北师大初三圆中考练习题及答案
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》测试卷(含答案解析)(2)
一、选择题1．如图，在半径为6的O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，33tanD =，下列结论正确的个数有：（ ） ①63BC =； ②3sin 2AOB ∠=； ③四边形ABOC 是菱形；④劣弧BC 的长度为4π．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 2．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，AB BC =，30BAC ∠=︒，AD 是直径，8AD =，则AC 的长为（ ）A ．4B ．43C ．83D ．23．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOD =120°，点C 为弧BD 的中点，AC 交OD 于点E ，DE =1，则AE 的长为（ ）A 3B 5C ．23D ．254．已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形，若BC =23∠A 的度数（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．60°或120° 5．如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA =4，则PC 的长为（ ）A ．6B ．25C ．210D ．214 6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，30,3ACD AD ∠=︒=，下列说法错误的是（ ）A ．30B ∠=︒ B ．60BAD ∠=︒C ．23BD = D ．23AB = 7．如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆上一点，且60COA ∠=º，设扇形AOC 、COB △、弓形BmC 的面积为1S 、2S 、3S ，则他们之间的关系是（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．132S S S <<D ．321S S S << 8．如图，ABC 中，10,8,4AB AC BC ===，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交BC 的延长线于点D ，则CD 长为（ ）A ．10B ．9C ．45D ．89．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，D ，E 分别为线段AB ，AC 上一点，且AD AE =，连接BE 、CD 交于点G ，延长AG 交BC 于点F ．以下四个结论正确的是（ ）①BF CF =；②若BE AC ⊥，则CF DF =；③若BE 平分ABC ∠，则32FG =； ④连结EF ，若BE AC ⊥，则2DFE ABE ∠=∠． A ．①②③ B ．③④C ．①②④D ．①②③④ 10．如图，有一块半径为1m ，圆心角为120︒扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（ ）A ．13mB ．23mC ．223mD ．43m 11．如图，AB 是O 的直径，C 、D 分别是O 上的两点．若33BAC ∠=︒，则D∠的度数等于（ ）A ．57︒B ．60︒C ．66︒D ．67︒12．4．如图，AD 是ABC ∆的外接圆O 的直径，若50BCA ︒∠=，则BAD ∠=（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒二、填空题13．如图，四边形OABC 是菱形，点B ，C 在以点O 为圆心的弧EF 上，且∠1=∠2，若菱形边OA=3，则扇形OEF 的面积为___________14．如图，在矩形ABCD 中，∠DBC=30º，DC=2，E 为AD 上一点，以点D 为圆心，以DE 为半径画弧，交BC 于点F ，若CF=CD ，则图中的阴影部分面积为______________．（结果保留π）15．如图，点P 为⊙O 外一点，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝90°．若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．16．如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的图案，若大圆的半径为2，则阴影部分的面积为______．17．如图，菱形ABCD 中，已知2AB =，60DAB ∠=︒将它绕着点A 逆时针旋转得到菱形ADEF ，使AB 与AD 重合，则点C 运动的路线CE 的长为________．18．如图，从一块直径为2m 的圆形铁皮上画出一个圆心角为90的扇形．若随机在圆及其内部投针，则针孔扎在扇形（阴影部分）的概率为____．19．已知扇形的弧长为4π，半径为9，则此扇形的圆心角为_______度．20．如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，70A ∠=，50C ∠=，那么tan AEB ∠=___________．三、解答题21．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4（1）试在图中作出ABC 绕A 顺时针方向旋转90°后的图形11AB C △；（2）求1BB 的长．22．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，连接BD ．（1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）若OE ＝3，AO ＝5，求AC 的长．23．如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的直径，将AB 沿着AB 弦翻折．恰好经过圆心O ．若O 的半径为6，求图中阴影部分的面积．24．如图，已知AB 是O 的直径，BC AB ，连接OC ，弦//AD OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E .（1）求证：CD 是O 的切线； （2）若2DE BC =，O 的半径为2，求线段EA 的长．25．如图所示，AC 与O 相切于点C ，线段AO 交O 于点B ．过点B 作//BD AC 交O 于点D ，连结,CD OC ，且OC 交DB 于点E ．若30,53cm ∠=︒=CDB DB ．（1）求COB ∠的大小和O 的半径长．（2）求由弦,CD BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．26．如图，某零件的截面为弓形.（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心．（2）若23AB =，弓形的高为1．①求弓形的半径②求AB 的长【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】利用特殊角的三角函数值求得∠D=30°，由点A 是劣弧BC 的中点，根据圆周角定理得到∠AOC=∠AOB=2∠D=60°，可对②进行判断；证得△OAC 、△OAB 都为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC ，可对①进行判断；利用AB=AC=OA=OC=OB 可对③进行判断；利用弧长公式，可对④进行判断．【详解】∵3tanD =， ∴∠D=30°，∵点A 是劣弧BC 的中点，∴OA ⊥BC ，∴∠AOC=∠AOB=2∠D=60°，∴sin AOB sin 60∠=︒=，所以②正确； 而OA=OC=OB=6，∴△OAC 、△OAB 都为等边三角形，∴BC26=⨯=①正确； ∵△OAC 、△OAB 都为等边三角形，∴AB=AC=OA=OC=OB ，∴四边形ABOC 是菱形，所以③正确；∵△OAC 、△OAB 都为等边三角形，∴∠COB=120°，∴劣弧BC 的长度为12064180ππ⨯=，所以④正确． 综上，正确的个数有4个，故选：A ．【点睛】 本题考查了圆周角定理，弧长公式，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．B解析：B【分析】连接CD ，根据圆周角定理，可以得到30CAD ∠=︒，在Rt ACD △中，利用锐角三角函数求出AC 的长即可．【详解】解：如图，连接CD ，∵AB BC =，30BAC ∠=︒，∴AB 和BC 所对的圆心角都是60︒，∵AD 是直径，∴CD 所对的圆心角也是60︒，∴30CAD ∠=︒，在Rt ACD △中，3cos308432AC AD =⋅︒=⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握圆周角定理，以及利用锐角三角函数解直角三角形的方法． 3．A解析：A【分析】连接AD ，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE 是直角三角形，用勾股定理求AE 即可．【详解】解：连接AD ，∵∠BOD =120°，AB 是⊙O 的直径，∴∠AOD =60°，∵OA=OD ，∴∠OAD =∠ODA =60°，∵点C 为弧BD 的中点，∴∠CAD =∠BAC =30°，∴∠AED =90°，∵DE =1，∴AD=2DE=2，AE 2222213AD DE -=-=故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．4．D解析：D【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质，求得答案．【详解】解：如图，作直径BD，连接CD，则∠BCD=90°，∵△ABC是半径为2的圆内接三角形，BC=23∴BD=4，∴22，BD BC∴CD=1BD，2∴∠CBD=30°，∴∠A=∠D=60°，∴∠A′=180°-∠A=120°，∴∠A的度数为：60°或120°．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．D解析：D【分析】延长AO 交⊙O 于B ，连接AC ，证明△PAC ∽△PCB ，进而得到PC 2=PA•PB 即可求出PC 的长．【详解】解：如下图所示：连接OC ，延长AO 交⊙O 于B ，连接AC ，BC ，∵AB 为直径，∴∠1+∠2=90°，∵OC=OA ，∴∠1=∠3，∵PC 为圆的切线，∴∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，又∠P=∠P ，∴△PCA ∽△PBC ， ∴=PC PA PB PC，即24(104)56=⨯=⨯+=PC PA PB ， ∴214=PC故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆的切线及圆周角定理等，熟练掌握圆的性质及相似三角形的性质和判定是解决本题的关键．6．C解析：C【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，再利用互余可计算出∠BAD 的度数，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BD 、AB 的长即可．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=30°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，故选项A 、B 不符合题意，在Rt △ADB 中，3，3故选项C 符合题意，选项D 不符合题意，故选：C ．本题考查了圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．B解析：B【分析】设出半径，作出△COB 底边BC 上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【详解】解：作OD ⊥BC 交BC 与点D ，∵∠COA ＝60°，∴∠COB ＝120°，则∠COD ＝60°．∴S 扇形AOC ＝22603606ππ=R R ； S 扇形BOC ＝221203603ππ=R R ． 在三角形OCD 中，∠OCD ＝30°，∴OD ＝2R ，CD ＝3R ，BC ＝3R ， ∴S △OBC ＝23R ，S 弓形＝2233R R π-＝2(433)π-R ， 2(433)12π-R ＞26πR ＞234R ， ∴S 2＜S 1＜S 3．故选：B ．【点睛】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．8．B解析：B【分析】如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接AD ，可得AD=AB=10，根据垂径定理可得DE=BE ，得CE=BE-BC=DE-4，再根据勾股定理即可求得DE 的长，进而可得CD 的长．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD=AB=10，根据垂径定理，得DE=BE，∴CE=BE-BC=DE-4，根据勾股定理，得AD2-DE2=AC2-CE2，102-DE2=82-（DE-4）2，解得DE=132，∴CD=DE+CE=2DE-4=9，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．9．D解析：D【分析】先证明∆BAE≅ ∆CAD，再证明∆ABG≅ ∆ACG，得AF是∠BAC的平分线，进而即可判断①；先证明BDC=∠CEB=90°，根据直角三角形的性质，即可判断②；根据角平分线的性质，得点G到∆ABC的三边距离都相等，结合“等积法”即可判断③；先证明B，C，D，E在以点F为圆心的圆上，进而即可判断④．【详解】∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴∆BAE≅ ∆CAD，∴∠ABE=∠ACD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即：∠GBC=∠GCB，∴BG=CG，∴∆ABG≅ ∆ACG，∴∠BAG=∠CAG，即AF是∠BAC的平分线，∴BF CF=，故①正确；∵BE AC⊥，∴∠CEB=90°，由①可知：BD=CE ，∠ABC=∠ACB ，又∵BC=CB ，∴∆BDC ≅∆CEB ，∴∠BDC=∠CEB=90°，∵点F 是BC 的中点，∴CF DF =，故②正确；∵BE 平分ABC ∠，AF 平分∠BAC ，∴点G 是角平分线的交点，∴点G 到∆ABC 的三边距离都相等，且等于FG ，∵5AB AC ==，6BC =，AF ⊥BC ，∴AF=22AB BF -= 22534-=， ∴S ∆ABC =12(AB+AC+BC)∙FG=12×16FG=8FG ，S ∆ABC =12BC∙AF=12， ∴8FG=12，即：32FG =，故③正确； ∵BE AC ⊥，由①可知：CD ⊥AB ， ∴B ，C ，D ，E 在以点F 为圆心的圆上，∴2DFE ABE ∠=∠，故④正确． 故选D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握“等腰三角形三线合一”，“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”，是解题的关键．10．C解析：C【分析】设做成圆锥之后的底面半径为r ，可得12012180r ππ⋅=，再利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：设做成圆锥之后的底面半径为r ，则12012180r ππ⋅=， 解得13r =， ∴这个圆锥体容器的高为22122133h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 故选：C ．【点睛】本题考查圆锥的计算，求出圆锥的底面半径是解题的关键．11．A解析：A【分析】连接OC ，根据圆周角定理计算即可；【详解】连接OC ，∵33BAC ∠=︒，∴266BOC AOC ∠=∠=︒，又∵180DOC AOC ∠+∠=︒，∴180114AOC BOC ∠=︒-∠=︒，∴1572D AOC ∠=∠=︒； 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，准确计算是解题的关键．12．B解析：B【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【详解】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∵∠BCA=50°，∴∠ADB=∠BCA=50°，∴BAD∠=90°-50°=40°故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题13．3π【分析】算出扇形OEF的圆心角即可得到解答【详解】解：如图连结OB由题意可知：OC=OB=BC∴∠COB=60°∠COA=120°∵∠1=∠2∴∠FOE=∠COE+∠1=∠COE+∠2=∠COA解析：3π【分析】算出扇形OEF的圆心角，即可得到解答．【详解】解：如图，连结OB，由题意可知：OC=OB=BC，∴∠COB=60°，∠COA=120°，∵∠1=∠2，∴∠FOE=∠COE+∠1=∠COE+∠2=∠COA=120°，∴扇形OEF的面积=22 12012033360360OAπππ⨯⨯⨯⨯==，故答案为3π ．【点睛】本题考查扇形与菱形的综合应用，熟练掌握菱形的性质及扇形面积的计算是解题关键．14．【分析】连接由矩形ABCD分别求解再求解从而可得答案【详解】解：连接矩形ABCD 故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质等腰直角三角形的性质含的直角三角形的性质勾股定理的应用扇形的面积掌握以上知识是 解析：432.π--【分析】 连接DF ，由矩形ABCD ，30,2,DBC DC CF ∠=︒==分别求解,,,EDF DF BC ∠ 再求解43,,2DFC ABCD DEF S S Sπ===矩形扇形，从而可得答案．【详解】解：连接DF ，矩形ABCD ，30,2,DBC DC CF ∠=︒== 2290,4,45,2222,ADC BD DFC FDC DF ∴∠=︒=∠=∠=︒=+=224223,904545,BC EDF ∴=-=∠=︒-︒=︒(24522123243,,2223602DFC ABCD DEF S S S ππ⨯∴=====⨯⨯=矩形扇形， 432.S π∴=-阴影故答案为：32.