53x −有意义，必须使x-3≠0,解得：x ≠3 故答案为：x ≠3【点睛】本题考查了分式有意义，分母不为0．11. 【答案】12【分析】根据正n 边形的每个内角的度数为()2180n n −⋅°，列出方程进行计算即可．【详解】解：由题意，得：()2180150n n −⋅°=⋅°，解得：12n =，∴这个多边形的边数是12；故答案为：12．【点睛】本题考查正多边形的内角问题．熟练掌握正n 边形的每个内角的度数为()2180n n−⋅°，是解题的关键．12. 【答案】110°或70° 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形内部；三角形的外部；三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．【详解】当高在三角形内部时（如图1），∠ABD =20°，∴∠A =90°-∠ABD =70°，∴顶角是70°；当高在三角形外部时（如图2），∠ABD =20°，∴∠CAB =90°+∠ABD =110°，∴顶角是110°．故答案为：70°或110°．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出70°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． 13. 【答案】32或6 【分析】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【详解】解：�当90APB ∠=°时，过A 作⊥AP BC ，�60ABC ∠=°，3AB =，�1322BPAB ==， �33122t =÷=， �当90BAP ′∠=°时，过A 作P A AB ′⊥时，�60ABC ∠=°，3AB =，�26BP AB ′==，�616t =÷=，故答案为：32或6． 14. 【答案】11【点睛】设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图形得出关系式求解即可．【详解】解：设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图甲得()2221a b b a b −−−=即2221a b ab +−=，由图乙得()22210a b a b +−−=即210ab =，∴2211a b +=，故答案为：11．【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．15. 【答案】（1）��；（2）到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．【分析】（1）根据尺规作直角三角形的方法进行判断即可；（2）根据线段垂直平分线的性质即可判断．【详解】解：（1）根据尺规作图的方法可知作图的顺序为：��，故答案为��；（2）根据作图方法可知BC 是线段AD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可知�ABC=90°，故�ABC=90°的理由是：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．【点睛】本题考查了尺规作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质等，掌握基本作图的方法是解题的关键．16. 【答案】①②③【分析】根据题意作图，根据所画图形判定即可解决问题．【详解】解：如图1中，满足AM ＝BN ＝PC ，�ABC 是等边三角形�AB =BC =CA ，�A =�C =�B =60°�AB -AM =BC -BN =CA -CP�AP =CN =BM又�A =�C =�B =60°��AMP ��CNP ��BMN�MP =PN =MN∴△PMN 是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM ＝NP ，∠MNP ＝90°时，△MNP 是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）．故①②③正确，△PNM 的面积不存在最小值．故答案为①②③．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、解答题(本大题共8小题，第17题每小题4分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分)17. 【答案】（1）326a b −；（2）4；（3）32x y −；（4）21210xy y +；（5）()()2x m n m n ++−（6）()23a x y +．【分析】（1）根据单项式乘以单项式法则求解即可；（2）利用平方差公式求解即可；（3）根据多项式除以单项式法则求解即可；（4）首先利用平方差公式和完全平方公式求解，然后合并同类项即可；（5）利用平方差公式分解因式即可；（6）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）()2384ab a b −⋅326a b =-；（2）2202220202024−×()()220222022220222=−−+()222202220222=−−222202220222=−+4=；（3）()2215105x y xy xy −÷32x y =−；（4）()()()22322x y x y x y +−+− ()222241294x xy y x y =++−−x xy y x y 222212944=-+++21210xy y +；（5）()()22x m x n +−+ ()()x m x n x m x n =++++−−()()2x m n m n =++−；（6）22363ax axy ay ++()2232a x xy y =++()23a x y +．【点睛】此题考查了单项式乘以单项式，平方差公式，多项式除以单项式，完全平方公式，因式分解，解题的关键是熟练掌握以上知识点．平方差公式：()()22a b a b a b +−=−，完全平方公式：()2222a b a ab b +=++法等． 18. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，（1）根据平行线的性质可得A DCE ∠=∠，再利用AAS 证明ABC CDE △≌△即可；（2）利用全等三角形“对应边相等”的性质结合线段的和与差可得结论．