高考数学 题目的命制背景及试卷的对策 专题06 数学文化与现代科学
以数学文化为背景命制的高考试题
们的文学素养，使其小学生活得以升华！参考文献[1]常璐.语文教学与社会主义核心价值观的培育[J].湖北师范学院学报(哲学社会科学版)，2016,05:153-156.[2]周翔.农村小学语文核心素养价值引领的探讨[J].科学咨询(科技·管理)，2016,05:22.[3]姚春杰.小学语文名师课堂深度解析[m].华东师范大学出版社.摘 要:随着课改的不断推进，高考数学也在不断的发生变化，试卷上出现了以数学文化为背景的高考试题。
在这些题目中将数学文化与时代元素相结合，不仅透露着浓厚的数学文化气息，还将数学中的相关知识与题目的解答技巧、方法等与数学文化融为一体。
在此背景下命制的题目不仅仅能够在新的情景下考察学生对于知识的理解掌握能力，还考察了学生对于知识的灵活运用能力，让学生在不同的场景中运用相应的知识，能够检测学生对于所学知识的思维广度和深度，对于提高学生学习的潜能都有很大的好处，这也是近几年高考试题的一大亮点，本文笔者将以高考中的真题为例，浅析以数学文化为背景命制的高考试题。
关键词:数学文化 高考试题 背景我国在数学领域对于世界的贡献无论是在古代还是在现代都很突出。
比如勾股定理，这是两千多年前我国古代的数学家尚高首次发现的，比西方的数学家毕达哥拉斯还要早三百多年的历史;赵爽证明的勾股定理的弦图，至今为止都让人们叹为观止，而且还在2002年的北京国际数学家大会上被选中作为大会的徽标，成为中国人民的骄傲，中国的数学家们以及所有的中国人民都为之自豪。
在我国还有很多伟大的像祖冲之、杨乐、张广厚、华罗庚、陈景润等在现代数学领域做出了重大贡献的一代代数学家们。
一、以圆周率为背景的高考试题在南北朝时期，我国的天文历算学家祖冲之经过自己的刻苦学习、广泛的搜集材料、测量和推算终于在460年采用刘徽的割圆术计算出了圆周率应该是在3.1415926到3.1415927之间，开创了一项世界记录。
他的计算结果比欧洲早了一千多年。
高考数学创新型试题的背景
高考数学创新型试题的背景从1999年起,我国高考数学命题就把“能力立意”作为命题的核心理念和根本原则。
“能力立意”的核心是考查思维能力、创新意识和实践能力。
创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一。
高考数学创新型试题是指从测量考生的发展性学习和创造性学习着手突出能力考查的新颖问题。
高考数学创新型试题一般都有深刻的背景。
因此,对创新型试题的背景的研究已成为高考研究的热点问题。
本文拟从教材背景、高等数学背景、实际生活背景、新课程改革背景、竞赛数学背景、数学文化背景等角度,对高考数学创新型试题的背景作初步分析,供大家参考。
一、教材背景教材是学生学习之基础,高考命题之根本.从高考试题的题源来看,教材是试题的主要来源,是高考命题的基本依据和出发点,历年高考试卷中都有一些试题直接出自于教材或由教材上的例、习题改编而成。
如2007年高考数学四川卷超过一半的试题在教材中都能找到原型或出处,理科的第1、2、3、4、5、10、13、14、15、16、17、22(Ⅰ)等题直接出自于教材或由教材上的例、习题改编而成。
完全离开教材的新课教学和高三复习,会偏离高中数学课程的重心,事倍功半,效率低下。
当然,依赖于教材的复习,不是1/ 9照本宣科或简单重复,需要对教材进行纵向和横向的整合,纵向整合教材有助于知识的螺旋式深化,实现知识网络向认知网络的有效转化。
横向整合教材就是通过构建横向问题系统,也即构建知识的网络,使数学知识系统以不同问题方式展现出来,使学生在不同方式的问题认知过程中实现认知结构的整体优化。
如证明不等式,可以用配方法、换元法、判别式法、分析法、反证法、基本不等式法、数学归纳法、放缩法等基本方法,也可以利用函数的性质、向量、不等式的性质、三角函数、解析几何、导数等基础知识,还可以用数学思想(如数形结合思想、分类与整合思想、函数思想、参数思想等)。
这就要求学生从多个角度、多种方法看待问题和解决问题,这对培养学生的发散思维和思维的灵活性是有益的,并能优化解题策略,提高解题效率。
高考数学 题目的命制背景及试卷的对策 专题03 立体几何中的数学文化
专题03 立体几何中的数学文化一.专题综述以选择题或者填空题的形式，以垂直关系或者平行关系以及三视图中的表面积、体积问题为背景考查数学文化相关知识，意在考查读题、分析问题能力和逻辑推理能力等.预测：以平行关系、垂直关系、三视图为题材考查空间中的文化二．回顾高考1.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则12384r⨯⨯==163r=，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.2.【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD-中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD CD=，过棱PC的中点E，作EF PB⊥交PB于点F，连接,,,.DE DF BD BE（Ⅰ）证明：PB DEF⊥平面．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．【解析】（解法1）（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥， 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =I ， 所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥.而PC BC C =I ，所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥，DE EF E =I ，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，.