π-【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰直角三角形的性质，含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积，掌握以上知识是解题的关键．15．4-π【分析】连接OAOB 由S 阴影=S 正方形OBPA-S 扇形AOB 则可求得结果【详解】解：连接OAOB ∵PAPB 分别与⊙O 相切于点AB ∴OA ⊥APOB ⊥PBPA=PB ∴∠OAP=∠OBP=90°=∠解析：4-π【分析】连接OA ，OB ，由S 阴影=S 正方形OBPA -S 扇形AOB 则可求得结果．【详解】解：连接OA ，OB ，∵PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∴OA ⊥AP ，OB ⊥PB ，PA=PB ，∴∠OAP=∠OBP=90°=∠BPA ，∴四边形OBPA 是正方形，∴∠AOB=90°，∴阴影部分的面积=S 正方形OBPA -S 扇形AOB 则=22-904360π⨯⨯=4-π． 故答案为：4-π．【点睛】此题考查了切线长定理，正方形的判定与性质，扇形面积公式等知识．解题关键是连接半径，构造正方形，把阴影部分面积转化为正方形面积与扇形面积差．16．【分析】如图由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积再由勾股定理可得：从而可得答案【详解】解：如图由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积大圆的半 解析：48π-【分析】如图，由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积，再由勾股定理可得：28,AC =从而可得答案．【详解】解：如图，由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积，大圆的半径为2，90,,ACB AC BC ∠=︒=∴ 4,AB =2216,AC BC +=28,AC ∴=22248.S AC ππ∴=⨯-=-故答案为：48.π-【点睛】本题考查的是阴影部分面积的求解，勾股定理的应用，圆的对称性与正方形的性质，扇形面积与弓形面积的理解，正多边形与圆，掌握以上知识是解题的关键．17．【分析】连接ACBD 交于点O 由菱形的性质得出AC 的长由旋转的性质∠EAC=60゜再根据弧长公式求解即可【详解】解：连接ACBD 交于点O 如图∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDOA=OC ∠BAC=∠DA 解析：233π 【分析】连接AC ，BD 交于点O ，由菱形的性质得出AC 的长，由旋转的性质∠EAC=60゜，再根据弧长公式求解即可．【详解】解：连接AC ，BD 交于点O ，如图，∵四边形ABCD 是菱形 ∴AC ⊥BD ，OA=OC ，∠BAC=12∠DAB=30゜ ∴ 112OB AB == 由勾股定理得，3OA =∴23AC =连接AE ， 当AB 与AD 重合时，旋转了60゜，则∠EAC=60゜ ∴6023231803CE π== 23 【点睛】此题主要考查了旋转的性质、菱形的性质以及求弧长，运用菱形的性质求出AC 是解答此题的关键．18．【分析】连接AC 根据圆周角定理得出AC 为圆的直径解直角三角形求出AB 求出扇形面积和面积两者的面积比即是针孔扎在扇形（阴影部分）的概率【详解】解：连接AC ∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 解析：12【分析】连接AC ，根据圆周角定理得出AC 为圆的直径，解直角三角形求出AB ，求出扇形面积和O 面积，两者的面积比，即是针孔扎在扇形（阴影部分）的概率．【详解】解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的扇形，即∠ABC=90︒， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC （扇形的半径相等），∵AB 2+BC 2=22， ∴2m ，∴S 阴影部分=29023602ππ︒⨯=︒（m 2）， 则：P 针孔扎在扇形（阴影部分）=212==2OS S OA =阴影部分ππ故答案为：12． 【点睛】 本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．19．80【分析】设此扇形的圆心角为x°代入弧长公式计算得到答案【详解】解：设此扇形的圆心角为x°由题意得解得x=80故答案为：80【点睛】本题考查的是弧长的计算掌握弧长的公式是解题的关键解析：80【分析】设此扇形的圆心角为x°，代入弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此扇形的圆心角为x°，由题意得，94180x ππ=， 解得，x=80，故答案为：80．【点睛】 本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式180n r l π=是解题的关键． 20．【分析】求出∠AEB 的度数再求三角函数值即可【详解】解：∵∠B=∠C=50°∠A=70°∴∠AEB=180°-∠A-∠B=60°故答案为：【点睛】本题考查了圆周角的性质三角形内角和特殊角的三角函数值解析：3【分析】求出∠AEB 的度数，再求三角函数值即可．【详解】解：∵∠B=∠C=50°，∠A=70°，∴∠AEB=180°-∠A-∠B=60°，tan tan 603AEB ∠=︒=，故答案为：3．【点睛】本题考查了圆周角的性质，三角形内角和，特殊角的三角函数值，解题关键是灵活运用圆中角的关系，把已知条件集中在一个三角形中求角．三、解答题21．（1）见解析；（2）52π． 【分析】（1）根据△ABC 绕A 顺时针方向旋转90°，即可得到△AB 1C 1；（2）根据弧长计算公式，即可得出点B 运动路径的长．【详解】解：（1）如图所示，△AB 1C 1即为所求；（2）Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB 5==又∠BAB 1=90°，∴点B 的运动路径的长为：90551802ππ⨯=． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）8．【分析】（1）先根据垂径定理得出AD ＝CD ，再利用圆周角定理即可得出结论；（2）先根据垂径定理得出AE ＝12AC ，在Rt △AOE 中，利用勾股定理即可求出AE 的长，进而得出结论．【详解】（1）证明：∵OD ⊥AC ，∴AD ＝CD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，即BD 平分∠ABC ；（2）解：∵OD ⊥AC ，∴AE ＝12AC ，∠OEA ＝90°， ∵OE ＝3，OA ＝5，∴在Rt △AOE 中，AE 2222534OE ，∴AC ＝2AE ＝8．【点睛】 本题考查了垂径定理、圆周角性质等知识，熟练掌握垂径定理与圆周角的相关性质是解答此题的关键．23【分析】根据翻折的意义，垂径定理的性质，直径上的圆周角是直角，扇形的面积等，把阴影的面积等量转化为三角形OBC 的面积求解即可．【详解】解：如图，连接OB ，BC ．过点O 作OD ⊥AB ，垂足为E ，连接BD ，根据题意，得OE=ED=12OD=12OB ， ∴∠ABO=∠OAB=30°，∵AC 是圆的直径，∴∠ABC=90°，∠ACB=60°，∴△OBC 是等边三角形，△OBD 是等边三角形，∴弓形OnB 的面积＝弓形BmC 的面积，∴=S S △OBC 阴影＝34×26＝93．【点睛】本题考查了垂径定理，直径上的圆周角，阴影部分的面积，熟练掌握圆的基本性质，把阴影面积合理转型为三角形的面积是解题的关键．24．（1）见解析；（2）22AE =．【分析】（1）连接OD ，通过证明△COD ≌△COB 得到90CDO CBO ∠=∠=︒即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质，在结合平行线分线段成比例的性质，即可求解【详解】（1）如图，连接OD .∵//AD OC ，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠.又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠.∵OD OB =，OC OC =，∴在COD △和COB △中OD OB COD COB OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS COD COB ≌△△， ∴90CDO CBO ∠=∠=︒.又∵点D 在O 的切线. ∴CD 是O 的切线.（2）∵COD COB ≌△△，∴CD CB =. ∵DE =， ∴ED =.∵//AD OC ， ∴DE AE CE OE=. ∵O 的半径为2，∴2AE AE =+， ∴AE =【点睛】本题考查了圆切线的判定，以及平行线分线段成比例的性质，熟练掌握圆切线的判定定理是解题关键．25．（1）60COB ∠=︒，O 的半径长为5cm ；（2）()225cm 6π 【分析】（1）根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到OC ⊥BD ，根据垂径定理得到BE 的长，再根据圆周角定理发现∠BOE=60°，从而根据锐角三角函数求得圆的半径；（2）结合（1）中的有关结论证明△DCE ≌△BOE ，则它们的面积相等，故阴影部分的面积就是扇形OBC 的面积．【详解】解：（1）∵AC 与⊙O 相切于点C ，∴∠ACO=90°，∵BD ∥AC ，∴∠BEO=∠ACO=90°，∴DE=EB=12（cm ） ∵∠D=30°，∴∠O=2∠D=60°，在Rt △BEO 中，sin60°=BE OB，∴22OB=， ∴OB=5，即⊙O 的半径长为5cm ．（2）由（1）可知，∠O=60°，∠BEO=90°，∴∠EBO=∠D=30°，又∵∠CED=∠BEO ，BE=ED ，∴△CDE ≌△OBE ，∴S 阴=S 扇OBC =60360π•52=256π（cm 2）， 答：阴影部分的面积为256πcm 2．【点睛】本题考查扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，掌握扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形是解题关键．26．（1）见解析；（2）①2；②4=3AB π的长 【分析】（1）在弧AB 上取一点C ，连接AC ，分别作出AC 、AB 的垂直平分线即可；（2）①根据垂径定理可得3AE BE ==，再根据勾股定理求解即可；②根据1cos 2OE AOE OA ∠==，求出圆心角，根据公式计算即可； 【详解】 （1）在弧AB 上取一点C ，连接AC ，分别作出AC 、AB 的垂直平分线，如图，点O 即为所求．（2）①如图，过点O 作OE AB ⊥交圆O 与点D ，∵23AB = ∴3AE BE ==设弓形的半径为r ，在Rt △AOE 中，222OA AE OE =+， 即()22231r r =+-， 解得：2r；②∵2OA =，1OE =， ∴1cos 2OE AOE OA ∠==， ∴60AOE =︒∠，∴2120AOB AOE ∠=∠=︒， ∴120241801803n rl πππ⨯⨯===； 【点睛】本题主要考查了尺规作图垂直平分线、垂径定理、锐角三角函数、弧长的计算，准确计算是解题的关键．。
北师大版2021年九年级中考数学总复习《圆》(含答案)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯北师大版2021年中考数学总复习《圆》一、选择题1.有下列四种说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中，错误的说法有（）A.1种B.2种C.3种D.4种1.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．81.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A.20°B.40°C.50°D.80°1.有四个命题，其中正确的命题是( )①经过三点一定可以作一个圆；②任意一个三角形有且只有一外接圆；③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦A.①②③④B.①②③C.②③④D.②③1.如图，两个圆的圆心都是点O，AB是大圆的直径，大圆的弦BC所在直线与小圆相切于点D．则下列结论不一定成立的是（）A.BD=CDB.AC⊥BCC.AB=2ACD.AC=2OD1.如图，PA、PB、AB都与⊙O相切，∠P=60°，则∠AOB等于（）A.50°B.60°C.70°D.70°1.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A.2，B.2，πC.，D.2，1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A．8﹣π B．16﹣2π C．8﹣2π D．8﹣π二、填空题1.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于．1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D= °．1.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．1.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．三、解答题1.如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA、DC的延长线交于点P ．求证：PA=PC.1.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．1.如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC和AD的延长线相交于点E，且AD⊥PD．（1）求证：AB=AE；（2）当AB：BP为何值时，△ABE为等边三角形并说明理由．1.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．参考答案1.答案为：B.1.D1.D1.答案为：D1.C．1.B.1.D1.答案为：C.1.答案为：36°．1.答案为：96．1.答案为：．1.答案为：﹣．1.略1.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．1. (1）证明：连接OC，∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD；又∵AD⊥PD，∴OC∥AD；∵O是AB的中点，∴OC=0.5AE，而OC=0.5AB，∴AB=AE．（2）解：当AB：BP=2：1时，△ABE是等边三角形．理由如下：由（1），知△ABE是等腰三角形，要使△ABE成为等边三角形，只需∠ABE=60°（或∠EAB=60°），从而∠OCB=60°，∠BCP=∠P=30°，故PB=BC=0.5AB，即当AB：BP=2：1时，△ABE是等边三角形．1.解：一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
2022年必考点解析北师大版九年级数学下册第三章 圆专项练习试卷(含答案详解)
北师大版九年级数学下册第三章圆专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，将Rt△ABC延直线l由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（）B C D．（πA2、如图，O是正方形ABCD的外接圆，若O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4 B．8 C．D．3、如图，⊙O中，半径OC⊥AB于D，且CD＝2，弦AB＝8，则⊙O的半径的长等于（）A ．3B ．4C ．5D ．64、到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（ ）A ．三条角平分线的交点B ．三条中线的交点C ．三条高的交点D ．三边中垂线的交点5、已知半径为5的圆，直线l 上一点到圆心的距离是5，则直线和圆的位置关系为（ ）A ．相切B ．相离C ．相切或相交D ．相切或相离6、如图，已知O 中，50AOB ∠=︒，则圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．50°B ．25°C ．100°D ．30°7、如图，直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30°，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．3πB ．34πC ．πD ．3π8、下列说法正确的是（ ）A ．等弧所对的圆周角相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．过弦的中点的直线必过圆心9、如图，菱形ABCD 中，60C ∠=°，2AB =．以A 为圆心，AB 长为半径画BD ，点P 为菱形内一点，连PA ，PB ，PD ．若PA PB =，且120APB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．23y π= B ．23y π= C ．23y π= D ．23y π=10、若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）A ．6，B ．6，C ． 6D ．6，3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知圆锥的母线AB 长为40 cm ，底面半径OB 长为10 cm ，若将绳子一端固定在点B ，绕圆锥侧面一周，另一端与点B 重合，则这根绳子的最短长度是______________．2、如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝4，点C ，D 在半圆上，OC ⊥AB ，2BD CD =，点P 是OC 上的一个动点，则BP ＋DP 的最小值为______．3、已知正六边形的周长是24，则这个正六边形的半径为_____ ．4、在半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长等于_____．5、如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则ODC的度数是____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB 上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°，tan∠DAB＝13时，请直接写出CEBE的值．