【小问1详解】证明：∵AB CE ∥，A ECD ∴∠=∠，在ABC 和CDE 中，A ECDB D BC DE ∠=∠ ∠=∠ =， ()AAS ABC CDE ∴ ≌；【小问2详解】证明：ABC CDE ≌△△，AB CD ∴=，AC CE =，AB CE CD AC AD ∴+=+=．19. 【答案】22x x +，=1x −时，原式2=− 【分析】根据分式的运算法则化简计算即可．【详解】222142x x x÷−− ()()()2222x x x x ×−+−22x x =+． ∵2x ≠±，∴=1x −时，()2122212x x ×−==−+−+．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确化简，适当选值是解题的关键．20. 【答案】（1）作图见解析；（2）(11)−，（3）(03)，或(05)−，【分析】本题考查了坐标与图形，关于坐标轴对称的点的坐标特征，“关于x 轴对称，x 不变，关于y 轴对称，y 不变”，以及作轴对称图象，采用数形结合的方法，熟练掌握轴对称的性质以及面积相等采用同底等高的方法是解题的关键．【小问1详解】解：点A 坐标为()4,1−−，点B 坐标为()1,1−−，点C 坐标为()3,3−.∴1(41)A −，，1(11)B −，，1(33)C ，，【小问2详解】解：点B 坐标为()1,1−−，∴点B 关于x 轴对称点的坐标为：(11)−，，故答案为：(11)−，；【小问3详解】解： ABP 与ABC 的面积相等，()111141222ABP ABC c P S S AB y AB AB y ∴==××+=××=××+ ， �5P y =−或3．又点P 在y 轴上，当点P 在y 轴的正半轴时，P ∴的坐标为：(03)，当点P 在y 轴负半轴时，P ∴的坐标为：(05)−，，故答案为：(03)，或(05)−， 21. 【答案】（1）见解析（2）DBG GBF FBE ∠=∠=∠【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）连接DF ，EG ，可得 BDF V 和BEG 均为等边三角形，60DBF EBG ∠=∠=°，进而可得30DBG GBF FBE ∠=∠=∠=°．【小问1详解】解：（1）如图：【小问2详解】DBG GBF FBE ∠=∠=∠．理由：连接DF ，EG 如图所示则BD =BF =DF ，BE =BG =EG即BDF V 和BEG 均为等边三角形�60DBF EBG ∠=∠=°�90ABC ∠=°�30DBG GBF FBE ∠=∠=∠=°【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．22. 【答案】（1）会全等，理由见解析（2）证明见解析（3）AE BC ∥；证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．（1）首先证明BCD ACE ∠=∠，然后利用SAS 证明DBC EAC △≌△即可；（2）根据全等的性质可得60EAC B ∠=∠=°，进而可得EAC ACB ∠=∠，从而可得AE BC ∥；（3）利用等边三角形的性质可得BC AC =，DC CE =，60BCA DCE ∠=∠=°，然后再证明DBC EAC △≌△，再推出EAC ACB ∠=∠，进而可得AE BC ∥．【小问1详解】解：DBC △和EAC 会全等；理由：60ACB ∠=° ，60DCE ∠=°，60BCD ACD ∴∠=°−∠，60ACE ACD ∠=°−∠，BCD ACE ∴∠=∠，在DBC △和EAC 中，BC AC BCD ACE EC DC = ∠=∠ =()SAS DBC EAC ∴ ≌；【小问2详解】证明：DBC EAC ≌，60EAC B ∴∠=∠=°，又60ACB ∠=°，EAC ACB ∴∠=∠，∴AE BC ∥；【小问3详解】解：结论：AE BC ∥理由：ABC 、EDC △为等边三角形BC AC ∴=，DC CE =，60BCA DCE ∠=∠=°， BCA ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠，在DBC △和EAC 中，BC AC BCD ACE CD CE = ∠=∠ =， ()SAS DBC EAC ∴ ≌，60EAC B ∴∠=∠=°，又60ACB ∠=° ， EAC ACB ∴∠=∠，∴AE BC ∥．23. 【答案】（1）1，()1x −，()()165x x −+（2）()()()376132x x x x x −+=−+−【分析】本题考查多项式乘以多项式，因式分解；熟练掌握多项式与多项式，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【小问1详解】（1）当1x =时，多项式265x x −−的值为0，所以多项式265x x −−有因式()1x −，设()()()22165x mx n mx n m x n x x −++−−−==− �6m =，5n =，�因式分解()()256165x x x x −=−−，故答案为：1，()1x −，()()165x x −+；【小问2详解】当1x =时，3760x x −+=�376x x −+有有一个因式()1x −，当3x =−时，3760x x −+=�设()()()37613x x x x ax b −+=−++�()()()13x x ax b −++()()223x x ax b =+−+3222233ax bx ax bx ax b =+++−−()()322233ax b a x b a x b +++−−�()()233272633ax b a x b a x b x x −++++−− �1a =，36b −=，即2b =−�()()()376132x x x x x −+=−+−．24. 【答案】（1）①30α°−；②见解析（2）CE CF BE =+【分析】（1）①根据等边三角形的性质得出()11802902CAD CDA a a ∠=∠=°−=°−，根据角度关系得出906030DAB CAD CAB a a ∠=∠−∠=°−−°=°−；②延长BA ，使EG CE =，连接CG ，证明CBG ACF ≌，得出CF BG =，根据BG BE GE BE CE =+=+，即可证明结论；（2）根据题意补全图形，在CE 上截取EG BE =，连接BG ，证明BCG DCF ≌，得出CG CF =，即可证明CE CF BE =+．【小问1详解】解：①∵ABC 是等边三角形，∴AC AB BC ==，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=°，∵CD CA =，2ACEa ， ∴()11802902CAD CDA a a ∠=∠=°−=°−， ∴906030DAB CAD CAB a a ∠=∠−∠=°−−°=°−，故答案为：30α°−．