北师大高中数学选择性必修第一册2.1.2第1课时 椭圆的简单几何性质【课件】
高中数学选择性必修一精讲精炼 1 椭圆的简单几何性质(精讲)(教师含解析)
3.1.2 椭圆的简单几何性质(精讲)
思维导图
考点一 离心率
【例1】(1)(2021·四川高二期末(文))椭圆222210xyabab的左右焦点分别是1F，2F，以2F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线1PF恰好与圆2F相切于点P，则椭圆的离心率为( )．
A．22 B．312 C．31 D．512
(2)(2021·黄冈天有高级中学高二月考)已知12,FF是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,AB两点，若2ABF是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )
A．32 B．22 C．21 D．2
【答案】(1)C(2)C
【解析】(1)由题意2PFc，12PFPF，所以22221122(2)3PFFFPFccc，
所以1232PFPFcca，所以离心率为23131cea．故选：C．
(2)不妨设椭圆方程为222210xyabab，焦点12,0,,0FcFc，离心率为e， 常见考法 将xc代入22221cyab可得2bya，所以22bABa,
又2ABF是等腰直角三角形，所以212224bABFFca，
所以22bca即2220caac，所以2210ee，解得21e(负值舍去).
故选：C.
【一隅三反】
1．(2021·河北石家庄二中高一期末)若焦点在x轴上的椭圆 22116xym的离心率为32，则m
A．31 B．28 C．25 D．23
【答案】D
【解析】焦点在x轴上，所以221,6amb
所以2165cmm
离心率32e ，所以2225314cmeam
解方程得m=23
所以选D
2．(2021·江苏高二期末)设1F，2F为椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，点P在C上，且1122,,PFFFPF成等比数列，则C的离心率的最大值为( )
312 椭圆的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
3.1.2椭圆的简单几何性质
（基础知识+基本题型）
知识点一椭圆的范围以椭圆22
221(0)xy
ab
ab为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)xy都适合不等式22
221,1xy
ab，即2222,xayb，所以||,||xayb．
这说明椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框内（如图2．2-8）．
拓展
（1）确定了曲线的范围后，用描点法作图时，就可以不取范围之外的点了，在解析几
何中，讨论曲线的范围就是确定方程中变量的取值范围．（2）如果将椭圆的标准方程22
221(0)xy
ab
ab变形为22b
yax
a，那么这个椭圆的方程可以分成22b
yax
a，22b
yax
a两个函数式，研究椭圆的范围，就是讨论这两个函数的定义域和值域，这也是讨论椭圆范围的一种方法．
知识点二椭圆的对称性以椭圆22
221(0)xy
ab
ab为例．
1．椭圆的对称轴：坐标轴．
2．椭圆的对称中心：原点(0,0)O，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．
提示：（1）在方程22
221(0)xy
ab
ab中，将x换成x，方程显然不变，这就是说椭圆上的
点(,)xy关于y轴的对称点(,)xy也在椭圆上，故椭圆关于y轴对称；将方程中的y换成y
，方程也不变，故椭圆关于x轴对称；同理，将,xy分别换成,xy时，方程也不变，故椭圆
关于原点对称．
（2）椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及它的垂直平分线．
（3）椭圆关于x轴、y轴成轴对称，关于原点成中心对称，原点为椭圆的中心．
知识点三椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22
221(0)xy
ab
ab为例．
1．椭圆的顶点
令0x，得yb，令0y，得xa．
这说明12(,0),(,0)AaAa是椭圆与x轴的两个交点，
1(0,)Bb，
2(0,)Bb是椭圆与y的两
个交点，因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点．这四个交点
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第1课时)》教学设计
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2.1.2椭圆的简单几何性质（第1课时）
一、教学目标
核心素养
发展直观想象、 逻辑推理 、数据分析素养
学习目标
（1）掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.
（2）明确椭圆中,,,abce的几何意义，以及,,,abce之间的相互关系.
（3）能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题.