2、如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求AC长．3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且：CF是⊙O的切线．（1）求证：∠DCF＝∠CAD．（2）探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由；（3）若cos B35=，AD＝2，求FD的长．4、在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB 是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标y M的取值范围为12≤y M136≤，求S．（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．（4）已知点M，N是在以（2，0MN=MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212y x bx =+． （1）求抛物线顶点Q 的坐标；（用含b 的代数式表示）（2）抛物线与x 轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点A ，B ，与x 轴交于点K ．①判断△AOB 的形状，并说明理由；②已知E （2，0），F （4，0），设△AOB 的外心为M ，当点K 在线段EF 上时，求点M 的纵坐标m 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据题意，画出示意图，确定出点A 的运动路径，再根据弧长公式即可求解．【详解】解：根据题意可得，Rt △ABC 的运动示意图，如下：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴60ACB ∠=︒，2BC =，AB =由图形可得，点A 的运动路线为，先以C 为中心，顺时针旋转120︒，到达点1A ，经过的路径长为120121803ππ⨯=，再以1B 为中心，顺时针旋转150︒，到达点2A ，顶点A 所经过的路径的长为23π=故选：C【点睛】 此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点A 的运动路线．2、D【分析】连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE =BE ，由垂径定理可知BC =2BE ，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，∴OB =OC ，∠BOC =90°，∴∠OBE =45°，45BOE ∠=︒∴OE =BE ，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴BE =∴BC =2BE =ABCD 的边长是故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．3、C【分析】根据垂径定理得出AD =BD =118422AB ，设⊙O 的半径的长为x ，根据勾股定理222OB OD BD =+，即()22224x x =-+，解方程即可．【详解】解：∵半径OC ⊥AB 于D ，弦AB ＝8， ∴AD =BD =118422AB ， 设⊙O 的半径的长为x ，∴OD =OC -CD =x -2，在Rt△ODB 中，根据勾股定理222OB OD BD =+，即()22224x x =-+，解得x =5，∴⊙O的半径的长为5．故选择C．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解拓展一元一次方程，掌握垂径定理，勾股定理，解拓展一元一次方程是解题关键．4、D【分析】由题意根据线段的垂直平分线上的性质，则有三角形三边中垂线的交点到三角形的三个顶点距离相等．【详解】解：∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边中垂线的交点．故选：D．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是注意掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．5、C【分析】根据若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切．【详解】解：∵半径为5的圆，直线l上一点到圆心的距离是5，∴圆心到直线的距离等于或小于5，∴直线和圆的位置关系为相交或相切，故选：C ． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，①直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；②直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；③直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．6、B 【分析】根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵1,502ACB AOB AOB ∠=∠∠=︒ ，∴25ACB ∠=︒ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键． 7、D 【分析】阴影面积为旋转后'A B 为直径的半圆面积加旋转后扇形面积减去旋转前AB 为直径的半圆面积，则阴影面积为旋转后的扇形面积，由扇形面积公式计算即可． 【详解】∵直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30° ∴A'B ABA'AB S S S S =+-阴影为直径的半圆扇形为直径的半圆 又∵'AB A B =∴A'B AB S S =为直径的半圆为直径的半圆∴ABA'S S =阴影扇形 ∵AB =6，∠ABA ’=30° ∴223063360360ABA'n r S S π︒⋅π⋅====π︒︒阴影扇形 故答案为：D ． 【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，扇形面积公式为2360n r π︒，由旋转的性质得出阴影面积为扇形面积是解题的关键． 8、A 【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可． 【详解】解：A . 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A 选项正确；B .平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B 选项错误；C 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C 选项错误；D .圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D 选项错误.故选A. 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 9、C【分析】过点P 作PM AB ⊥交于点M ，由菱形ABCD 得60DAB C ∠=∠=︒，2AB AD ==，由PA PB =，120APB ∠=︒得112AM AB ==，1602APM APB ∠=∠=︒，故可得30PAM ∠=︒，603030PAD DAB PAM ∠=∠-∠=︒-︒=︒，根据SAS 证明ABP ADP ≅，求出PM =ABPADPABD S S SS=--阴扇形．【详解】如图，过点P 作PM AB ⊥交于点M ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴60DAB C ∠=∠=︒，2AB AD ==， ∵PA PB =，120APB ∠=︒， ∴112AM AB ==，1602APM APB ∠=∠=︒， ∴30PAM ∠=︒，603030PAD DAB PAM ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 在ABP △与ADP △中，AB ADPAB PAD AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABP ADP SAS ≅， ∴ABP ADP S S =△△，在Rt AMP △中，30PAM ∠=︒， ∴2AP PM =，222AP PM AM =+，即2241PM PM =+，解得：PM =∴260211222360223ABP ADPABD S S S Sππ⋅=--=-⨯⨯=阴扇形 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及求不规则图形的面积等知识，掌握扇形的面积公式是解答此题的关键． 10、B 【分析】如图1，⊙O 是正六边形的外接圆，连接OA ，OB ，求出∠AOB =60°，即可证明△OAB 是等边三角形，得到OA =AB =6；如图2，⊙O 1是正六边形的内切圆，连接O 1A ，O 1B ，过点O 1作O 1M ⊥AB 于M ，先求出∠AO 1B ＝60°，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图1，⊙O 是正六边形的外接圆，连接OA ，OB ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠AOB =360°÷6=60°， ∵OA =OB ，∴△OAB 是等边三角形， ∴OA =AB =6；（2）如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AO1B＝60°，∵O1A= O1B，∴△O1AB是等边三角形，∴O1A= AB=6，∵O1M⊥AB，∴∠O1MA＝90°，AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝BM，∴O 1M 故选B ． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形与圆的知识是解题的关键． 二、填空题1、【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长求解扇形的圆心角90,BAB '∠=︒ 再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：圆锥的侧面展开图如图所示：设圆锥侧面展开图的圆心角为n °， 圆锥底面圆周长为210=20，40=20,180n BB 则n =90，∵40,AB AB224040402,BB即这根绳子的最短长度是，故答案为：【点睛】本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握“圆锥的底面圆的周长等于展开图的弧长求解圆心角”是解本题的关键.2、【分析】如图，连接AD，PA，PD，OD．首先证明PA=PB，再根据PD+PB=PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．【详解】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．∵OC⊥AB，OA=OB，∴PA=PB，∠COB=90°，∵2BD CD，∴∠DOB=23×90°=60°，∵OD=OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD=60°∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD=AB•sin∠ABD∵PB+PD=PA+PD≥AD，∴PD+PB∴PD+PB的最小值为故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．3、4【分析】由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解．【详解】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，又∵正六边形的周长为24，∴正六边形边长为24÷6=4，∴正六边形的半径等于4．故答案为4．【点睛】此题主要考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．4、π【分析】弧长公式为l ＝n 180rπ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长． 【详解】解：半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长＝603180π⨯＝π， 故答案为：π． 【点睛】本题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式． 5、54︒ 【分析】根据圆内接正五边形的定义求出∠COD ，利用三角形内角和求出答案． 【详解】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， ∴∠COD=360725︒=︒， ∵OC=OD ，∴ODC ∠=(180)5412COD ︒-∠=︒， 故答案为：54︒． 【点睛】此题考查了圆内接正五边形的性质，三角形内角和定理，同圆的半径相等的性质，熟记圆内接正五边形的性质是解题的关键． 三、解答题1、（1）45°；（2）AE +CE ，理由见解析；（3【分析】（1）连接AC，证A、B、E、C四点共圆，由圆周角定理得出∠AEB＝∠ACB，证出△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝45°，进而得出结论；（2）在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数定义得出FH＝EH，进而得出结论；（3）分两种情况，由（2）得FH＝EH，由三角函数定义得出AH＝3BH＝32BE，分别表示出CE，进而得出答案．【详解】解：（1）连接AC，如图①所示：∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四点共圆，∴∠AEB＝∠ACB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴∠AEB＝45°；（2）AE+CE，理由如下：在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图②所示：∵∠ABC ＝∠AEC ，∠ADB ＝∠CDE ，∴180°﹣∠ABC ﹣∠ADB ＝180°﹣∠AEC ﹣∠CDE ，∴∠A ＝∠C ，在△ABF 和△CBE 中，AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△CBE （SAS ），∴∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，∴∠ABF +∠FBD ＝∠CBE +∠FBD ，∴∠ABD ＝∠FBE ，∵∠ABC ＝120°，∴∠FBE ＝120°，∵BF ＝BE ，∴∠BFE ＝∠BEF ＝11(180)(180120)3022FBE ︒︒︒︒⨯-∠=⨯-=， ∵BH ⊥EF ，∴∠BHE ＝90°，FH ＝EH ，在Rt△BHE中，1,2BH BE FH EH ====，∴22EF EH ===， ∵AE ＝EF +AF ，AF ＝CE ，∴.AE CE=+；（3）分两种情况：①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示，由（2）得：FH＝EH，∵tan∠DAB＝13 BHAH=，∴332AH BH BE==，∴32CE AF AH FH BE==-==，∴CEBE=；②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示，同①得：3,32FH EH AH BH BE ====，∴32CE AF AH FH BE==+==，∴CE BE综上所述，当α＝120°，1tan3DAB∠=时，CEBE【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三角形是解题的关键．2、（1）见解析；（2）15 2【分析】（1）由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论. 【详解】（1）如图，∵DC⊥OA，∴∠1+∠3=90°，∵BD为切线，∴OB⊥BD，∴∠2+∠5=90°，∵OA=OB，∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中，∠4=∠5，∴DE=DB.(2)如图，作DF⊥AB于F，连接OE，∵DB=DE，∴EF=12BE=3，在Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，∴DF4=∴sin∠DEF=DFDE=45，∵∠AOE90A A AEC+∠=︒=∠+∠,AEC DEF∠=∠，∴∠AOE=∠DEF，∴在Rt△AOE 中，sin∠AOE =45AE AO = ， ∵AE =6，∴AO =152. 【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.3、（1）见解析；（2）2·FC FD FA =，见解析；（3）187【分析】（1）连接OC ，根据直径所对的圆周角为直角及切线的性质和各角之间的等量关系即可证明；（2）根据相似三角形的判定定理可得ΔΔΔΔ~ΔΔΔΔ，依据相似三角形的性质：对应边成比例即可得出；（3）根据同弧所对的圆周角相等可得：B ADC ∠=∠，3cos cos 5ADC B ∠=∠=，在Rt ACD ∆中，利用锐角三角函数可得65CD =，由勾股定理确定85AC =，由此得出34CD AC =，即为（2）中的相似比，设3FD x =，则4FC x =，32AF x =+，将其代入（2）中结论求解即可．【详解】解：（1）连接OC ，如图所示：∵AD 为O 直径，∴90ACD ∠=︒，90CAD ADC ∠+∠=︒，∵CF 为O 的切线，∴90OCF ∠=︒，即90OCD DCF ∠+∠=︒，∵OC OD =，∴OCD ADC ∠=∠，∴DCF CAD ∠=∠；（2）在ΔΔΔΔ与AFC ∆中，∵DCF CAD ∠=∠，F F ∠=∠，∴ΔΔΔΔ~ΔΔΔΔ， ∴FCFDAF FC =，∴2·FC AF FD =；（3）∵B ADC ∠=∠， ∴3cos cos 5ADC B ∠=∠=，在Rt ACD ∆中，2AD =，3cos 5CDADC AD ∠==， ∴6·cos 5CD AD ADC =∠=，∴85AC ==， ∴34CDAC =，由（2）结论可得：ΔΔΔΔ~ΔΔΔΔ，∴34FC FD CD AF FC AC ===， 设3FD x =，则4FC x =，32AF x =+，将其代入结论（2）可得：()()24332x x x =+， 解得：67x =或0x =（舍去）， ∴1837FD x ==． 