一阶电路和二阶电路的动态响应
实验四 一阶电路和二阶电路的动态响应
一、 实验目的
（1） 理解零输入响应、零状态响应和完全响应 （2） 理解欠阻尼、临界和过阻尼的意义和条件 二、 实验原理
用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。
图所示的线性RLC 串联电路是一个典型的二阶电路。
可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述：
s 2
U 2=++c c c u dt du RC dt
u d LC 1． 零输入响应
动态电路在没有外施激励时，由动态元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。
电路如图6.2所示，设电容已经充电，其电压为U 0，电感的初始
电流为0。
(1) C
L R 2
>，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。
电路响应为：
图6.2 RLC 串联零输入响应电路
图6.3 二阶电路的过阻尼过程
u L
t m
U 0
)
()
()()()(2
1
2
1
120
121
20
t P t P t P t P C e e P P L U t i e P e P P P U t u ---=
--=
响应曲线如图6.3所示。
可以看出：u C (t)由两个单调下降的指数函数组成，为非振荡的过渡过程。
整个放电过程中电流为正值， 且
当2
11
2ln
P P P P t m -=时，电流有极大值。
（2）C
L R 2
=，响应临界振荡，称为临界阻尼情况。
电路响应为
t
t c te L
U
t i e t U t u ααα--=+=00)()1()( t ≥0
响应曲线如图6.4所示。
图6.4 二阶电路的临界阻尼过程
(3) C
L R 2<，响应是振荡性的，称为欠阻尼情况。
电路响应为
t e L
U t i t e U t u d t
d d t d
C ωωβωωωααsin )(),sin()(000
--=
+==t ≥0
其中衰减振荡角频率 2
220d 2L R LC 1⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
-=αωω ，
α
ωβd
arctan
= 响应曲线如图6.5所示。
U 0
t
图6.5 二阶电路的欠阻尼过程 图6.6 二阶电路的无阻尼过程
（4）当R ＝０时，响应是等幅振荡性的，称为无阻尼情况。
电路响应为
t
L
U t i t
U t u C 000
00sin )(cos )(ωωω== 响应曲线如图6.6所示。
理想情况下，电压、电流是一组相位互差90度的曲线，由于无能耗，所以为等幅振荡。
等幅振荡角频率即为自由振荡角频率0ω， 2．
零状态响应
动态电路的初始储能为零，由外施激励引起的电路响应，称为零输入响应。
根据方程6-1，电路零状态响应的表达式为：
)
()()t ()t (212112121
2t p t p S
t p t p S
S C e e p p L U i e p e p p p U U u ---=---
=）（0t ≥
与零输入响应相类似，电压、电流的变化规律取决于电路结构、电路参数，可以分为过阻尼、欠阻尼、临界阻尼等三种充电过程。
三、 实验内容
1.用Multisim 研究一阶电路的动态响应 （1）实验电路
V1 5 V
R1
1kΩ
C1
100nF
IC=0V
1
2
C2
100nF
IC=5V
R2
1kΩ
4
V2
5 V
R3
1kΩ
C3
100nF
IC=2V
35
（2）初始条件如图所示，t=0电路闭合，分别仿真出电容上电压（从零时刻开始）的波形，说明各属于什么响应？三种情况下分别测量电容电压达到3v所用的时间。
C1输出属于零状态响应，电容电压达到3v所用的时间t1=87．5μs C2输出属于零输入响应，t2=50μs
C3输出属于全响应,t3=40μs
（3）写出三种情况下电容电压随时间的函数表达式，并分别计算出电容电压为3V时的时间。
U C1=5(1-e -10000t
) t1=91.6μs
U C2=5e -10000t
t2=51.1μs
U C3=5-3e -10000t
t3=40.5μs
(4)根据（2）（3）的结果，解释RC电路如何实现定时功能、上电低电平复位功能、上电高电平复位功能？
由于RC电路电容充放电完全需要一定的时间，因此RC电路可实现定时功能。
要求上电低电平复位时，只需接入一零状态的RC电路，由于电容充电需要时间，所以在一定时间内输出保持低电平。
要求上电高电平复位时，只需接入一零输入的RC电路，由于电容放电需要时间，所以在一定时间内输出保持高电平。
（5）在图1（a）的输入端加占空比为50%、幅度为5v、频率分别为0.5k、1k、2k、5k的方波信号，分别仿真输出端的波形，并在同一
