2018年中考数学复习课时28等腰三角形与直角三角形导学案无答案147
2018年中考数学专项复习学案：第五章基本图形二第28讲图形的相似第1课时相似形
第28讲 图形的相似第1课时课时 相似形相似形1．比例线段．比例线段考试内容考试内容考试考试要求要求比例比例 线段线段定义定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．比，那么这四条线段叫做成比例线段．a基本基本 性质性质若a b ＝c d，则ad ad＝＝bc.bc.当当b ＝c 时，时，b b 2＝ad ad，那么，那么b 是a 、d 的比例中项．比例中项．黄金黄金 分割分割 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC>BC)BC(AC>BC)，如果，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且AC AB ＝BC AC ＝5－12≈0.6180.618，，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点．割点．2.2.平行线分线段成比例平行线分线段成比例平行线分线段成比例考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本 事实事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段． c推论推论平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边((或两边的延长线或两边的延长线))，所得的对应线段成比例．成比例．3.3.相似图形的有关概念相似图形的有关概念相似图形的有关概念考试内容考试内容考试考试要求要求相似图形________________________________________相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．a相似多相似多边形边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别如果它们的角分别 ，边 ，那么这两个多边形叫做相似多边形．多边形叫做相似多边形．相似多边形对应相似多边形对应 的比叫做相似比．的比叫做相似比．(1)(1)相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比； (2)(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似三相似三 角形角形 两个三角形的三个角分别两个三角形的三个角分别_ _ ，三条边，三条边 ，则这两个三角形相似．当相似比等于1时，这两个三角形时，这两个三角形 ． 4.4.相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的判定考试内容考试内容考试考试要求要求判定1________________________________________于三角形一边的直线和其他两边相交，于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．三角形与原三角形相似．a 判定2 三边三边 的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定3 两边两边 且夹角且夹角 的两个三角形相似．的两个三角形相似． 判定4 两角分别两角分别 的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定5满足斜边和一条直角边满足斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似．的两个直角三角形相似．拓展拓展直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．两个三角形都与原三角形相似．5.5.相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质考试内容考试内容考试考试要求要求性质性质1.1.相似三角形的对应角相似三角形的对应角相似三角形的对应角 ，对应边对应边． a2.2.相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应中线的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的对应角平分线的比和周长的比都等于比都等于．3.3.相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的____________________. ____________________.三角形三角形 的重心的重心 三角形三条中线的交点叫做重心．三角形三条中线的交点叫做重心．三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．拓展拓展如图，△ABC 中，∠中，∠ACB ACB ACB＝＝9090°，°，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论．则有下列结论．①AC 2＝AD·AB；＝AD·AB；②BC 2＝BD·AB；＝BD·AB；③CD 2＝AD·BD；＝AD·BD；④AB AB··CD CD＝AC·BC.＝AC·BC.＝AC·BC.考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本 思想思想转化思想：证角相等，证比例线段往往转化为证相似三角形；测量问题，往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．b1．(2017·杭州．(2017·杭州))如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，DE DE∥∥BC BC，，若BD BD＝＝2AD 2AD，，则( ( )A .AD AB ＝12 B .AE EC ＝12 C .AD EC ＝12 D .DE BC ＝12 2．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.AC 与DF 相交于点H ，且AH AH＝＝2，HB HB＝＝1，BC BC＝＝5，则DEEF的值为的值为( ( ( )A .12B ．2C .25D .35 3．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图是百度地图的一部分如图是百度地图的一部分((比例尺1∶4000000)．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西偏西_______________________________________度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm ，则杭州到嘉兴的实际距离约为________________________________________．．【问题】如图，点D 在△ABC 的边AC 上．上．(1)(1)要判断△ADB 要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件是相似，添加一个条件是____________________________________________________________；； (2)若△ADB∽△ABC，若△ADB∽△ABC，AB AB AB＝＝4，AD AD＝＝2，则AC AC＝＝________________；； (3)(3)通过通过通过(1)(1)(1)、、(2)(2)解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理比例、相似多边形有关概念，相似三角形性质、判定．类型一 比例性质、黄金分割等相关概念例1 (1)(2016·山西(1)(2016·山西))宽与长的比是5－12(约0.618)0.618)的矩形叫做黄金矩形，的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ABCD，，分别取AD AD、、BC 的中点E 、F ，连结EF EF；以点；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH⊥AD，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是，则图中下列矩形是黄金矩形的是( ( ( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解后感悟】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再根据DF DF＝＝GF 求得CG 的长，最后根据CG 与CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH 为黄金矩形．为黄金矩形．(2)(2) 已知x 3＝y 4＝z 6≠0，求x ＋y －z x －y ＋z 的值．的值．【解后感悟】这类题我们一般是设辅助未知数k ，即比值为k ，把所有字母都用含有k 的式子表示出来，从而达到计算或化简的目的．示出来，从而达到计算或化简的目的．1．在中华经典美文阅读中，在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．宽与长之比为黄金比．已知这本书的已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为，则它的宽约为( ( ( )A ．12.36cmB ．13.6cmC ．32.36cmD ．7.64cm 2．(2015·扬州．