第一讲 因数与倍数
《倍数和因数》公开课教案和教学研讨
《倍数和因数》公开课教案和教学研讨第一章：倍数和因数的概念介绍1.1 倍数和因数的定义讲解倍数和因数的基本概念通过举例让学生理解倍数和因数的关系1.2 倍数的性质讲解倍数的性质，如：一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身等通过练习题让学生巩固倍数的性质第二章：求一个数的因数2.1 因数的定义讲解因数的概念，如：一个数的因数是可以整除这个数的整数等通过举例让学生理解因数的概念2.2 求一个数的因数的方法讲解求一个数的因数的方法，如：通过试除法等通过练习题让学生掌握求一个数的因数的方法第三章：倍数和因数的关系3.1 倍数和因数的联系讲解倍数和因数的联系，如：一个数的倍数一定是它的因数的倍数等通过举例让学生理解倍数和因数的联系3.2 倍数和因数的区别讲解倍数和因数的区别，如：一个数的因数是可以整除这个数的整数，而倍数是这个数的整数倍等通过练习题让学生区分倍数和因数的区别第四章：最大公因数和最小公倍数4.1 最大公因数的定义讲解最大公因数的定义，如：两个数的最大公因数是能够整除这两个数的最大的因数等通过举例让学生理解最大公因数的定义4.2 最小公倍数的定义讲解最小公倍数的定义，如：两个数的最小公倍数是能够被这两个数整除的最小的倍数等通过举例让学生理解最小公倍数的定义第五章：倍数和因数的应用5.1 倍数和因数在实际生活中的应用讲解倍数和因数在实际生活中的应用，如：购物时选择合适的包装等通过实例让学生了解倍数和因数在实际生活中的重要性5.2 倍数和因数在数学中的应用讲解倍数和因数在数学中的应用，如：解方程等通过练习题让学生掌握倍数和因数在数学中的应用。
第六章：最大公因数和最小公倍数的求法6.1 求两个数的最大公因数讲解求两个数的最大公因数的方法，如：欧几里得算法等通过练习题让学生掌握求两个数的最大公因数的方法6.2 求两个数的最小公倍数讲解求两个数的最小公倍数的方法，如：通过两个数的乘积除以它们的最大公因数等通过练习题让学生掌握求两个数的最小公倍数的方法第七章：倍数和因数在数列中的应用7.1 倍数和因数在等差数列中的应用讲解倍数和因数在等差数列中的应用，如：找出等差数列中的某个数的倍数等通过实例让学生了解倍数和因数在等差数列中的应用7.2 倍数和因数在等比数列中的应用讲解倍数和因数在等比数列中的应用，如：找出等比数列中的某个数的因数等通过实例让学生了解倍数和因数在等比数列中的应用第八章：倍数和因数在几何中的应用8.1 倍数和因数在几何中的应用概述讲解倍数和因数在几何中的应用，如：面积的计算等通过实例让学生了解倍数和因数在几何中的应用8.2 倍数和因数在特定几何问题中的应用讲解倍数和因数在特定几何问题中的应用，如：黄金分割等通过实例让学生了解倍数和因数在特定几何问题中的应用第九章：倍数和因数与其他数学概念的关系9.1 倍数和因数与素数的关系讲解倍数和因数与素数的关系，如：素数的因数只有1和它本身等通过实例让学生了解倍数和因数与素数的关系9.2 倍数和因数与完全数的关系讲解倍数和因数与完全数的关系，如：完全数是所有真因数（除了自身以外的因数）的和等于该数本身的数等通过实例让学生了解倍数和因数与完全数的关系第十章：倍数和因数的教学研讨10.1 倍数和因数教学方法探讨探讨倍数和因数教学的有效方法，如：通过实际生活中的例子引导学生理解倍数和因数的概念等分享教学经验和心得，提高教学效果10.2 倍数和因数教学难点和解决方法分析倍数和因数教学中的难点，如：学生对最大公因数和最小公倍数的理解等分享解决难点的方法和技巧，提高教学质量10.3 倍数和因数教学实践与反思分享倍数和因数教学的实践经验，如：教学设计、课堂管理等反思教学过程中存在的问题，提出改进措施，提升教学水平。
讲因数与倍数课件
因数和倍数是相互依存的，不能 单独存在。
一个数的因数和倍数的总和是这 个数的两倍。例如，一个数的因 数有a、b、c，那么这个数的倍
数就有a+1、b+1、c+1等。
02 因数的分类
完全因数
总结词
完全因数是能够将一个数整除的最大的因数。
详细描述
完全因数是指能够将给定的数整除，并且没有余数的因数。它是最大的因数， 因为任何其他因数都可以被它整除。例如，在数字12中，完全因数是6，因为 12除以6没有余数，且6是12的最大因数。
因数和倍数的性质在数学证明中也有 着广泛的应用，例如在证明某些数学 定理时需要运用到因数和倍数的性质 。
05 因数和倍数的计算方法
因数的计算方法
定义
一个数能被另一个数整除，这个数就是因数。
举例
12的因数有1、2、3、4、6和12。
方法
列举法、试除法、分解质因数法等。