设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ+ 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=, 则 2πtan tan 133BD DPF PDλ=∠==+, 解得2λ=所以12DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =. （解法2）（Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-u u u r，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =u u u r ，于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r，即PB DE ⊥.又已知EF PB ⊥，而DE EF E =I ，所以PB DEF ⊥平面.因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，.三．典例分析例 1. 我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A.4－π2B.8－4π3C.8－πD.8－2π【答案】C例2．(2017·新乡三模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈.问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如下图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为( )A.5 000立方尺B.5 500立方尺C.6 000立方尺D.6 500立方尺 【答案】A【解析】该楔形的直观图如图中的几何体ABCDEF ，取AB 的中点G ，CD 的中点H ，连FG ，GH ，HF ，则该几何体的体积为四棱锥F －GBCH 与三棱柱ADE －GHF 的体积之和，而三棱柱ADE －GHF 可通过割补法得到一个高为EF ，底面积为S ＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔形的体积V ＝23×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺. 【规律总结】1.本例以《九章算术》，祖暅原理为背景，相应考查圆锥的体积公式、三视图及其体积计算.既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化.2.两题很好地诠释了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》中对数学文化内容的要求，加强对中国优秀传统文化的考查，引导考生提高人文素养、传承民族精神，树立民族自信心和自豪感，试题的价值远远超出试题本身. 四．强化训练1. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d≈.人们还用过一些类似的近似公式.根据π=3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )【答案】D 【解析】因为且3.142 857-3.141 59=0.001 267.综上可知，选项D最精确.2. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马与鳖臑的体积之比为（）A. 3:1B. 2:1C. 1:1D. 1:2【答案】B3. 中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）A. 3795000立方尺B. 2024000立方尺C. 632500立方尺D. 1897500立方尺【答案】D4. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（）5373333【答案】A3,1的直角三角形，高为1；右侧为“阳马”，3,底面是边长为1正方形；因此体积为1153 131311236⨯+⨯=，选A.5. 祖暅（公元前5-6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家. 他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异. ”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上. 以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立. 据此，短轴长为4cm ，长轴为6cm 的椭球体的体积是 __________3cm ．【答案】16π6. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90o 榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）【答案】41π【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设其半径为R,222222141324R ⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭，所以该球形容器的表面积的最小值为2441R ππ=． 7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）A. 1.2B. 1.6C. 1.8D. 2.4 【答案】B【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：,则.8. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