(2015·扬州))如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横格线上，若线段AB AB＝＝4cm ，则线段BC BC＝＝cm .类型二 相似多边形例2 已知矩形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ADCB 相似，则AD AD＝＝( ( )A .5－12B .5＋12C .3D ．2 【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．3．(2015·葫芦岛．(2015·葫芦岛))如图，在矩形ABCD 中，中，AD AD AD＝＝2，CD CD＝＝1，连结AC AC，以对角线，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连结AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n －1的面积为的面积为____________________________________________________________．．类型三 相似三角形的判定与性质例3 (2016·南充(2016·南充))已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP 交AD 于点N ，连结CM.(1)(1)如图如图1，若点M 在线段AB 上，求证：AP⊥BN；上，求证：AP⊥BN；AM AM AM＝＝AN AN；；(2)①如图2，在点P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，的延长线上时，AP AP AP⊥⊥BN 和AM ＝AN 是否成立？是否成立？((不需说明理由不需说明理由) )②是否存在满足条件的点P ，使得PC PC＝＝12？请说明理由．？请说明理由．【解后感悟】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．4．(1)(1)如图，在△ABC 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( ( )A ．1∶3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4(2)(2) (2016·河北(2016·河北))如图，△如图，△ABC ABC 中，∠中，∠A A ＝7878°，°，°，AB AB AB＝＝4，AC AC＝＝6.6.将△ABC 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是的是( ( ( )5．(1)(2015·自贡)将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 .(2)(2015·无锡市南长区模拟(2)(2015·无锡市南长区模拟))如图，△如图，△ABC ABC 中，中，AB AB AB＝＝5，BC BC＝＝3，CA CA＝＝4，D 为AB的中点，过点D 的直线与BC 所在直线交于点E ，若直线DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似，则DE DE＝＝ .类型四 与相似三角形相关的问题例4 如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，上的四个点，AC AC 平分∠BAD，平分∠BAD，AC AC 交BD 于点E ，CE CE＝＝4，CD CD＝＝6，则AE 的长为的长为( ( ( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解后感悟】本题运用圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD ＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.6．(1)(1)已知：在△ABC 已知：在△ABC 中，中，BC BC BC＝＝1010，，BC 边上的高h ＝5，点E 在边AB 上，过点E 作EF∥BC，交AC 边于点F.F.点点D 为BC 上一点，连结DE DE、、DF.DF.设点设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为函数图象大致为( ( ( )(2)(2015·杭州模拟(2)(2015·杭州模拟))在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新的三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是对于两人的观点，下列说法正确的是( ( ( ) )A ．两人都对．两人都对B ．两人都不对．两人都不对C ．甲对，乙不对．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对．甲不对，乙对(3)(3) (2015·滨州(2015·滨州))如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y ＝－1x 、y ＝2x的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为的大小的变化趋势为( ( ( ) )A ．逐渐变小．逐渐变小B ．逐渐变大．逐渐变大C ．时大时小．时大时小D ．保持不变．保持不变7．(2016·龙东．(2016·龙东))已知，在平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，上，AE AE AE＝＝13AD AD，连结，连结CE 交BD 于点F ，则EF∶FC 的值是的值是 .【课本改变题】教材母题－－浙教版教材九上第149页第5题课本中有一道作业题：课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ABC，它的边，它的边BC BC＝＝120mm ，高AD AD＝＝80mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB AB，，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算．？请你计算．(2)(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【方法与对策】本题是课本改变题，试题设置上主要是三角形和矩形的组合，通过基本图形是相似三角形，揭示对应边成比例的关系式来解决问题，再深入探究，规律性较强，这种题型是中考常用的命题方式．常用的命题方式．【找不准相似三角形中的对应边】【找不准相似三角形中的对应边】如图，△如图，△ABC ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC∽△D 上，且△ABC∽△DBA BA BA，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是( ( ( )A ．AB 2＝BC·BD ＝BC·BD B ．AB 2＝AC·BD ＝AC·BDC ．AB AB··AD AD＝BD·BC ＝BD·BC ＝BD·BC D ．AB AB··AD AD＝AD·CD ＝AD·CD ＝AD·CD参考答案 第28讲 图形的相似 第1课时 相似形【考点概要】【考点概要】2．成比例成比例 3.形状形状 相等相等 成比例成比例 边 相等相等 成比例成比例 全等全等 4.平行平行 成比例成比例 成比例成比例 相等 相等相等 成比例成比例 5.相等相等 成比例成比例 相似比相似比 平方平方【考题体验】【考题体验】1．B 2.D 3.45 80km 【知识引擎】【知识引擎】【解析】(1)添加条件是∠ABD ＝∠C 或∠ADB ＝∠ABC 或者AD AB ＝AB AC ； (2)由△ADB ∽△ABC ，得AD AB ＝ABAC，得AC ＝8； (3)相似三角形知识：性质、判定等．相似三角形知识：性质、判定等． 【例题精析】【例题精析】例1 (1)(1)设正方形的边长为设正方形的边长为2，则CD CD＝＝2，CF CF＝＝1.1.在直角三角形在直角三角形DCF 中，中，DF DF DF＝＝12＋22＝5，∴FG FG＝＝5，∴CG CG＝＝5－1，∴CG CD ＝5－12，∴矩形DCGH 为黄金矩形．故选D . . (2)(2)(2)设设x 3＝y 4＝z 6＝k(k≠0)，根据题意，得x ＝3k 3k，，y ＝4k 4k，，z ＝6k 6k，所以，所以x ＋y －z x －y ＋z ＝3k 3k＋＋4k 4k－－6k 3k 3k－－4k 4k＋＋6k ＝k 5k ＝15. .例2 B 例3(1)(1)如图如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，，∠DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，°，∵△∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝∠PBC，＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，°，∴∠∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，∵∠，∵∠，∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠＝∠＝∠BAN BAN BAN＝＝9090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB PB＝＝ANAB AB，，∴AN AB ＝AM BC，∵AB AB＝＝BC BC，，∴AN AN＝＝AM. AM. (2)①仍然成立，(2)①仍然成立，AP AP⊥⊥BN 和AM AM＝＝AN.AN.