高中数学竞赛训练题目二

高中数学竞赛训练题二姓名：________________ （训练时间80分钟） 得分：___________________一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

） 1．已知复数m 满足11=+m m ，则=+200920081mm ．2．设2cos sin 23cos 21)(2++=x x x x f ，]4,6[ππ-∈x ，则)(x f 的值域为____________________．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则15152211,,,a S a S a S 中最大的是______________________．4．已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若y x +=，且5102=+y x ，则=∠BAC cos _____________________．5．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点．则四面体1MNB O -的体积为_________________________．6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ⊆}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 组．（注：C B A ,,顺序不同视为不同组．）7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值为________________________--．8．设p 是给定的正偶数，集合},3,22|{1N ∈=<<=+m m x x x A p pp 的所有元素的和是______________________．二、解答题（本题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+，其中n m n m ≥∈,,N ．（1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ； （2）证明：1111200921<+++a a a ．10．已知抛物线C ：221x y =与直线l ：1-=kx y 没有公共点，设点P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线C 的两条切线，A ，B 为切点． (1)证明：直线AB 恒过定点Q ；(2)若点P 与（1）中的定点Q 的连线交抛物线C 于M ，N 两点，证明：QNQM PNPM =．11．设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：22222)(4b a ad d c c b b a -+≥+++．答案：(09湖北)1．0; 2.3[2,2]43.88S a 4. 13 5.7486. 160071.8.21122p p ---9证明 （1）在已知关系式)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+中，令n m =，可得00=a ； 令0=n ，可得m a a m m 242-= ① 令2+=n m ，可得)(212242222n n n a a a a +=-+++ ② 由①得)1(24122+-=++n a a n n ，62412=-=a a ，)2(24242+-=++n a a n n ，n a a n n 242-=，代入②，化简得2212+-=++n n n a a a ． ------------7分（2）由2212+-=++n n n a a a ，得2)()(112+-=-+++n n n n a a a a ，故数列}{1n n a a -+是首项为201=-a a ，公差为2的等差数列，因此221+=-+n a a n n ．于是∑∑==-+=+=+-=nk nk k kn n n k a a aa 1101)1(0)2()(．因为)1(111)1(11≥+-=+=n n n n n a n ，所以 1201011)2010120091()3121()211(111200921<-=-++-+-=+++ a a a --14分 10证明 (1)设11(,)A x y ，则21121x y =．由221x y =得x y ='，所以11|x y x x ='=． 于是抛物线C 在A 点处的切线方程为)(111x x x y y -=-，即11y x x y -=．设)1,(00-kx x P ，则有11001y x x kx -=-．设22(,)B x y ，同理有22001y x x kx -=-． 所以AB 的方程为y x x kx -=-001，即0)1()(0=---y k x x ，所以直线AB 恒过定点)1,(k Q ． ----------------------7分(2)PQ 的方程为002()1kx y x k x k -=-+-，与抛物线方程221x y =联立，消去y ，得 02)22(42002002=---+---kx kx k x k x kx x ．设),(33y x M ，),(44y x N ，则kx kx k x x k x kx x x ---=--=+0024300432)22(,42 ① 要证QNQM PNPM =，只需证明kx x k x x x x --=--430403，即02))((2043043=+++-kx x x x k x x ②由①知，②式左边=0000002242)(4)22(2kx k x kx x k k x k x k +--+----0)(2)42)((4)22(20000002=--+-+---=kx k x kx kx x k k x k ．故②式成立，从而结论成立． -----------15分 11证明 因为4=+++d c b a ，要证原不等式成立，等价于证明d c b a b a d c b a a d d c c b b a +++-++++≥+++22222)(4 ① ----------------5分 事实上，)(2222d c b a ad d c c b b a +++-+++ )2()2()2()2(2222d a ad c d d c b c c b a b b a -++-++-++-+=2222)(1)(1)(1)(1a d ad c d c b c b a b -+-+-+-=②---10分由柯西不等式知2222()()()()[]()a b b c c d d a a b c d b c d a ----++++++2|)||||||(|a d d c c b b a -+-+-+-≥ ③----------15分又由||||||||a b a d d c c b -≥-+-+-知22)(4|)||||||(|b a a d d c c b b a -≥-+-+-+- ④由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立． -------------20分14（2010广东理数）20．（本小题满分为14分）一条双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为A 1,A 2，点11(,)P x y ，11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点。

1）求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程式；（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥ ,求h 的值。

10．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数． 10解 令x x x x =++321，y x x =+54，z x =6，则1,2,3≥≥≥z y x ．先考虑不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解．1,2,3≥≥≥z y x ，123215≤--=∴y x z ，21≤≤∴z ．----------------------------------5分当1=z 时，有163=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)4,4(),3,7(),2,10(),(=y x ．当2=z 时，有113=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)2,5(),(=y x ． 所以不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解为)2,2,5(),1,4,4(),1,3,7(),1,2,10(),,(=z y x ． ------------------------------------------10分又方程)3,(321≥∈=++x N x x x x x 的正整数解的组数为21x C -，方程y x x =+54)2,(≥∈x N y 的正整数解的组数为11C -y ，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为81693036C C C C C C C C 1124132312261129=+++=+++． ------------------------------------------15分（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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