2016-2017学年高中数学人教版选修1-1课件：2.1.2 第一课时椭圆的简单几何性质

利用椭圆的几何性质求其标准方程
[例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 4 (1)长轴长是 10，离心率是； 5 (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.
[解 ] (1)设椭圆的标准方程为 x2 y2 y2 x2 ＋＝1(a＞b＞0)或 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a2 b2 a b 由已知得 2a＝10，a＝5. c 4 又∵e＝a＝，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 5 x2 y2 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为＋＝1 或＋＝1. 25 9 25 9
x2 y2 解析：由＋＝1 可知 b＝2， 16 4 ∴短轴长 2b＝4. 答案：4
x2 y2 4．直线 x＋2y－2＝0 经过椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的一个焦点和 a b 一个顶点，则该椭圆的离心率 e＝________.
解析：由题意知椭圆焦点在 x 轴上， ∴在直线 x＋2y－2＝0 中，令 y＝0 得 c＝2；令 x＝0 得 b＝1. ∴a＝ b2＋c2＝ 5. c 2 5 ∴e＝a＝ . 5 2 5 答案： 5
椭圆的离心率
[例 3] 如图，已知 F1 为椭圆的左焦点，A，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点， P 为椭圆上的一点，当 PF1⊥F1A，PO∥AB(O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．
[解 ]
由已知可设椭圆的标准方程为
b2 x2 y2 2＋ 2＝1(a＞b＞0)，则由题意可知 P－c， . a a b
2．1.2 椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质
[提出问题] 图中椭圆的标准方程为 x2 y2 ＋＝1(a＞b＞0)． a2 b2
问题1：椭圆具有对称性吗？
提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．
问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？
B1(－b,0)，B2(b,0) __________________________
轴长
2b ，短轴长＝___ 2a 长轴长＝___ F1(－c,0)，F2(c,0) ________________ F1(0，－c)，F2(0，c) ____________________
焦点
焦距
2c |F1F2|＝___ (0,0) x轴和y轴，对称中心______ 对称轴__________ c e＝__________ a(0<e<1)
5．求适合下列条件的椭圆的标准方程： 3 (1)中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为，且椭圆上一点 2 到两个焦点的距离之和为 12； (2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)． x2 y2 解：(1)由题意设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)， a b
a＝5，解得 b＝1.
x2 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1； 25 y2 x2 若焦点在 y 轴上，设其标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)， a b 2a＝5×2b， a＝25，由题意，得 0 25 解得 2＋ 2 ＝1， b＝5. a b y2 x2 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 625 25 2 2 x2 y x 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1 或＋＝1. 25 625 25
解析：分两种情况进行讨论：当焦点在 x 轴上时，a2＝k＋8，b2＝9，得 c2＝k－1， k－1 1 1 又∵e＝，∴ ＝，解得 k＝4. 2 k＋8 2 当焦点在 y 轴上时，a2＝9，b2＝k＋8，得 c2＝1－k， 1－k 1 1 又∵e＝，∴ ＝， 2 2 9 5 5 解得 k＝－ . ∴k＝4 或 k＝－ . 4 4 5 答案：4 或－ 4
x2 y2 解：(1)由椭圆 C1：＋＝1 可得其长半轴长为 10，短半 100 64 3 轴长为 8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率 e＝ . 5 y2 x2 (2)椭圆 C2：＋＝1， 100 64 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； 3 ④离心率：e＝ . 5
4.忽视椭圆焦点位置致误
[典例] 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率 e＝ 3 ，且过 P(2,3)，求此椭圆的标准方程． 2
[解 ]
(1)当焦点在 x 轴上时，
设椭圆的标准方程为 x2 y2 ＋＝1(a＞b＞0)． a2 b2 c 3 a＝ 2 ，由题意知 4 9 a2＋b2＝1， 2 2 2 a ＝b ＋c ，
