高中数学新课标人教A版选修2-1：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 课件(共17张ppt)
x y （a ＞b ＞0 ） 2 =1 2 a b
y
B2(0,b)
2
2
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
o
B1(0,-b)
A2 (a, 0)
x
长轴：线段A1A2； 短轴：线段B1B2； 注意
长轴长 短轴长 焦 距
|A1A2|=2a. |B1B2|=2b. |F1F2|=2c.
2.2几何性质
如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形
纸板制作成一个最大的椭圆呢？
长方形
8cm
10cm
1.熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点， 离心率）.（重点） 2.理解离心率的大小对椭圆形状的影响.（重点） 3.通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何 性质，进一步体会数形结合的思想.（难点）
c 当 e 1, c a , a a c 0, 椭圆 扁 c 当 e 0, c 0, a
2 2
a
b
b
O
c
●
x
a
b
a 2 c 2 a , 椭圆 圆
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重 合，图形变为圆．
离心率越大，椭圆越扁 离心率越小，椭圆越圆
【提升总结】焦点在ｙ轴上的椭圆的几何性质又如何呢？
M(x,-y)
原点是椭圆的对称中心，又叫做椭圆的中心.
想一想:椭圆的对称轴一定是ｘ轴和ｙ轴吗？对称中 心一定是原点吗？
y
F1
o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴：
椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为： A1(－a，0)，A2(a，0)，
A1 (-a, 0)
点之间的距离为
4 6 3
x2 y2 2.（2012·江西高考）椭圆 2 2 1( a b 0) 的 a b
左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2.若
5 F1 F2 ， AF1 ， F1 B 成等比数列，则此椭圆的离心率为____. 5
3.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点 坐标，顶点坐标．
2 2
一个框，四个点，
注意光滑和圆扁,
莫忘对称要体现．
A1 (-a, 0)
Ｏ
A2 (a, 0)
x
B1(0,-b)
追赶时间的人，生活就会宠爱他；
放弃时间的人，生活就会冷落他.
我们的新课讲到这里，前面提出的问题就可以
解决了！
x 2 y2 1 25 16
y 4 3 2 1
O
-5
-4 -3 -2 -1 0
1 2 3 4 -1 -2 -3
-4
5
x 8cm
10cm
1.（2013·上海高考）设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且 CBA
4
.若 AB=4，BC= 2 ，则 的两个焦 .
椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10, 2b 8,
离心率
e
c 3 ， a 5
两个焦点坐标分别为
F1 3,0 , F2 3,0 ,
四个顶点坐标分别为
A1 (5,0), A 2 (5,0), B1 (0, 4), B2 (0, 4).
【提升总结】 基本量：a，b，c，e（共四个量）. 基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）.
B2(0,b)
y
①a和b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长；
A1 (-a, 0) F1
b
a
o
c F 2
A2 (a, 0)
x
②a2=b2+c2，|B2F2|=a；
③焦点必在长轴上.
B1(0,-b)
4.离心率： c 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率,用e a c y 表示，即 e .
因为a>c>0， 所以0 < e <1.
B2 y
A2 F2 B2 y
图 形
A1
F1 O B1
F2
A2 x
B1
O
F1
A1
x
方 程 范 围
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y2 x2 2 1( a b 0 ) 2 a b
|x| a |y| b
|x| b
|y| a
对称性
焦 点
关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) (b,0)、(0,a)
3 2 ，
16
4
2
y x 1， 故可得长轴长 (2)已知方程化为标准方程为 81 9
焦点坐标为（0, 6 2），顶点坐标（0,〒9），（〒3,0）.
1.(2014·广东高考)用曲线的图形和方程
x y 2 1( a b 0) 来研究椭圆的简单几何性质 2 a b y
B2(0,b)
顶 点
离心率
(a,0)、(0,b)
c e= ( 0 < e < 1 ) a
例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点的坐标． 解：把已知方程化成标准方程
x2 y2 2 1， 2 5 4
于是 a 5 , b 4 , c
25 16 3 .