倍数的计算方法
定义
一个数是另一个数的几倍，这个数就是倍数。
最大因数
总结词
最大因数是能够将一个数整除的所有因数中最大的一个。
详细描述
最大因数是能够将给定的数整除的所有因数中最大的一个。例如，在数字15中， 最大因数是5，因为5是能够整除15的所有因数中最大的一个。
最小因数
总结词
最小因数是能够将一个数整除的所有因数中最小的那一个。
详细描述
最小因数是能够将给定的数整除的所有因数中最小的那一个 。例如，在数字24中，最小因数是2，因为2是能够整除24的 所有因数中最小的那一个。
03 倍数的分类
最小倍数
总结词
一个数的最小倍数是它本身
详细描述
第一讲 倍数与因数
第一讲倍数与因数(一)例题精讲：1、五位数73□28能被9整除,□应填几?2、BA8919能被66整除,这个六位数是多少?3、期末考试六年级一班数学平均分是90分,总分是□95□,这个班有多少名学生?4、任意一个三位数连着写两回得到一个六位数,这个六位数一定能被7,11,13整除,为什么?5、已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的6倍,求这个两位数?6、在298的后面填上一个三位数,使这个六位数能被476整除?7、一梯形面积为1400平方米,高为50米,若两底的米数都是整数且可被8整除,求两底。
(有几组解？)8、某校人数是一个三位数,平均每个班36人,若将全校人数的百位与十位数对调,则全校人数比实际少180人,那么该校最多可达多少人?练习：1、四位数841□能被2和3整除,□里应填___________.2、把789连续写___次,所组成的数能被9整除,并且这个数最小.3、四位数ab36=__________.36能同时被2,3,4,5,9整除,则ab4、把1,2,3这三个数字任意排列,可组成若干个三位数.在这些三位数中,能被11整除的是______________.5、同时能被3,4,5整除的最小四位数是____________。
6、从3,5,0,1这四个数字中任选3个组成没有重复数字且同时能被3,5整除的三位数有_____个.46,求x.7、一个三位数减去它的各个数位的数字之和,其差还是一个三位数x8、商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,商店里剩下的一箱货重多少千克?9、三位数的百位,十位,个位数字分别是5,a,b将它接连重复写99次成为: 5⋅⋅⋅⋅⋅⋅，如果所组成之数能被91整除,这个三位数ab5abab5ab5是多少?99个5 ab第二讲倍数与因数(二)——质数、合数、分解质因数例题精讲：1、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数有几个因数？这个数的两位数因数中最大的是几？2、将21、30、65、126、143、169、275分成两组，使两组数的积相等。
小学奥数数论与材料阅读
一、数论基础知识一、因数与倍数1、因数与倍数（1）定义：定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b的倍数。
注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。
（a、b是因数，c是倍数）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（2）一个数的因数的特点：①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数；②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。
②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是54个。
（312=961，442=1936，542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。
定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
（a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。
如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）：①末位判别法2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。