高考数学试卷的命制与研究
高考数学试卷的命制与研究——南京数学学科会议精神摘要阜宁中学陈劲松命制一个新的数学问题，特别是数学试题，既要有相应的理论作指导，又要有一定的实践经验。
凡自己动手命制过试题的老师都深有感触，命题难，命制出高质量的试题难上加难。
命题的质量在一定程度上反映出一位教师的水平和能力。
命题水平的提高既取决于相关理论的学习、自己的探索实践，同时也在于对试题命制的成功经验及失败教训的研究总结，其中对高考数学试题的研究尤其为人青睐。
近几年的高考数学试题的命制，在考基础考能力稳定创新的思想指导下，继承与创新有机结合，命制出了许多令人叹为观止的经典之作，极大地丰富了数学命题的理论和实践，对其学习研究和借鉴，对提高自身水平无异具有极大地帮助。
结合近几天去南京学习的精神，从试题命制及试卷评讲的角度谈一些看法。
一、好高考试卷的标准一份试卷受到的制约因素较多如高考的性质、考试科学达到的高度、命题者的素养、对考生的依赖性、对教学的依赖性以及试卷的呈现方式等。
评价高考试卷好坏的标准从如下几个方面看：1、有利于政府、大学、中学之间的融洽2、有利于提高整个高考的效度3、有利于发挥学生的正常水平4、有利于促进高考命题自身的改进和完善.二、考试内容和考法1. 具体内容：以高中课本为蓝本，以大纲、考纲为准则2. 考法分三个层面：知识层面，方法层面，思想层面知识层面重点考查学生“知道”与“不知道”，方法层面重点是方法及适用的典型问题考查学生“会用”与“不会用”，思想层面重点考查学生“会思考”与“不会思考”三、优秀高考试题赏析（2000全国高考试卷）19、设函数()f x ax=，其中a＞0，（1）解不等式f（x）≤1；（2）证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞)上是单调函数．试题特点：形式简洁，难度适中（2008江苏高考试卷）17、如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．（1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设∠BAO=θ（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP=x （km ），将y 表示成x 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.试题特点：内涵丰富，试题设计漂亮（2009年江苏高考试卷）18题、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆1c :22(3)(1)4x y ++-=和圆222:(4)(5)4c x y -+-=（1）若直线l 过A （4,0）,且被圆1c截得弦长为，求直线l 的方程。
高考数学试题的背景研究
高考数学试题的背景研究高考数学试题的背景研究赵荣夫(江苏省徐州市侯集中学221121)高考数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想和方法的考查,注重对数学能力的考查,注重展现数学的科学价值和人文价值.同时试题力求立意新颖、表述脱俗、背景公平.下面笔者从试题的来源出发对命题背景作些探讨.1 植根于课本着眼于提高课本是数学知识和数学思想方法的载体,又是教学的依据,理应成为高考试题的源头.因此高考命题注重课本在命题中的作用,充分发挥课本作为试题的根本来源的功能.通过对高考数学试题命题的研究可以发现,每年均有一定量(10题左右)的试题,通过变形、延伸与拓展来命制的.表现为三个层次:第一,选编原题、仿制题.即有的题目直接取自教材,有的是课本概念、公式、例题、习题的改编.如2006年湖北理科卷第15题和辽宁理科卷第17题以及广东卷第9题等;第二,串联方法、综合习题.也就是说,有的题目是教材中几个题目或几种方法的串联、并联、综合与拓展.比如2006年广东卷第15题,湖南文科卷第16、19题等;第三,活加层次、动添参数.即通过增加题目的层次,设置隐含的条件、引进讨论的参数,改变设问的方向等,提高题目的灵活性和综合性.比如2006年湖南理科卷第20题:对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1-污物质量物体质量(含污物))为0.8,要求清洗完后的清洁度为0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x+0.8x+1(x>a-1),用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是y+acy+a,其中c(0.8<c<0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.< p="">(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当a为某固定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最小?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.该题显然源于人教版《数学》(必修)第一册(上)第98页“小结与复习”的例2(也是2001年上海高考题),经过加工改造整合而成.本题背景公平、平凡中见真奇、立意新颖,综合考查了函数、不等式和导数等知识,体现了高考在“知识网络交汇点”命题的指导思想.教材中有不少题目,如果我们对其进行挖掘、延伸、转化和拓广,就会得到一些综合性强,符合创新精神的新命题,这样不仅能激发学生的学习兴趣,而且符合高考题源于课本、高于课本的命题思想,同时能引导学生跳出“题海”,回归课本,重视教材.2 顺应新课改体现新理念目前新一轮课程改革正在如火如荼的进行,高考数学试题理应关注高中数学课程改革的进展,汲取新课程中的新思想、新理念,使高考数学科考查更加反映数学教育改革的发展方向.