图中画出输入方波和四种输出波形。
说明随着输入信号的频率升高，输出信号有何变化？根据实验结果，定性说明一阶RC电路的时间常数与传输速率的关系。
随着输入信号频率的升高，输出信号电压峰值逐渐减小，电压谷值逐渐增大。
即由于输入信号频率的升高，输入信号周期相对于电容时间常数变化，电容经历能完整充放电，到不能完整充放电的过程。
因此一阶RC电路的时间常数越小，传输速率速率越快。
2、用Multisim研究二阶电路的动态特性
（1）实验电路
V110 V
C1100nF IC=0V
L110mH
R1632.5Ω
1
2
30
（3） 初始条件、电感及电容的值如图所示，t=0电路闭合。
计算临界阻尼时的R 值。
并分别仿真R1=R/3、R 和3R 三种情况下电容上的电压，在同一张图上画出输入及三种情况的输出响应曲线。
说明各属于什么响应（欠阻尼、临界及过阻尼）。
临界阻尼时R=632.5Ω
绿色线表示欠阻尼，红色线表示临界阻尼，浅蓝色线表示过阻尼。
（3）从（2）的仿真曲线上分别测量出电容上的电压相对误差小于1%所需要的时间。
定性说明哪种响应输出最先稳定？哪种响应输出稳定最慢？
欠阻尼460μs 临界阻尼205μs 过阻尼852.5μs
临界阻尼输出最先稳定，过阻尼输出稳定最慢。
（4）输入频率为500Hz、占空比为50%、振幅为10V的时钟信号，仿真电阻R1=R/3、R和3R三种情况下电容上的输出电压波形（3个周期），在同一张图中画出输入信号和输出信号三条曲线，根据仿真曲线，说明在同样的误差范围，哪种电路传输的信号速率最高？哪种电路传输的信号速率最低？
绿色线表示R1=R/3，红色线表示R1=R，浅蓝色线表示R1=3R
根据图像，在同样的误差范围，有信号输入的时间段内，临界阻尼输出最先稳定，过阻尼输出稳定最慢，因此临界阻尼电路传输的信号速率最高，过阻尼电路传输的信号速率最低。
四、实验总结
本次实验主要通过仿真软件来了解一阶二阶电路的动态响应，了解了一阶RC电路的延时特性，可以作为定时开关，可用来进行上电复位。
理解了欠阻尼、临界和过阻尼的意义和条件，讨论了二阶电路传输信号速率的稳定快慢问题，得出临界阻尼电路传输的信号速率最高，过阻尼电路传输的信号速率最低的结论。
因此，运用二阶电路传输信号时，为提高传输速率，应选用临界阻尼电路。
电路实验报告 二阶动态电路的响应测试
二阶动态电路的响应测试实验报告实验摘要1.实验内容○1在面板板上搭接RLC串联电路；○2研究RLC串联电路的零状态响应和零输入响应。
电路参数：R=51Ω和电位器R=1K、C=10uF、L=10mH、电源电压Vi=5V；○3用示波器观测Uc（t）、UL（t）的波形，记录两种响应的过阻尼、欠阻尼和临界阻尼情况。
2.名词解释二阶电路在一个电路简化后（如电阻的串并联，电容的串并联，电感的串并联化为一个元件），只含有含有两个独立的动态元件的线性电路，因为要用线性、常系数二阶微分方程来描述，故称为二阶电路。
实验目的○1进一步了解二阶动态电路的特点、基本组态、性能参数；○2熟练掌握示波器的测量方法和操作步骤。
实验环境（仪器用品等）实验地点：工训中心C栋203实验时间：12月13日晚实验仪器与元器件：数字万用表（UNI-T UT805A）、函数信号发生器（RIGOL DG1022U）、示波器（Tektronix DPO 2012B）、电位器、电容、电感、导线若干、镊子、面包板等本次实验的原理电路图如下图所示：（来自Multisim 12）二阶测试电路实验原理含用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。
可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述：式（1）初始值为求解该微分方程，可以得到电容上的电压uc(t)。
再根据可求得，即回路电流。
式（1）的特征方程为：特征值为：式（2）定义：衰减系数（阻尼系数）α=R/2L自由振荡角频率（固有频率）※实验步骤※1.准备工作：检查示波器/函数信号发生器是否显示正常；选取电位器/电容/电感○1检查示波器的使用状况，先进行自检，观察波形是否符合要求，如有问题，检查探头或接口是否存在问题；○2选出电位器、值为10μF电容和值为10mH的电感；○3检查函数信号发生器是否工作正常：先设置参数(Vpp=5Vf=500Hz 方波)，再用调节好的示波器测量，看是否符合要求。
2.按照电路图在面包板上连接电路○1根据面包板竖向孔导通的特性，设计串并联电路；○2用镊子把所需的元器件插在面包板上。
《电路分析》第单元精讲
t 0.5s,t 4s u( t ) u( t ) 1 t idξ t C 0.5s t 1s 如 ： 0.5s t 1s t 1s t 2s uc ( t ) uc ( 0.5 ) 2 10d 0.5 2s t 4s U 20t - 10 电压波形如图4-3(c)所示 15