理由如图理由如图2中，∵四边形ABCD 是正方形，∴是正方形，∴AB AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，∠，∠，∠DAB DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，∵△°，∵△°，∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，，∵∠∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠BAN＝＝∠BAN＝＝∠BAN＝909090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB ＝AN AB ，∴AN AB ＝AM BC，∵，∵AB AB AB＝＝BC BC，∴，∴，∴AN AN ＝AM. AM. ②这样的点P 不存在．理由：假设PC PC＝＝12，如图3中，以点C 为圆心12为半径画圆，以AB为直径画圆，为直径画圆，CO CO CO＝＝BC 2＋BO 2＝52＞12＋12，∴两个圆外离，∴∠，∴两个圆外离，∴∠APB APB APB＜＜9090°，这与°，这与AP⊥PB 矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC PC＝＝12的点P 不存在．不存在． 例4 设AE AE＝＝x ，则AC AC＝＝x ＋4，∵，∵AC AC 平分∠BAD，∴∠平分∠BAD，∴∠BAC BAC BAC＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠CDB CDB CDB＝∠BAC(圆周角定＝∠BAC(圆周角定理)，∴∠，∴∠CAD CAD CAD＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠ACD ACD ACD＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴CD CE ＝AC DC ，即64＝x ＋46，解得：，解得：x x ＝5.故选B .【变式拓展】【变式拓展】1．A 2.12 2.12 3.3.5n 22n 2n－－1 4.(1)C (2)C 5.(1)1∶35.(1)1∶3 (2)2或103 6.(1)D (2)A (3)D 7.23或43 【热点题型】【热点题型】【分析与解】【分析与解】(1)(1)(1)设矩形的边长设矩形的边长PN PN＝＝2y mm ，则PQ PQ＝＝y mm ，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC BC＝＝AEAD AD，，即2y 120＝8080－－y 80，解得y ＝2407，∴PN PN＝＝2407×2＝4807(mm )，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm ； (2)(2)设设PN PN＝＝x mm ，由条件可得△APN∽△ABC，由条件可得△APN∽△ABC，∴∴PN BC ＝AE AD ，即x 120＝8080－－PQ 80，解得PQ PQ＝＝8080－－23x.∴S ＝PN·PQ＝＝PN·PQ＝x(80x(80x(80－－23x)x)＝－＝－23x 2＋80x 80x＝－＝－23(x (x－－60)2＋24002400，∴，∴，∴S S 的最大值为2400mm 2，此时PN PN＝＝60mm ，PQ PQ＝＝8080－－23×6060＝＝40(mm )． 【错误警示】A ．∵△．∵△ABC ABC ABC∽△∽△∽△DBA DBA DBA，∴，∴AB BD ＝BC AB ，∴，∴AB AB 2＝BD·BC.＝BD·BC.。
中考一轮复习教案：等腰三角形与直角三角形
中考一轮复习教案：等腰三角形与直角三角形一、教学目标1、学生能够掌握等腰三角形和直角三角形的定义、性质和判定定理。
2、能够运用等腰三角形和直角三角形的相关知识解决简单的几何问题。
3、培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
二、教学重难点1、重点（1）等腰三角形的性质和判定。
（2）直角三角形的性质和判定。
2、难点（1）等腰三角形和直角三角形的综合应用。
（2）运用相关定理进行推理和证明。
三、教学方法讲授法、练习法、讨论法四、教学过程（一）知识回顾1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两腰相等。
（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。
（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、等腰三角形的判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
4、直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
5、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（3）直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
6、直角三角形的判定（1）如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（二）例题讲解例1：已知等腰三角形的一个内角为70°，求另外两个内角的度数。
解：分情况讨论：（1）当70°角为顶角时，底角的度数为：（180°70°）÷2 ＝55°，所以另外两个内角的度数分别为 55°，55°。
2018中考数学专题复习 全等三角形压轴题分类解析(无答案)
三角形综合题归类考点：利用角相等证明垂直1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.BAC E FQPD A BCDEF图9ABCDE F4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；（2） 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长 线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用1. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由． MED CBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．l(1)A B(F) (E)C PABECFPQ (2) lABEC FP l(3)Q当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．FEDCBA图1AECF BD图2AECFBD图32. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。
2018届中考数学复习 专题25 等腰三角形、等边三角形试题(B卷,含解析)
等腰三角形、等边三角形一、选择题 1. ．（广东省广州市，13，3分）如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =12cm ，点D 在AC 上，DC =4cm ，将线段DC 沿CB 方向平移7cm 得到线段EF ，点E ，F 分别落在边AB ，BC 上，则△EBF 的周长为 cm ．【答案】13【逐步提示】利用平移的性质可以求得EF 与FC 的长，进而可得BF 的长；再根据等腰三角形的判定可得BE =EF ，这样求得了△EBF 的三边长，其和即为△EBF 的周长．【详细解答】解：根据平移的性质，将线段DC 沿着CB 的方向平移7cm 得到线段EF ，则EF =DC =4cm ，FC =7cm ，∠EFB =∠C ．∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴∠B =∠BFE ，∴BE =EF =4cm ．又BF =BC －FC =12－7=5cm ，∴△EBF 的周长=4+4+5=13（cm ）．故答案为13．【解后反思】图形平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，这样往往存在平行四边形与全等三角形或等腰三角形，给我解决问题提供了重要途径． 【关键词】平移的性质；等腰三角形的判定2. （ 河北省，16，2分）如图，∠AOB =120°，OP 平分∠AOB ，且OP =2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上【答案】D【逐步提示】先找出符合要求的特殊点，如点M 与点O 重合，点N 与点O 重合等，不难发现以上特殊情形都满足OM+ON=2，再研究一般情形下△PMN 是否为等边三角形，问题得解. 【详细解答】解：如图，在OA 上截取OC=OP=2，∵∠AOP =60°，∴△OCP 是等边三角形，∴CP=OP ，∠OCP=∠CPO=60°.在线段OC 任取一点M ，在OB 上截取ON ，使ON+OM=2，连接MN ，PM ，PN.∵MC+OM =2，∴CM=ON.在△MCP 和△NOP 中，∵CM=ON,∠MCP =∠NOP =60°，CP=OP ，∴△MCP ≌△NOP （SAS ），∴PM=PN ，∠MPC=∠NPO ，∴∠MPC+∠MPO=∠NPO+∠MPO ，即∠CPO =∠MPN，∴∠MPN =60°，∴△PMN 是等边三角形.故满足条件的△PMN 有无数个，答案为选项D.A B CE D F【解后反思】如图所示，本题是含有60°内角的菱形问题的变式，掌握其中等边三角形和全等三角形的判定有助于我们解决此题.【关键词】等边三角形的判定和性质；全等三角形的判定；存在性问题3.