②延长BA ，使EG CE =，连接CG ，如图所示：则CGE ECG ∠=∠，∵602CEB CGE ECG CAB ACE a ∠=∠+∠=∠+∠=°+， ∴1302CGE ECG CEB a ∠=∠=∠=°+， ∵ADC DCF CFD ∠=∠+∠，∴()9060230CFDADC DCF a a a ∠=∠−∠=°−−°−=°+， ∴CGE CFD ∠=∠，∵AC BC =，60CBG ACF ∠=∠=°，∴CBG ACF ≌，∴CF BG =，∵BG BE GE BE CE =+=+，∴CE BE CF +=；【小问2详解】解：CE CF BE =+，理由如下：在CE 上截取EG BE =，连接BG ，如图所示：∵ABC 是等边三角形，∴AC AB BC ==，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=°， ∵CD CA =，2ACEa ?， ∴()11802902ADC CAD a a ∠=∠=°−=°−， ∵1801202E CAE ACE a ∠=°−∠−∠=°−，又∵BE EG =， ∴()1180302EBG BGE E a ∠=∠=°−∠=°+， ∴18090CBG ABC EBG a ∠=°−∠−∠=°−，∴CBG CDA ∠=∠，∵AC CD =，ACBC =，∴BC DC =，∵BCG DCB ∠=∠，∴BCG DCF ≌，∴CG CF =，∴CE CG EG CG BE CF BE =+=+=+．故答案为：CE CF BE =+．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法，证明BCG DCF ≌．第二部分附加题(共10分)25. 【答案】（1）11167963+=，222166365+= （2）2114212141n n n n +=−+−，()()()2222244141n n n +−=+ （3）196【分析】（1）根据所给算式可直接写出第4组等式；（2）由所给算式可知，第n 组的第一个等式左边是()21n −和()21n +的倒数和，右边的分子是()21n −与()21n +的和，分母是()21n −与()21n +的积；第二个等式左边是第一个等式右边分子、分母的平方和，右边是()21n −与()21n +的积加上2再平方；（3）根据296034491=×−，296054491=×+，结合（2）中规律可得449196k =×=．【小问1详解】解：第4组等式为：11167963+=，222166365+=，故答案为：11167963+=，222166365+=；【小问2详解】解：由分析可知，第n 组等式为：()()211212142121212141n n nn n n n n −+++==−+−+−，()()()()222222244141241n n n n +−=−+=+，故答案为：2114212141n n n n +=−+−，()()()2222244141n n n +−=+；【小问3详解】解：∵296034491=×−，296054491=×+，∴()()()22222449144910k k +×−=×+>，由（2）可知()()()2222244141n n n +−=+，∴449196k =×=，故答案为：196．【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据所给算式，总结归纳出一般性规律是解题的关键．26. 【答案】（1）见解析（2）1n n −【分析】本题考查整式的混合运算，不等式的性质，掌握作差法，以及完全平方公式，是解题的关键．（1）利用作差法进行比较即可；（2）设11a b ≥，利用已知条件，得到11b n≥，()222221231121311121n n n b b b b b b b b b b b b b b b b ++++≤++++=+++= ，()()112211212231n n n n n a b a b a b b a a a a a a a a a −++≥+++−+++ ，推出()()()2221122n n a b a b a b −+−++− ()()()2221211212231122n n n n a a a b a a a a a a a a a b −≤+++−++++++++ 1112b b =−+，即可得出结果．【小问1详解】解：∵()()()2222a x b y a b x y −+−−+−+ax x b by y b a x ab ax b y a x = −++−+−+− ++−+2222222222222by ab bx =−−+222()b x y a =−−2∵a x ≥，∴0x a −≤，∵0y ≥∴y −≤0∴x y a −−≤0∵0b ≥∴()b x y a −−≤20∴()()()22220a x b y a b y −+−−+−+≤∴()()()2222a x b y a b x y −+−≤+−+【小问2详解】设11a b ≥，∵12120,1n n b b b b b b ≥≥≥≥+++=， ∴11b n≥，()222221231121311121n n n b b b b b b b b b b b b b b b b ++++≤++++=+++= ， ∴()()11211123n n b a a a a b b a a a +++=++++()11123n a b a a a a ≤++++112212231n n n n a b a b a b a a a a a a −≤+++++++ ，∴()()112211212231n n n n n a b a b a b b a a a a a a a a a −++≥+++−+++ ， ∴()()()2221122n n a b a b a b −+−++− ()()()222222*********n n n n a a a a b a b a b b b b +++−+++++++()()()2221211212231122n n n n a a a b a a a a a a a a a b −≤+++−++++++++()212112n a a a b b =+++−+1112b b =−+11b =− 111n n n−≤−=． ∴()()()2221122n n a b a b a b −+−++− 的最大值为1n n−．。

西城区八年级数学上册期中测试题(含答案解析)