因此课本和《新课程标准》的交集成为试题的创新地带.在现行课程试卷中,融入了新课标的教育理念,比较注重考查考生的创新意识和动手能力,体现自主学习和主动研究精神.对传统内容的处理,设计了新的考查形式,编拟了新的题型,开发了新的背景,试题切入容易,深入难,有利于区分考生,鼓励考生多层次、多样化的发展,贯彻了发展性课程评价的理念.比如,2006年四川理科卷第8题与《新课程标准》中必修数学5的参考案例2基本相同;2006年陕西理科卷第12题涉及的是《新课程标准》中选修3—2中信息安全与密码中的概念;2006年重庆理科卷第9题与《新课程标准》中选修1—1的参考案例4如出一辙.再如2005年北京理科卷的第14题: 已知n次多项式Pn(x)=ax n+a1x n-1+…+ a n-1x+a n.如果在一种算法中,计算x k0(k=2,3,4,522006年第12期数学教学研究…,n)的值需要k-1次乘法,计算P3(x)的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算Pn (x)的值共需要次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:P(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1,(k=0,1,2,…,n-1).利用该算法,计算P3(x)的值共需要6次运算,计算P n (x)的值共需要次运算.该题源于人教新课标版《数学3》第28页的秦九韶算法.“新课程未施,考题先行”,这是对本题的评价,该题引入了“算法”概念,“算法”是《新课程标准》中新增加的一部分知识,由此我们是否可以得到某种启示呢?现在我们正处于向新课程标准的过渡时期,高考试题也在逐步的过渡,想必新课程标准在高中普及实施以后,高考试题势必将发生根本性的变化.因此在2007年备考中我们更要关注新课标教材在现行教材知识基础上有所增加的部分,应注重渗透新课程理念,指导学生在主动探索、思考、领悟中,牢固掌握基础知识,切实提高能力和数学素养.作为教师在新课标全面实行之前,应提前进入角色,提前解读课标,提前把握课标.3 借用高观点考查潜能力高观点题指与高等数学相联系的问题,这样的问题或以高等数学知识为背景,或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法.高观点题的起点高,但落点低,也就是所谓的“高题低做”,即试题的设计来源于高等数学,但解决的方法是中学所学的初等数学知识,所以并没有将高等数学引进高中教学的必要.考生不必惊慌,只要坦然面对,较易突破.以高等数学为背景的高考题大致分为三类:一是改编高等数学题.即把高等数学原来问题的条件或结论加以改造(强化、弱化或等价转化),变换形式,改变提法,从而做初等化处理,使之可用初等数学方法解决.如2006年四川理科卷第16题,是以高等数学群论为背景而编拟的一道判断填空题,它考查考生在新情景下对新知识的接受理解能力,抽象概括能力,是一道颇有新意的试题;二是从高等数学的定理出发来改编(降维).即把高等数学中一般性的定理等,用特殊化方法转化成初等数学问题,揭示了问题的本质及其变化规律.如2005年湖北理科卷第22题的背景为发散的调和级数并结合高斯函数, 2006年四川理科卷第22题以及2005年全国理科卷(Ⅰ)第22题的背景是函数的凸性及琴生(Jensen)不等式;三是引入有高等数学背景的新概念.即命题中引进了中学数学教学中未曾见过的一些“新概念”,这些新概念有着高等数学的背景,而且能够为考生感性上所理解和接受,对综合考查学生进一步深造的潜能有着不可低估的作用.如2005年湖南理科第10、15题,2006年辽宁理科第5题以及2006年上海理科第6题等.高考命题队伍中高校教师占有较大的比例,这样的命题人员结构,为高等数学的思想和方法,经过改造后进入高考数学试卷成为高考数学命题创新的一条重要途径.从而将高等数学问题下放,用初等方法来解决高等数学与初等数学的衔接问题,成为近年高考中的一个热点.同时这也有利于考查考生继续学习的数学潜质和创新能力,有利于高校选拔人才.4 改编竞赛题试题竞赛化高考试题竞赛化,竞赛数学思想渗透于高考问题之中,这是近年高考试题的一个比较明显的特征.究其原因:一是近几年来,各类竞赛题相继降低了门槛,越来越贴近高考,而随着素质教育的深入,高考数学也加强了能力考查的力度;二是数学竞赛专家参与了高考命题工作.“数学是思维的体操”,而数学竞赛更是考查一个人智力水平和综合能力的重要手段,高考功能虽然不同于竞赛,但同样具备选拔功能,通过高考选拔智能健全的可造之才.因此近年高考部分题来自数学竞赛题改编,比如2006年福建理科卷第11题改编自2004年全国高中数学联赛第一试的第4题;2005年重庆文科卷第10题与第十届高一“希望杯”的第20题同源;2003年北京理科卷第20题是1983年全国高中数学联赛题第二试第2题改编;2005年全国卷(Ⅲ)理科第6题雷同于2005年河南数学竞赛试题(见《中等数学》杂志);2005年全国卷(Ⅲ)理科第16题和1979年陕西数学竞赛试题相近.这就要求我们在高三的数学复习中,对历年的典型竞赛试题(如全国高中数学联赛和“希望杯”)也要有所研究,这样才能更好地指导高三学生进行考前综合训练.5 研究高考题预测新趋势历届高考试题成为高考试题的借鉴,先例可循,对自主命题的省份更是如此.高考数学命题首先求稳,其次求新,强调稳定,也就是承认命题是一种自62数学教学研究 2006年第12期然的发展,不会有突变,命题不能割断历史.历年试题呈现一种规律性的东西,它的发展和变化轨迹会给我们很多启示.因此认真研究近几年的高考真题,其一是找出规律,明确:选择题考什么,怎么考?填空题考什么,怎么考?解答题考什么,怎么考?从而增强备考的有效性.例如:近几年高考解答题常见的有6类题型:三角函数、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与不等式、数列,这就要求我们在教学中有针对性地再次在几块主干知识上多下点功夫.