fourier变换求解弦振动方程定解问题
10-Fourier变换及其应用
, 即(1.10)成立.由(1.10),
f ( x ) e
i x
1 2 1 2
dx d x i fˆ ( )
12
i
f ( x )e
i x
推论 7.1 则
若 f ( x ) f
m
(m )
( x ) L ( ) C ( )，
2
Fourier变换在线性偏微分方程, 特别是常系数线性偏 微分方程的研究中十分重要. 它对求解各种数学物理方程具 有普遍意义. 这一章我们将系统地介绍Fourier变换的基本 知识及其运算性质. 最后利用Fourier变换及其逆变换求解
某些典型数学物理方程的定解问题.
3
在学习常微分方程的求解时, 我们介绍过 Laplace变换, 它将一个常系数的线性常微分方程的 求解转化为求解函数方程及对该函数方程的解实施 Laplace变换的逆运算. 那么是否有其它形式的积分 变换, 能将常系数的线性偏微分方程, 特别是三类 典型的数学物理方程的求解变得简单呢？这就是我 们下面将要介绍的Fourier变换。
g
f
L
1
故 f g L1 ( )
17
再由Fubini定理
( f g)
1 2 1 2
e
i x
dx
f ( x y ) g ( y )dy
g ( y )e
i y
dy
f ( x y )e
i ( x y )
定理证毕.
8
公式(1.2)称为反演公式. 左端的积分表示取Cauchy主值.由此所定
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
弦振动方程的导出与定解条件
弦的一端的运动规律已知， 以
为例，若以
表示其运动规律，则边界条件可以表达为
特别的，若
非齐次边界 条件
端被固定，则相应的边界条件为
u |x0 0.
齐次边界条件
20
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
若弦的一端（例如
）在垂直于 x 轴的直线
上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界
成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方
1、购买练习册（以小班为单位购买） 时间：本周三到周六早上8：00-12：00 下午2:00-5:30 地点：科技楼602(应用数学系办公室)
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩： 平时成绩:30%（考勤+作业） 卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
4
3.弦在某一平面内作微小横振动 即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位 置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该 直线的方向上作微小振动。（“微小”是指 弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很 小） 我们将在上述假定下来导出弦振动方程。 先讨论振动过程中不受外力作用时弦 振动的情形
5
为此，选择坐标系如下
2
lx
这个方程称为弦的自由横振动方程。
15
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于
轴，
设其力密度为
由于弦段
其上各点处的外力近似相等，
很小，
因此作用在该段上的外力近似地等于
16
u
1
M1 M2
弦振动方程的导出与定解条件
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩： 平时成绩:30%（考勤+作业） 卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
在考察弦振动问题时的基本假设为：
1.弦是均匀的，弦的截面直径与弦的长度
相比可以忽略，弦的线密度 是常数。
2.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲， 弦上各点所受的张力方向与弦的切线方向一 致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克
（Hooke）定律。（即指在弹性限度内， 物体的形变跟引起形变的外力成正比）
分量的代数和为
T0 sin 2 T0 sin 1 T0 (sin 2 sin 1).