【点睛】题目主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数解三角形、勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．4、（1）2；（2）①1(0,)2M ；②02S ≤≤；（3）1916π⎛ ⎝⎭;（4）1y >或1y <- 【分析】（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2，根据两点的距离可得2,EF CD EF ===而即可求得答案；（2）①根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求得M 的坐标；②由①可得当0S =时，y M 1=2，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =，根据余弦求得11cos cos QO PO MOQ O OP OM OO ∠=∠==进而代入数值列出方程，解方程即可求得S 的最大值，进而求得S 的范围；（3）根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线，求得半径为1算即可； （4）根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，即3OO 的中点1A 在以S l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围【详解】（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2根据两点的距离可得2,EF CD EF ===2,2,2EF CD EF ∴<<>故符合题意的“反射线段”有2条；故答案为：2（2）①如图，过点B 作BO y '⊥轴于点O '，连接11A BA 点坐标为（0，2），B 点坐标为（1，1），∴AB ==45BAO '∠=︒，(0,1)O 'O 的半径为1，1190AOB ∠=︒11A B ∴1145B A O =︒线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，()00O ，，(0,1)O ' 1(0,)2M ∴ ②由①可得当0S =时，y M 1=2如图，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =， (0,1)O '1(,1)O S S ∴+()222211221OO S S S S ∴=++=++ 过1OO 中点Q ，作直线l 1OO ⊥交y 轴于点M ,则l 即为反射轴1(,)22S S Q +∴ 12≤y M 136≤，136OM ∴= 11cos cos QO PO MOQ O OP OM OO ∠=∠== 即11112136OO S OO += 即()21113126OO S =+⨯ ∴()2113126S S S ++=+ 解得1252,6S S ==-（舍）02S ∴≤≤（3）1MN =∴1M N ''= O 的半径为1，则M N O ''是等边三角形， 根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴, ∴反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线222OO ∴==2112OR OO ∴==∴当M 点在圆上运动一周时，求反射轴l 未经过的区域的面积为2191=16ππ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭． （4）如图，根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,设(2,0)T则TM =2MN =3O MN 是等腰直角三角形3O L ML ∴,TL ∴==3TO ∴=当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，1SA ∴是3OO T 的中位线1312SA O T ∴==,13SA TO ∥即3OO 的中点1A 在以S∴若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，则l 为S 的切线设S 与y 轴交于点,C D 112OS OT ==，1SC SA =1OC ∴=同理可得1OD =∴反射轴l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围为1y >或1y <-【点睛】本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键．5、（1）（-b ，-12b 2）；（2）①直角三角形，见解析；②94≤Δ≤3 【分析】（1）y =12x 2+bx =12（x +b ）2-12b 2，即可求解；（2）①求出抛物线的表达式为y=12x2，联立y=12x2和y=kx+2并整理得：x2-2kx-4=0，证明△ADO∽△OEB，即可求解；②△AOB的外心为M，则点M是AB的中点，MP是梯形BADG的中位线，则m=k2+2，进而求解．【详解】解：（1）∵y=12x2+bx=12（x+b）2-12b2，∴抛物线的顶点Q坐标为（-b，-12b2）；（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△=b2-4×12×0=0，解得b=0，∴抛物线的表达式为y=12x2，如下图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、G，设经过点（0，2）的直线的表达式为y=kx+2，联立y=12x2和y=kx+2并整理得：x2-2kx-4=0，则x1+x2=2k，x1x2=-4，∴y1=12x12，y2=12x22，则y1y2=14x12x22=4=-x1x2，∵AD=y1，DO=-x1，BE=y2，OE=x2，∴AD OD OE BE，∴∠ADO=∠BEO=90°，∴△ADO∽△OEB，∴∠AOD=∠OBE，∵∠OBG+∠BOG=90°，∴∠BOG+∠AOD=90°，即AO⊥BO，∴△AOB为直角三角形；②过点A作x轴的平行线交EB的延长线于点H，过点M作MN与y轴平行，交AH于N，∵△AOB的外心为M，MN∥y轴∥BH，∴点M是AB的中点，MP是梯形ABGD的中位线，∴MP=12（AD+BG）=12（y2+y1），则m=MP=12（y1+y2）=12（kx1+2+kx2+2）=12[k（x1+x2）+4]=k2+2，令y=kx+2=0，解得x=-2k，即点K的坐标为（-2k，0），由题意得：2≤-2k≤4，解得-1≤k≤12且k≠0，∴94≤k2+2≤3，即点M的纵坐标m的取值范围94≤m≤3．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
北师大版九年级下册数学第三章 圆含答案(高分练习)
北师大版九年级下册数学第三章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AB为的直径，点C，点D是上的两点，连接CA，CD，AD.若，则的度数是（）A.110°B.120°C.130°D.140°2、如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ABC=52°，则∠AOC的度数为（）A.128°B.104°C.50°D.52°3、如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝36°，则∠BOD等于（）A.18°B.36°C.54°D.72°4、已知⊙O的半径为5，点A为线段OP的中点，当OP＝12时，点A与⊙O的位置关系是（）A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不能确定5、如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，= ，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（）A.60°B.45°C.35°D.30°6、如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB=2 ，则这个圆的内接正十二边形的面积为（）A.6B.6C.12D.127、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A，B除外），∠AOD＝136°，则∠C的度数是（）A.44°B.22°C.46°D.36°8、已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A.45°B.40°C.50°D.65°9、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A.2B.1C.D.410、下列说法中，正确的是（）A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等11、下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC 的长为A.1B.C.2D.213、如图，在⊙O中，= ，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A.40°B.30°C.20°D.15°14、如图，⊙O的直径AB=8，P是圆上任一点（A，B除外），∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC，BC的中点M、N，则EF的长是（）A. B. C.6 D.15、一段圆弧的半径是12，弧长是，则这段圆弧所对的圆心角是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、已知点M到直线L的距离是3cm，若⊙M的直径10cm，则⊙M与直线L的位置关系是________．17、如图, PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，C是⊙O上一点(P与A、B不重合)，若∠P＝52°，则∠ACB=________度.18、如图，AB为⊙0的直径，点C、D在⊙0上，且∠ADC=52°，则∠BAC=________°．19、如图，扇形圆心角为，半径为，点E，F分别为，中点，连接与相交于点G，则阴影部分面积为________；20、如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为________．21、点到上一点的距离的最大值是，的最小值为，则的半径为________．22、如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB=2 ，OH=1，则∠APB的度数是________．23、如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=________．24、已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为________cm25、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O 与BC相切于点D，交AB于点E，若，则图中阴影部分面积为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27、如图①是某校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示,单位:m),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形;如图②是车棚顶部截面的示意图, 所在圆的圆心为点O,车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留π)28、（1）已知⊙O的直径为10cm，点A为⊙O外一定点，OA=12cm，点P为⊙O 上一动点，求PA的最大值和最小值．（2）如图：=， D、E分别是半径OA和OB的中点．求证：CD=CE．29、如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．30、如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、D4、C5、D6、C7、B8、B9、A10、B11、C12、D13、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、30、。
北师大版九年级下册 3.4 圆周角与圆心角的关系 中考试题精选(含答案)
北师大版九年级下册 3.4 圆周角与圆心角的关系中考试题精选（含答案）一．选择题（共20小题）1．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°3．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．4．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4 C．2D．4.8 5．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D 7．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°8．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2 9．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°11．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC ＝6，则CD的长为（）A．6B．3C．6 D．12 12．（2019•安顺）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．13．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 14．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°15．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°16．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2 17．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD 18．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°19．（2019•白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°20．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16二．填空题（共20小题）21．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．22．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝．23．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．24．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．25．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．26．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为．27．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为．28．（2019•株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．29．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝°．30．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是．31．（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是．32．（2018•朝阳）如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝20°，则∠BOC的度数为．33．（2018•辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A＝°．34．（2018•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝．35．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB ＝°．36．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．37．（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是．38．（2018•杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DF A＝．39．（2018•无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝．40．（2018•青海）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．三．解答题（共10小题）41．（2019•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．42．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．43．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A ＝PC．44．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．45．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．46．（2018•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cos B ＝，求AD的长．