学习重点
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质
学习难点
椭圆离心率的概念的理解及椭圆的几何性质的综合应用
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1
预习教材3739PP ，思考椭圆上的点,xy的的取值范围？ 椭圆具有怎样的对称性？与数轴的交点是什么？
任务2
完成41P的练习5，思考椭圆的扁平程度与那些量有关？
2．预习自测
1. 椭圆22259225xy的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）
A．5，3，0.8
B．10，6，0.8
C．5，3，0.6
D．10，6，0.6．
答案：B
解析：椭圆的几何性质 2 / 19
2. 椭圆2266xy的长轴的端点坐标是（ ）
A．（－1，0）、（1，0）
B．（－6，0）、（6，0）
C．(6,0)、(6,0)
D．(0,6)、(0,6)．
答案：D
解析：椭圆的几何性质
（二）课堂设计
1.知识回顾
（1）椭圆的定义：平面内点M到两定点12,FF的距离和为常数，即122MFMFa,当122aFF时，点M的轨迹是椭圆
（2）椭圆的标准方程：焦点在x轴上的椭圆标准方程为__222210xyabab__
焦点在y轴上的椭圆标准方程为__222210yxabab__
其中a，b，c的关系为____ 222abc_____.
（3）,Pxy关于原点对称的点1,Pxy，,Pxy关于x轴对称的点2,Pxy，
,Pxy关于y轴对称的点3,Pxy
高二数学选修2-1 第三章 第1节 椭圆北师大版(理)知识精讲
word 1 / 10 高二数学选修2－1 第三章 第1节 椭圆北师大版（理）
【本讲教育信息】
一、教学内容：
选修2—1 椭圆的标准方程及其几何性质
二、教学目标：
1、熟练地掌握椭圆的定义及标准方程的形式，能根据已知条件求出椭圆的标准方程。
2、掌握椭圆简单的几何性质，理解椭圆的准线、离心率、焦点，定义椭圆的方法及椭圆的参数方程的应用。
3、理解用方程的思想、函数的思想、数与形结合、分类讨论的思想及参数法、待定系数法等数学思想方法解决椭圆的有关问题。
三、知识要点分析：
（一）椭圆的基本概念
1、椭圆的第一定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合叫椭圆。
点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|}
（1）到两个定点F1，F2的距离之和等于|F1F2｜的点的集合是线段F1F2.
（2）到两个定点F1，F2的距离之和小于｜F1F2｜的点的集合是空集。
椭圆的第二定义：平面内一动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数e的点的集合叫椭圆。
点集M={P｜}1e0,ed|PF|
2、椭圆的标准方程：
)0(,12222babyax（焦点在x轴上），22221cba).0,c(F),0,c(F
)0(,12222baaybx（焦点在y轴上），22221cba).c,0(F),c,0(F
3、点),(00yxP与椭圆)0ba(1byax2222的位置关系。
点1byax)0ba(1byax)y,x(P220220222200内部在椭圆
点1byax)0ba(1byax)y,x(P220220222200上在椭圆 word
2 / 10 点1byax)0ba(1byax)y,x(P220220222200外部在椭圆
4、椭圆的参数方程：椭圆12222byax上任意一点P（x，y），则Rbyax,sincos
第2章 2.5.2 椭圆的几何性质高中数学选择性必修第一册讲义
2.5.2 椭圆的几何性质
学
习 目 标 核 心 素 养
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点) 通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象，数学运算素养．
奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)．所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)
图形
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
范围 x∈[－a，a]，
y∈[－b，b] x∈[－b，b]，
y∈[－a，a]
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝ca(0＜e＜1)
思考1：椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？
[提示] 最大距离：a＋c；最小距离：a－c．
思考2：椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？
[提示] 在方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a． ( )
椭圆的简单几何性质(第2课时)高中数学获奖教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）
(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)
一、教学目标
1.掌握椭圆的第二定义；
2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.
二、教学重难点
1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；
2.研究椭圆几何性质的思路与方法.
三、教学过程
1.复习巩固
活动：完成下表
【活动预设】由学生完成上表
【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质.
2.课堂探究
2.1 探究1
活动：已知椭圆𝐸:𝑥216+𝑦212=1，𝐹
1、𝐹
2分别为椭圆𝐸的左、右焦点. 𝑃为椭圆𝐸上一动点，
𝑂为坐标原点.探究：当𝑃在何位置时，|𝑂𝑃|最小？𝑃又在何位置时，|𝑂𝑃|最大？
【活动预设】由学生自主完成
问题1：如果椭圆方程变为一般方程：𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，结论又会如何呢？
【预设的答案】当𝑃在短轴顶点时，|𝑂𝑃|
𝑚𝑖𝑛=𝑏；当𝑃在长轴顶点时，|𝑂𝑃|
𝑚𝑎𝑥=𝑎.