x2 y2 (2)依题意可设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b 如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则 c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， x2 y2 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 18 9
[类题通法] 求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出 a，b 的数值，进而求出 c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
[活学活用] x2 y2 已知椭圆 C1：＋＝1，设椭圆 C2 与椭圆 C1 的长轴 100 64 长、短轴长分别相等，且椭圆 C2 的焦点在 y 轴上． (1)求椭圆 C1 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆 C2 的方程，并研究其性质．
b 1－a2求解；
(3)若已知 a，b，c 的关系，则可转化为 a，c 的齐次式，再转化为含 e 的方程求解即可．
[活学活用] 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 1 A. 2 3 B. 2 3 C. 4 ( ) 6 D. 4
解析：依题意，△BF1F2 是正三角形． ∵在 Rt△OBF2 中，|OF2|＝c，|BF2|＝a， ∠OF2B＝60°，∴acos 60°＝c， c 1 1 ∴a＝，即椭圆的离心率 e＝ . 2 2 答案：A
对称性
离心率
[化解疑难] x2 y2 y2 x2 1．由不等式 2＝1－ 2≤1 可得|x|≤a，由 2＝1－ 2≤1 可得 a b b a |y|≤b，从而可得椭圆的范围． 2．椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是 2a，而不是 a. 3．椭圆的离心率 e 的大小，描述了椭圆的扁平程度．e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而 b＝ a2－c2越小，因此，椭圆越扁；反之， e 越接近 0，则 c 就越接近 0，从而 b 越接近 a，这时椭圆越接近圆．特别地，当 a＝b 时，c＝0，椭圆就变为圆了，此时方在y轴上
图形
x2 y2 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b _______________________
标准方程
y2 x2 ＋＝1(a＞b＞0) a2 b2 _______________________
范围
－ a≤x≤a且－b≤y≤b __________________________
b2 a c PF1 F1O ∵△PF1O∽△BOA，∴ BO ＝ OA ，∴ b ＝a， c 2 即 b＝c，∴a ＝2c ，∴e＝a＝ . 2
2 2
[类题通法] 椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找 a 与 c 的关系，一般地： c (1)若已知 a，c，则直接代入 e＝a求解； (2)若已知 a，b，则由 e＝
椭圆的几何性质
[例 1] 求椭圆 4x2＋9y2＝36 的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
x2 y2 [解] 椭圆方程变形为＋＝1， 9 4 ∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6,2c＝2 5，焦点坐标为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)，顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)， c 5 离心率 e＝a＝ . 3
x2 y2 x2 y2 2．椭圆 C1：＋＝1 与椭圆 C2：＋＝1(k＜9) ( 25 9 25－k 9－k A．有相同的长轴 C．有相同的焦点 B．有相同的短轴 D．有相等的离心率
)
解析：25－9＝(25－k)－(9－k)，故两椭圆有相同的焦点．答案：C
3．椭圆 x2＋4y2＝16 的短轴长为________．
－b≤x≤b且－a≤y≤a ____________________________
焦点的位置
顶点
焦点在x轴上
B1(0，－b)，B2(0，b) ___________________________ A1(－a,0)，A2(a,0)， __________________________
焦点在y轴上 A1(0，－a)，A2(0，a)， ____________________________
25 解得 b ＝，a2＝25. 4
2
y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 25 25 4 综上，所求椭圆的标准方程为 x2 y2 y2 x2 ＋＝1 或＋＝1. 40 10 25 25 4
[易错防范] 求解时不讨论焦点的位置，而默认为椭圆的焦点在 x 轴上，这是最常见的错解． [成功破障] x2 y2 1 若椭圆＋＝1 的离心率 e＝，则 k 的值等于________． 2 k＋8 9
2 2 2
(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个．
[活学活用] 求适合下列条件的椭圆的标准方程． 2 (1)焦点在 x 轴上，短轴长为 2，离心率 e＝； 2 (2)长轴长是短轴长的 5 倍，且过点 A(5,0)．