47．（2017•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．48．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．49．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．50．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA＝AF，求证：CF⊥AB．3.4 圆周角与圆心角的关系参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．故选A．2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选B．3．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得AD＝10，∴sin∠B＝＝＝，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选D．4．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4 C．2D．4.8解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵OD⊥AC，∴CD＝AD＝AC＝4，在Rt△CBD中，BD＝＝2．故选C．5．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选B．6．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D解：∵∠A与∠D都是所对的圆周角，∴∠D＝∠A．故选D．7．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选A．8．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选D．9．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°解：∵＝，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC＝∠BOC＝50°，故选B．10．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选A．11．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC ＝6，则CD的长为（）A．6B．3C．6 D．12解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝×6＝3，∴CD＝2CE＝6．故选A．12．（2019•安顺）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝，故选D．13．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 解：∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP为△ACD的中位线，∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选A．14．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选D．15．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选C．16．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选B．17．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选C．18．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选C．19．（2019•白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选C．20．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选C．二．填空题（共20小题）21．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝60°．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．22．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝1．解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．23．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．24．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为．25．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是4π．解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π，故答案为4π．26．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．27．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为52°．28．（2019•株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝20度．解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为20．29．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为155．30．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为2．31．（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是30°．解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．故答案为30°．32．（2018•朝阳）如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝20°，则∠BOC的度数为40°．解：∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠B＝20°，∵AC∥OB，∴∠CAB＝∠B＝20°，∴∠OAC＝40°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC＝40°，∴∠BOC＝∠C＝40°，故答案为40°．33．（2018•辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A＝22.5°．解：连接OC，∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵点C为的中点，∴∠BOC＝45°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝×45°＝22.5°，故答案为22.5°．34．（2018•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝60°．解：连接DC，∵AC为⊙O的直径，OD⊥AC，∴∠DOC＝90°，∠ABC＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝45°，∵∠BDO＝15°，∴∠BDC＝30°，∴∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，故答案为60°．35．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝40°．解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案为40．36．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为70°．37．（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是50°．解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为50°．38．（2018•杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DF A＝30°．解：∵点C是半径OA的中点，∴OC＝OD，∵DE⊥AB，∴∠CDO＝30°，∴∠DOA＝60°，∴∠DF A＝30°，故答案为30°39．（2018•无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝15°．解：∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠COA＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABC＝15°，故答案为15°40．（2018•青海）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝125°．解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝125°．故答案为125°．三．解答题（共10小题）41．（2019•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．解：（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝1，∴OA＝AH÷cos30°＝．（2）如图2中，连接OP，P A．设OP交AB于H．∵＝，∴OP⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ＝QA＝OA＝．（3）连接PC．在Rt△ABC中，AC＝BC＝，∵AQ＝QO＝AO＝．∴QC＝AC﹣AQ＝﹣＝，∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，∴PQ＝1，∴tan∠ACP＝＝＝．42．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．43．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A ＝PC．证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．44．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．（1）证明：∵BC∥AE，∴∠ACB＝∠EAC，∵∠ACB＝∠BAD，∴∠EAC＝∠BAD，∴∠EAD＝∠CAB，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠EAD+∠ADE+∠E＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，∴CE＝CA．（2）解：设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．∵∠EAD＝∠CAB，∴＝，∴DM＝BC＝10，∵∠MDE+∠MDC＝180°，∠MDC+∠MAC＝180°，∴∠MDE＝∠CAM，∵∠E＝∠CAE，∴∠E＝∠MDE，∴MD＝ME＝10，∵MH⊥DE，∴EH＝DH，∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，∴cos∠E＝＝，∴EH＝4，∴DE＝2EH＝8．45．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．46．（2018•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cos B ＝，求AD的长．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，∴∠C＝180°﹣∠A＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF＝CD＝10．在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝17，cos∠ABC＝，∴BE＝AB•cos∠ABE＝，∴AE＝＝，∴AF＝AE﹣EF＝﹣10＝．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠CDF＝90°，∴∠ABC+∠ADF＝90°，∵cos∠ABC＝，∴sin∠ADF＝cos∠ABC＝．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，sin∠ADF＝，∴AD＝＝＝6．47．（2017•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB＝90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD＝25°∴∠B＝25°∴∠BAD＝90°﹣∠B＝65°．48．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；（2）∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2，∴AB＝2AE＝4，在Rt△ABC中，AC＝AB•sin B＝4，∴BC＝＝8，设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，∵AC2+CD2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3．49．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．（1）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）∴∠B＝∠C，（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB＝CD•CA，AC＝AB＝4，∴•2＝4CD，∴CD＝．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD＝a，由（1）知AC＝AB＝4，则AD＝4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2整理得a＝，即：CD＝．50．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA＝AF，求证：CF⊥AB．解：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB＝∠EF A＝60°∴∠B＝30°，∵∠EF A＝∠B+∠FDB，∴∠B＝∠FDB＝30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM＝EM＝a，AM＝a，在Rt△DAM中，AD＝AF＝2a，AM＝，∴DM＝5a，∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF+BF＝8a，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a，∵AE＝EF＝AF＝2a，∴CE＝AC﹣AE＝2a，∴∠ECF＝∠EFC，∵∠AEF＝∠ECF+∠EFC＝60°，∴∠CFE＝30°，∴∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝60°+30°＝90°，∴CF⊥AB．。
北师大版九年级(下) 中考题单元试卷：第3章 圆(27)
BAD＝120°，则弧 BC 的长度等于
（结果保留 π）．
16．如图，半径为 5 的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线 b，然后把半圆沿直线 b
进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线 b 重合为止，则圆心 O 运动路径的长度等
于
．
17．如图，点 A、B、C 在半径为 9 的⊙O 上， 的长为 2π，则∠ACB 的大小是
弧 EF 的圆心依次是 A、B、C，如果 AB＝1，那么曲线 CDEF 的长是
．
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26．如果⊙O1 与⊙O2 的半径分别是 1 和 2，并且两圆相外切，那么圆心距 O1O2 的长
是
．
27．如图，∠AOB＝60°，O1，O2，O3…是∠AOB 平分线上的点，其中 OO1＝2，若分别以
O1，O2，O3…为圆心作圆，使得⊙O1，⊙O2，⊙O3…均与∠AOB 的两边相切，且相邻
B．2+ 与 2﹣ 互为倒数
C．若 a＞|b|，则 a＞b
D．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半
6．如图，⊙O 的半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是⊙O 上任意一点（P
与 A、B、C、D 不重合），经过 P 作 PM⊥AB 于点 M，PN⊥CD 于点 N，点 Q 是 MN 的
两个圆相切，则 t＝
．
三、解答题（共 1 小题）
30．若⊙O1 和⊙O2 的圆心距为 4，两圆半径分别为 r1、r2，且 r1、r2 是方程组
的解，求 r1、r2 的值，并判断两圆的位置关系．
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北师大版九年级（下）中考题单元试卷：第 3 章 圆（27）
参考答案
一、选择题（共 8 小题） 1．B； 2．B； 3．D； 4．C； 5．D； 6．A； 7．B； 8．B； 二、填空题（共 21 小题） 9．3； 10． ； 11．50°； 12． ； 13． π； 14． π； 15． ； 16．5π； 17．20°；
初三北师大版数学圆练习题
初三北师大版数学圆练习题1. 已知一个正方形的边长为10厘米，求其内切于这个正方形的圆的半径。