探究点1 椭圆的简单几何性质 椭圆的标准方程是什么？
A1 x y 2 1( a b 0) F1 2 a b 2 x y2 1.范围： 由 2 1, 2 1，得： b a
2 2
y
B2
b
a
F2
o c
B1
A2
x
-a≤x≤a, -b≤y≤b 故椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中.
x 4y 16. （１） （２） 9x 2 y 2 81. x2 y2 【解析】 （1）已知方程化为标准方程为 + = 1，
2 2
故可得长轴长为8，短轴长为4，离心率为 3 ，
焦点坐标为（ 2 3 , 0） ，顶点坐标（〒4,0），(0,〒2). 2 2 为18，短轴长为6，离心率为 2
2.椭圆的对称性： x 2
x -x y 换成 -y -x， 在方程中，把 x
方程不变，说明： 椭圆关于 y 轴对称； 椭圆关于 x 轴对称； 椭圆关于 (0,0)点对称； 坐标轴是椭圆的对称轴，
y2 2 1( a b 0) 2 a b
y
Q(-x,y) o N(-x,-y) P(x,y) x
人教新课标版数学高二高二数学新人教版选修2-1导学案 椭圆的简单几何性质(一)
椭圆的简单几何性质(一)导学案【学习要求】1．理解椭圆的简单几何性质.2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.【学法指导】通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.【知识要点】1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：对称中心：离心率e＝ca∈准线2．离心率的作用当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆.【问题探究】探究点一 椭圆的简单几何性质问题1 观察椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？问题2 如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？问题3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？问题4 （1）b a 或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ （2）你能运用三角函数的知识解释：为什么e ＝c a 越大，椭圆越扁？e ＝c a越小，椭圆越圆吗？问题5 比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？（1）4x 2＋9y 2＝36与x 225＋y 220＝1； （2）9x 2＋4y 2＝36与x 212＋y 216＝1.例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 跟踪训练1 已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.探究点二 由椭圆的几何性质求方程例2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23； （2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).探究点三 求椭圆的离心率例3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率.跟踪训练3 如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( )A ．－1＋52B ．5－1C ．2＋12D ．2＋1【当堂检测】1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6 2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是 ( )A ．x 2144＋y 2128＝1 B ．x 236＋y 220＝1 C ．x 232＋y 236＝1 D ．x 236＋y 232＝1 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )A ．45B ．35C ．25D ．154．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为______.【课堂小结】1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a 、b .2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.3．求离心率e 时，注意方程思想的运用.【拓展提高】1．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 24＝1C ．x 216＋y 212＝1D ．x 216＋y 23＝1 2．椭圆1145222=++a y a x 的焦点在x 轴上，则它离心率的取值范围是 3．椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅ 的最大值的取值范围是[2c 2，3c2]，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33 B．[C ．D ．11[,)32 4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为B A 、，右焦点是F ，过F 作直线与长轴垂直，与椭圆交于Q P 、两点（1）若060=∠PBF ，求椭圆的离心率（2）求证：APB ∠一定为钝角5．在平面直角坐标系内，已知点)0,2()0,2(-B A 、，P 是平面内一动点，直线PB PA 、的斜率之积为43- （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）过点)0,21(作直线l 与轨迹C 交于F E 、两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围。
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
椭圆的简单几何性质(第1课时)(课件)高二数学同步备课(人教A版2019选修一)
)
3
的离心率为 2 ，则m=(
)
D．23
【做一做3】在Rt ∆中， = = 1，如果一个椭圆通过A､B两点，它的一个焦点为点C，
另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率e=（
A． 3 − 2
B． 2 − 1
C． 3 − 1
）
D． 6 − 3
（三）典型例题
1.利用椭圆的方程研究几何性质
+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
2 = 5 × 2
=5
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1；
25
=5
=1
2
若焦点在y轴上，设其标准方程为 2
+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
y2
2 = 5 × 2
= 25
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为25 + 625＝1.
1．通过观察图象，你发现椭圆C1、椭圆C2上的点的坐标的范围是怎样的？
[提示] 椭圆C1上的点：－5≤x≤5，－4≤y≤4.椭圆C2上的点：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
2
2.椭圆2
+
y2
=1(a>b>0)上任意一点P(x，y)满足方程，则另一点P1(－x，y)也满足方程．这说明椭圆
2
的图形有什么性质，类似地还有什么性质？
②形象记忆：0<e<1，e越趋向于1越扁，形如一；
e越趋向于0越圆，形如O.
（二）椭圆的简单几何性质
2
【做一做1】已知椭圆C:2
1
A.3
B.
人教版A版高中数学选修2-12.2.2 椭圆的简单几何性质(1)
A1
F1
a
y B2
b
o
B1 b
F2
A2
ax
5
新知探究：
练习1.根据前面所学有关知识在同一坐标系中画出下列图形.
（1）
x2 16
y2 9
1
y
（2） x 2 y 2 1
4 B2
3
16 4
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2O-1-1 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
B1
a保持不变时，b的大小决定椭圆的扁平程度
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
y
B2 (0,b)
(-a，0)
A1 F1
o
(a，0)
F2 A2 x
B1 (0,-b)
2019/9/26 4
新知探究：
三、椭圆的范围：
a x a, b y b.