由于小振动：
u u T0[ x |x2 x |x1 ]
sin 2
tan2
u x
|x2 ,
sin 1
tan1
u x
| x1 ,
12
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
应用微分中值定理：
T0
[
u x
|x2
接下来, 我们只须说明张力与位置 x 无关
9
u
M2
T2
1
M1
T1
O x1 x2
2
lx
我们分别把在点 M1, M2 处的张力记作 T1, T2, 由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点
M1, M2 处的切线方向。
由假定，弦只作横向振动，因此张力在
数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第五章 Fourier 变换法§5 . 0 引言在数学中，为将较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用变换手段。
如数量的乘积或商可以通过对数变成对数的解或差，，而得原来数量的乘积或商。
（实质是将乘除运算（复杂）——加减运算（简单）），再如解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换等均如此。
所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，一般是含有参变量x 的积分()()(),baF f t k t dt αα=⎰实质是将某函数类A 中的函数f 通过上述积分运算变成另一类函数类B 中的函数()F α ，这里(),k t α 是一个确定的二之函数，称为积分变换的核。
选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的变换，如(),i t k t e ωα-=积分域()(),,a b =-∞∞则 ()()i t F f t dt e ωω∞--∞=⎰（ω为实变量）------------Fourier 变换(),i t k t e ωα-= 积分域()(),0,a b =∞则()()0tF f t dt e σσ∞-=⎰ （σ为实变量）-------------Laplace 变换()f t 称为象原函数，()F α称为()f t 的象函数，一定条件下，它们是一一对应的，而变换是可逆的。
积分变换可用来求解方程（如微分方程）。
原方程中直接求未知数有困难或较复杂时，则可求它的某种积分变换的象函数，然后再由求得的像函数去找原函数。
这种变换的选择应当使得由原来函数的方程经变换得到象函数的方程，易求解。
积分变换的理论和方法在所有科学和各种工程技术中有广泛的应用，我们重点学习Fourier 变换和Laplace 变换。
§5 . 1 Fourier 级数，积分和Fourier 变5 .1 .0 引言研究一个比较复杂的函数时，往往是将它化作一些简单函数的叠加即展开成无穷级数，再利用无穷级数的积分去近似代替它。
Fourier级数解法
由于（1）中的方程和边值条件（2）均为齐次的，由叠加原理知
nat nat n u( x , t ) un ( x , t ) An cos Bn sin sin x （8） l l l n 1 n 1
我们需求该问题的非平凡解
( 2) ( 3) ( 4)
将(2)分离变量，有
等式两边分别是不同变量的表达式，只有 当它们都为常数时才有可能相等．
T ( t ) X "( x) , 2 a T (t ) X ( x)
其中为常数. 于是我们得到两个常微分方程：
X ( x ) X ( x ) 0 (5)
ut a 2u xx
u |x 0 u |x L 0
u T (t ) X ( x )
T ' /(a 2T ) X " / X
X (0) X ( L) 0
T 'a 2 w2T 0
T A exp(a 2 w2t )
X "w2 X 0
X sin x, kL
n 0
( 2n 1)a ( 2n 1)a ( 2n 1) a n cos t bn sin t sin x. 2l 2l 2l n 0
由初始条件 2 l ( 2n 1) 2 a n ( x 2lx ) s in xdx 0 l 2l 32l 2 , 3 3 ( 2n 1) 4 bn ( 2n 1)a
的解。
分离变量法
许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出 现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生 的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理。 在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的
Fourier变换的几何意义及其应用技巧
Fourier变换的几何意义及其应用技巧Fourier变换是一种基础的数学工具，有着广泛的应用。
在工程学、物理学以及数学中，它常常被用于分析周期函数讯号。
但是，对于许多人来说，这一概念仍然有些抽象。
本文将讨论Fourier变换的几何意义及其应用技巧，帮助读者更好地理解这一数学工具。
一、Fourier变换的物理意义在物理学中，Fourier变换是一种解析周期函数讯号的工具，它代表了周期函数讯号中各个频率对应的振幅。
一个周期性信号可以被表示为若干个正弦和余弦函数相加的形式，这些正弦和余弦函数被称为基本频率。
基本频率可以依次加起来，通过线性组合就能表示出任何类型的周期性信号。
设一个长度为L、周期为T的函数为f(x)，它可以表示为以下形式：f(x) = a0/2 + Σa_n cos(nπx/L) + Σb_n sin(nπx/L)其中，a0/2表示频率为0的项，a_n为正弦项的系数，b_n为余弦项的系数。
如果将每个频率对应的振幅看做一个向量的话，那么这些向量可以组成一个向量空间。
以周期函数讯号为例，这个向量空间可以被看作是起始点位于原点的一堆向量。
它们的长度代表了对应频率的振幅，从而可以捕捉到周期性信号的变化。
这个向量空间被称为Fourier空间。
二、Fourier变换的几何意义得到频域上的向量空间之后，我们就可以进行Fourier变换了。
实际上，这个变换可以被视为将周期性信号从时间域转化为频域的过程。
在Fourier变换中，我们称原始周期函数讯号的向量空间为时域，而将其转换后得到的向量空间为频域。
也就是说，时域和频域是相互对应的。
每一个频率都对应着一个向量空间，它们在Fourier变换中是互相独立的。
这意味着我们可以在这些向量空间之间任意转化，而不会影响它在其他向量空间中的表示。
为了更好地理解Fourier变换的几何意义，我们可以从以下两个方面来考虑：1. 旋转变换在二维空间中，我们可以通过旋转来改变一个向量的表示。
数理方程与特殊函数(钟尔杰)5齐次弦振动方程的分离变量法
u( x, t )=T(t)·X(x)
将 utt = T”X, uxx = T X” 代入波动方程
3/16
utt = a2 uxx
T X a 2T X
常微分方程
T”(t) X(x) = a2T(t) X”(x)
T a 2T
X X
T a2T 0 X X 0
n1
u( x,0) Cn sin(n x) Cn sin(n x) ( x)
n1
n1
ut ( x,0) (n )Dn sin(n x) Dn = 0
n1
1
Cn
2
( x)sin(n
0
x)dx
4/7
[cos(7 n) x cos(7 n) x]dx 3/7
(1)通解:
X Ae x Be x
边界条件: X(0) = 0 X(L) = 0
A B 0 Ae L Be L 0
A[e L e L ] 0
A=–B=0
0 时固有值问题只有零解
5/16
(2) 0
X X 0, 0 x L
u(x, t) = cos t sin x
2/16
齐次波动方程分离变量方法
其中
utt a2uxx , (0 x L, t 0) u x0 0, u xL 0
u t0 ( x),ut t0 ( x)
( x), ( x) 是已知函数
设问题的解 u( x, t )可以按自变量分离
例3 设 a2=10000
uuttx
Fourier 变换的应用
2
显然有 | F ( ) || F ( ) | .