解答：设圆的半径为r，则正方形的对角线长度为2r，根据勾股定理可得：\(2r^2 = 10^2\)解得：\(r^2 = \frac{100}{2} = 50\)因此，该圆的半径为 \(\sqrt{50}\) 厘米。
2. 已知一个圆的半径为8厘米，求其外切于这个圆的正方形的面积。
解答：设正方形的边长为a，根据题意，可以得到：\(a = 2r\)正方形的面积为：\(S = a^2 = (2r)^2 = 4r^2 = 4 \times 8^2 = 256\) 平方厘米。
3. 在平面直角坐标系中，点A坐标为(3,4)，点B在x轴上，点C在y轴上，且已知∠ABC为直角。
求点B和点C的坐标。
解答：点B在x轴上，所以它的纵坐标为0，即B的坐标为(x, 0)。
点C在y轴上，所以它的横坐标为0，即C的坐标为(0, y)。
由题意可得：\(\overline{AB} = \overline{AC}\)根据两点间距离公式，可以得到：\(\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2} = \sqrt{(0-3)^2+(y-4)^2}\)化简得到：\(x^2 + 6x + 9 + 16 = y^2 - 8y + 16 + 9\)继续化简可得：\(x^2 + 6x + 25 = y^2 - 8y + 25\)移项得到：\(x^2 + 6x - y^2 + 8y = 0\)根据题意，∠ABC为直角，AB和AC的斜率分别为-4/3和-3/4，可以得到以下关系：\(\frac{y-4}{x-3} \times \frac{-4}{3} = -1\)\(\frac{-4y}{3x-9} = -1\)继续化简可得：4y = -3x + 9代入x^2 + 6x - y^2 + 8y = 0中得到：\(x^2 + 6x - (-3x + 9)^2 + 8(-3x + 9) = 0\)化简得到：\(37x^2 - 44x + 36 = 0\)求得x的值为：\(x = \frac{44 \pm \sqrt{44^2 - 4 \times 37 \times 36}}{2 \times 37}\)进一步计算可得x的值分别为0.718和1.532，将这两个值代入4y = -3x + 9可以求得y的值。
(完整)新版北师大初三数学九年级(下册)第三章圆练习题(分节练习)【含答案】,推荐文档.docx
...新版北师大初中数学九（下）第三章圆分节练习第 1 节圆01、【基础题】已知⊙O 的面积为25. （ 1）若 PO＝ 5.5，则点 P 在 _____；（ 2）若 PO＝ 4，则点 P 在 _____；（3）若 PO＝ _____，则点 P 在⊙ O 上 .01.1【综合Ⅰ】如左下图，△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，AC ＝ 2 cm，BC ＝ 4 cm，CM 是 AB 边上的中线，以点 C 为圆心，5 cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_______，在圆上的有_______，在圆内的有_______.01.2、【综合Ⅲ】如右上图，菱形ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点O，点 E、 F、 G、 H 分别为 AB 、BC 、 CD、DA 的中点，那么E、 F、 G、 H 是否在同一个圆上？说明理由.01.3、【综合Ⅲ】若⊙ A 的半径为5，圆心 A 的坐标是 (3 ，4)，点 P 的坐标是 (5， 8)，则点 P 的位置是（）A 、在⊙ A 内B、在⊙ A 上C、在⊙ A 外D、不能确定02、【综合Ⅰ】设AB ＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于 2 cm 的所有点组成的图形；（ 2）到点 A 和点 B 的距离都小于 2 cm 的所有点组成的图形；（3）到点A的距离小于2 cm，且到点 B 的距离大于 2 cm 的所有点组成的图形.03、【提高】海军部队在某灯塔 A 的周围进行爆破作业， A 的周围 3 km 的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔A有 2 km 远的 B 处，为了尽快驶离危险区域，该船应往哪个方向航行？请给予证明.03.1【提高】已知点P不在⊙ O上，且点P到⊙ O上的点的最小距离是5，最大距离是7，求⊙ O 的半径 .第 2 节圆的对称性⌒⌒04、【基础题】如左下图，在⊙O 中，AC ＝ BD ，∠ 1＝30°，那么∠ 2＝ _____.04.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中，弧 AB 等于弧 AC ，∠ A=30°，则∠ B ＝ _____.05、【综合Ⅰ】如左下图，点 A 、B 、 C、 D 是⊙ O 上的四点， AB ＝DC，那么△ ABC 与△ DCB 全等吗？为什么？...05.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中， AD ＝ BC，试说明AB 与 CD 相等 .05.2【基础】如左下图，AB 、DE 是⊙ O 的直径， C 是⌒⌒那么 BE 和 CE⊙ O 上的一点，且AD＝CE，的大小有什么关系？为什么？05.3【综合Ⅰ】⌒⌒如右上图， AB 是⊙ O 的直径， OD ∥ AC ，那么CD与BD的大小有什么关系？为什么？06、【综合Ⅰ】如左下图，⌒OACB 的形状 .A、 B 是⊙ O 上两点，∠ AOB ＝ 120 °， C 是AB的中点，试确定四边形06.1、【综合Ⅱ】如图，AB 是⊙ O 的直径， BC 、CD、 DA 是⊙ O 的弦，且BC＝ CD ＝ DA ，则∠ BCD ＝ ______.*第 3 节垂径定理07、【基础题】如左下图，已知⊙O 中， OC⊥弦 AB 于 C， AB ＝ 8， OC＝ 3，则⊙ O 的半径等于 ______.07.1、【基础题】如右上图，已知⊙O 的半径为30 mm，弦 AB ＝36 mm ，求点 O 到 AB 的距离及∠ OAB 的余弦值 .08、【综合Ⅱ】如左下图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16 m ，拱高 CD=4 m ，那么拱形的半径是____m.C08.1、【综合Ⅱ】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？” 转化为数学语言就是：如右上图， CD 为⊙ O 的直径，弦 AB ⊥ CD ，垂足为 E， CE＝1 寸， AB ＝10 寸，求直径 CD 的长 .09、【综合Ⅰ】如右图，在⊙O 中， AB 、 CD 是两条弦， OE ⊥AB ， OF⊥ CD，垂足分别为E、 F.（1）如果∠ AOB ＝∠ COD ，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果 OE＝ OF，那么 AB 与 CD 的大小有什么关系？为什么？10、【综合Ⅰ】已知⊙ O的半径为 5 cm，弦 AB ∥弦 CD， AB ＝6 cm，CD ＝ 8 cm，试求 AB 与 CD 间的距离 .10.1、【综合Ⅱ】如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？11、【综合Ⅲ】如右图，在⊙O 中， AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥ AB ，OE⊥ AC ，垂足分别为D、 E，若AC ＝ 2 cm，则⊙ O 的半径为 ______ cm.第 4 节圆周角和圆心角的关系（包括圆内接四边形）12、【基础题】如左下图，在⊙O 中，已知∠ BOC ＝ 100 °，则∠ BAC 的度数是 _____ °AOCB12.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中，∠ BAC ＝ 25°，则∠ BOC＝ _____ °12.2、【综合Ⅰ】如图，∠ A是⊙ O的圆周角，∠ A＝40°，求∠ OBC的度数.13、【基础题】如图，A 、B 、 C、 D 是⊙ O 上的四点，且∠ BCD ＝ 100 °，求∠ BOD （弧 BCD 所对的圆心角）和∠ BAD 的大小 .13.1、【基础题】左下图， A 、B 、C 三点都在⊙ O 上，点 D 是 AB 延长线上一点，∠AOC=140°, ∠ CBD的度数是_____.OCABD13.2【基础题】如右上图，四边形ABCD 是圆内接四边形， E 是 BC 延长线上一点，若∠BAD ＝ 105 °，则∠ DCE 是 _____°.13.3【综合Ⅰ】在圆内接四边形ABCD 中，对角∠ A 与∠ C 的度数之比是4： 5，求∠ C 的度数 .13.4、【综合Ⅱ】如左下图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E、 F，且∠ E＝ 40°，∠ F＝ 60°，求∠ A 的度数 .14、【基础题】如右上图，⊙O 的直径 AB ＝ 10 cm， C 为⊙ O 上的一点，∠ B＝ 30°，求 AC 的长 .14.1、【基础题】如左下图，AB 是⊙ O 的直径，∠ C＝ 15°，求∠ BAD 的度数 .WORD 格式整理...14.2、【综合Ⅰ】如右上图，⊙O 的弦 AB ＝ 16，点 C 在⊙ O 上，且 sin C＝4，求⊙ O 的半径的长 . 514.3、【中考题】 A、 B 是⊙ O 上的两个定点，P 是⊙ O 上的动点（ P 不与 A、 B 重合），我们称∠ APB 是⊙ O 上关于点A 、 B 的滑动角 .（1）若 AB 是⊙ O 的直径，则∠ APB 是多少度？（ 2）若⊙ O 的半径是1， AB ＝ 2 ，则∠APB是多少度？15、【基础题】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A 、正方形B、菱形C、矩形 D 、等腰梯形16、【提高题】如右图，AB 是半圆 O 的直径，弦 AD 、BC 相交于点P，且 CD 、AB 的长是一元二次方程x2－7x＋＝12 0的两根，求tan∠DPB.第 5 节确定圆的条件17、【基础题】分别作出下面三个三角形的外接圆，并指出它们外心的位置有什么特点17.1、【基础题】如左下图， MN 所在的直线垂直平分线段 AB ，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？17.2、【基础题】如右上图， A 、 B、 C 三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.18、【综合Ⅰ】在△ ABC中，AC＝10，BC＝8，AB＝6，求△ ABC外接圆的半径...第 6 节直线和圆的位置关系19、【基础题】如右图，已知Rt△ ABC 的斜边 AB ＝ 8 cm， AC ＝ 4 cm.（ 1）以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与⊙ C 相切？（ 2）以点 C 为圆心，分别以 2 cm 和 4 cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与AB 分别有怎样的位置关系？19.1【基础题】直线l 与半径为r的⊙O相交，且点O到直线 l 的距离为5，求 r的取值范围.19.2、【综合Ⅰ】在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ B＝ 30°， O 是 AB 上一点， OA ＝m，⊙ O 的半径为r，当r与m 满足怎样的关系时，（ 1）AC 与⊙ O 相交？（2）AC与⊙ O相切？（3）AC与⊙ O相离？20、【基础题】如左下图， AB 是⊙ O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，过点 D 作⊙ O 的切线，切点为 C，若∠ A=25 °，则∠ D=______ ．20.1【基础题】如右上图，PA 切⊙ O 于点 A，该圆的半径为3， PO=5，则 PA 的长等于 _____．20.2、【综合Ⅰ】如左下图，PA、PB 分别与⊙ O 相切于点A、＝B，∠ P＝ 70°，则∠ C()A.70 °B.55°C.110°D.140 °20.3、【综合Ⅱ】如右上图，已知AB 是⊙ O 的直径， AC 是弦， CD 切⊙ O 于点 C，交 AB 的延长线于点D，∠ACD=120 °， BD=10 ．（1）求证：CA=CD；（2）求⊙ O的半径．20.4【综合Ⅱ】如右图，AB 是⊙ O 的直径， BC 是⊙ O 的切线，切点为点 B ，点 D 是⊙ O 上的一点，且AD ∥OC，...求证：AD · BC=OB · BD ．21、【中考题， 2014 陕西 23 题】（本题满分8 分）如右下图，⊙ O 的半径为4，B 是⊙ O 外一点，连接OB, 且 OB=6. 过点 B 作⊙ O 的切线 BD ，切点为 D, 延长 BO 交⊙ O 于点 A, 过点 A 作切线 BD 的垂线，垂足为 C.(1)求证： AD 平分∠ BAC(2)求 AC 的长22、【基础题】如左下图，已知直线AB 经过⊙ O 上的点 C，并且 OA ＝OB， CA ＝CB ，那么直线 AB 是⊙ O 的切线吗？为什么？22.1、【中考题， 2013 年孝感市23 题， 10 分】如右上图，△ABC 内接于⊙ O，∠ B=60 °， CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且AP=AC ．（1）求证： PA 是⊙ O 的切线；（2）若 PD= ，求⊙ O 的直径．23、【基础题】如图，已知锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，分别作出它们的内切圆. 请问，三角形的内心是否都在三角形的内部？23.1、【基础题】等边三角形的边长为 a ，求这个三角形内切圆的面积....23.2、【综合Ⅰ】已知在Rt△ABC中，∠ C＝90° ，AC＝6，BC＝8，则△ ABC的内切圆半径r＝ __ _ ．24、【综合Ⅰ】如左下图，在△ABC 中，∠ A ＝ 68°，点 I 是内心，求∠I 的度数 .24.1、【综合Ⅰ】如右上图，在四边形ABCD 中，∠ B ＝ 60°，∠ DCB ＝ 80°，∠ D＝ 100°，若 P、Q 两点分别为三角形 ABC 和三角形 ACD 的内心，那么∠ PAQ 的度数是多少？24.2、【综合Ⅲ】在Rt△ ABC中，∠ C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，求其内心和外心之间的距离.*第 7 节切线长定理25、【基础题】如图，PA、PB是⊙ O的两条切线，A、B是切点.求证：PA＝PB25.1、【基础题】已知⊙O 的半径为 3 cm，点 P 和圆心 O 的距离为 6 cm，过点 P画⊙ O 的两条切线，求这两条切线的切线长.25.2、【综合Ⅰ】如左下图，PA 和 PB 是⊙ O切线，分别交 PA 和 PB 于 D、 E 两点 .的两条切线， A 、B 是切点， C 是弧 AB 上任意一点，过点C 画⊙ O 的已知PA＝PB＝ 5 cm，求△ PDE 的周长 .25.3、【综合Ⅲ】如右上图，PA 和 PB 是⊙ O 的两条切线， A、 B 为切点，∠ P＝ 40°，点 D 在 AB 上，点 E 和点 F 分别在PB 和 PA 上，且 AD ＝ BE，BD ＝ AF ，求∠ EDF 的度数 .26、【综合Ⅰ】如左下图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝ 10，BC＝ 24，⊙ O 是△ ABC 的内切圆，切点分别为D、 E、F，求⊙ O 的半径 . （利用切线长定理来解题）...26.1、【综合Ⅲ】如右上图，⊙O 是△ ABC 的内切圆， D 、E、 F 为切点，且AB ＝ 9 cm，BC ＝14 cm， CA ＝ 13 cm，求AF 、BD 、 CE 的长 .26.2、【综合Ⅲ】如图，在四边形ABCD 中， AB ＝ AD ＝6 cm ， CB＝ CD＝ 8 cm ，且∠ B ＝90°，该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径.第 8 节圆内接正多边形27、【基础题】如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径 OC＝ 4， OG⊥ BC，垂足为 G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距 .27.1、【综合Ⅱ】有一边长为 4 的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为______.27.2、【综合Ⅱ】如右图，把边长为 6 的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE ，求这个正六边形的面积 .27.3、【基础题】请求出半径为 6 的圆内接正三角形的边长和边心距.28、【基础题】已知正方形的边长是 a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ∶R∶ a ＝______. 28.1、【基础题】请利用尺规作一个已知圆的内接正四边形.29、【合Ⅲ】如，点 M 、N 分是⊙ O 的内接正三角形ABC 、内接正方形ABCD 、内接正五形ABCDE 、⋯⋯、内接正 n 形的AB、BC上的点，且BM ＝ CN ，接 OM 、 ON.（ 1）求 1 中的∠ MON 的度数；（ 2）在 2 中，∠ MON 的大小是 ______，在 3 中，∠ MON 的大小是 ______；（ 3）根据n，明∠ MON 的度数与正n形的数n 之的关系（直接写出答案）.第 9弧及扇形的面（含面目）30、【中考， 2014 年云南省第7 3 分】已知扇形的心角45°，半径12，扇形的弧（）A、B． 2πC． 3πD． 12π30.1、【中考， 2014 四川自第8 4 分】一个扇形的半径8cm，弧cm，扇形的心角（）30.2、【基】已知上一段弧4cm，它所的心角100 °，的半径是_____.31、【中考，2014 成都，3 分】在心角120 °的扇形 AOB 中，半径 OA ＝ 6 cm，扇形 AOB 的面是 ________ cm2 .31.1、【中考， 2014 山第5 3 分】如左下，已知扇形的心角60°，半径 3 ，中弓形（阴影）面是_________.31.2、【中考题， 2014 ·浙江金华第10 题 4 分】如右上图，一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，两个正方形的边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5: 4 B ．5: 2C． 5 : 2D． 