再者,有的高考题是从以前高考陈题出发改编而成.如2006年湖南理科卷第20题是2001年上海理科卷第21题的改编;2005年全国卷(Ⅲ)的第11题是一道陈题,但作为高考试题对考查考生的空间想象能力也不乏是一道好题;2005年全国卷(Ⅲ)理科第3题与2002年全国高考理科第15题本质是一样的;2005年天津高考第20题和1986年全国高考试题5基本一致!这就要求我们在高三的复习中对历年(特别是近年)的典型高考试题进行认真的研究,让学生掌握其解题思路和方法,做到陈题新解.除此之外,还应关注经典名题以及初等数学研究的最新成果.总之我们应努力探索高考命题规律,关注热点、挖掘冷点、研究交汇点、重视常考点,这样一定会增强备考复习的有效性与针对性,从而达到事半功倍的效果.参考文献[1] 罗增儒.怎样解答数学高考题[M].西安:陕西师范大学出版社,1996.[2] 裴光亚.高考数学复习的话题与认识[J].中学数学教学参考,2006(3).与时俱进的不等式恒成立与有解问题张世林郭东风(湖北省巴东县第一中学444300)不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容,是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点.随着中学数学引进导数,为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具.在近几年的高考试题中,涉及不等式恒成立与有解的问题,有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目,比如2006年高考江西卷以及湖北卷.其中,特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题,用初等方法难以处理,而利用导数来解,思路明确、过程简捷流畅,淡化了繁难的技巧,它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法,而且还考查极限、导数等新增内容的掌握和灵活运用.它常与思想方法紧密结合,体现能力立意的原则,带有时代特征,突出了高考试题与时俱进的改革方向,因此,越来越受到高考命题者的青睐.下面通过一些典型实例作一剖析.1 不等式恒成立与有解的区别不等式恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一团.(i)不等式f(x)<k,x∈i;或f(x)的上界小于或等于k.<="" max(x)="" p="">(ii)不等式f(x)<k,x∈i;或f(x)的下界小于k.<="" in(x)="" m="" p="">(iii)不等式f(x)>k在x∈I时恒成立Ζf m in(x)>k,x∈I;或f(x)的下界大于或等于k.(iv)不等式f(x)>k在x∈I时有解Ζf max(x) >k,x∈I;或f(x)的上界大于k.解决不等式恒成立和有解问题的基本策略常常是构作辅助函数,利用函数的单调性、最值(或上、下界)、图像求解;基本方法包括:分类讨论,数形结合,参数分离,变换主元等等.例1 已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x) =2x3+5x2+4x,其中k 为实数.(Ⅰ)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;(Ⅱ)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;722006年第12期数学教学研究</c<0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.<>。
高等数学背景下的高考数学
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12、以历史名题的简化和引申为题
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二、以数列知识为依托，研究数列的 各种性质
涉及内容： 1、数列的敛散性
2、函数与数列
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1、数列的敛散性（极限问题） 极限思想是高等数学教学的主线, 是高等数学的核心内容,也是整个高等 数学的基础。 极限知识自从进入中学 教材后就成为了每年数学高考的必考 内容,考查范围往往为求值问题、不等 式证明问题。
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• 第一层次：选编原题，仿制题。有的题目 直接取自于教材，有的是课本概念、公式、 例题、习题的改编。 • 第二层次：串联方式，综合习题。即有的 题目是教材中几个题目或几种方法的串联， 综合与拓展。 • 第三层次：增加层次，添加参数。即通过 增加题目的层次、设置隐含条件、引进讨 论的的参数，改变提问的方向等，提高题 目的灵活性和综合性。
以高等数学的抽象代数中的运算系统知 识为背景设计一个陌生的数学情景, 给出一定 容量的新信息,通过阅读相关信息,捕捉解题灵 感而进行解答的一类新题型。此类试题具有 一定的开放性,便于考查对新颖材料的学习理 解能力、信息处理的解题能力。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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11、周期性
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• 评注：本题类比函数周期性给出集合中元 素性质，以研究探索三个函数与集合的关 系为目标，综合考查函数概念、性质、图 像等基础知识和代数推理、演绎推理、分 析抽象及推广研究命题的能力.特别是通过 解题过程，对理性思维能力进行了深层次 的考查.