例. 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图.
单个矩形脉冲函数为:
E f (t ) 0
t 2 其他
E
F ( )
f (t ) e i t d t 2 E e it d t
2
/2
0 0
1 sin [cos(1 )t cos(1 )t ]dt , 0. 2 2 0 1
例3 求微分积分方程
ax(t ) bx(t ) c x(t ) d t h(t ) 的解,
t
其中< t <+, 且当 t 时, g (t )
振幅 An 和频率 ( n n ) 的关系图称为频谱 图. 由于 是不连续的, 也称之为离散频谱.
2、非周期函数的频谱 在频谱分析中, 傅氏变换F ()又称为f (t )的频谱 函数, 而它的模|F ()|称为f (t )的振幅频谱(亦简称为 频谱). |F ()| 和 的关系图称为f (t )的频谱图.由于 是连续变化的, 我们称之为连续频谱.
因为 F ( )
f (t ) e i t d t f ( t ) cos t d t i
2
所以 | F ( ) |
f ( t ) sin t d t
f (t ) cos t d t
f (t ) sin t d t
再取傅氏逆变换得
1 x (t ) 2
1 2
《偏微分方程教程》第七章Fourier变换及其应用
Dirchlet条件
周期函数的Fourier级数在端点处是连续的。
性质
Fourier级数具有线性性、对称性、移位性和调 和加性。
非周期函数的Fourier级数展开
Fourier变换
将非周期函数分解成基于正弦 和余弦的无限个正交波形。
能量守恒
在Fourier变换中，能量守恒定 律得到了保持。
傅里叶级数与变换的 关系
二维Fourier级数及其应用
1
定义
将二维函数展开成正弦和余弦波形的无限和。
2
图像压缩
可以将图像压缩得更小，同时保留大部分信息。
3
图像恢复
可用于提高模糊、摩尔纹、或者断点故障图像的质量。
离散Fourier变换的定义
定义
将N个数字序列分解成N个基于正弦和余弦的离散波形。
性质
具有线性性、对称性、移位性和调和加性。
3
物理
波动方程和热传导方程的解法。
梯度、散度和拉普拉斯算子
梯度
表示函数在某点沿着某一方向 的变化率。
散度
表示向量场在某一点产生的流 量。
拉普拉斯算子
表示标量函数在某一点的曲率。
泊松方程和调和函数
定义
描述了在给定边界条件下，标量函数的分布状态。
定义
调和函数是在空间内部没有极值的光滑函数。
简谐振动和傅里叶级数
频谱分析
拆分复杂信号成为单频测量的 方法。
信号滤波
消除信号中的噪声，以及降低 信号中频率的影响。
瞬时频率估计
用于分析信号的瞬时频率变化， 例如Émile Durkheim的电子脉冲 脑。
图像处理中的Fourier变换
对称性滤波
基于傅里叶域的提取，消除 了图像中的对称噪声。
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一、引言
在物理学和工程学中，弦振动方程是一个重要且常见的定解问题，它描述了弹性绳或弦体在一定条件下的振动现象。
而Fourier变换则是一种有效的数学工具，能够帮助我们求解这类定解问题。
本文将对Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中的应用进行深入探讨。
二、弦振动方程的描述
弦振动方程是描述弦体在振动过程中的运动规律的数学模型。
假设一根质量可忽略不计的均匀弹性绳，长度为L，固定在两端，并且在t=0时刻有初始位移和初速度，那么弦振动方程可以描述为：
∂^2y/∂t^2 = c^2 * (∂^2y/∂x^2)
其中，y(x,t)是弦的位移函数，c是振动速度。
三、Fourier变换在弦振动方程中的应用
1. Fourier级数展开
为了求解弦振动方程的定解问题，我们首先可以利用Fourier级数展开的方法，将位移函数y(x,t)进行分解。
