向量公式汇总资料
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos 〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
数学高三向量公式知识点
数学高三向量公式知识点一、向量概念及基本运算向量是具有大小和方向的物理量，通常用一个带箭头的线段表示。
向量用大写字母表示，比如A、B等。
向量的大小通常用模表示，记作|A|。
向量的加法、减法运算和数乘运算满足一定的法则。
二、向量的数量积向量的数量积是两个向量相乘得到一个标量的运算，记作A·B。
数量积的结果可以用几何方法和代数方法求解。
几何方法中，数量积等于向量A在向量B上的投影乘以B的模长。
而代数方法中，数量积等于A的各个分量与B的对应分量相乘后再相加。
三、向量的向量积向量的向量积是两个向量相乘得到一个向量的运算，记作A×B。
向量积的结果垂直于原来的两个向量，并符合右手定则。
向量积的模等于两个向量的模的乘积与夹角的正弦值。
四、向量的混合积向量的混合积是三个向量相乘得到一个标量的运算，记作[A,B,C]。
混合积具有代数性质并满足柯西-施瓦兹不等式。
混合积可以用几何方法求解，其结果等于由原来的三个向量构成的平行六面体的体积。
五、向量的共线和垂直如果两个向量的数量积为0，则称这两个向量垂直或正交。
如果两个向量的向量积为0，则称这两个向量共线或平行。
六、高中向量公式总结1. 向量模的运算|A + B| ≤ |A| + |B| （三角不等式）|A - B| ≥ ||A| - |B|| （反三角不等式）|λA| = |λ||A| （数乘运算）|AB| ≤ |A||B| （数量积运算）|A × B| = |A||B|sinθ （向量积运算）[A, B, C] = |A × B||C|cosθ （混合积运算）2. 向量共线和垂直的判断A·B = 0 两向量垂直A×B = 0 两向量共线3. 向量分解和投影向量A可以分解为与另一个向量B垂直的分量A1和与B共线的分量A2，即A = A1 + A2。
A在B上的投影记作A_B，满足A_B = |A|cosθ。
4. 三角形的面积公式ΔABC = 0.5|AB × AC|5. 平面向量表示直线和曲线一般式方程：Ax + By + C = 0点斜式方程：y - y1 = k(x - x1)参数方程：x = x0 + mt，y = y0 + nt七、总结以上是数学高三向量公式的知识点总结。
高考数学知识点总结：平面向量公式-word文档资料
高考数学知识点总结：平面向量公式定比分点定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心[编辑本段]向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是 a?b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
当λ0时，λa与a同方向;当λ0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
向量公式大全范文
向量公式大全范文向量是物理学和数学中非常重要的概念之一，它在几何空间中表示大小和方向的箭头。
向量公式是描述向量之间关系的数学公式，下面是一些常用的向量公式。
1.向量的定义：向量是具有大小和方向的量。
通常用一个有方向的箭头来表示。
在平面几何中，一个二维向量可以表示为(x,y)，其中x和y 是向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，一个三维向量可以表示为(x,y,z)，其中x，y和z是向量在x轴，y轴和z轴上的分量。
2.向量的相等：两个向量相等表示它们有相同的大小和方向。
两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等。
3.向量的加法：向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。
例如，向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)的和是向量c=(a1+b1,a2+b2)。
4.向量的减法：向量的减法是将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量得到一个新向量。
例如，向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)的差是向量c=(a1-b1,a2-b2)。
5. 向量的数乘：向量的数乘是将一个向量的每个分量乘以一个标量得到一个新向量。
如果向量 a = (a1, a2)，那么它的数乘是向量 b = (ka1, ka2)，其中 k 是一个标量。
6.零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，记作0或(0,0)。
对于任何向量a，a+0=a。
7.向量的模长：向量的模长表示向量的大小。
对于向量a=(a1,a2)，其模长表示为，a，=√(a1^2+a2^2)。
在三维空间中，向量a=(a1,a2,a3)的模长表示为，a，=√(a1^2+a2^2+a3^2)。
8.单位向量：模长为1的向量称为单位向量。
单位向量可以通过将一个非零向量除以它的模长得到。
例如，向量a=(a1,a2)的单位向量为a/，a。
9. 两个向量之间的夹角：两个向量 a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2) 之间的夹角θ 可以通过以下公式计算cosθ = (a1b1 + a2b2) / (，a，b，)。
高中数学知识点：平面向量的公式的知识点总结
高中数学知识点：平面向量的公式的知识点总结定比分点定比分点公式(向量P1P= 向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数，使向量P1P= 向量PP2，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+OP2)(1+(定比分点向量公式)x=(x1+x2)/(1+),y=(y1+y2)/(1+)。
(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判定式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心[编辑本段]向量共线的重要条件若b0，则a//b的重要条件是存在唯独实数，使a=b。
a//b的重要条件是xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件ab的充要条件是a b=0。
ab的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法假如a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即共同起点，指向被减a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。
当0时，a与a同方向;当0时，a与a反方向;当=0时，a=0，方向任意。
当a=0时，关于任意实数，都有a=0。
注：按定义知，假如a=0，那么=0或a=0。
高考数学必考知识点归纳：平面向量公式汇总
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
高二数学向量公式-word文档
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。|向量OP|=根号（x平方&#是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a*向量b
高中数学《向量》常用公式-向量的点积公式
高中数学《向量》常用公式-向量的点积公式1. 向量基本概念在高中数学中，向量是一种有大小和方向的量。
向量通常用有箭头表示的字母来表示，如$\vec{a}$或$\vec{AB}$。
其中，$\vec{a}$表示一个向量，$\vec{AB}$表示由点A指向点B的向量。
2. 向量的点积公式向量的点积，也称为内积或数量积，是两个向量之间的一种运算。
向量的点积用符号$\cdot$或$\times$表示。
给定两个向量$\vec{a} =\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$和$\vec{b} =\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$，它们的点积$\vec{a}\cdot \vec{b}$可以通过以下公式计算：$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3\cdot b_3$$其中，- $a_1$和$b_1$表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$在x轴的分量；- $a_2$和$b_2$表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$在y轴的分量；- $a_3$和$b_3$表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$在z轴的分量。