（湖南省怀化市，8，4分）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A. 16cmB. 17cmC. 20cmD. 16cm或20cm【答案】C.【逐步提示】此题考查等腰三角形的定义和三角形三边的关系.题中给出了等腰三角形的两条边长，而没有明确其腰长或底边长，因此需要分腰为4cm长或腰为8cm长两种情况讨论等腰三角形的周长即可.【详细解答】解：若4cm的边长为腰，8cm的边长为底，4＋4＝8，由三角形三边的关系知，该等腰三角形不存在；若8cm的边长为腰，4cm的边长为底，则等腰三角形的周长为20cm，故选择C.【解后反思】此题考查等腰三角形的定义和三角形三边的关系，解此题的关键是能根据题意，考虑到需要分类讨论等腰三角形的周长.此题的易错点是审题不认真，忽略分类讨论.【关键词】等腰三角形的定义；三角形三边的关系4.（湖南湘西，14，4分）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是A.13cm B .14cm C. 13 cm或14cm D.以上都不对【答案】C【逐步提示】本题考查了三角形的三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键是应用三角形三边关系定理讨论．分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长．【详细解答】解：①当等腰三角形的腰为4，底为5时，等腰三角形的周长为2×4＋5=13；②当等腰三角形的腰为5，底为4时，等腰三角形的周长为2×5＋4=14，∴这个等腰三角形的周长是13 cm或14cm，故选择C . 【解后反思】在解有关等腰三角形边长问题时，通常要进行讨论，注意分类讨论后一定要运用三边关系检验，所求的结果若能够组成三角形后，才能继续进行有关的计算.【关键词】三角形三边的关系；等腰三角形的性质5.（山东滨州6，3分）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（）A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°【答案】D ．【逐步提示】先根据AC =CD ，∠A =50°，计算出∠ADC 的度数，再由CD =BD ，可知∠B=∠BCD ，从而求出∠B 的度数，BD =BE ，∠BDE =∠BED ，求出∠BDE 的度数，最后根据∠ADC +∠CDE +∠BDE =180°，计算出∠CDE 的度数． 【详细解答】解：∵AC =CD ，∴∠ADC=∠A =50°，又∵CD =BD ，∴∠B=∠BCD ，∠ADC=∠B+∠BCD ，∴∠B=25°，∵BD =BE ，∠BDE =∠BED=77.5°，∠ADC +∠CDE +∠BDE =180°，∴∠CDE =52.5°． 【解后反思】根据“等腰三角形两底角相等”得到角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的2个内角的度数之和．【关键词】等腰三角形 三角形的外角和定理6.（江苏省扬州市，8，3分）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 ( )A ．6B ．3C ．2．5D ．2(第8题)BC【答案】C【逐步提示】本题考查了操作活动中的估算和大小比较，解题的关键是合理构造等腰直角三角形，使得剩余部分面积的最小，此时每次都要考虑以最大边做斜边才使得剪去的等腰直角三角形面积最大．【详细解答】解：如图所示，剩余三角形的面积为24—1442创—12—1332创=2．5，故选择C ．【解后反思】本题属于数学实验的简单类的问题，在构造等腰直角三角形时，学生可能会构造出如图所示的方法，剩余三角形的面积为24—1442创—12创—12创，错选答案B ．【关键词】 三角形；等腰三角形与直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理；四边形；特殊的平行四边形；矩形的性质；面积最小化；化归思想二、填空题1. （ 甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，17，4分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB =6cm ，则AC =_____________cm ．第17题图 【答案】6【逐步提示】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是画出折叠之前的矩形纸片，画出折叠之前的矩形纸片之后，一目了然，通过角度之间代换得到△ABC 是等腰三角形，得解．【详细解答】解：由折叠得∠1=∠2，再由矩形纸片对边平行得到∠1=∠3，从而得到∠2=∠3，所以△ABC 是等腰三角形且AB =AC =6cm ，故答案为6.【解后反思】折叠也就是翻折或轴对称，它连同平移、旋转一样是全等变换，即不改变图形的形状和大小，所以看到折叠就要想到全等，进一步得到对应角相等、对应边相等为进一步解题提供条件． 【关键词】 折叠；矩形的性质；等腰三角形的判定；2. （ 河北省，19，4分）如图，已知∠AOB =7°，一条光线从点A 出发后射向OB 边.若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A =90°-7°=83°.当∠A <83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠1=∠2.若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，此时∠A =_____°. ……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=_______°.【答案】76 6 【逐步提示】本题属于规律探究题，对于（1）先在Rt△A1A2O中根据三角形内角和定理求出∠2的度数，由此得到∠1和∠AA1A2的度数，再在△AA1A2中根据三角形内角和定理求出∠A的度数；（2）由（1）可知当光线垂直于OA时光线会沿原路返回，画出符合题意的图形，分别求出有公共顶点的光线夹角的度数，从而找出夹角变化的规律，问题可解.【详细解答】解：（1）∵A1A2⊥AO，∴∠A1A2A=∠A1A2O=90°.在Rt△A1A2O中，∠O=7°，∴∠2=90°－7°=83°，∴∠1=83°，∴∠AA1A2=180°－2×83°=14°.在Rt△AA1A2中，∴∠A=90°－14°=76°.（2）如图，当A n－1A n ⊥OA时，易求得∠A n A n-1A n-2=14°=1×14°，∠A n-1A n-2A n-3=28°=2×14°,∠A n-2A n-3A n-4=42°=3×14°，……，由此可知当∠A1AC=12×14°=168°时，∠A1AO=12×（180°－168°）=6°，且此时∠A1AO最小.【解后反思】对于规律探究题，解决问题的一般思路是从特殊情形中发现一般规律，进而应用一般规律求解. 【关键词】规律探究题3.（湖北省黄冈市，12，3分）如图，⊙O是ΔABC的外接圆，∠AOB=700，AB=AC,则∠ABC= 。
中考数学真题分类汇编(第三期)专题28 解直角三角形试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
解直角三角形一.选择题1．（2018·某某市B卷）5.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵==，设=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM==8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（2018·某某某某·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB==．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2018·某某某某·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==；【解答】解：如图，连接AD．∵OD是直径，∴∠OAD=90°，∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOB=∠ADO，∴sin∠AOB=sin∠ADO==，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．二.填空题1. （2018·某某江汉·3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile 处，则海岛A，C之间的距离为18n mile．【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD，根据题意列式计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里．故答案为：182. （2018·某某荆州·3分）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为米（≈1.73，结果精确到0.1）．【解答】解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，∴CE=33，∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，∴BE=CE=33，∴AE=a+33，∵tanA=，∴tan30°=，即33=a+33，解得a=33（﹣1）≈24.1，∴a的值约为24.1米，故答案为：24.1．3．(2018·某某省某某市) 如图，某景区的两个景点A.B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C 处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A.B间的距离为100+100米（结果保留根号）．