西城区八年级数学上册期中测试题(含答案解析)是．12．分解因式： = ．13．已知一次函数的图象经过点A（－1，y1）、点B（－2，y2），则y1 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC于点D，交AB于点E．若AE=3，△ADC的周长为8，则△ABC的周长为．15．计算：.16．若点M（a，3）和点N（2，a+b）关于x轴对称，则b 的值为．17．如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB 交OA于点C．若PC＝10，则OC＝，PD＝．18．甲、乙两车从A地出发前往B地．在整个行程中，汽车离开A地的距离 y（km）与时间t（h）的对应关系如图所示，则乙车的平均速度为 km/h；图中a的值为 km；在乙车行驶的过程中，当t＝ h时，两车相距20km．三、解答题（本题共15分，第19题4分，第20题5分，第21题6分）19．计算：．解：20．已知：如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，AE∥FD，且∠E=∠F．求证：EC=FB．证明：21．先化简，再求值：，其中．解：四、解答题（本题共16分，第23题6分，其余每小题5分）22．解分式方程：．解：23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（，），且与正比例函数的图象交于点B（，）．（1）求的值及一次函数的解析式；（2）若一次函数的图象与x轴交于点C，且正比例函数的图象向下平移m（m0）个单位长度后经过点C，求m的值；（3）直接写出关于x的不等式的解集．解：（1）（3）关于x的不等式的解集为．24．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）①在射线BM上求作一点C，使AC=AB；②在线段AB上求作一点D，使点D到BC，AC的距离相等；（2）在（1）所作的图形中，若∠ABM=72°，则图中与BC 相等的线段是．五、解答题（本题共14分，每小题7分）25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A （，），与y轴的正半轴交于点B．点C在直线上，且CA⊥x 轴于点A．（1）求点C的坐标；（2）若点D是OA的中点，点E是y轴上一个动点，当EC+ED 最小时，求此时点E的坐标；（3）若点A恰好在BC的垂直平分线上，点F在x轴上，且△ABF是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．解：（1）（3）点F的坐标为．26．已知：在△ABC中，∠ABC60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C，D重合），且∠EAC=2∠EBC．（1）如图1，若∠EBC=27°，且EB=EC，则∠DEB= °，∠AEC= °；（2）如图2．①求证：AE＋AC=BC；②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数．。

2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷附参考答案

2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠32．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣56．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分13．若分式的值为0，则x的值是．14．分式，，的最简公分母是．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于．三、解答题：本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）321．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）522．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠3【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值不存在，∴2x+4＝0，解得：x＝﹣2，则x的取值是：﹣2．2．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值等于0，∴|x|﹣3＝0，2x﹣6≠0，解得：x＝﹣3，故选：C．3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝【分析】根据分式的基本性质解答．【解答】解：A、原式＝，故本选项错误；B、原式＝﹣，故本选项正确；C、原式＝，故本选项错误；D、原式＝，故本选项错误；故选：B．4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．【解答】解：A．＝，不符合题意；B．＝，不符合题意；C．＝，不符合题意；D．是最简分式，符合题意；5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣5【分析】根据科学记数法的形式选择即可．【解答】解：0.00002018＝2.018×10﹣5，故选：A．6．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】先根据负整数指数幂的定义进行变形，再求出即可．【解答】解：（）﹣3＝（）3＝，故选：B．7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．故选：C．8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据CD是△ABC的角平分线，即可求出∠ACD的度数；再根据三角形内角和外角的关系即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝66°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣66°＝84°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝×84°＝42°．∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+42°＝72°．故选：D．