点积公式也可以写成向量的形式，即：$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lVert \vec{a} \rVert \lVert \vec{b}\rVert \cos{\theta}$$其中，- $\lVert \vec{a} \rVert$表示向量$\vec{a}$的模，即向量$\vec{a}$的长度；- $\lVert \vec{b} \rVert$表示向量$\vec{b}$的模，即向量$\vec{b}$的长度；- $\theta$表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角。
3. 计算点积的步骤要计算两个向量的点积，可以按照以下步骤进行：1. 将两个向量的对应分量相乘；2. 将所得乘积相加；3. 得到最终的点积结果。
(完整版)向量知识点总结
坐标表示坐标运算←→−− 3. 向量的加法、减法与数乘（1）向量的加法——三角形法则或平行四边形法则如图：向量加法的多边形法则如图，求a b c→+→+→（2）向量的减法：a b a b a b →-→=→+-→→→()，即向量加上的相反向量。
（的箭头指向被减向量）a b →-→ （3）实数与向量的乘积λλλλλλλλa a a a a a a a →→=→>→<→=→=→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→→⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪长度·方向：时与同向时与反向时，∥||||||0000※∥（）存在唯一实数，使b a a b a→→→≠→⇔→=→0λλ 4. 向量的运算法则（加、减、数乘）设向量，，及实数，，则：a b c →→→λμ ①a b b a→+→=→+→②()()a b c a b c →+→+→=→+→+→③()λμλμ+→=→+→a a a④λλλ()a b a b →+→=→+→ ⑤·||||||λλa a →=→⑥||||||||||a b a b a b →-→≤→±→≤→+→ （此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。
）5. 平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a 12→→→，是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量，存在唯一实数对，，使得。
λλλλ121122a e e →=→+→（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的和。
叫做向量，的线性组合，，叫做表这一平面内所λλ11221212e e e e e e →+→→→→→有向量的一组基底。
①基底不唯一，关键是不共线②基底给定，分解形式唯一⎛⎝ ⎫⎭⎪应用：设，不共线，点在直线上（即、、三点共线）OA OB P AB A B P →→⇔→=→+→+=∈OP OA OB R λμλμλμ且（，）1（二）向量的坐标运算()()（），，31111λλλλa x y x y →==（三）平面向量的数量积1. 数量积的概念设向量，，∠叫做向量与的夹角。
平面向量的坐标公式大全
平面向量的坐标公式大全若向量a=x，y，向量b=m，n，则a乘以b=xm+yn，a+b=x+m，y+n。
在直角坐标系内，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
1、加法向量加法的三角形法则，已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
2、减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。
-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。
3、数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。
当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ= 0时，λa=0。
用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。
扩展资料：物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。
18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。
同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。
它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。
18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。
哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。
随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。
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向量公式汇总
平面向量
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向
线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）
上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）
上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且
λa=μa，那么λ=μ。
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4、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b
的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不
共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a（交换律）；
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、
b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直
于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
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① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
6.定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一
个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a•b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
空间向量
令a=(a1,a2,a3),),,(321bbbb，则
),,(332211babababa
))(,,(321Raaaa
332211
babababa
共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
a
∥)(,,332211Rbababab332211bababa
如果三个向量．．．．cba,,不共面．．．：那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，
使czbyaxp.
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推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组
x、y、z使 OCzOByOAxOP(这里隐含x+y+z≠1).
向量垂直 0332211babababa。
空间两个向量的夹角公式
23222123222
1
332211
||||,cosbbbaaababababababa
（a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb）。
空间两点的距离公式：
2122122
12
)()()(zzyyxxd
.
利用法向量求点到面的距离：
如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A，则点B到平面
的距离为||||nnAB.
.异面直线间的距离
||||CDndn
uuuruur
r
(
12,ll是两异面直线，其公垂向量为nr，CD、分别是12
,ll
上任一点，d为
12
,ll
间的距离).
B
到平面的距离
||||ABndn
uuuruur
r
（
n
r
为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.
直线AB与平面所成角
sin||||ABmarcABm
uuurur
uuurur
(
m
ur
为平面的法向量).
利用法向量求二面角的平面角：
cos||||mnarcmnurrurr或cos||||mnarcmn
urr
urr
（
m
ur
，nr为平面，的法向量）