2016-2017年湖南省娄底市新化一中高一(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年湖南省娄底市新化一中高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．（5分）设全集U=R，M={x|x＜﹣2，或x＞2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2} 2．（5分）已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）已知平面向量与的夹角等于，若||=2，||=3，则|2﹣3|=（）A．B．C．57D．614．（5分）已知α是锐角，=（，sinα），=（cosα，），且∥，则α为（）A．15°B．45°C．75°D．15°或75°5．（5分）若10a=5，10b=2，则a+b=（）A．﹣1B．0C．1D．26．（5分）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）A．4 cm2B．6 cm2C．8 cm2D．16 cm2 7．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）已知直线x﹣y﹣2=0，则该直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°10．（5分）要得到y=3sin（2x+）的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位11．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则（x﹣1）f（x）＜0的解是（）A．（﹣3，0）∪（1，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（1，3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为．15．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知||=1，||=，与的夹角为θ．（1）若∥，求•；（2）若﹣与垂直，求θ．18．（12分）已知sinα=，cosβ=﹣，α∈（，π），β∈（π，），求cos （α﹣β）的值．19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l经过点D（﹣2，0），且斜率为k．（1）求以线段CD为直径的圆E的方程；（2）若直线l与圆C相离，求k的取值范围．20．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为2，最小值为﹣，周期为π，且图象过（0，﹣）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．22．（12分）已知函数f（x）=log a（2x+1），g（x）=log a（1﹣2x）（a＞0且a≠1）（1）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的定义域；（2）判断F（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由；（3）确定x为何值时，有f（x）﹣g（x）＞0．2016-2017学年湖南省娄底市新化一中高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．（5分）设全集U=R，M={x|x＜﹣2，或x＞2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}【解答】解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩C U M，又C U M={x|﹣2≤x≤2}，∴N∩C U M={x|1＜x≤2}．故选：C．2．（5分）已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵角α是第二象限角，且，∴cosα=﹣=﹣，故选：A．3．（5分）已知平面向量与的夹角等于，若||=2，||=3，则|2﹣3|=（）A．B．C．57D．61【解答】解：平面向量与的夹角等于，若||=2，||=3，则=2•3•cos =3，则|2﹣3|====．故选：B．4．（5分）已知α是锐角，=（，sinα），=（cosα，），且∥，则α为（）A．15°B．45°C．75°D．15°或75°【解答】解：∵∥，∴sinαcosα﹣=0，化为．∵α是锐角，∴2α∈（0°，180°）．∴2α=30°或150°，解得α=15°或75°．故选：D．5．（5分）若10a=5，10b=2，则a+b=（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：因为10a=5，10b=2，所以a=lg5，b=lg2，所以a+b=lg2+lg5=1，故选：C．6．（5分）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）A．4 cm2B．6 cm2C．8 cm2D．16 cm2【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的周长为l+2r=8，∴弧长为：αr=2r，∴r=2cm，根据扇形的面积公式，得S=αr2=4cm2，故选：A．7．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形∴r=1，h=∴故选：D．8．（5分）如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故选：C．9．（5分）已知直线x﹣y﹣2=0，则该直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：设该直线的倾斜角为α，由直线x﹣y﹣2=0，变形为．∴，∵α∈[0°，180°），∴α=30°．故选：A．10．（5分）要得到y=3sin（2x+）的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵，∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位故选：C．11．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．12．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则（x﹣1）f（x）＜0的解是（）A．（﹣3，0）∪（1，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（1，3）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；∵（x﹣1）•f（x）＜0∴或解可得﹣3＜x＜0或1＜x＜3∴不等式的解集是（﹣3，0）∪（1，3）故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．故答案为：14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为5．【解答】解：因为知，，所以=（3，2﹣t），又∠ABO=90°，所以，可得：2×3+2（2﹣t ）=0．解得t=5． 故答案为：5．15．（5分）已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 （1，2） ． 【解答】解：关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根， 等价于函数f （x ）与函数y=k 的图象有两个不同的交点， 作出函数的图象如下：由图可知实数k 的取值范围是（1，2） 故答案为：（1，2）16．（5分）已知函数f （x ）=sinωx +cosωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f （x ）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．【解答】解：∵f （x ）=sinωx +cosωx=sin （ωx +），∵函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx +≤2kπ+，k ∈Z 可解得函数f （x ）的单调递增区间为：[，]，k ∈Z ，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：﹣，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知||=1，||=，与的夹角为θ．（1）若∥，求•；（2）若﹣与垂直，求θ．【解答】（10分）解：（1）∵||=1，||=，∥，∴θ=0°或180°，∴•=||||cosθ=±．…5’（2）∵﹣与垂直；∴（﹣）•=0，即||2﹣•=1﹣cos θ=0，∴cos θ=．又0°≤θ≤180°，∴θ=45°．…10’18．（12分）已知sinα=，cosβ=﹣，α∈（，π），β∈（π，），求cos （α﹣β）的值．【解答】解：由sinα=，cosβ=﹣，α∈（，π），β∈（π，），则cosα=﹣=﹣，sinβ=﹣=﹣，则有cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣+=．19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l经过点D（﹣2，0），且斜率为k．（1）求以线段CD为直径的圆E的方程；（2）若直线l与圆C相离，求k的取值范围．【解答】解：（1）将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为C（0，4），半径为2．所以CD的中点E（﹣1，2），|CD|=，∴r=，故所求圆E的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5．（2）直线l的方程为y﹣0=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离，解得k＜．20．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S=，△VAB∵OC⊥平面VAB，∴V C=•S△VAB=，﹣VAB=V C﹣VAB=．∴V V﹣ABC21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为2，最小值为﹣，周期为π，且图象过（0，﹣）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】（12分）解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的最大值为2，最小值为﹣，∴A=，B=．又∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的周期为π，∴T==π，即ω=2．∴f（x）=sin（2x+φ）+．又∵函数f（x）过（0，﹣），∴﹣=sin φ+，即sin φ=﹣．又∵|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x）+．…8’（2）令t=2x﹣，则y=sin t+，其增区间为：[2k，2k]，k ∈Z．即2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z．解得kπ﹣≤x≤kπ+．所以f（x）的单调递增区间为[，k]，k∈Z．…12’22．（12分）已知函数f（x）=log a（2x+1），g（x）=log a（1﹣2x）（a＞0且a≠1）（1）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的定义域；（2）判断F（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由；（3）确定x为何值时，有f（x）﹣g（x）＞0．【解答】解：（1）要使函数有意义，则有．（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=log a（2x+1）﹣log a（1﹣2x），F（﹣x）=f（﹣x）﹣g（﹣x）=log a（﹣2x+1）﹣log a（1+2x）=﹣F（x）．∴F（x）为奇函数．（3）∵f（x）﹣g（x）＞0∴log a（2x+1）﹣log a（1﹣2x）＞0即log a（2x+1）＞log a（1﹣2x）．①0＜a＜1，．②a＞1，．。