5 : 232、【中考题，2014 杭州第 2 题 3 分】左下图，已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为______ cm2 .33、【综合Ⅲ】如右上图，⊙ A 与⊙ B 外切于⊙ O 的圆心 O，⊙ O 的半径为1，则阴影部分的面积是________.33.1、【中考题， 2014 山东泰安第19 题 3 分】如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形 OAB 中，分别以OA、 OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________ cm2 .33.2、【中考题， 2014 福建泉州第17 题 4 分】如右图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：（1）AB 的长为 _____ 米；（ 2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为______ 米．新版北师大初中数学九（下）第三章圆分节练习答案第 1 节答案01、【答案】（1）圆外；（2）圆内；（3）501.1、【答案】在圆外的有点 B ，在圆上的有点M ，在圆内的有点 A 和点 C.01.2【答案】E、F 、G、H 四个点共圆 .证明 :连接 OE、OF、 OG、OH∵四边形ABCD 是菱形∴AB=BC=CD =DA ,DB ⊥ AC∵ E、F 、G、H 分别是各边的中点1111∴ OE AB,OF BC,OG CD, OH AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）2222∴OE OF OG OH∴E、F 、G、H 四个点都在以 O 为圆心、 OE 长为半径的圆上 .01.3【答案】选A02、【答案】（1）如图1，所求图形即P、 Q 两点；（2）如图2，所求图形为阴影部分（不包括阴影的边界）；（ 3）如图 3，所求图形为阴影部分（不包括阴影的边界）.03、【答案】往射线 AB 方向航行【证明】如图，设航线AB 交⊙ A 于点 C，在⊙ A 上任取一点D（不包括 C 关于 A 的对称点）连接 AD 、 BD；在△ ABD 中，∵ AB+BD ＞ AD ， AD=AC=AB+BC，∴ AB+BD ＞ AB+BC ，∴ BD ＞ BC ．答：应沿 AB 的方向航行．03.1【答案】当点P在圆外时，半径是1；当点 P 在圆内时，半径是 6.第 2 节答案04、【答案】30°04.1【答案】75°05、【答案】全等，可先证AC ＝ DB.05.1、【提示】证弧CD和弧AB相等.05.2【答案】相等.【提示】先证弧 BE 和弧 AD 相等 .05.3、【答案】相等【提示】连接 OC06、【答案】四边形 OACB 是菱形【证明】连接 OC∵C 是弧 AB 的中点，∠ AOB=120 °∴∠ AOC=60 °∴△ AOC 是等边三角形∴OA=AC同理可得 BC=OB∴OA=OB=BC=AC∴四边形 OACB 是菱形06.1、【答案】120 °【提示】连接 OC、 OD ，可证△ BOC 和△ COD 都是等边三角形.*第 3 节答案07、【答案】半径等于 5.【提示】如右图，利用垂径定理和勾股定理来算半径.07.1、【答案】点O到AB的距离是24 mm，∠ OAB 的余弦值是0.608、【答案】10 m.【提示】在如图的圆弧形中， CD是拱高，根据圆的对称性可知CD垂直平分 AB，则 CD所在直线过圆心，延长CD，作圆心22＝ r2，解得O，并且连接 OB.设拱形的半径 OB为 r ，则 OD为（ r － 4）, 根据勾股定理可得（r－4）＋8r ＝ 10 m....出半径 . 有些题目不能直接求出半径则需列方程来解决.08.1【答案】直径CD是26寸.【解析】09、【提示】（1）用 HL 证明 Rt△ AOE 与 Rt △COF 全等；（2）用 HL 证明 Rt△ AOE 与 Rt △COF 全等 .10、【答案】AB 与 CD 间的距离为7 cm 或 1 cm.【提示】如图，若AB 和 CD 在圆心两侧，则可求出OE＝ 3，OF＝ 4，则 AB 、CD 距离是 7 cm；若 AB 和 CD 在圆心同侧，则距离是 1 cm.10.1、【答案】相等.【解析】如图示，过圆心O 作垂直于弦的直径EF，由垂径定理得：弧AF= 弧 BF ，弧 CF=弧 DF，用等量减等量差相等原理，弧AF- 弧 CF=弧 BF- 弧 DF，即弧 AC= 弧 BD，故结论成立．符合条件的图形有三种情况：(1) 圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3) 在平行弦内，但理由相同．11、【答案】2【解析】第 4 节答案12、【答案】∠ BAC的度数是50°.12.1、【答案】∠ BOC＝50°12.2、【答案】∠ OBC＝50°13、【答案】∠ BOD＝160°，∠ BAD＝80°13.1【答案】∠ CBD的度数是70°13.2【答案】∠ DCE＝105°13.3【答案】∠ C＝100°13.4【答案】∠ A＝40°14、【答案】AC ＝ 5 cm14.1、【答案】∠BAD的度数是75°14.2【答案】半径的长为10.【提示】连接 AO ，延长 AO 交⊙ O 于 D ，连接 BD.14.3、【答案与解析】15、【答案】选C716、【答案】tan∠ DPB ＝3【解析】第 5 节答案17、【答案】锐角三角形的外心在内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在外部....17.1、【答案】最少使用两次17.2、【提示】连接 AB 、 AC ，分别作线段AB 和 AC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为供水站的位置.18、【答案】△ ABC外接圆的半径是 5.18.1、【答案】1a 2 3第 6 节答案19、【答案】（1）当半径长为2 3 cm时，AB与⊙C相切.（ 2）当半径为 2 cm 时，⊙ C 与 AB 相离；当半径为 4 cm 时，⊙ C 与 AB 相交 .19.1【答案】r ＞519.2【答案】（1）r＞3 m（2）r＝3 m（3）r＜3 m22220、【答案】40°20.1【答案】PA＝420.2、【答案】选B20.3【答案】（1）提示：证∠A ＝∠ D＝ 30°（2）半径是 10.20.4【提示】证明Rt△ CBO∽ Rt△ BDA21、【答案】证明：（ 1）连接 OD∵ BD 是⊙ O 的切线， D 为切点∴OD BC∵ AC BD∴OD∥ AC∴∠ ODA= ∠ CAD又∵ OD=OA∴∠ BAD= ∠ CAD∴ AD 平分∠ ABC20(2) 解：∵ OD ∥ AC ，∴BOD∽BAC，∴=，∴=，∴ AC＝3...22.1、【答案与解析】（1）证明：连接 OA ，∵ ∠ B=60 °，∴ ∠AOC=2 ∠ B=120 °，又∵ OA=OC ，∴∠ OAC= ∠ OCA=30 °，又∵ AP=AC ，∴ ∠ P=∠ ACP=30 °，∴ ∠OAP= ∠AOC ﹣∠ P=90°，∴ OA ⊥ PA，∴ PA 是⊙ O 的切线．（2）在 Rt△OAP 中，∵ ∠ P=30°，∴ PO=2OA=OD+PD ，又∵ OA=OD ，∴ PD=OA ，∵，∴．∴⊙ O的直径为．23、【答案】都在内部23.1、【答案】1a 2 1223.2、【答案】r＝ 2.24、【答案】∠ I＝124°24.1、【答案】∠PAQ的度数是60°24.2、【答案】 5 cm【解析】...* 第 7 节答案25、【解析】25.1、【答案】 3 3 cm25.2、【答案】△PDE 的周长是 10 cm.25.3、【答案】∠ EDF＝ 70°26、【答案】⊙ O 的半径是 426.1、【答案】AF ＝ 4 cm， BD ＝5 cm， CE＝ 9 cm.【提示】设 AE ＝ AF ＝x， BF ＝ BD ＝y， CE＝ CD＝z26.2、【答案】24存在内切圆，内切圆半径是7第 8 节答案27、【答案】中心角是60°，边长是4，边心距是 2 3 .27.1、【答案】外接圆的半径为427.2、【答案】正六边形的面积是6327.3、【答案】边长是6 3 ，边心距是 3.28、【答案】1∶ 2 ∶228.1、【提示】用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，在圆周上得到四个点，依次连接这四个点，就得到圆的内接正四边形 .28.2、【提示】如图，先作出两条互相垂直的直径，再作出两条直径所形成的直角的角平分线，即可在圆周上得到圆内接正八边形的顶点29、【答案】第 9 节答案30、【答案】根据弧长公式：l ==3π，故选C．30.1、【答案】选 B30.2、【答案】7.2 cm.31、【答案】12cm231.1、【答案】2 －3 3431.2【答案】选 A【解析】32、【答案】15cm 233、【答案】3－3【解析】...33.1、【答案】（﹣1）cm2【解析】分析：假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P，Q 面积相等．连接AB，OD ，根据两半圆的直径相等可知∠AOD =∠BOD =45 °，故可得出绿色部分的面积=S△AOD，利用阴影部分Q 的面积为： S 扇形AOB﹣ S 半圆﹣ S 绿色，故可得出结论．解：∵扇形 OAB 的圆心角为90°，假设扇形半径为 2，∴扇形面积为：=π（ cm2），半圆面积为：×π×12=（ cm2），∴ S Q +S M =S M+S P=（cm2），∴ S Q=S P，连接 AB， OD ，∵两半圆的直径相等，∴∠AOD =∠BOD =45°，∴ S 绿色 =S△AOD=×2×1=1（cm2），∴阴影部分Q 的面积为： S 扇形AOB﹣ S 半圆﹣ S 绿色 =π﹣﹣1=﹣1（cm2）．133.2、【答案】（1）1米；（2）米.4【解析】分析：（1）根据圆周角定理由∠BAC =90°得 BC 为⊙ O 的直径，即 BC=，根据等腰直角三角形的性质得AB=1；...（ 2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr=，然后解方程即可．解答：解：（1）∵∠ BAC=90°，∴ BC 为⊙ O 的直径，即BC=，∴AB= BC=1；（ 2）设所得圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2πr=，解得 r=．故答案为1，．工程部维修工的岗位职责1、严格遵守公司员工守则和各项规章制度，服从领班安排，除完成日常维修任务外，有计划地承担其它工作任务; 2 、努力学习技术，熟练掌握现有电气设备的原理及实际操作与维修; 3 、积极协调配电工的工作，出现事故时无条件地迅速返回机房，听从领班的指挥; 4 、招待执行所管辖设备的检修计划，按时按质按量地完成，并填好记录表格; 5、严格执行设备管理制度，做好日夜班的交接班工作; 6 、交班时发生故障，上一班必须协同下一班排队故障后才能下班，配电设备发生事故时不得离岗; 7 、请假、补休需在一天前报告领班，并由领班安排合适的替班人.。
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圆命题点1圆周角定理及其推论1.(2016兰州)如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝()A.40°B.45°C.50°D.60°第1题图2.(2016济宁)如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是()第2题图A.40°B.30°C.20°D.15°3.(2016永州)如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．第3题图4.(2016青岛)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD＝________°.第4题图命题点2垂径定理及其推论5.(2016黄石)如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝()A.5B.7C.9D.11第5题图6.(2016眉山)如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于()第6题图A.64°B.58°C.72°D.55°7.(2016安顺)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD ＝6，则BE＝________．第7题图命题点3与圆有关的位置关系8.(2016湘西)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定9.(2016上海)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r第9题图的取值范围是()A.1＜r＜4B.2＜r＜4C.1＜r＜8D.2＜r＜8命题点4与切线有关的证明与计算10.(2016泉州)如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为()A.15°B.30°C.45°D.60°第10题图11.(2016湖州)如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°.过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是()第11题图A.25°B.40°C.50°D.65°12.(2016呼和浩特)在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．13.(2015宁波)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．第13题图14.(2016大连10分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝，求⊙O的半径．第14题图命题点5扇形的相关计算15.(2016包头)120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是()A.3B.4C.9D.1816.(2016宜宾)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是()A.3πB.6πC.9πD.12π17.(2016湘潭)如图，一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则该扇形的弧长是________．(结果保留π)第17题图命题点6圆锥的相关计算18.(2016乌鲁木齐)将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为()A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm19.(2016孝感)若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm.20.(2016淮安)若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.命题点7阴影部分面积的计算21.(2016重庆A卷)如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是()A.B.＋C.D.＋第21题图22.(2016资阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是()第22题图A.2－πB.4－πC.2－πD.π23.(2016重庆B卷)如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是()A.18－9πB.18－3πC.9－D.18－3π第23题图24.(2016常德)如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．第24题图25.(2016咸宁8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E、F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．第25题图命题点8圆与正多边形的相关计算26.(2015贵阳)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于________．第26题图27.(2016盐城)如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为________．第27题图中考冲刺集训(时间：60分钟满分：70分)一、选择题(共8题，每题3分，共24分)1.(2016无锡)如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为()A.70°B.35°C．20°D.40°第1题图2.(2016德阳)如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于()第2题图A.55°B.65°C.70°D.75°3.(2016衢州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为()第3题图A.B.C.D.4.(2016山西)如图，在?ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为()A.B.C．πD．2π第4题图5.(2016聊城)如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为()第5题图A.45°B.50°C.55°D.60°6.(2016广安)如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4，则S阴影＝()第6题图A.2πB.πC.πD.π7.(2016陕西)如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为()A.3B.4C.5D.6第7题图8.(2016南通)如图所示的扇形纸片半径为5cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm，则该圆锥的底面周长是()第8题图A.3πcmB.4πcmC.5πcmD.6πcm二、填空题(共4题，每题4分，共16分)9.(2016广州)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝12，OP＝6，则劣弧的长为________．(结果保留π)第9题图10.(2016徐州)如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝________°.第10题图11.(2016枣庄)如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tan D＝________．第11题图12.(2016义乌)如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C 到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________cm.