9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④【分析】根据命题是判断性语句，可得答案．【解答】解：①你叫什么名字，没有作出判断，不是命题；②负数的绝对值等于它的相反数，正确，是命题；③相等的角是对顶角，正确，是命题；④明天下雨吗？是疑问句，不是命题，故选：B．10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF【分析】根据题意画出图形，再由全等三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：如图所示，A、AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，符合SAS定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；B、∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE，符合ASA定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；C、∵AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，故本选项错误；D、∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，符合SSS定理，∴△ABC≌△EFD，故本选项正确．故选：C．11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°【分析】根据三角形的外角的性质可知：∠BEC＝∠B+∠EDB，想办法求出∠B，∠EDB即可解决问题；【解答】解：∵AE平分∠CAB，∠CAB＝60°，∴∠EAD＝∠CAB＝30°，∵CD垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∠EDB＝90°，∴∠B＝∠EAD＝30°，∴∠BEC＝∠EDB+∠B＝90°+30°＝120°，故选：A．12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由△ABC≌△BAD（AAS），推出AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，再证明CO＝OD，可得∠CDA＝∠DCB，故③正确，由∠CDO＝∠OAB，可得CD∥AB，故④正确；【解答】解：∵OA＝OB，∴∠DAB＝∠CBA，∵∠ACB＝∠BDA＝90°，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（AAS），∴AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，∵BC＝AD，BO＝AO，∴CO＝OD，∴∠CDA＝∠DCB，故③正确，∵∠COD＝∠AOB，∴∠CDO＝∠OAB，∴CD∥AB，故④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）13．若分式的值为0，则x的值是0 ．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x＝0．将x＝0代入x+1＝1≠0．当x＝0时，分式分式的值为0．故答案为：0．14．分式，，的最简公分母是12a2b2c．【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：因为三分式中的常数项系数的最小公倍数是12，a的最高次幂是2，b的最高次幂是2，c的最高次幂是1，所以三分式的最简公分母是12a2b2c．故答案为：12a2b2c．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝ 2 ．【分析】先根据同底数幂的除法进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵3x＝10，3y＝5，∴3x﹣y＝3x÷3y＝10÷5＝2，故答案为：2．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于50°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝70°，根据三角形的内角和得到∠C ＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，根据线段垂直平分线的性质得到CF＝AF，EF⊥AC，于是得到结论．【解答】解：∵AC＝BC，∠B＝70°，∴∠CAB＝∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，∵EF是AC边的垂直平分线，∴CF＝AF，EF⊥AC，∴∠EAF＝∠C＝40°，∴∠AFE＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50°．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于﹣1 ．【分析】先利用异分母分式的加减法法则，计算m的值，再求出﹣m2018的值．【解答】解：m＝+＝＝∵ab＝1，∴m＝＝1∴﹣m2018＝﹣12018＝﹣1故答案为：﹣1三．解答题（共8小题）19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．【分析】先把分子分母因式分解，再约分得到原式＝，然后把x、y的值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝，当x＝﹣2，y＝﹣时，原式＝＝．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）3【分析】（1）先分解因式，再根据分式的乘法法则求出即可；（2）先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可；（3）根据分式的乘方法则求出即可；（4）根据分式的乘方法则求出即可．【解答】解：（1）•＝•＝﹣2x（x+1）＝﹣2x2﹣2x；（2）原式＝•＝；（3）（）2＝；（4）（）3＝﹣＝﹣．21．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）5【分析】（1）先算乘方，再算乘法即可；（2）先算乘方，把除法变成乘法，再算乘法即可．【解答】解：（1）原式＝••＝；（2）原式＝••＝﹣．22．