【解答】解：∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．∵CD=100米，∴AD=CD=100米，D B=米，∴AB=AD+DB=100+100（米）．故答案为：100+100．4. （2018·某某某某·3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为_____m（结果保留整数，≈1.73）．【答案】300【解析】【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．【详解】如图，∵在Rt△ABD中，AD=110，∠BAD=45°，∴BD= AD•tan45° =110（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD•tan60°=110×≈190（m），∴BC=BD+CD=110+190=300（m），即该建筑物的高度BC约为300米，故答案为：300．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．5.（2018·某某某某·3分）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE=53°．∵BC=DE=6m，∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m．故答案为：9.5．三.解答题1. （2018·某某贺州·8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，∴AM=MC，由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，解得：AM=CM=40，∵∠ECB=15°，∴∠BCF=90°﹣15°=75°，∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，在Rt△BCM中，tanB=tan30°=，即=，∴BM=40，∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109（海里），答：A处与灯塔B相距109海里．2. （2018·某某某某·8分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG=27m，GF=17.6m（注：C.G、F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F）．斜坡CD=20m，坡角∠ECD=40°．求瀑布AB的高度．（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【分析】过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，在Rt△CMD中，通过解直角三角形可求出CM的长度，进而可得出MF、DN的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN中，利用解直角三角形求出BN、AN的长度，结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度．【解答】解：过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，如图所示．在Rt△CMD中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，∴CM=CD•cos40°≈15.4m，DM=CD•sin40°≈12.8m，∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．在Rt△BDN中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，∴BN=DN•tan10°≈10.8m．在Rt△ADN中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，∴AN=DN•tan30°≈34.6m．∴AB=AN+BN=45.4m．答：瀑布AB的高度约为45.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通过解直角三角形求出AN、BN的长度是解题的关键．3. （2018·某某某某·7分）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．【分析】过C作CD垂直于AB，根据题意求出AD与BD的长，由AD+DB求出AB的长即可．【解答】解：过C作CD⊥AB，在Rt△ACD中，∠A=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AD=CD=AC=50海里，在Rt△BCD中，∠B=30°，∴BC=2CD=100海里，根据勾股定理得：BD=50海里，则AB=AD+BD=50+50≈193海里，则此时船锯灯塔的距离为193海里．【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4.（2018·某某省某某·7分）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）【分析】如图作AE⊥BD于E．分别求出BE.DE，可得BD的长，再根据CD=BD﹣BC计算即可；【解答】解：如图作AE⊥BD于E．在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，∴BE=AB=5（m），AE=5（m），在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），∴BD=DE+BE=12.79（m），∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．5.（2018·某某省某某·8分）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，X角∠HAC 为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【分析】作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF 即可．【解答】解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=，∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．6．（2018·某某省某某市）两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和B D均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．【解答】解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，由图可知，FH=CD=30m．∵∠BFH=∠α=30°．在Rt△BFH中，BH=，，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）连接BC\1BD=3×10=30=CD，∴∠BCD=45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．7．（2018·某某省某某市）（12.00分）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A.B.C.D.M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在Rt△ADH中求出AH即可解决问题；【解答】解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，∴∠BDH=30°，∵∠CBH=30°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴BC=CD=10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，∴DH=15，在Rt△ADH中，AH===20，∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8. （2018•呼和浩特•8分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）解：作DH⊥BC于H．设AE=x．∵DH：BH=1：3，在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，∴DH=60，BH=180，在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，∴DE=AE=x，∵又HC=ED，EC=DH，∴HC=x，EC=60，在Rt△ABC中，tan33°=，∴x=，∴AC=AE+EC=+60=．答：山顶A到地面BC的高度AC是米9. （2018•某某•8分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出DB，DA，进而解答即可．【解答】解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，在Rt△CDB中，tan∠DCB=，解得：DB=200，在Rt△CDA中，tan∠DCA=，解得：DA=200，∴AB=DA﹣DB=200﹣200≈146米，轿车速度，答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般．