4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。
8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。
五年级因数和倍数知识点
五年级因数和倍数知识点一、因数和倍数的基本概念。
1. 因数。
- 定义：如果a× b = c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b就是c的因数。
例如3×4 = 12，3和4就是12的因数。
- 找一个数因数的方法：- 列乘法算式找，从1开始，一对一对地找。
如找18的因数，1×18 = 18，2×9=18，3×6 = 18，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。
- 列除法算式找，想这个数除以哪些数能整除，这些除数和商就是这个数的因数。
2. 倍数。
- 定义：如果a× b = c（a、b、c都是非0自然数），那么c就是a和b的倍数。
例如3×4 = 12，12就是3和4的倍数。
- 找一个数倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积就是这个数的倍数。
如3的倍数有3、6、9、12……3. 因数和倍数的关系。
- 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
例如，不能说3是因数，应该说3是6的因数；不能说12是倍数，应该说12是3的倍数。
二、2、5、3的倍数的特征。
1. 2的倍数的特征。
- 个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
例如10、12、14等都是2的倍数。
2的倍数也叫偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫奇数。
2. 5的倍数的特征。
- 个位上是0或5的数都是5的倍数。
如5、10、15等都是5的倍数。
3. 3的倍数的特征。
- 一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
例如123，各位数字之和1 + 2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。
三、质数与合数。
1. 质数。
- 定义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
例如2、3、5、7等都是质数，2只有1和2两个因数，3只有1和3两个因数。
2. 合数。
- 定义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
小学奥数因数与倍数复习课程
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如：15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
《倍数与因数》ppt课件
√
7×10=70 7×11=77
Hale Waihona Puke 找一找7的倍数有： 7, 14, 21, 28, 35, 42， 49， 56，63，70 ……
8的倍数有：8,16, 24,32， 40，48，56，64，72，80，88，96 ……
思考：1.一个数的最小倍数是什么？有最大的倍数吗？ 2.你能找得完一个数的所有倍数吗？ 3.找一个数的倍数时，怎样做到不重复、不遗漏？
求一个数倍数的方法： 用这个数分别乘以1、2、3、4…这些非0自然数。
一个数倍数的特点： 一个数倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。
4
2
12
18
48
6
9
20
30
既是4的倍数，又是6的倍数
一个数小于60，既是6的倍数，又是9的倍数，这个数可能是多少？
6的倍数有：6, 12, 18,24,30, 36， 42，48，54，60 …… 9的倍数有：9, 18, 27,36,45， 54，63 ……
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第三单元 · 倍数与因数
第1课时 倍数与因数
回想一下：小学阶段所学的数有哪些？
像0、1、2、3、4、5……这样的数是自然数
整数
自然数
请根据算式的特点分类。 商是整数，有余数
商是整数，无余数