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣【分析】（1）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案；（2）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）+﹣＝+﹣＝；（2）﹣﹣＝﹣﹣＝＝﹣．23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．【分析】根据平行线性质得到∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥ED，CD∥BF，∴∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ABF与△EDC中，∴△ABF≌△EDC，（ASA），∴AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SSS证得△ABD≌△CDB，则该全等三角形的对应角相等，即∠ABD＝∠CDB，故AB∥CD；（2）欲证明BE＝DF，只需推知△ABE≌△CDF即可．【解答】证明：（1）在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD；（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，又AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠F，然后求出∠ABF＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE 和△AFE全等即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．【解答】证明：（1）∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠F，∠ABF＝∠F，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）；（2）∵△ABE≌△AFE，∴BE＝EF，在△BCE和△FDE中，，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴BC＝DF，∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，即AD+BC＝AB．∵AD＝2，BC＝6，∴AB＝8．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？【分析】（1）首先设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，则设乙种污水处理器每小时处理污水（x+20）吨，根据题意可得等量关系：甲种污水处理器处理25吨的污水＝乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间，根据等量关系，列出方程，再解即可．（2）根据题意列出计算式解答即可．【解答】解：（1）设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，由题意得，，解之得，x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，所以x＝50，x+20＝70，答，甲种污水处理器每小时处理污水50吨，乙种污水处理器每小时处理污水70吨．（2）30×4×50×30+30×4×70×50＝180000+420000＝600000（元），答：该厂每个月（以30天计）需要污水处理费600000元．。

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−3ab
21b
（1）
÷
．
4x2 y
10xy
1
2
（2）
+
．
2 (x − y)
x2 − 3xy + 2y 2
19. 解方程：
1
2x
1−x
（1）
+
= 2−
．
x−2
x+2
x2 − 4
x−1
2x−3
（2）
(
27 )
2 ×( )
4
=．
8
3
9
a2 + 1
20. 先化简，再求值：(
− 2) ÷
(a + 2)(a − 1)
由上述①式②式相等，请继续推导直角三角形中a、b、c的关系．
2016~2017学年北京西城区北京四中初二上学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 【答案】C
2. 【答案】C
3. 【答案】A
4. 【答案】D 5. 【答案】C 6. 【答案】B
康智爱
7. 【答案】A
8. 【答案】D
康智跑4 步．问老虎能否追上兔子．如果能追上，求老虎跑多远追上；如果不能追上，叙述理由．
爱
30. 我们在A卷25题中证明了“三角形的三条角平分线交于一点”，这点I 叫做△ABC 的内心，显然内心I 到三角形三边的距离
相等，这个距离叫做三角形的“内切圆半径”，记作r，下面我们来讨论r的求法．
（1）已知，如图，△ABC 的三边长AB = ， c AC = ， b BC = a，面积为S，则S = S△IAB+ S△IBC+ S△IAC =
康 3．I 是 A ∠BAC 的角平分线智 4．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上爱（3）画图见解析．
26. 【答案】（1）AC//BD ．
14
（2）当两点运动时间为2 ，，12秒时，△OPE 与△OQF 全等．
3
附加题（第27题3分，28题5分，29、30题每题6分）
27. 【答案】15，−15 ，1 ， 3 −17
23. 将4 × 4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．
康智爱
24. 我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A：体操；B：跑操；C：舞蹈；D：健美操四项活动．为了了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
2019~2020学年北京西城区北京四中初二上学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）．
A. B. C. 2 x − x − 2 = x(x − 1) − 2
2 (x + 1)(x − 1) = x − 1
2
2
x − 4x + 4 = (x − 2)
．
28.