10. （2018•莱芜•9分）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C.E.D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）【分析】过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠×0.9=0.72，AF=AB•cos∠×0.4=0.32，∴FC=AF+AC=4.32，∵四边形FCGB是矩形，∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，∵∠BDG=45°，∴∠BDG=∠GBD，∴GD=GB=4.32，∴CD=CG+GD=5.04，在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE=，∴≈1.7，答：小水池的宽DE为1.7米．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．11．（2018·某某某某·6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【解答】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，设AM=xm，则=xm，在Rt△AFM中，MF=，在Rt△H中，HN=，∴HF=MF+HN﹣MN=x+x﹣24，即8=x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB=11.7+1.6=13.3m，答：教学楼AB的高度AB长13.3m．12．（2018·某某某某·8分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A.B和点C.D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．【分析】过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中，设CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出AH与BE，由AH+HE+EB=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，∴HE=CD=40m，设CH=DE=xm，在Rt△BDE中，∠DBA=60°，∴BE=xm，在Rt△ACH中，∠BAC=30°，∴AH=xm，由AH+HE+EB=AB=160m，得到x+40+x=160，解得：x=30，即CH=30m，则该段运河的河宽为30m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．。
各地2018年中考数学试卷等腰三角形(word,含解析)
等腰三角形一、选择题1．（2018•ft东枣庄•3 分）如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形，线段 AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA、PB，那么使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是（）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是 3，故选：B．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点 P 是解题的关键． 2 （2018•ft东枣庄•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF 平分∠CAB，交CD 于点E，交CB 于点F．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠C FA=90°，∠FAD+∠AE D=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CE F=∠CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F 作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE 的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠C EF=∠CF E．3.（2018•ft东淄博•4 分）如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）A． B．D．【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．【分析】将△BPC绕点B 逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到 PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP 中，AE=5，延长 BP，作AF⊥BP 于点 FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长，则在直角△ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长，进而求得三角形 ABC 的面积．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B 逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF AP=，PF=AP=．∴在直角△ABF）2+（）2=25+12 ．则△ABC •AB2=•（25+12 ．故选：A．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．4.（2018•江苏扬州•3 分）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧做等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE，CD 与BE、AE 分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③ B．① C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE 三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2 转化为A C2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A 四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．5．（2018·湖南省常德·3 分）如图，已知BD 是△A BC 的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE 的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠A BD=30°，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是BC 的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3，故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形 ABC 中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点 P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：（甲）以A 为圆心，AC 长为半径画弧交AB 于P 点，则P 即为所求；（乙）作过 B 点且与AB 垂直的直线l，作过C 点且与 AC 垂直的直线，交l 于 P 点，则 P 即为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【分析】甲：根据作图可得 AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断；乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=180°∴∠BPC+∠ACP=180°，∴甲错误；乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正确，故选：D．【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．7．（2018•湖北荆门•3 分）如图，等腰Rt△ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ⊥OP交BC 于点Q，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点 C 时，点M所经过的路线长为（）A．B．C．1 D．2【分析】连接 OC，作PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图，利用等腰直角三角形的性质得，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到AP=CQ，QF=BQ，所以BC=1，然后证明MH 为梯形PEFQ 的中位线得到，即可判定点M 到AB 的距离为，从而得到点 M 的运动路线为△ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点 M 所经过的路线长．