结论：椭圆落在直线 x a, y b 围成的矩形框中
2019/9/26
(0, c)
长半轴长为a长，半短半轴轴长长为为ab，长短半半轴轴长长为a为，b短半轴长为b
焦距为2c
焦距为2c 焦距为2c
a2 b2 c2 a2 b2 ac2 2 b2 c2
e c a
(0
eeac1) (0
e
e
1)
c a
(0 e 1)
典例解析：
例1.已知椭圆方程为16 x2 25 y2 400
2019/9/26 3
新知探究：
二、椭圆的顶点
1.什么是椭圆的顶点？
椭圆与它的对称轴的四个交点 2.如何求椭圆的顶点坐标？
新人教A版(选修2-1)《椭圆的简单几何性质》word教案
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：杨晓辉 审稿人：张林2.2.2椭圆的简单几何性质【教学目标】1． 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义。
2． 初步利用椭圆的几何性质解决问题。
教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。
教学难点：利用椭圆的几何性质解决问题。
【教学过程】预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况情景导入、展示目标：由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系，因此我们可以用类比研究函数图像的方法，根据椭圆的定义，图形和方程来研究椭圆的几何性质.师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．师：由于方程f(x ，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x 都有唯一的函数值y 与之对应，而方程中x 、y 的关系则较为复杂．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质．师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质．合作探究、精讲点拨。
探究一 观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状， 你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？1 、范围 ：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。
椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。
（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知 ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____；② 22b y ____ 1；即__≤≤y ___因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线___________和__________围成的矩形里。
高中数学人教A版选修2-1课件： 2.2.2 椭圆的简单几何性质 课件
x
椭圆关于y轴、x轴、原点对称。
y
B2
A1
A2
O
x
在
x2 a2
y2 b2
1
B1
中令y=0，可得x= a
从而：A1(-a,0),A2(a,0)
同理：B1(0, -b),B2(0, b)
y
B2
A1
A2
O
x
B1
线段A1A2叫椭圆的长轴; 长为2a 线段B1B2叫椭圆的短轴。长为2b
y
O
x
上面椭圆的形状有什么变化？
性 质 离心率
e c ( 0<e<1)
a
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
又因为长轴在x轴上,
所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1 94
(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6 (2)由已知, 2a=20,e=0.6
∴a=10,c=6 ∴b=8 因为椭圆的焦点可能在x轴上,也可能
在y轴上,所以所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1 或 x2 y2 1
100 64
y
x O
显然，a不变，b越小，椭圆越扁。
也即，a不变，c越大，椭圆越扁。
把椭圆的焦距与长轴长的比 c a称为椭
圆的离心率，用e表示，即
人教A版高中数学选修2-2课件(文)第二章2.1.2第一课时椭圆的简单几何性质
b2＝81－9＝72. 答案：A
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2．已知椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1，长轴在 y 轴上．若焦距为 4，
则 m 等于
()
A．4
B．5
C．7
D．8
解析：由题意得 m－2>10－m 且 10－m>0，于是 6<m<10，再
由(m－2)－(10－m)＝22，得 m＝8.
答案：D
返回
3．椭圆 x2＋4y2＝16 的短轴长为________． 解析：由1x62＋y42＝1 可知 b＝2， ∴短轴长 2b＝4. 答案：4
2a＝5×2b， a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝＝255. ，
故所求椭圆的标准方程为6y225＋2x52 ＝1 综上所述，所求椭圆的标准方程为2x52＋y2＝1 或6y225＋2x52＝1.
返回
(2)由 e＝ac＝35，2c＝12，得 a＝10，c＝6， 则 b2＝a2－c2＝64. 当焦点在 x 轴上时，所求椭圆的标准方程为 1x020＋6y42 ＝1； 当焦点在 y 轴上时，所求椭圆的标准方程为 1y020＋6x42 ＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为 1x020＋6y42 ＝1 或1y020＋6x42＝1.
∠OF2B＝60°，∴acos 60°＝c，
∴ac＝12，即椭圆的离心率 e＝12，故选 A.
D.
6 4
答案：A
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4.忽视椭圆焦点位置致误 [典例] 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心 率 e＝ 23，且过 P(2,3)，求此椭圆的标准方程．
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[解] (1)当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
ac＝ 23， 由题意知a42＋b92＝1，
2.2.2椭圆的简单几何性质(2)-人教A版高中数学选修2-1课件
例1、点M ( x, y)与定点F (4,0)的距离和它到直线l：
x 25的距离的比是常数4，求点M的轨迹.