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就 说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
在算式_____________________中，
（
）是（
）的倍数，
（
）是（
）的因数。
因数与倍数是相互依存的， 不能单独存在。
我们只在自然数 （零除外）范围内 研究倍数和因数。
《倍数和因数》公开课教案和教学研讨
《倍数和因数》公开课教案和教学研讨第一章：倍数和因数的概念介绍1.1 倍数和因数的定义讲解倍数和因数的基本概念举例说明倍数和因数的关系1.2 倍数的性质介绍倍数的性质，如：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身等通过实例让学生理解倍数的性质第二章：求一个数的因数和倍数的方法2.1 求一个数的因数的方法讲解求一个数的因数的方法，如：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5…，一直除到商和除数互换位置结束通过实例让学生学会求一个数的因数2.2 求一个数的倍数的方法讲解求一个数的倍数的方法，如：用这个数分别乘自然数1，2，3，4，5…，一直乘到积和这个数相等为止通过实例让学生学会求一个数的倍数第三章：因数和倍数的应用3.1 因数和倍数在实际生活中的应用通过实际例子让学生理解因数和倍数在生活中的应用，如：购物时选择合适的包装等引导学生学会用因数和倍数解决实际问题3.2 因数和倍数在数学中的运用讲解因数和倍数在数学中的运用，如：分解质因数、最大公因数和最小公倍数等通过实例让学生学会运用因数和倍数解决数学问题第四章：最大公因数和最小公倍数4.1 最大公因数和最小公倍数的定义讲解最大公因数和最小公倍数的定义举例说明最大公因数和最小公倍数的关系4.2 求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法讲解求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，如：先求最大公因数，再用两个数的乘积除以最大公因数得到最小公倍数通过实例让学生学会求两个数的最大公因数和最小公倍数第五章：教学研讨与反思5.1 教学目标的达成情况分析本节课教学目标的达成情况，如：学生是否掌握了倍数和因数的概念、求一个数的因数和倍数的方法等针对未达成目标的原因进行反思和调整5.2 教学方法和手段的有效性分析本节课所采用的教学方法和手段的有效性，如：讲解、实例、练习等针对不足之处进行改进和调整5.3 学生的参与度和反馈分析本节课学生的参与度和反馈情况，如：学生是否积极回答问题、对教学内容的掌握程度等根据学生的反馈调整教学内容和教学方式第六章：倍数和因数在数列中的应用6.1 倍数和因数在等差数列中的应用讲解倍数和因数在等差数列中的应用，如：求等差数列中的某个数的倍数或因数通过实例让学生学会用倍数和因数解决等差数列问题6.2 倍数和因数在等比数列中的应用讲解倍数和因数在等比数列中的应用，如：求等比数列中的某个数的倍数或因数通过实例让学生学会用倍数和因数解决等比数列问题第七章：倍数和因数在几何中的应用7.1 倍数和因数在几何图形中的应用讲解倍数和因数在几何图形中的应用，如：求图形的周长、面积等通过实例让学生学会用倍数和因数解决几何问题7.2 倍数和因数在几何证明中的应用讲解倍数和因数在几何证明中的应用，如：证明两条直线平行或三角形全等通过实例让学生学会用倍数和因数解决几何证明问题第八章：倍数和因数在物理中的应用8.1 倍数和因数在物理测量中的应用讲解倍数和因数在物理测量中的应用，如：选择合适的测量工具、计算物体的体积等通过实例让学生学会用倍数和因数解决物理测量问题8.2 倍数和因数在物理公式中的应用讲解倍数和因数在物理公式中的应用，如：欧姆定律、功率公式等通过实例让学生学会用倍数和因数解决物理公式问题第九章：倍数和因数在化学中的应用9.1 倍数和因数在化学计算中的应用讲解倍数和因数在化学计算中的应用，如：计算化学反应的摩尔比、质量比等通过实例让学生学会用倍数和因数解决化学计算问题9.2 倍数和因数在化学实验中的应用讲解倍数和因数在化学实验中的应用，如：选择合适的试剂、计算反应物的用量等通过实例让学生学会用倍数和因数解决化学实验问题第十章：教学研讨与反思10.1 教学目标的达成情况分析本节课教学目标的达成情况，如：学生是否掌握了倍数和因数在数列、几何、物理、化学等领域的应用针对未达成目标的原因进行反思和调整10.2 教学方法和手段的有效性分析本节课所采用的教学方法和手段的有效性，如：讲解、实例、练习等针对不足之处进行改进和调整10.3 