【设计意图】渗透从特殊到一般的思想
2.2 探究2
活动：已知椭圆𝐸:𝑥216+𝑦212=1，𝐹
1、𝐹
2分别为椭圆𝐸的左、右焦点. 𝑃为椭圆𝐸上一动点.
探究：当𝑃在何位置时，|𝑃𝐹
1|最小？𝑃又在何位置时，|𝑃𝐹
1|最大？
【活动预设】由学生自主完成
问题2：上述|𝑃𝐹1|=12|𝑥0+8|，|𝑥0+8|有什么几何意义？
【预设的答案】代表𝑃(𝑥
0,𝑦
0)到直线𝑥=−8的距离
【设计意图】渗透数形结合的思想
问题3：也就是说|𝑃𝐹
1|=12|𝑃𝑀|，椭圆上任意一点𝑃(𝑥
0,𝑦
0)，它到左焦点的距离和它到直
线𝑥=−8的距离之比为常数12，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一
般情况：已知椭圆𝐸:𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，𝐹
1、𝐹
第5节 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析
2025年高考数学复习讲义及练习解析
1第五节椭圆
第1课时椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质课标解读考向预测
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、
顶点、离心率).
3.掌握椭圆的简单应用.近三年高考中，以选择题、填空题、解答题
的形式考查了椭圆的定义、标准方程及简单
几何性质，难度中档．预计2025年高考会保
持不变，继续考查椭圆的定义、标准方程及
简单几何性质.
必备知识——强基础1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于01
常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两
个定点叫做椭圆的02
焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的03
焦距．
2．椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上
图形
标准方程x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0)
范围04－a≤x≤a且－b≤y≤b05
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点06A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－
b)，B2(0，b)07A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，
0)，B2(b，0)
轴长短轴长为082b，长轴长为092a
焦点10F1(－c，0)，F2(c，0)11F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距|F1F2|＝122c2025年高考数学复习讲义及练习解析
2
对称性对称轴：13x轴和y轴，对称中心：14
原点
离心率e＝c
a(0
a，b，c的关
系15a2＝b2＋c2
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．
(2)S△F1PF2＝1
2|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tanθ
2＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|
22
＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
3.1.2 椭圆的简单几何性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步练习
椭圆的简单几何性质同步练习
一、选择题
1. 已知有相同两焦点𝐹1、𝐹2的椭圆𝑥2𝑚+𝑦2=1(𝑚>1)和双曲线𝑥2𝑛−𝑦2=1(𝑛>0)，P是它们的一个交点，则△𝐹1𝑃𝐹2的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 随m，n变化而变化
2. 已知椭圆：𝑥24+𝑦22=1，过点𝑀(1,1)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为( )
A. 𝑥+2𝑦−3=0 B. 2𝑥+𝑦−3=0 C. 𝑥+𝑦−2=0 D. 2𝑥−𝑦+1=0
3. 若过椭圆𝑥216+𝑦24=1内一点𝑃(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为( )
A. 3𝑥+4𝑦−13=0 B. 3𝑥−4𝑦−5=0
C. 4𝑥+3𝑦−15=0 D. 4𝑥−3𝑦−9=0
4. 已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的一个焦点是圆𝑥2+𝑦2−6𝑥+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A. (−3,0) B. (−4,0) C. (−10,0) D. (−5,0)
5. 我们把由半椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑥≥0)与半椭圆𝑦2𝑏2+𝑥2𝑐2=1(𝑥<0)合成的曲线称作“果圆”(其中𝑎2=𝑏2+𝑐2，𝑎>𝑏>𝑐>0).如图，设点𝐹0，𝐹1，𝐹2是相应椭圆的焦点，𝐴1、𝐴2和𝐵1、𝐵2是“果圆”与x，y轴的交点，若△𝐹0𝐹1𝐹2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
A. 5，4 B. √3，1 C. 5，3 D. √72，1 6. 如图，𝐹1𝐹2分别为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的左右焦点，点P在椭圆上，△𝑃𝑂𝐹2的面积为√3的正三角形，则𝑏2的值为（
）
A.
√3