线性电容的q~u 特性是过原点的直线 C= q/u
8
第四章 动态电路
2、线性电容的电压、电流关系： u, i 取关联参考方向 i + u – + – C
t u( t ) 1 i( ξ )dξ C
22:37:56
dq du i C dt dt
微分形式
积分形式
通常假设 t = t0 为计时起始时刻，上式可写为：
10A i ( t ) - 2.5A 0
0.5s t 1s 2s t 4s 其它
14
第四章 动态电路
10
is /A
10+U
22:37:56
uc /V
-2.5 0 1
2
3
4
U
2 0 1 ( c)
3
(b)
t/s
4 t/s
由积分形式的伏安关系可求得各时段的电压
U U 20t - 10 uc ( t ) U 10 U 20 - 5t
第四章 动态电路
3. 电容的储能
22:37:56
du p ui u C dt t t du 1 2 1 2 1 2 WC Cu dξ Cu (ξ ) Cu ( t ) Cu ( ) dξ 2 2 2 若u ( ) 0 1 2 1 2 Cu ( t ) q (t ) 0 2 2C
二阶电路的动态响应实验报告
实验二二阶电路的动态响应
1.一、实验目的:
2.学习用实验的方法来研究二阶动态电路的响应。
3.研究电路元件参数对二阶电路动态响应的影响。
4.研究欠阻尼时, 元件参数对α和固有频率的影响。
5.研究RLC串联电路所对应的二阶微分方程的解与元件参数的关系。
二、实验设备与器件
1.低频信号发生器
2.交流毫伏表
3.双踪示波器
4.万用表
5.可变电阻
电阻、电感、电容(电阻100Ω,电感10mH、4.7mH, 电容47nF), 可变电阻（680Ω）。
三、实验内容
1.按图6.8所示电路接线（R1=100ΩL=10mH C=47nF）
调节可变电阻器R2之值, 观察二阶电路的零输入响应和零状态响应由过阻尼过渡到临界阻尼, 最后过渡到欠阻尼的变化过渡过程, 分别定性地描绘、记录响应的典型变化波形。
临界阻尼图过阻尼图欠阻尼图。
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
等效初始值：
等效初始值：
难点 1. 初始值的求解； 2. 时间常数的求解； 3. 阶跃响应与冲激响应。 §7.1 动态电路的方程及其初始条件 动态电路 含有动态元件电容和电感的电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达 到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 2. 换路 电路结构或电路参数发生突变而引起电路变化统称为换路。 意义：能量不能发生突变。 产生原因：电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 §7.3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产 生的响应。
1. RC电路： t<0，K在1，电路稳定， 有 t=0，K从1打到2，有 t>0，K在2， 有 解答形式为：
换路定律： 在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容 电压和电感电流不能跃变。 （1）若iC 有限，则： uC ( 0+ )= uC ( 0- ) （2）若uL 有限，则： iL( 0+ )=iL( 0- )
3. 电路初始值的确定
电路初始值 独立初始值：uC (0+)、 iL(0+)； 非独立初始值：其余电量在t= 0+时的值；
应用条件：一阶电路；开关激励 时间常数计算：RC电路：；
RL电路：； 实际现象讨论：
（1） 当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。
（1）
（2）
（2） 当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。
二阶动态电路分析
待定常数A1，A2由初始条件确定。
uC (0 ) uC (0 ) A1 U0
iL (0 )
iL (0 )
C
duC dt
t0
0
A1
A2
0
A1 U0 A2 U0
uC (t) U0et (1 t) t 0
电路中其它响应：
i(t) C duC dt
2CUOtet
uL (t)
L
di dt
R=0是欠阻尼的特例。此时
R 0
2L
d 0
1 LC
uC (t) U0 cosdt U0 cos0t
i(t) 0CU0 sindt 0CU0 sin0t uL (t) U0 cosdt U0 cos0t
R＝0时，i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
可见，当电路中R＝0时，各响应作无阻尼等幅自由振荡，
i(t) C
duC dt