学生的参与度和反馈分析本节课学生的参与度和反馈情况，如：学生是否积极回答问题、对教学内容的掌握程度等根据学生的反馈调整教学内容和教学方式第十一章：倍数和因数在实际问题中的应用11.1 倍数和因数在日常生活中的应用讲解倍数和因数在日常生活中的应用，如：时间计算、购物打折等通过实例让学生学会用倍数和因数解决实际问题11.2 倍数和因数在工作中的应用讲解倍数和因数在工作中的应用，如：生产计划、工作分配等通过实例让学生学会用倍数和因数解决工作问题第十二章：倍数和因数的扩展学习12.1 倍数和因数在其他数学领域的应用讲解倍数和因数在其他数学领域的应用，如：数论、代数等通过实例让学生学会用倍数和因数解决其他数学问题12.2 倍数和因数的相关数学历史和文化讲解倍数和因数的相关数学历史和文化，如：因数和倍数的起源、相关数学家的故事等让学生了解倍数和因数在数学发展中的重要性第十三章：倍数和因数的巩固练习13.1 倍数和因数的练习题提供一些关于倍数和因数的练习题，让学生进行巩固练习包括选择题、填空题、解答题等不同类型的题目13.2 倍数和因数的拓展练习题提供一些关于倍数和因数的拓展练习题，让学生进行进一步的思考和探索包括综合题、应用题、创新题等不同类型的题目第十四章：倍数和因数的学习评价14.1 倍数和因数的课堂表现评价对学生在课堂上的表现进行评价，如：参与度、回答问题准确性等给予学生积极的反馈和建议，促进学生的学习进步14.2 倍数和因数的作业和练习评价对学生完成的作业和练习进行评价，如：解题思路、答案准确性等给予学生及时的指导和纠正，帮助学生提高解题能力第十五章：倍数和因数的教学总结与展望15.1 倍数和因数的教学总结对本节课的教学进行总结，如：教学目标的达成情况、学生的参与度等反思教学过程中的优点和不足，提出改进和优化的建议15.2 倍数和因数的教学展望对后续倍数和因数的学习进行展望，如：进一步探索倍数和因数在各个领域的应用、学习相关拓展知识等激发学生对倍数和因数的兴趣和好奇心，促进学生的深入学习重点和难点解析本文主要介绍了倍数和因数的概念、性质、求法以及在各个领域的应用。
(完整)小学奥数因数与倍数
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找 （2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
五年级第1讲.因数与倍数初步(C版教师版) (4)
+因数与倍数初步1知识GPS 课前加油站本讲内容本讲主要学习因数倍数的意义和原理，以及如何用原理去解决实际问题前铺知识质数与合数初步------四年级寒假第5讲（第8级上） 质数与合数进阶------五年级暑假第6讲（第9级上）后续知识因数与倍数进阶-----五年级寒假第6讲（第10级上） 带余除数进阶-----五年级春季第3讲（第10 级下）1.请将72分解质因数.2.现在桌子上有5张卡片，其中有3张卡片上写着“2”，另外两张卡片上写着“3”. 盛盛随手一抓，抓起了几张卡片（可能是1张，也可能是多张），并且把抓起的卡片上的数字相乘得到了一个乘积. 那么盛盛得到的乘积有 种不同的可能.3.72有 个因数.（1）请你将12、144、360这三个数分解质因数.（2）你能不能利用（1）中的结果，直接计算12360÷？“除”法的“除”字在这里是什么意思？ （3）144是不是12的倍数？为什么？360是不是144的倍数？为什么？ （4）请用两种方式枚举所有12的因数.请问60有哪些因数？枚举之.（1）一个数是360的因数，那么最多有____个质因数2，最多有____个质因数3，最多有____个质因数5，最多有____个质因数7；（2）一个数是144的倍数，那么最少有_____个质因数2，最少有_____个质因数3，最少有_____个质因数5；（3）360一共有多少个因数，为什么？（4）一个数可以写成345p q r ⨯⨯，其中p 、q 、r 是不同的质数，那么它应该有多少个因数，为什么？（1）12有多少个不大于100的倍数？（2）一个数是12的倍数，但不是24的倍数，请问这个数里面有几个质因数2？ （3）一个数是5!的倍数，却是7!的因数，满足要求的数有多少个？ （4）请尝试枚举10个有6个因数的数.因数倍数定义：两个正整数相乘，则乘数都是积的因数；积是乘数的倍数. 根据定义，有如下关于因数倍数的结论：（1）一个数因数经常是成对出现的，两个因数的积是这个数的话，这两个因数就成对； （2）一个数的质因数指数一定不小于其因数相对应的质因数指数；（3）若a 所含有的质因数，b 都含有，且a 的质因数指数都不大于b 中相对应的质因数指数，那么a 是b 的因数；（4）进一步地，有因数个数定理如下：若a 的质因数分解式是312123n a a a a na p p p p =⨯⨯⨯⨯其中1p 、2p 、3p 、……n p 是互不相同的质数. 