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2017版高中数学选修1-1(课件)：2.1 椭圆 2.1.2 椭圆的简单几何性质第2课时椭圆

第一页，编辑于星期六：三点二十四分。
第二页，编辑于星期六：三点二十四分。
第三页，编辑于星期六：三点二十四分。
第四页，编辑于星期六：三点二十四分。
第五页，编辑于星期六：三点二十四分。
第六页，编辑于星期六：三点二十四分。
第七页，编辑于星期六：三点二十四分。
例题讲解
第八页，编辑于星期六：三点二十四分。
为____________.
【解析】依题意得a=2,e= c =∴c=3 ,
3,
∴b2=a2-c2=1,
a2
∴椭圆的标准方程为
答案：y2+x2=1
4
+xy22 =1.
4
则其3 ,标准方程 2
第十六页，编辑于星期六：三点二十四分。
P41 练习
第十七页，编辑于星期六：三点二十四分。
作业教材Ｐ36 2
第十八页，编辑于星期六：三点二十四分。
结束
第十九页，编辑于星期六：三点二十四分。
x2 )a 2
=+1b上y22 ，则以P为顶点的椭圆
（A）48
（B）12
（C）24
（D）与a、b的值有关
【解析】选A.由椭圆的对称性可知内接矩形PABC的边长为8和
6，则S=8×6=48.
第十五页，编辑于星期六：三点二十四分。
二、填空题（每题4分，共8分）
5.若椭圆的焦点在y轴上，长轴长为4，离心率e=
+ 64
（D） y2 x2 =1
+ 64
【解析】选A.由已知得
a+b=10
,
2c=4 5
∴ a+b=解10得
a=6
∵焦点a 2在-bx2 轴=2上0 ,，∴椭圆方b=程4为.

2017版高中数学选修1-1(课件)：2.1 椭圆 2.1.1 (2)

可知|AB|+|BF|=2a,
|CA|+|CF|=2a,两式相加得
|AB|+|BF|+|CA|+|CF|=|AB|+
|CA|+|BC|=4a,而椭圆标准方程为 +y2=1,因此a=2,故
4a=8.
x2
答案:8
4
第三十六页，编辑于星期六：三点二十四分。
【补偿训练】1.设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足
第三页，编辑于星期六：三点二十四分。
2.在椭圆的形成过程中,有哪些不变的量?
用文字语言描述:细绳的_____不变,即动点到两定点长度
的_______不变.
⇓
距离和
第四页，编辑于星期六：三点二十四分。
用符号语言描述: _|_M_F_1_|_+_|_M_F_2|_=_2_a_(其中_M_为动点, F1,F2为定点,__2_a为定长)
第二章圆锥曲线与方程 2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
第一页，编辑于星期六：三点二十四分。
第二页，编辑于星期六：三点二十四分。
【自主预习】
主题1:椭圆的定义 1.将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点 F1,F2上,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上能得到怎样的图形?
提示:得到一个椭圆.
第三十八页，编辑于星期六：三点二十四分。
【解析】设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,知
|MF2|=10-2=8.
又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点, 所以|ON|= |MF2|=4.
答案:4 1 2
第三十九页，编辑于星期六：三点二十四分。

(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.1.2.1

合作探究课堂互动
由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)．由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚

高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)

a＝4 2，解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)．
2a＝5×2b，由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝＝51，，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b，由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形等知识．