【解答】解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB 的中点，∴OC⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC=×=1，∵M点为PQ 的中点，∴MH为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB ，而 CO=1，∴点M 的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M AB=1．故选：C．【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．8.（2018•河北•3分）已知：如图 4，点P在线段AB外，且PA =PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不．正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC ⊥AB于点C且AC =BCC.取AB中点C，连接PCD．过点P作PC ⊥AB，垂足为C9.(2018 四川省绵阳市)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上，若 AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：连接BD，作C H⊥DE，∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠C AB=45°,即∠A CD+∠DCB=∠A CD+∠A CE=90°，∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ECA中，,∴△DCB≌△ECA，∴DB=EA=,∠CDB=∠E=45°,∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∴AB= =2 ，在Rt△ABC中，∴2AC2=AB2=8，∴AC=BC=2，在Rt△ECD中，∴2CD2=DE2= ，∴CD=CE=+1，∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，∴△CAO∽△CDA，∴：= = =4-2 ，又∵= CE = DE·CH，∴CH== ，∴= AD·CH=×× = ，∴=（4-2 ）×=3- .即两个三角形重叠部分的面积为3- .故答案为：D.【分析】解：连接 BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由 SAS 得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知 DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,从而得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=2，CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积.二.填空题1．（2018 四川省泸州市 3 分）如图，等腰△A BC 的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边BC上，且 BF=3FC，EG 是腰 AC 的垂直平分线，若点 D 在 EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为 18 ．【分析】如图作A H⊥BC 于H，连接AD．由EG 垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F 共线时，DF+DC 的值最小，最小值就是线段AF 的长；【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F 共线时，DF+DC 的值最小，最小值就是线段AF 的长，∵•BC•AH=120，∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF===13，∴DF+DC的最小值为13．∴△CDF 周长的最小值为 13+5=18；故答案为18．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．2.（2018•广西桂林•3 分）如图，在Δ ABC 中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是【答案】3详解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD 平分∠ABC交AC 于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3 个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．3.（2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．4.（2018·四川宜宾·3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径为1，若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，则S= 2 ．（结果保留根号）【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO 为等边三角形，根据等边三角形的性质结合 OM 的长度可求出AB 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S 的值．【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴△ABO为等边三角形，∵⊙O的半径为1，∴OM=1，∴BM=AM=，∴AB=，∴S=6S△ABO=6× × ×1=2 ．， ，故答案为：2．【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．5. （2018·天津·3 分）如图，在边长为 4 中，，分别为的中点 于点，为的中点，连接，则的长为．【答案】【解析】分析：连接 DE ，根据题意可得 Δ DEG 是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解 DG 的长. 详解：连接 DE ，∵D、E 分别是 AB 、BC 的中点， ∴DE∥AC，DE=AC∵Δ ABC 是等边三角形，且 BC=4 ∴∠DEB=60°,DE=2 ∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2 ∴∠FEC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60°-30°=90°∵G是EF 的中点，∴EG=.在RtΔ DEG 中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.6．（2018·湖北省武汉· 3 分）如图．在△A BC 中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC的周长，则DE 的长是．【分析】延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作CN⊥AM 于 N，根据题意得到 ME=EB，根据三角形中位线定理得到AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出 AN，计算即可．【解答】解：延长BC 至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=A C•s in∠ACN=，∴AM=，∴DE=，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．7．（2018•北京•2 分） 右图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE ．（填“ >”，“ =”或“ <”） 【答案】>【解析】如下图所示，△AFG 是等腰直角三角形，∴ ∠FAG = ∠BAC = 45︒，∴ ∠BAC >∠DAE ．另：此题也可直接测量得到结果．【考点】等腰直角三角形8. （2018•江苏盐城•3 分）如图，在直角 中，，，，、分别为边 、上的两个动点，若要使 是等腰三角形且是直角三角形，则．16.【答案】 或G EBD FCAEBDCA【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：当△BPQ 是直角三角形时，有两种情况：∠B PQ=90 度，∠BQP=90 度。
2018年云南中考数学一轮复习课件-第4章第3节 等腰三角形与直角三角形
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1．(人教八下 P34 习题 17.2 第 1 题改编)下列各组线段中，不能 构成直角三角形的是( B ) A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝10，b＝24， c＝ 25 C．a＝4，b＝5，c＝ 41 D．a＝5，b＝12，c＝13
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4 ．( 北师八下 P31 例 3 改编)如图，AB ∥CD，∠CAB 与 ∠ACD 的平分线相交于 H 点，点 E 为 AC 的中点，若 EH ＝2 ，则 AC＝4.