假设y(x,t)可写为一个无穷级数的形式：
y(x,t) = Σ(A_n * sin(nπx/L) * cos(ω_nt + φ_n))
其中，A_n、φ_n是待定系数，ω_n是频率参数。
将y(x,t)代入弦振动方程，经过计算和比较系数，可以得到A_n和φ_n的表达式。
这样，我们就成功地利用Fourier级数展开解决了弦振动方程的定解问题。
2. Fourier变换
除了Fourier级数展开，Fourier变换也是另一种有效的方法，能够帮助我们求解弦振动方程。
利用Fourier变换的性质和定理，我们可以将原始的弦振动方程转化为一个更加简单的形式，例如常微分方程或偏微分方程。
进而，我们可以更方便地对方程进行求解。
通过逆Fourier变换，我们最终可以得到弦振动问题的解析解，为实际问题的分析和应用提供了重要的理论支持。
四、个人观点和理解
在我看来，Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中具有非常重要的作用。
它能够将原始的复杂问题转化为更简单的形式，从而减少了求解难度。
Fourier变换也能将原始问题的解析解表达为一种更加优美和清晰的数学形式，有利于我们深入理解弦振动问题的本质。
我认为掌握Fourier变换在弦振动方程中的应用是非常重要的，对于物理学和工程学领域的学习和研究都具有重要的意义。
五、总结
通过本文对Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中的应用进行了深入探讨，我们能够更深入地理解和掌握这一重要的数学工具。
本文
首先介绍了弦振动方程的描述和Fourier变换的基本概念，接着详细讨论了Fourier级数展开和Fourier变换在弦振动方程中的具体应用方法。
本文共享了个人的观点和理解，强调了Fourier变换的重要性。
相信通过本文的阅读，读者能够对Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中的应用有更加全面、深刻和灵活的理解。
在本文章中让读者通过精心构思、分析、撰写而不断深入地思考文章内容，具有深度和广度的内容是每一篇有价值文章所必备的。
希望在我指导下，你可以撰写出一篇符合要求的优质中文文章，达到你所期望的效果。
关于弦振动方程和Fourier变换的应用在物理学和工程学中具有广泛的实际应用。
不仅可以用于解决理论问题，还可以应用于各种领域的工程实践中，例如声学、光学、电磁学等领域。
在声学中，弦振动方程和Fourier变换的应用非常广泛，特别是在音乐和乐器制作中。
通过对弦振动方程的分析，可以更好地理解不同乐器的音色产生机制，从而设计出更加优质的乐器。
在音频处理领域，Fourier变换也被广泛应用于音频的压缩、滤波和特征提取等方面，为音频处理技术的发展提供了重要的数学基础。
在光学领域，Fourier变换的应用同样非常重要。
在光学成像中，Fourier变换可以帮助我们对光学信号进行分析和处理，从而提高成像质量和分辨率。
在光学通信中，Fourier变换也被广泛应用于光信号的调制和解调过程，为光通信技术的发展做出了重要贡献。
在电磁学领域，弦振动方程和Fourier变换的应用同样不可或缺。
在天线设计和电磁波传播中，我们可以利用Fourier变换对电磁信号进行分析和处理，从而提高通信系统的性能和可靠性。
电磁场的分布和辐射也可以通过弦振动方程和Fourier变换进行精确的建模和分析，为电磁学理论研究提供了重要的数学工具和方法。
弦振动方程和Fourier变换在物理学和工程学中的应用具有广泛的实际意义和价值。
通过对这些数学工具的深入理解和应用，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，推动相关领域的发展和进步。
希望本文的内容能够对读者有所帮助，激发更多人对物理学和工程学的兴趣和热情，共同推动科学技术的创新和发展。