浅议高中数学试卷的命制
浅议高中数学试卷的命制【摘要】高中数学试卷是学生学习和评估的重要工具，其命制旨在全面评估学生对数学知识的掌握和应用能力。
本文从试卷命制的原则、题型设计、难度控制、内容覆盖面以及具体步骤等方面进行探讨。
在试卷命制中，需遵循科学性、客观性、公平性和全面性的原则，并合理设计题型，控制难度，确保内容覆盖面广。
高中数学试卷的命制需要关注关键因素，持续优化流程，以保证评估结果的准确性和有效性。
通过不断完善试卷命制流程，可以提高试卷质量，促进学生的学习和发展。
高中数学试卷的命制关乎教育质量和学生成长，因此必须认真对待，持续优化流程，确保试卷具有审慎性和科学性。
【关键词】高中数学试卷、命制、重要性、目的、原则、题型设计、难度控制、内容覆盖面、具体步骤、关键因素、持续优化流程。
1. 引言1.1 高中数学试卷的重要性高中数学试卷在学生的学习中扮演着非常重要的角色，它不仅是对学生学习成果的检验，也是对教师教学质量的一种评价。
高中数学试卷的重要性体现在它能够帮助学生巩固所学知识，提升解决问题的能力。
通过解答试卷中的各种题目，学生可以将课堂上所学知识应用到实际问题中，从而更加深入地理解和掌握数学知识。
高中数学试卷也可以激发学生学习的积极性，促使他们主动学习、勤于思考。
通过不断地练习和检验，学生能够逐渐提高自己的学习能力和解决问题的能力，为未来的学习积累经验。
高中数学试卷还可以帮助教师了解学生的学习情况，做到因材施教，有针对性地调整教学内容和方法。
通过分析学生试卷的答题情况，教师可以及时发现学生存在的问题和困难，为学生提供精准的辅导和指导，帮助他们更好地掌握数学知识。
高中数学试卷的质量和设计对于学生和教师都至关重要，它直接影响着教学效果和教育质量，应该得到足够的重视和关注。
高中数学试卷的重要性不可忽视，它承载着学生学习和发展的希望，是推动教育进步的重要环节。
1.2 试卷命制的目的试卷命制的目的是为了有效评估学生对高中数学知识的掌握情况，并帮助他们提升数学学习能力。
高考数学文化题目的命制背景-数列中的数学文化
高考数学文化题目的命制背景-数列中的数学文化背景：高考数学文化题目常以等差数列、等比数列为背景，考查读题、分析问题能力和逻辑推理能力。
预测：本文将以等差数列为题材，考查数列中的文化。
回顾：以2017年高考数学文化题目为例，考查了古代数学名著《算法统宗》中的问题，要求求解一座7层塔顶层的灯数，利用等比数列的知识进行计算。
典例分析：以2017江西红色七校联考为例，考查了《张丘建算经》中的问题，要求求解一个女子每天织布的数量，利用等差数列的知识进行计算。
另一道题目则考查了《算法统宗》中的问题，要求求解一个人走378里路后第二天走了多少里程，利用等比数列的知识进行计算。
规律总结：我国古代数学注重算理算法，很多问题可转化为等差数列、等比数列问题。
数学文化题目考查的是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立数列模型，进行数列的基本计算，利用方程思想求解。
1.XXX是明代的一位著名音乐家、数学家和天文历算家。
他在著作《律学新说》中制定了十二平均律，这是目前世界上通用的将一组音分成十二个半音音程的律制。
这些音程之间的频率比完全相等，因此也被称为十二等程律。
具体来说，一个八度包含13个音，相邻两个音之间的频率比相等，而最后一个音的频率是最初那个音的2倍。
如果设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则f2/f1=2^(2/12)=1.1228.2.《孙子算经》是我国古代的一部数学名著。
其中有一个问题是：“今有五个诸侯，共分60个橘子，每人加三个。
问：五人各得几何？”这个问题的意思是：五个人要分60个橘子，他们分得的橘子数构成一个公差为3的等差数列。
得到橘子最少的人所得的橘子个数是6.3.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作。
其中有一个问题是：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去。
已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里；驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里。
(新课标)2018年高考数学 题目的命制背景及试卷的对策 专题04 概率统计中的数学文化
专题04 概率统计中的数学文化一.专题综述以小题或者解答题的形式，以现实生活中朴实的事例结合古典数学为背景考查数学文化相关知识，让学生体会数学来源于生活的本质，体会数学美预测：以挖掘古代数学和现实生活中鲜为人知的事例考查概率模型。
二．回顾高考1. 【2017课标1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B2.(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到G 处的老年公寓参加志愿者活者，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9 【答案】B【解析】分两步：小明从E 处到F 处有C 24＝6种走法.两人一起到G 处有C 13＝3种走法.由分步乘法计数原理，共有6×3＝18种路径.三．典例分析例1. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )A.2π B.1π C.12πD.14π【答案】D【解析】易知铜钱的面积S ＝π×22＝4π，铜钱小孔的面积S 0＝1.根据几何概型，所求概率P ＝S 0S ＝14π.例2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．【答案】22【规律总结】1.弘扬中华传统文化在数学中体现为两点：一是挖掘古代典籍与数学知识的结合点；二是将数学落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌.2.