2016-2017学年高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.2.2 椭圆方程及性质的应用

阶
阶
段
段
一
三
第 2 课时椭圆方程及性质的应用
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
第一页，编辑于星期五：十六点二十五分。
1．掌握直线与椭圆的位置关系． 2．通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题．(重点) 3．能利用椭圆的有关性质解决实际问题．(难点)
第二页，编辑于星期五：十六点二十五分。
第十三页，编辑于星期五：十六点二十五分。
(2)由xy2＝＋x2＋y22＝，2，得 3x2＋8x＋6＝0.
∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0，
∴直线 y＝x＋2 与椭圆相离．
(3)由(1)、(2)知直线 y＝x＋ 3与椭圆的切点 P 满足条件，由(1)得 P 的坐标
为－233， 33，最小距离 d＝|2－2 3|＝
第三页，编辑于星期五：十六点二十五分。
已知点(2,3)在椭圆mx22＋ny22＝1 上，则下列说法正确的是___②点(3,2)在椭圆上
③点(－2，－3)在椭圆内 ④点(2，－3)在椭圆上
【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上．【答案】 ④
第四页，编辑于星期五：十六点二十五分。
第二十七页，编辑于星期五：十六点二十五分。
[再练一题] 3．(2016·成都高二检测)已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为 36，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3，直线 l：y＝kx＋m 交椭圆于不同的两点 A， B. (1)求椭圆的方程； (2)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为 23，求△AOB 面积的最大值.
即 tx0＋2y0＝0，解得 t＝－2xy00.又 x20＋2y20＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝x0＋2xy002＋(y0－2)2 ＝x20＋y20＋4xy0202＋4＝x20＋4－2 x02＋24x－20 x20＋4＝x202＋x802＋4(0＜x20≤4)．因为x220＋x802≥4(0<x20≤4)，且当 x20＝4 时等号成立，所以|AB|2≥8. 故线段 AB 长度的最小值为 2 2.

人教A版高中数学选修1-1课件2.1.2

(4)椭圆过(3,0)，离心率
e＝
6 3.
解析：(1)设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1 或 ay22＋bx22＝1. 由已知 a＝2b，且椭圆过点(2，－6)， ∴2a22＋－b62 2＝1 或－a62 2＋2b22＝1，解得 a2＝148，b2＝37 或 a2＝52，b2＝13. 故所求的方程为1x428＋3y72 ＝1 或5y22 ＋1x32 ＝1.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上面方程的两个根．
∴x1＋x2＝842kk22＋－1k， ∵P 为弦 AB 的中点，∴2＝x1＋2 x2＝442kk22＋－1k，解得 k＝－12，∴所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵P 为弦 AB 的中点， ∴x12＋4y21＝16，x22＋4y22＝16，两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0. 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴yx11－－yx22＝－4xy11＋＋xy22＝－12，即 kAB＝－12. ∴所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)，即 x＋2y－4＝0.
(2)如下图所示：△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且OF＝c，A1A2＝2b.
∴c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为1x82 ＋y92＝1.
(3)∵椭圆的长轴长是 6，cos∠OFA＝23， ∴点 A 是短轴的端点．∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3， ∴3c＝23， ∴c＝2，b2＝32－22＝5. ∴椭圆的方程为x92＋y52＝1 或x52＋y92＝1.
则 Δ＝16m2－12(2m2－2)＝8(－m2＋3)>0，

2016年秋新课标人教A版高中选修1-1：《2.1.2椭圆简单几何性质(1)》课件

y B1(0,b) o B2(0,-b) A2 x
A1
c e 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： a 叫做椭圆的离心率。
y
四、椭圆的离心率
(1)离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0 <e< 1 (2)离心率对椭圆形状的影响：
o
x
1）e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭圆就越扁 2）e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭圆就越圆
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
学习目标
1、掌握椭圆简单几何性质并能根据椭圆方程找到相关性质；
2、掌握由性质求解椭圆方程。
自主学习
3）特例:e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合,椭圆方程变为圆的方程动画
小结一：基本元素
(1)基本量：a、b、c、e（共四个量） (2)基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） (3)基本线：对称轴（共2条线）请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系（位置、数量之间的关系） y B1(0,b)
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称, 原点是椭圆的中心. 从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。 y
B2 A1
b F1
a F2
o c
B1
A2
三、椭圆的顶点

人教版A版高中数学选修1-1：2.1.2 椭圆的简单几何性质(1)