4
5
y
Md H
O
Fx
x2 y2 1. 25 9
l
图2.1 12
点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10, 6的椭圆
变式、点M( x, y)与定点F(c,0)的距离和它到直线l：
解:∵椭圆
x2 2
y2
1 的两个焦点坐标F1(1, 0), F2 (1, 0)
∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x a 2 的距离的比是常数c (a c 0)，求点M的轨迹.
c
a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
这是一个椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是 长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。
椭圆的第二定义：
y
I’
l
平面内到一个定点F的距离与到一条定 直线l的距离之比为常数e（0＜e ＜1）的 F’ o F x 点的轨迹为椭圆。定点F是椭圆的焦点， 定直线l叫做椭圆的准线，常数e是椭圆 的离心率。
由方程组：
x2 y2 a2 b2 1
mx2+nx+p=0(m≠ 0)
△= n2-4mp
△>0 △=0 △<0
人教A版高二数学选修2-1第二章第二节椭圆的简单几何性质
令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（±a, 0 ）。
*顶点：椭圆与它的对称轴
的四个交点，叫做椭圆的顶 点。
y B1(0,b)
*长轴、短轴： 线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和
A1
短轴。长轴长2a,短轴长2b.
o
A2(a,0) x
a、b分别叫做椭圆的长半轴 长和短半轴长。
- B2(0, b)
性质4.椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 c 叫做椭圆的离心率,用e
表示，即 e c .
a
y
a
因为a>c>0，所以0 < e <1.
当e c 1, c a, a
b a2 c2 0, 椭圆 扁
b
x
●c
a
O
当e c 0, c 0, a
b a2 c2 a,椭圆 圆
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重
(2)已知椭圆x2 + (m+3)y2 =m(m>0)的离心率为 3
2
求m的值及椭圆长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
题型二：利用椭圆的性质求标准方程
例2．过合适下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,、0) Q(0；, 2)
3
（2）长轴长等于 20,离心率等于 ．5
解:（1）由题意， a 3 ,b又∵2长轴在
A2 123 4 5 x
-2
-3 B1
-4
题型一：椭圆方程的基本计算问题
例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点的坐标．
解：把已知方程化成标准方程
x2 52
y2 42
1，
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2第一课时椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1
求椭圆的离心率 求椭圆的离心率的常见思路：一是先求 ， ， 求椭圆的离心率的常见思路：一是先求a，c， 再计算e；二是依据条件中的关系，结合有关 再计算 ；二是依据条件中的关系， 知识和a、 、 的关系 构造关于e的方程 的关系， 的方程， 知识和 、b、c的关系，构造关于 的方程，再 求解．注意 的范围 的范围： 求解．注意e的范围：0<e<1.
互动探究1 互动探究
若本例中椭圆方程变为： 若本例中椭圆方程变为：“4x2＋y2
＝1”，试求解． ” 试求解．
y 2 x2 1 解：已知方程为 ＋ ＝1，所以 a＝1，b＝ ，c ， ＝ ， ＝ 1 1 2 4 ＝ 3 1 1－ ＝ ，因此，椭圆的长轴的长和短轴的 因此， － 4 2
c 3 长分别为 ＝ 长分别为 2a＝2,2b＝1，离心率 e＝a＝ ，两个 ＝ ， ＝ 2 焦点分别为 个顶点是
x2 ． 2＝1(a>b>0)． b c 2 由已知得 e＝a＝ ，2b＝8 5， ＝ ＝ ， 3 a 2－ b 2 4 c ∴ 2＝ 2 ＝ ，b2＝80. 9 a a
2
∴a2＝144. y y x x ∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1 或 ＋ 144 80 144 80 ＝1. y2 x2 (2) 设 椭 圆 方 程 为 2 ＋ 2 ＝ a b 1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2 为 ．如图所示， 等腰直角三角形， OF 等腰直角三角形， 为斜边 A1A2 的中线(高 ， 的中线 高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝ ＝ ， ＝ 2 2 2 2b，∴c＝b＝4，∴a ＝b ＋c ＝32，故所求椭圆 ， ， ＝ ＝ ， x2 y 2 的方程为 ＋ ＝1. 32 16
为直角三角形， 由 AF1 ⊥ AF2 知 △ AF1F2 为直角三角形 ， 且 ∠ AF2F1＝60°. 由椭圆定义， 由椭圆定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.则 ＋ ＝ ， ＝ 则 在 Rt△AF1F2 中，由∠AF2F1＝60°得|AF2|＝c， △ 得 ＝ ， |AF1|＝ 3c，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝( 3＋1)·c， ，所以 ＝ ＋ ＝ ＝ ＋ ， c 所以离心率 e＝a＝ 3－1. ＝ －