试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例.四．强化训练1. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x ，y ）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y ）的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈__________.（用分数表示）【答案】7825【解析】由题意，200对都小于1的正实数对（x,y ），满足01{01x y ≤≤≤≤，对应图形面积为1，两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对（x,y ）满足221x y +<且01{011x y x y ≤≤≤≤+>，对应图形的面积为142π- ，因为统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y ）的个数m=56，所以56178,2004225ππ=-∴=． 2. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈= 10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率=3），则该圆柱形容器能放米____斛． 【答案】27003. 【2018广西贵港市联考】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A.2129 B. 2329 C. 1112 D. 1213【答案】A【解析】如图所示，设水深为x 尺，由题意可得： ()22225x x +=+，求解关于实数x 的方程可得： 214x =， 即水深为214尺，又葭长为294尺， 则所求问题的概率值为2129p =.本题选择A 选项.4. 【河南省2018届高三12月联考】如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（ ）A.64π B. 32π C. 16π D. 8π 【答案】D5. 【2018甘肃高台县模拟】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A.27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320mm π【答案】B6. 【2018湖南五市十校教研教改共同联考】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A.13 B. 49 C. 59 D. 23【答案】A【解析】设齐王的三匹马分别记为a 1,a 2,a 3,田忌的三匹马分别记为b 1,b 2,b 3， 齐王与田忌赛马，其情况有：(a 1, b 1)、(a 1, b 2)、(a 1, b 3)、(a 2, b 1)、(a 2, b 2)、(a 2, b 3)、(a 3, b 1)、(a 3, b 2) 、(a 3, b 3)， 共9种；其中田忌的马获胜的有(a 2, b 1)、(a 3, b 1)、(a 3, b 2)共3种,则田忌获胜的概率为3193=， 故选：A.7．南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率π的值在3.1415926与3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及内切圆随机投掷豆子，在正方形中的400颗豆子中，落在圆内的有316颗，则估算圆周率的值为（ ） A. 3.13 B. 3.14 C. 3.15 D. 3.16【答案】D【解析】 设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 根据几何概型的概率公式，可以得到64480π=，解得 3.16π≈，故选D ． 8. 【2018福建福州市第一中学模拟】圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”。
高考数学文化题目的命制背景-数列中的数学文化
高考数学文化题目的命制背景-数列中的数学文化一.专题综述以选择题或者填空题的形式，以等差数列、等比数列为背景考查数学文化相关知识，意在考查读题、分析问题能力和逻辑推理能力等.预测：以等差数列为题材考查数列中的文化二．回顾高考【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】三．典例分析例1. (2017·江西红色七校联考)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布.( ) A.12 B.815C.1631D.1629【答案】D【解析】 每天织布数依次构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝5，设该等差数列的公差为d ，则一月织布总数为S 30＝30×5＋30×292d ＝150＋435d ＝390，解之得d ＝1629. 例2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A.192里B.96里C.48里D.24里 【答案】B【解析】依题意，6天中每天行走的路程构成一个等比数列，记为{a n }，其中公比q ＝12. 由题设有a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192.则a 2＝a 1q ＝192×12＝96. 所以第二天走了96里.【规律总结】1.我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差数列，等比数列问题.2.