那么根据乘法原理，a 的因数个数是： 123(1)(1)(1)(1)n a a a a ++++可简记为“指数加1再连乘”.因数倍数定义公因数与公倍数（1）360有 个质因数2，所以360的约数最多有 个质因数2；同理，144的约数最多有 个质因数2，所以它们的公约数最多有 个2；公倍数至少有 个2； 360有 个质因数3，所以360的约数最多有 个质因数3；同理，144的约数最多 有 个质因数3，所以它们的公约数最多有 个3；公倍数至少有 个3； 360有 个质因数5，所以360的约数最多有 个质因数5；同理，144的约数最多 有 个质因数5，所以它们的公约数最多有 个5；公倍数至少有 个5. 所以144和360的最大公约数可写为(144,360)，是 ； 144和360的最小公倍数可写为[144,360]，是 . （2）求以下几组数的最大公约数和最小公倍数(72,90)= (240,100)= (48,36,84)= (175,325,375)= [72,90]= [240,100]= [48,36,84]= [175,325,375]=求下面每组数的最大公因数和最小公倍数：最大公因数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公因数．在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数．例如：(8,12)4=，(6,9,15)3=．最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：[]8,1224=，[]6,9,1590=．短除法：其实是同时给两个数分解质因数，直到商互质．．为止. 如： 2121836923，所以(12,18)236=⨯=；[12,18]232336=⨯⨯⨯= “最大公因乘一边，最小公倍乘半圈”；“多个数的最大公因数除到互质，最小公倍数除到两两互质”.分数的最大公因数与最小公倍数：子同母反：(,)(,)[,]a c a c b d b d =；[,][,](,)a c a cb d b d = 求分数最大公因数：先通分，再取分子的最大公因数. 通分过程即求分母最小公倍的过程，通分前后分子的最大公因数是不变的，因为通分时两个分母所乘的数是互质的.求分数最小公倍数：分子的最小公倍数一定是两个分数的公倍数，是不是最小的取决于分母是否互质. 即应除以分母的最大公因数，以保证所得为最小．．公倍数.辗转相除法：依据因数与倍数的性质，两个数的因数也是这两个数差的因数，因此每次都用除数与余数相除，直到可以整除为止，此时的除数即两个数的最大公因数. 辗转相除法适用于两个数较大的情况，该法也可以判断两个数是否互质.用辗转相除法求多个数的最大公因数，可以先求两个数的最大公因数，再求这个最大公因数与第三个数的最大公因数. 这样依次下去，直到最后一个数为止. 最后所得的一个最大公因数，就是所求得到几个数的最大公因数.（1）18、24、30； （2）24、36、90； （3）30、60、75求下面每组数的最大公因数或最小公倍数： （1）(600,1515)= (3553,1411)= （2）(1547,1573,1859)=（1）两个不同的自然数和为138，它们的最大公因数最大可能是多少？（2）三个不同的自然数和为3030，它们的最大公因数最大可能是多少？用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A 和B ，那么A 、B 、540这三个数的最大公因数最大可能是___________．（1）两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？（2）两个自然数的差为186，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？（3）由1、3、5这3个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最大公因数.用1～6这六个数码可以组成720个没有重复数字的六位数，求这些数的最大公因数．N 为自然数，且1+N ，2+N 、……、9+N 与690都有大于1的公因数．N 的最小值为_______．若正整数a 、b 满足：a b >，(,)a b d =，那么可以证明有结论：(,)(,)a b a b b d =-=即“两数的最大公因数，也是两数之差的因数，且是两数之差与较小数的最大公因数” 这是辗转相除法的理论基础，适用于求较大数的最大公因数. 