02CU0 d
et sin dt
uL (t)
L
di dt
0 d
U 0e t cos( d t
)
i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
0
d
衰减uC，(t)、称ei为(t)响衰、t 应减uL有系(t衰)数减，振d荡是的振特荡性的，角其频振率荡。幅度按指数规律
第5章 二阶动态电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应 5-2 RLC串联电路的全响应 5-3 GCL并联电路的分析 5-4 一般二阶电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应
电路如图所示，设uC(0－)=U0，iL(0－)=0。t=0时，开关
K闭合。在图示电流、电压参考方向下，由KVL，可得：
uC
一阶动态电路的全响应及三要素法
iL（∞）= 0
（3）求时间常数τ
R 20 (10 10) 10 k 20 10 10
L 10 3 10 7 s
R 10 103
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为
iL（t）= 0 +（10×10-3–0）e107=t 10 e mA 107t
i
L
()
US R2
10 20
05A
1
L R2
2 20
0 1s
根据三要素公式得到
iL（t）= 0.5（1 - ）e1A0t （0.1s≥t要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。根 据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形曲 线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律增 加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
【例14-3】
下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开关 闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
解：（1）计算初始值uC（0+）
开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电 压与电阻电压相同，可求得
uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V
t ln iL (0 ) iL () 0 005 ln 0 75 1 5 0 002 s
一阶动态响应(电路分析)
姓名：王硕一、实验目的1、研究一阶动态电路的零输入响应、零状态响应及完全响应的特点和规律。
掌握测量一阶电路时间常数的方法。
2、理解积分和微分电路的概念，掌握积分、微分电路的设计和条件。
3、用multisim 仿真软件设计电路参数，并观察输入输出波形。
二、实验原理1、零输入响应和零状态响应波形的观察及时间常数τ的测量。
当电路无外加激励，仅有动态元件初始储能释放所引起的响应——零输入响应；当电路中动态元件的初始储能为零，仅有外加激励作用所产生的响应——零状态响应；在外加激励和动态元件的初始储能共同作用下，电路产生的响应——完全响应。
以一阶RC 动态电路为例，观察电路的零输入和零状态响应波形，其仿真电路如图1（a ）所示。
（a ） （b ）图1 一阶RC 动态电路方波信号作为电路的激励加在输入端，只要方波信号的周期足够长，在方波作用期间或方波间隙期间，电路的暂态响应过程基本结束（τ52/≥T ）。
故方波的正脉宽引起零状态响应，方波的负脉宽引起零输入响应，方波激励下的)(t u i 和)(t u o 的波形如图1（b ）所示。
在)2/0(T t ，∈的零状态响应过程中，由于T <<τ，故在2/T t =时，电路已经达到稳定状态，即电容电压S o U t u =)(。
由零状态响应方程可知，当2/)(S o U t u =时，计算可得τ69.01=t 。
如能读出1t 的值，则能测出该电路的时间常数τ。
2、RC 积分电路由RC 组成的积分电路如图2（a ）所示，激励)(t u i 为方波信号如图2（b ）所示，输出电压)(t u o 取自电容两端。
该电路的时间常数2T RC >>=τ（工程上称10倍以上关系为远远大于或远远小于关系。
），故电容的充放电速度缓慢，在方波的下一个下降沿（或上升沿）到来时，充放电均未达到稳态，输出波形如图2（c ）所示，为近似三角波，三角波的峰值E <<'E 。
一阶电路和二阶电路
【二】 RC电路零状态响应：充电
1、列方程：Ri uC U S
RC
duC dt
uC
US
非齐次线性常微分方程
2、解方程：
uc
=