第12题图三、解答题(共4题，第13题6分，第14～16题每题8分，共30分)13.(2016株洲)已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．(1)求证：△DFB是等腰三角形；(2)若DA＝AF，求证CF⊥AB.第13题图14.(2016泰州)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．第14题图15.(2016沈阳8分)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求的长．(结果保留π)第15题图16.(2016宿迁)如图①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．第16题图1.A【解析】∵OA＝OB，∠A＝50°，∴∠B＝50°，∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－50°＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB ＝40°，故选A.第2题解图2.C【解析】如解图，连接CO，∵＝，∴∠AOC＝∠AOB＝40°，∴∠ADC ＝∠AOC＝×40°＝20°.故选C.3.35【解析】∵OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠B，∠C＝∠OAC，∵∠AOB ＝40°，∴∠B＝∠OAB＝70°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠C，∴∠OAC＝∠BAC ＝∠OAB＝35°.4.62【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠BCD＝28°，可得∠ACD ＝∠ACB－∠BCD＝90°－28°＝62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD＝∠ACD＝62°.命题点2垂径定理及其推论【命题规律】1.考查形式：①已知半径、弦长、弦心距中的两个量求另一个量；②结合垂径定理计算角度或线段长.2.利用垂径定理求线段长考查较多，题型多为选择题和填空题．【命题预测】垂径定理及其推论是圆中计算线段长的重要工具，是命题的重点，需对这部分知识做到熟练掌握．5.A【解析】∵ON⊥AB，AB＝24，∴AN＝＝12，∴在Rt△AON中，ON ＝＝＝5.6.B【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝(180°－∠AOC)＝×(180°－64°)＝58°.第7题解图7.4－【解析】如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，AB＝8，CD＝6，∴CE＝DE＝3，OC＝OB＝4.在Rt△OCE中，OE＝＝，∴BE＝OB －OE＝4－.命题点3与圆有关的位置关系【命题规律】考查内容：直线与圆的位置关系；一般考查根据其位置关系，计算某一量的取值范围或已知圆心和半径，求圆与另一直线的位置关系．【命题预测】与圆有关的位置关系是圆中命题点之一，常需判断直线圆的位置关系，值得注意．8.A【解析】如解图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB ＝5.过C作CD⊥AB于D，则S＝AC·BC＝AB·CD，解得CD＝2.4<2.5，△ABC∴直线AB与⊙C相交．第8题解图第9题解图9.B【解析】连接AD，则AD＝＝＝5，∵⊙A与⊙D相交，∴3－r<5<3＋r，解得2＜r＜8，又∵点B在⊙D外，∴r<BD，即r<4.∴2<r<4，故选B.命题点4与切线有关的证明与计算【命题规律】1.主要考查：①利用切线性质求角度或线段长；②判定一条线是圆的切线.2.此类问题一般在三大题型中均有涉及，其中小题中常考查利用切线性质求角度或计算线段长问题，解答题中以两问设题居多，考查切线的判定和运用切线性质进行相关计算．【命题预测】切线性质与判定作为圆的重要知识，越来越受命题人的重视，是全国命题主流．10.B【解析】∵AB和⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠A＝90°－∠AOB＝90°－60°＝30°.第11题解图11.B【解析】∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝65°.如解图，连接OC.∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠BCO＝65°.∵CD是⊙的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD＝90°－∠BCO＝25°，∴∠D＝∠ABC－∠BCD＝65°－25°＝40°.12.24【解析】设AB切⊙O于点E，如解图，连接EO并延长交CD于点M，∵C⊙O＝26π＝2πr，∴r＝13，∵AB∥CD，且AB与CD之间的距离为18，∴OM＝18－r＝5，∵AB为⊙O的切线，∴∠CMO＝∠AEO＝90°，∴在Rt△CMO 中，CM＝＝12，∴CD＝2CM＝24.第12题解图第13题解图13.【解析】如解图，连接EO并延长交AD于点F，连接OD、OA，则OD＝OA.∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD ∥BC，∴EF⊥AD，∴DF＝AF＝AD＝6，在Rt△ODF中，设OD＝r，则OF＝EF－OE＝AB－OE＝8－r，在Rt△ODF中，由勾股定理得DF2＋OF2＝OD2，即62＋(8－r)2＝r2，解得r＝.∴⊙O的半径为.14.(1)证明：如解图，连接DO，∴∠BOD＝2∠BCD＝∠A，(2分)第14题解图又∵∠DEA＝∠CBA，∴∠DEA＋∠DOE＝∠CAB＋∠CBA，又∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，(5分)∴OD⊥DE，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．(7分)(2)解：如解图，连接BD，可得△FBD∽△DBO，∴＝＝，(8分)∴BD＝DF＝，∴OB＝5，(10分)即⊙O的半径为5.命题点5扇形的相关计算【命题规律】1.考查内容：①弧长的计算(含圆的周长)；②扇形的面积计算；③求弧所在圆的半径.2.考查形式：①已知扇形圆心角和半径求弧长；②已知扇形圆心角和半径求面积；③已知扇形圆心角和弧长求半径．【命题预测】扇形的相关计算是全国命题趋势之一．.15.C【解析】由扇形的弧长公式l＝可得：6π＝，解得r＝9.16.D【解析】由扇形的面积公式可得：S＝＝12π.17.π【解析】由扇形弧长公式l＝可得：l＝＝π.命题点6圆锥的相关计算【命题规律】考查内容与形式：结合圆和扇形的知识求圆锥的底面圆周长、半径以及圆锥的母线长或圆心角．【命题预测】圆锥的相关计算的考查结合圆和扇形的性质，能够考查学生的实践操作能力，在这方面更贴近新课标的要求．18.A【解析】设扇形的半径为R，根据题意得＝4π，解得R＝4，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝，解得r＝1，即所围成的圆锥的底面圆的半径为1cm.19.9【解析】由n＝得120＝，解得l＝9.20.120【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n°，则2π×2＝，解得n＝120.命题点7阴影部分面积的计算【命题规律】阴影部分面积的计算常通过两种方法求解：①通过等积转换，把不规则的图形变换成规则图形的面积计算；②和差法，把阴影部分面积转化为几个规则图形面积和或差的形式计算，这是做阴影部分面积计算题的一般思路．【命题预测】阴影部分面积的计算综合知识较多，考查学生识图能力、分析能力和理解能力，是全国命题趋势之一．21.A【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC＝，∴AB＝2，则半径OA＝OB＝1，∵△AOC≌△BOC，∴△AOC的面积与△BOC的面积相等，∴阴影部分的面积刚好是四分之一圆的面积，即为π×12＝.22.A【解析】设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x,∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(2)2，解得x＝2，又∵sin A＝＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝×2×2－＝2－π.23.A【解析】∵∠DAB＝60°，DF⊥AB，AD＝6，∴DF＝AD·sin60°＝3，∠ADC＝120°，∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形EDG＝6×3－＝18－9π.24.3π【解析】∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120°，∵⊙O的半径为3，∴阴影部分的面积S扇形OAB＝＝3π.25.(1)解：BC与⊙O相切．理由如下：第25题解图如解图，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD.又∵∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA.∴OD∥AC，(2分)∴∠BDO＝∠C＝90°，又∵OD是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切．(4分)(2)解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OB＝r＋2，由(1)知∠BDO＝90°，∴在Rt△BOD中，OD2＋BD2＝OB2，即r2＋(2)2＝(r＋2)2.解得r＝2.(5分)∵tan∠BOD＝＝＝，∴∠BOD＝60°.(7分)∴S阴影＝S△OBD－S扇形ODF＝·OD·BD－＝2－π.(8分)命题点8圆与正多边形的相关计算【命题规律】考查内容：①圆内接正多边形的性质；②圆内接正多边形与圆的面积结合．【命题预测】圆与多边形结合类题目的考查形式比较固定，将圆的面积与多边形的相关性质结合起来进行考查，这个知识点将成为一种常态的命题形式．26.2π【解析】由题意得，正方形的边长AB＝2，则⊙O的半径为2×＝，∴⊙O的面积是()2π＝2π.27.8【解析】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴＝＝＝＝＝，∴的长是圆周长的一半，则BE是圆的直径，∴BE＝2×4＝8.中考冲刺集训1.D【解析】∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠B＝20°，∴∠AOD＝∠B＋∠BDO＝2∠B＝2×20°＝40°.第2题解图2.B【解析】连接OP，如解图，则OP⊥AP.∵∠D＝60°，∴∠COP＝120°，∵∠A＝20°，∠APO＝90°，∴∠AOP＝70°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝＝65°.3.A【解析】如解图，连接OC，∵EC切⊙O于C，∴∠OCE＝90°，∵OA＝OC，第3题解图∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A＝30°＋30°＝60°，∴∠E ＝180°－∠OCE－∠COE＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt△COE中，sin∠E＝sin30°＝.第4题解图4.C【解析】如解图，连接OE、OF，∵AB为⊙O的直径，AB＝12，∴AO＝OB＝6，∵⊙O与DC相切于点E，∴∠OEC＝90°，∵在?ABCD中，∠C ＝60°，AB∥DC，∴∠A＝∠C＝60°，∠AOE＝∠OEC＝90°，∵在△AOF中，∠A＝60°，AO＝FO，∴△AOF是等边三角形，即∠AOF＝∠A＝60°，∴∠EOF ＝∠AOE－∠AOF＝90°－60°＝30°，弧EF的长＝＝π.5.B【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC ＝75°，∵DF⌒＝BC⌒，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.第6题解图6.B【解析】如解图，连接OC，设CD与OB交于点E，∵在⊙O中，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝2，∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，在Rt△EOD中，OE＝＝2，∴OD＝4，∴BE＝OB－OE＝4－2＝2，在△DOE和△CBE中，CE＝DE，∠CEB＝∠DEO，OE＝BE，∴△DOE≌△CBE，∴S阴影＝S扇形OBD＝＝π.第7题解图7.B【解析】如解图，延长CO交⊙O于点A′，连接A′B.设∠BAC＝α，则∠BOC＝2∠BAC＝2α，∵∠BAC＋∠BOC＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.∴∠BA′C＝∠BAC＝60°，∵CA′为直径，∴∠A′BC＝90°，则在Rt△A′BC 中，BC＝A′C·sin∠BA′C＝2×4×＝4.8.D【解析】如解图，由题意可知，OA＝4cm，AB＝5cm，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB＝3cm，∴该圆锥的底面周长是6πcm.第8题解图第9题解图9.8π【解析】∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，∴AP＝AB＝6.如解图，连接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠AOP.在Rt△AOP中，OA＝＝12，tan∠AOP＝＝＝，∴∠AOP＝60°.∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的长为＝8π.10.125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(70°＋40°)＝55°.∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.11.2【解析】如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴BC＝＝＝4，∵∠D＝∠A，∴tan D＝tan A＝＝＝2.第11题解图第12题解图12.25【解析】如解图，取圆心为O，连接OA、OC，OC交AB于点D，则OC⊥AB.设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，又∵CD＝10，∴OD＝r－10，∵AB＝40，OC⊥AB，∴AD＝20.在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝202＋(r －10)2，解得r＝25，即脸盆的半径为25cm.13.(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠EFA＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△BDF是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF＝a，则AD＝a，第13题解图如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形，由(1)得，BF＝2－a＝DF，∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，在Rt△ADC中，DC＝＝，在Rt△DCE中，tan30°＝＝＝，解得a＝－2(舍去)或a＝，(5分)∴AF＝，在△CAF和△BAC中，＝＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，∴△CAF∽△BAC，∴∠CFA＝∠ACB＝90°，即CF⊥AB.(6分)14.解：(1)AB与⊙O相切．理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°，又∵∠AEC＝∠CDF，∠CAE＝∠ADF，∴∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠ADC＝90°，又∵CD为⊙O的直径，∴AB与⊙O相切．(3分)(2)如解图，连接CF，第14题解图∵CD为⊙O的直径，∴∠CDF＋∠DCF＝90°，又∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DCF＝∠ADF，又∵∠CAE＝∠ADF，∴∠CAE＝∠DCF，又∵∠CPA＝∠FPC，∴△PCF∽△PAC，∴＝，(6分)又∵PF∶PC＝1∶2，AF＝5，故设PF＝a，则PC＝2a，∴＝，解得a＝，∴PC＝2a＝2×＝.(8分)15.(1)证明：如解图，连接OD，(1分)∵DF是⊙O的切线，D为切点，第15题解图∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°，(2分)∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，(3分)∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC.(4分)(2)解：∵∠CDF＝30°，由(1)得∠ODF＝90°，∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，(7分)∴∠BOD＝60°，∴l＝＝＝π.(8分)16.(1)证明：如解图，连接OA，OD.设∠ABC＝x，∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∴∠ADB＝3x，∠ACB＝2x，第16题解图∴∠DAC＝x，∠AOD＝2∠ABC＝2x，∴∠OAD＝＝90°－x，(2分)∴∠OAC＝90°－x＋x＝90°，∴OA⊥AC，又∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．(4分)(2)解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3,∠ABC＋∠ADB＝90°，∴∠ABC＋3∠ABC＝90°，(6分)解得∠ABC＝22.5°，∴∠ADB＝67.5°，∠ACB＝45°，∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝22.5°.(8分)。