例：求(100003,99999).解：因为100003999994-=，故答案一定是4的因数（4或2或1）. 但由于(4,99999)1=，故知答案是1.因倍性质1. 请枚举72的所有因数2. 一个数是6!的倍数，又是8!的因数，满足这个要求的数有多少个？3. 720有多少个因数？4.求下列每组数的最大公因数和最小公倍数： (1)130,156; (2)450,375 (3)96,2835 (4)551,5965. 求下列每组数的最大公因数：(1)325,375,525 (2)171,243,297 (3)38665，12432 (4)4526,4964,51106.用19-这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公因数．7.甲、乙两数的最小公倍数是330，乙、丙两数的最小公倍数是180，甲、丙两数的最小公倍数是396，那么丙数是多少？1.从1～30这30个数中，至少取出 个数，就一定在取出的数中存在某两数有倍数关系.2.森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种. 爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜. 如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？3.有两堆石子，分别是6个和7个，甲和乙轮流取，可以从某堆取任意个（不能为0），或者从每堆里取出同样多个. 谁取走最后一个就算谁赢，现在甲先取，谁会赢？并指出获胜策略.因数个数定理：若a 的质因数分解式是312123na a a a na p p p p =⨯⨯⨯⨯其中1p 、2p 、3p 、……n p 是互不相同的质数. 那么根据乘法原理，a 的因数个数是：123(1)(1)(1)(1)n a a a a ++++可简记为“指数加1再连乘”.短除法：其实是同时给两个数分解质因数，直到商互质．．为止. “最大公因乘一边，最小公倍乘半圈”；“多个数的最大公因数除到互质，最小公倍数除到两两互质”.分数的最大公因数与最小公倍数：子同母反：(,)(,)[,]a c a c b d b d =；[,][,](,)a c a c b d b d =差与公因数的关系：若正整数a 、b 满足：a b >，(,)a b d =，那么可以证明有结论：(,)(,)a b a b b d =-=即“两数的最大公因数，也是两数之差的因数，且是两数之差与较小数的最大公因数”6的所有因数之和是123612+++=，刚好是这个数本身的2倍. 你还能发现这样的数吗？。
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巩固提升
例四：
已知：36÷（ ）＝（ ）……4，在括号内填上适当的数，使等式成 立，共有几种填法？
练一练：
1. 已知：67÷（ ）＝（ ）……3，在括号内填上适当的数，使等 式成立，共有几种填法？
2. 花店买来130朵玫瑰花，将其分成若干份装在几个花篮里，已 知每个花篮里的玫瑰花一样多，装完以后还剩5朵玫瑰，无法 再装一篮，问每个篮子可能有几朵玫瑰？
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巩固提升
例一：
面积是30cm2的长方形，已知长方形的长和宽的是自然数，请问符 合条件的长方形共有几种？
练一练：
1. 两个自然数的乘积是28，那个这两个数可能是？
2. 两直角边均为自然数的直角三角形，它的面积是12cm2的，三 角形的两条直角边分别为多少？列出所有可能。
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倍数
找一个数的倍数的方法：
用这个数依次与从1开始的自然数相乘，它们的积就是这个数的 倍数。
一个数的倍数的个数是无限的，如果题目未做要求，应该在最 后写上“…”。
判断一个数是否是另一个数的倍数的方法：
用这一个数除以另一个数，能整除则是，否则不是。
练一练：
1. 写出12的倍数？ 2. 18是9的倍数，27也是9的倍数，那么18与27的和是9 的倍数吗？它们的差呢？ 3. 判断：500的因素数比5的倍数多。 如果两个数是同一个数的倍数，那么这两个数的和或差 也是这个数的倍数。 LOGO