两题以传统数学文化为载体考查数学的实际应用，求解的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立数列模型，进行数列的基本计算，利用方程思想求解.四．强化训练1. (2017·石家庄调研)朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f 1，第七个音的频率为f2.则f 2f 1＝( ) A.32 B.1116 C.4122 D.82 【答案】A2. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是__________．【答案】6【解析】设等差数列{}n a ,首项1a ,公差为3,则515453602S a ⨯=+⨯=,解得16a =,即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6,故填6.3. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢.”其意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里;驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后，返回去迎驽马.多少天后两马相遇.”利用我们所学的知识，可知离开长安后的第______天，两马相逢.【答案】164. 明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（ ）A. 3盏灯B. 192盏灯C. 195盏灯D. 200盏灯【答案】C【解析】设顶层的灯数为1a ，公比为d ， 7n = ， ()7171238112a S -==- ，解得13a = ，底层为 667132192a a q ==⨯= ，所以17195a a += 盏灯，故选C.5. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A. 48里B. 24里C. 12里D. 6里【答案】C【解析】设第一天走的路程为1a 里，则611[12378112a ⎛⎤⎛⎫- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦=-， 1192a =， 所以4451111921222a a ⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ． 6. 【2018辽宁省实验中学分校模拟】在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。
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专题06 数学文化与现代科学
一.专题综述
随着高考改革的深入，仍会适当加大对中国传统文化进行考查的内容，如将四大发明、勾股定理等所代表的中国古代科技文明作为试题背景材料，遵循继承、弘扬、创新的发展路径，注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展，体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献，践行社会主义核心价值观. 预测：与现代科学有关系的数学文化背景 二．典例分析
例1. 2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2
a 2
；④c 1a 2>a 1c 2. 其中正确式子的序号是( ) A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【答案】 D
【规律总结】
1.命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.
2.注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P 和一个焦点F ，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题. 四．强化训练
1. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.
【答案】 －7
2. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题： ①对于任意一个圆O ，其“优美函数”有无数个； ②函数可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数
是“优美函数”的充要条件为函数
的图象是中心对称图形.其中正确的有（）
A. ①③
B. ①③④
C. ②③
D. ①④ 【答案】A
【解析】对于①，过圆心的任一直线都可以满足要求，所以正确；对于②可以做出其图像
故不能是某圆的优美函数；对于③，只需将圆的圆心放在正弦函数的图像得对称中心上即可，所以正弦函数是无数个圆的优美函数；对于④函数是中心对称图形时，函数是优美函数，但是优美函数不一定是中心对称，如图所示：
故选A．
3. 下图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，若是一件废品，则必须至少经过的工序数目为( )
A. 6道
B. 5道
C. 4道
D. 3道
【答案】C
T，经过一定4. 在热学中，物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，如果物体的初始温度是
时间t 后，温度T 将满足()012t h
a a T T T T ⎛⎫
-=-
⎪⎝⎭
，其中a T 是环境温度， h 称为半衰期．现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡，放在75F 的房间内，如果咖啡降到105F 需要20分钟，问降温到95F 需要多少分钟？（F 为华氏温度单位，答案精确到0.1.参考数据： lg20.3010=， lg30.4771=）。