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5．(人教八上 P83 第 14 题改编) 如图，点 M，N 是△ABC 的边 BC 上的两点，且 BM ＝MN＝NC＝AM＝AN，则∠BAN＝90.
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【名师提醒】在等腰三角形中， 要注意分情况讨论： 1． 当已知等腰三角形的一个内角时 ，通常需要按这个角是顶角或 底角两种情况进行讨论， 此时要注意等腰三角形的底角一定是锐角， 即在等腰三角形中 ，钝角只能是顶角． 2． 当已知等腰三角形的两边时， 要按照其中一条边是腰或者底边 两种情况进行讨论 ，此时要注意使用三角形的三边关系进行验证，底 边长一定小于腰长的 2 倍 ，否则不能构成三角形．
(4)当∠A 为顶角时，如错解，则∠BAC＝90°综上，∠BAC 的度数为 90°或 75°或 15°.
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2．(2017·淄博 )在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边 上的任意一点 ， 过点 D 分别作 DE⊥ AB， DF⊥ AC， 垂足分别 为 E ，F， 则 DE＋ DF＝ __2 3__.,易错点：未进行分类讨论 而出现错解或漏解 ⇨ 【错因分析】 题目中并没有指明 BC 是等腰△ABC 的底或 腰．当 BC 为底时， 可求得∠BAC＝ 90° ；当 BC 为腰时， 还 应对 ∠B 的大小进行讨论．
2018年数学中考第一轮复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形学案(无答案)
课题：等腰三角形与直角三角形课程标准：1.掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质及判定； 2.理解线段中垂线的性质及判定； 3.应用相关知识解决问题。
教学重点：掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质及判定。
教学难点：应用相关知识解决问题。
二、考点知识精讲：考点（一）等腰三角形、等边三角形的性质与判定例1．(1)如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，∠ABC ＝72°，则∠ABD ＝( ) A ．36° B ．54° C ．18° D ．64°(2)若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是( ) A ．12 B ．9 C ．12或9 D ．9或7（3）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，D 是BC 的中点．将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为________．考点（二）线段的垂直平分线例2（1）如图，在Rt ABC △中， 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 60(2)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交边AB 于D 点，交边AC 于E 点，若△ABC 与△EBC 的周长分别是40cm,24cm ，则AB ＝________cm.(3)如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高．得到下面四个结论：①OA ＝OD ；②AD ⊥EF ；③当∠A ＝90°时，四边形AEDF 是正方形；④AE 2＋DF 2＝AF 2＋DE 2.其中正确的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④ 考点三：直角三角形的性质与判定例3、（1）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（2）．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线．若AB ＝6，则点D 到AB 的距离是________．（3）．如图，有一矩形纸片ABCD ，AB ＝6，AD ＝8，将纸片折叠使AB 落在AD 边上，折痕为AE ，再将△ABE 以BE 为折痕向右折叠，AE 与CD 交于点F ，则 CFCD 的值是（ ）（4）如图，△ABC 中，AB ＝BC ，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD ＝45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF. (1)求证：BF ＝2AE ；(2)若CD ＝2，求AD 的长．A （1）B CD EAAABB B DCE DE CFD⎩⎩实战演练1如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为()A．35°B．45°C．55°D．60°2．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是()A．2 B．C．4 D．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为5．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是________cm.6．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是∠BAC的平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．7．已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为________．8．在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：PB＝PC，并直接写出图中其他相等的线段9．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米．10．如图，ACD△和BCE△都是等腰直角三角形，90ACD BCE AE∠=∠=°，交CD于点F BD，分别交CE AE、于点.G H、试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由.。
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课时28．等腰三角形与直角三角形
【课前热身】
1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．
2. 在△AB C中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_____°．
3．在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD＝BC＝AD．•则∠A等于（）A．30° B．36° C．45° D．72°
（第2题）（第3题）（第4题）
4．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）
A．30海里B．40海里 C．50海里 D．60海里
【考点链接】
一．等腰三角形的性质与判定：
1. 等腰三角形的两底角__________；
2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；
3. 有两个角相等的三角形是_________．
二．等边三角形的性质与判定：
1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；
2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．
三．直角三角形的性质与判定：
1. 直角三角形两锐角________．
2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．
3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；
4. 勾股定理：_________________________________________．
5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．
【典例精析】
例1 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
例2《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．•一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，•测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．
（1）试求该车从A点到B的平均速度；
（2）试说明该车是否超过限速．
【中考演练】
1．已知等腰三角形的一个底角为70 ，则它的顶角为____________．度．
2．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____．
3．如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前
有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是____________．
A
O B
东北
P D B A
（第3题）
4．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ． ⑴ 若∠BAC=30°，求证：AD =BD ；
⑵ 若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．
5． 如图，小明用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高，已知小明离 树的距离为4米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）。