如图，△ABC 中，AB = ， AC ∠B = ∠C
= 40∘，点E、F 在BC 边上，∠AEF
，，求线段、 ∘
∘
= 70
∠AF E ห้องสมุดไป่ตู้ 60
BE EF
、C F 围成的三角形的各内角度数．
29. 在笔直的公路上，一只老虎想捕获距离它14米远的一只兔子．老虎跑5步的距离，兔子要跑9步；老虎跑3步的时间，兔子能
然后他将原命题转化为：
已知：在△ABC 中，∠ABC 和∠AC B的平分线交于点I ，求证：AI 是__________．
（1）请帮小明补全命题的结论：AI 是
．
（2）结合右图，补全下面证明过程（括号中填写定理内容）
作I P ⊥BC 于点P ，I Q⊥AC 于点Q，I R⊥AB于点R．
∵ 平分，，， BI
三、解答题（共46分）
17. 【答案】（1）y(x + 2)(x − 2) ．（2）． 2
−x(x − 1)
5a
18. 【答案】（1）− ．
14x
康智
（2）
3x − 4y 2
爱．
(x − y) (x − 2y)
11
19. 【答案】（1）x = ．
4
（2）x = −2 ．
20. 【答案】1．
21. 【答案】证明见解析．
−a − b
a+b
（1 ）
=−
；
c− d
−c + d
−a − b
a+b
（2 ）
=
；
c+ d
c+ d
−a − b
a+b
（3 ）
=
；
c− d
−c − d
−a − b
−a − b
−a − b
−a − b
（4 ）
=−
．
c− d
c+ d
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8. 如图，将长方形ABC 沿 D AE折叠，使D点落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF = 60∘，那么∠DAE等于（）．
C
′
B．
′
′
作法：在BP 上截BA = BA，以点B为圆心、BC 为半径作弧，以点A 为圆心、AC 为半径作弧，两弧在射线BP 右侧交于
点C
′
′
，则△A
C
′
B即为所求．
请简述操作原理：
．
三、解答题（共46分）
17. 计算：
（1）
2 xy
−
4y．
（2）． 3 −x + x(2x − 1)
康智爱
18. 分式化简：
为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作P E⊥C D于点E， QF ⊥C D于点F ．问两动点运动多长时间时△OP 与 E △OQF 全等？
附加题（第27题3分，28题5分，29、30题每题6分）
27. 已知n是整数，且|n2 + 2n − 224|是质数，则n =
智
1
1
爱 1
4. 已知x ≠ 0，则 + + 等于（）．
x
2x
3x
1
A.
2x
1
B.
6x
C. −4 0.3082 × 10
5
C.
6x
5. 如图，已知AB = ， C D BC = ， AD ∠B = 23∘，则∠D为（）．
D. −6 30.82 × 10
11
D.
6x
A.
∘ 67
B.
∘ 46
C.
∘ 23
（1）这次被调查的学生共有
人．
（2）请将统计图2补充完整．
（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是
度．
（4）已知该校共有学生3600人，请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数，并给出对活动安排的合理建议．
25. 小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点．小明首先根据题意画出图形如下面左图．
△ABC 的面积是
．
14. 为使x2 + bx + 5在整数范围内可以分解因式，则b可能取的值为
．
15.
如图，AD是△ABC 的角平分线，若AB
:
AC
=
5
:
，则 3
S△ABD:
S△ACD=
，进而BC : C D =
．
16.
已知△ABC 如图，现将△ABC 绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP
′
上，求作△A
∠ABC I P ⊥BC I R⊥AB
∴ （ I P = I R
），
同理：
，
∴ ， I Q = I R
康
智又∵ ，， I Q⊥AC I R⊥AB
∴
（
爱）．
（3）根据上述结论，完成下述作图任务：
如图，有一张矩形纸片ABC D，上面画有一个角的两边m、n，但是这个角的顶点P 在纸片的外部，试在纸片
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 当x
4
时，分式
的值为正数；当 x
8−x
x+3
时，分式
的值为−1．
|x| − 3
−2
0
12. 写出中间过程及结果：
+ (√5) =
+
=
．
−2
5
13. 如图，已知BD是△ABC 的中线，C F 是△BC D的中线，AE//C F 交BD的延长线于点E，若△ADE的面积为3，则
A.
∘ 60
B.
∘ 45
C.
∘ 30
9. 以图中方格纸的3个格点为顶点画出三角形，不全等的三角形有（）种．
D.
∘ 15
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
康
智 10.
若三角形的三条边的长分别为a、b、c，且a2b −
2 a c+
2 b c−
3 b
=
0 ，则这个三角形一定是（
）．
A. 等腰三角形
爱B. 直角三角形
28.
【答案】三角形的各内角度数为40
、 ∘ 8
0
、 ∘ 60
∘．
29. 【答案】老虎能追上兔子，需要跑54米才能追上．
1
30. 【答案】（1）1． (a + b + c)r
2 2S
2．