练一练： 可讨论因倍数关系的是（） 1. 12÷3＝4 2. 1.2×5＝6 3. 25÷4＝6.25 4. 2×13＝26 5. 6÷1.5＝4 6. 23÷4＝5……3 7. 19÷7≈3 8. 1.2×5＝6 9. 25÷4＝6.25 判断 1. 12÷3＝4，因此12是倍数,3和4是因数。 2. 13既是13的倍数，也是13的因数。 3. 任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数
答案：1,4；×，， LOGO 一个整数乘除法中，最大的是倍数，小的两个是因数
基本理念
0的特殊性： 0是整数，且它除以任何非零整数都等于零，因此0是 任何非零整数的倍数，任何非零整数都是0的因数； 0÷N ＝0 为了方便，我们在研究因数倍数问题时，所说的数都 不包括0。
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例五：
教室里有50盏灯，将电灯的开关用1~50的数字编号，开始时，每 盏灯都是关闭的，现在进来50个熊孩子（号次1~50），他们按自 己的号次依次进入教室，并且遇到编号是自己号次的倍数的开关时， 他们就按一下开关，请问等所有人按完以后，有几盏灯是亮着的？
练一练：
1. 将例题中灯的盏数和人数换成30，请问按完以后，有几盏灯还 是灭的？ 2. 小明有50个硬币，前1~25个硬币是正面朝上，后26~50个硬币 是反面朝上，现在又跑进编号是1~50的熊孩子，他们把序号是 自己编号倍数的硬币翻过来，等所有人翻完后，有几个硬币正 面朝上？
练一练：
1. 2. 3. 4. 写出60、24、32的因数？ 写出36、49、169的因数？ 数数1、2小题中各数因数的个数，有什么规律？ A＝a×b×c，a、b、c分别为三个不同的大于1的整数， 问A的因数有几个？
完全平方数的因数有单数个，其它数的因数有双数个。8个
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例三：
全班有48个同学，平均分成几组进行辩论比赛，每组的人数至少3 个，但不能多于9个，可以分成几个小组？
练一练：
1. 妈妈买了40个苹果，小明每天吃相同个数的苹果，妈妈规定不 能在6天内把苹果吃完，那么小明每天可能吃几个？有几种可 能？ 2. 自然数a、b，a≥2，b≥3，a×b＝195，那么a、b可能是多少？
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因数&倍数
授课老师：陈老师 机构：昂力教育
w w w . t h e m e g a l l e r y . c o m
归纳总结
1
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基本理念 因数 倍数 巩固提升
4
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基本理念
只有在乘法算式中因数和积都是整数的情况下才讨论 因数和倍数，换言之，只有在除法算式中被除数、除 数和商都是整数且没有余数的情况下，才能讨论因数 和倍数。(出现小数、分数和余数的式子直接排除) 因数和倍数是相互依存的概念，不能单独出现。
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因数
找一个数的因数的方法：
把这个商都是这个数的因数。 从1开始去除这个数，那么到什么时候终止呢？
判断一个数是否是另一个数的因数的方法：
用另一个数除以这个数，能整除则是，否则不是。
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巩固提升
例二：
盒内有48个棋子，如果不一次性拿出，也不一个一个拿，但每次拿 的棋子数要求一样多，最后一次刚好拿完，问有几种不同拿法？
练一练：
1. 箱内有64本本子，小明不能一次性拿完，也不能一本一本的拿， 但他每次拿的本数要相同，而且最后一次刚好拿完，问有几种 拿法？ 2. 放假后，小明搬书回家，他一共有24本书，他不打算一口气搬 回家，也不打算每次只带一本书回家，请问小明几次可以把书 搬回家？每次搬几本？
因数和倍数
一个数的因数的个数是有限的，但一个数的倍数的个 数是无限的。 一个数，它最小的因数是1，最大的因数是它本身； 最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个非零自然数，既是它自己的因数，也是它自己的 倍数。 练一练：
1. 一个数是72的因数，又是2、3的倍数，这个数是（）。 2. 一个数是24的最小倍数，也是48的因数，这个数是（）。 3. 两个数的和是24，其中一个两位数是9的倍数，另一个 数的因数是（）。