uc ( 特解
)+
uc( 通解
)
uC ：通解（自由分量，暂态分量）
齐次方程的通解
t
RC
duC dt
uC
0
uC Ae RC 变化规律由电路参数和结构决定
§7-2 一阶电路的零输入响应
【三】 RL电路零输入响应
R1
Ri
i (0+) =
i (0-) =
US R1
R
I0
+
di
US
K(t=0) L uL
L Ri 0 t 0 dt
–
i(t ) Ae pt
特征方程 Lp+R=0
特征根 p = R L
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
Rc
duc dt
uc
0
uc (0 ) U 0
2.解方程：通解
uc = Ae pt
P的求解：由特征方程： RCP 1 0
P 1 RC
A的求解：由初值： uc (0 ) A e p0 U 0 A = U0
uc
=
U0e-
t RC
(t
0)
i
=
-c
du0 dt
=
U0 R
Li
若t 0时iL (0 ) 0则iL (0 ) 0
iL (0 ) iL (0 )成立条件时 u为有限值
快速性分析一阶二阶系统响应
快速性分析一阶二阶系统响应一阶和二阶系统是控制系统中常见的两种类型。
了解和分析这两种系统的响应特性对于掌握控制工程非常重要。
下面将从理论和实际角度分别讨论一阶和二阶系统的快速性分析。
一、一阶系统响应分析一阶系统是指具有一个可控参数的一阶微分方程。
常见的一阶系统包括RC电路和RL电路。
其方程形式为：τdy(t)/dt + y(t) = Ku(t)其中，τ是系统的时间常数，K是系统的增益，u(t)是输入信号，y(t)是输出信号。
1.理论分析一阶系统的理论响应可通过对微分方程进行求解来得到。
假设输入信号u(t)为单位阶跃函数，即：u(t)=1,t≥0;u(t)=0,t<0此时，微分方程的解为：y(t)=1-e^(-t/τ)根据解析解，可以得到一阶系统的重要性能指标：a) 上升时间（Rise Time）：定义为系统输出从0.1到0.9之间所需的时间。
对于一阶系统，上升时间可以近似为：Tr≈2.2τb) 峰值时间（Peak Time）：定义为系统输出达到峰值的时间。
Tp≈3τc) 超调量（Overshoot）：指系统输出超过其稳态值的最大量。
OS≈(e^(-π/(√(1-ζ^2)))-1)×100%其中，ζ是系统的阻尼比，对于一阶系统，ζ仅能取0，因此一阶系统不存在超调量。
d) 调节时间（Settling Time）：定义为系统输出在误差范围内稳定的时间。
Ts≈4τ2.实际分析除了理论分析，我们还可以通过实验或仿真来评估一阶系统的快速性能。
以下是一些实际分析的步骤：a)根据系统的特性指标选择适当的输入信号，例如单位阶跃、正弦波等。
b)将选定的输入信号施加到系统上，并记录系统的输出响应。
c)根据实际记录的数据，计算系统的性能指标，如上升时间、峰值时间等。
二、二阶系统响应分析二阶系统是具有二阶微分方程的系统，常见的例子包括机械振动系统、电路振荡器等。
其方程形式为：τ^2d^2y(t)/dt^2 + 2ζτdy(t)/dt + y(t) = Ku(t)其中，τ是系统的时间常数，ζ是系统的阻尼比，K是系统的增益，u(t)是输入信号，y(t)是输出信号。
一阶RC电路的阶跃响应
基础知识
01
一阶RC电路
阶跃响应
02
03
时间常数
由一个电阻R和一个电容C串联组 成的电路。
当电路的输入从一个电压值突然 跳变到另一个电压值时，电路的 输出随时间变化的特性。
决定RC电路动态响应快慢的参数 ，等于RC的乘积。
02
CATALOGUE
一阶RC电路的原理
电容和电阻的基本原理
电容
电容是一种存储电荷的电子元件，其基本单位是法拉。电容的基本原理是电荷在电场中会受到电场力 的作用，从而在电容的两极板上积聚电荷。电容的充电和放电过程就是电荷在电容两极板之间移动的 过程。
集成RC电路
将多个一阶RC电路集成在一块芯片上，实现小型 化、集成化的信号处理功能。
参数优化
通过优化一阶RC电路的元件参数，可以进一步提 高电路的性能。
一阶RC电路和其他电路的比较和分析
与RL电路的比较
一阶RC电路和RL电路在阶跃响应上有显著差异，RC电路的响应 速度更快。
与二阶RLC电路的比较
二阶RLC电路具有更复杂的动态特性，可以用于实现更高级的信号 处理功能。
02
欠阻尼响应：系统对阶跃输入的响应速度较慢，输出在一段时间内会 持续振荡。
03
过阻尼响应：系统对阶跃输入的响应速度较快，输出在一段时间内会 迅速达到稳态值，不会发生振荡。
04
临界阻尼响应：系统对阶跃输入的响应速度最快，输出在极短时间内 达到稳态值，且不会发生振荡。
阶跃响应的特点
阶跃响应具有非线性 特性，其输出与输入 之间通常不是线性关 系。
一阶RC电路的阶跃 响应
目录
• 引言 • 一阶RC电路的原理 • 阶跃响应的概念 • 一阶RC电路的阶跃响应分析 • 实验和模拟 • 应用和扩展