焦点的位置范围
顶点轴长焦点
焦点在x轴上 __－__a_≤_x_≤__a_ _且__－__b_≤__y≤__b__
_A_1_(_－__a_，__0_)、__A__2(_a_，__0_) _B_1_(_0_，__－__b_)、__B__2(_0_，__b_)
焦点在y轴上 __－__b_≤_x_≤__b_ _且__－__a_≤__y≤__a__
练习：
说出下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标。
（1）x2+4y2=64；（2）4x2+y2=16
（五）作业：
1、P49习题A组3；
2、求适合下列条件的椭圆的方程：
（1）焦点在x轴上，长半轴长9，短轴长为4 （2）焦点在y轴上，焦距为8，短轴长为6
_A_1_(_0_，__－__a_)、__A__2(_0_，__a_) _B_1_(_－__b_，__0_)、__B__2(_b_，__0_)
短轴长＝_2_b_，长轴长＝_2_a_
_F_1_(_－__c_，_0_)_、__F_2_(_c_，__0_) _F__1(_0_，__－__c_)_、__F_2_(0_，__c_)
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
焦点坐标分别是
四个顶点坐标是
F1(3,0), F2(3,0)
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
外切矩形面积为80
变式训练1：若椭圆方程变为25x2+16y2=400呢？
（三）例题精讲：
例2.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，
A1
y
B2
O
x
A2
B1
图2.1 8

人教版高中数学选修1-1-2.1 椭圆 2.1.2.1 (2)ppt课件

答案:
2c 4 1 . 2a 8 2
1
2
6.求椭圆x2+9y2=81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标(仿照教材P40例4解析过程).
【解析】把已知方程化为标准方程 x 2 =y 21,于是
81 9
a=9,b=3,
所以椭圆的长轴长2a=18,
c 81962,
短轴长2b=6,离心率 ec2 2.
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
的形状,你能从图上
看出横坐标x,纵坐标y的范围吗?
提示:由
得:-a≤x≤a,-b≤y≤b.
x2 a2
1,
y2 b2
1
2.观察焦点分别在x轴和y轴的两椭圆,探究下列问题, 明确椭圆的几何特征.
(1)对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形,长轴、短轴有何不同点与相同点. 提示:相同点:两图长轴长与短轴长分别相等; 不同点:长轴与短轴所在位置不同.
【A .解2 2 析】选B .C2 .3 依题意C 有.1 22ab=D 1.03 6 ,2bc=5,所以e= c 1. a2
4.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F( ,0),且 2 3
长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是
______________.
【解析】已知 a2b,

b2 4, x2 y2
2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质
【自主预习】主题1:椭圆的范围、对称性、顶点 1.观察下列图形,回答以下几个问题:
(1)已知椭圆方程讨论椭圆性质时,首先要关注椭圆的方程要满足什么形式? 提示:先看椭圆方程是否是标准形式,若不是标准形式要先化成标准形式.
(2)观察椭圆

2017版高中数学选修1-1(课件)：2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 (2)

第十九页，编辑于星期六：三点二十四分。
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0), 并且经过点 ( 5 , 3 ).求它的标准方程.
22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
待定
它的标准方程为
x2 y2 a2 b2
1 (a b 0).
系数法
由椭圆的定义知
2a (5 2)2 ( 3)2 (5 2)2 ( 3)2 2 10
第二十五页，编辑于星期六：三点二十四分。
【变式练习】
已知圆 x2 y2 9，从这个圆上任意一点P向x轴作
垂线段 PP ，' 点M在 PP上' ,并且
轨迹方程为
x2 y2 1 .
9
PM 2M，P则' 点M的
第二十六页，编辑于星期六：三点二十四分。
例3 如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),
x2 y2 a 2 b2 1 (a b 0).
又∵焦点的坐标为 (2, 0), (2, 0)，
a2 b2 4. ①
又
由
已知
(
5 2
)2
a2
(
3 2
)2
b2
1， ②
联立①②, 解得 a 2 1 0， b 2 6
因此, 所求椭圆的标准方程为:
x2 y2 1.
10 6
第二十二页，编辑于星期六：三点二十四分。
定义
方程
焦点
a,b,c 的关系
y
P
F1 o F 2 x
y
F2
P
ox
F1
{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}
x2 y2 a2 b2 1

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2016-2017学年高中数学人教版选修1-1课件：2.1.2 第一课时 椭圆的简单几何性质

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