2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.1复数的加法与减法课堂探究新人教B版选修2-2资料
1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.1 复数的加法与减法课堂探究 新人教B版选修2-2
探究一 复数的加法与减法运算
1．复数的加减运算类比实数的加减运算，若有括号，括号优先；若无括号，可从左到右依次进行．
2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加．
3．准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率．
【典型例题1】 计算下列各式：
(1)(13－5i)＋(－3＋4i)；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)；
(3)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)；
(4)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 013－2 014i)－(2 014－2 015i)．
思路分析：根据复数加法、减法的运算法则进行计算．
解：(1)(13－5i)＋(－3＋4i)＝(13－3)＋(－5＋4)i＝10－i；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i＝－7＋7i；
(3)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)＝(10－8－3)＋(－9＋7－3)i＝－1－5i；
(4)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015)i＝－1 007＋1 007i.
探究二 复数加减运算的几何意义
1．复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算．
2．由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决复数问题．
3．在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教材习题点拨北师大版选修2-2资料
1 高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入教材习题点拨 北师大版选修2-2
教材习题点拨
练习(P101)
1.解:(1)1＋2i实部为1,虚部为2,它是虚数;
(2)21+23i实部为2121,虚部为23,它是虚数;
(3)（3-1）i实部为0,虚部为3-1,它是纯虚数;
(4)0实部为0,虚部为0,它是实数.
思路分析:依据有关复数的基本概念去判断.
2.解:(1)（-2x+3)+(y-4)i=0.4,23,4,032yxyx
(2)(3x-2y)+(x+2y)i=3-6i.852,43,62,323yxyxyx
思路分析:(1)复数为零的充要条件是它的实部和虚部都为0.(2)两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等.
3.解:A点表示的复数是4+3i,B点表示的复数是-3+2i,C点表示的复数是-4-3i,D点表示的复数是-3i,E点表示的复数是3-2i.
思路分析:复平面内的点和复数是一一对应的,复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部.
4.答案:(1)b=0;(2)a=0;(3)b>0;(4)a<0.
思路分析:(1)点Z位于实轴上,必然是复数的虚部为零;(2)点Z位于虚轴上,必然是复数的实部为零;(3)点Z位于实轴上方,必然是复数的虚部大于零;(4)点Z位于虚轴左方,必然是复数的实部小于零.
5.解:(1)|z1|=2212)5(=13;(2)|z2|=41)5(422;(3)|z3|=22)1()3(=2.
思路分析:利用公式|z|=22ba计算即可.
习题51(P102)
A组
1.解:(1)复数（m2-2m-3)+(m2-3m-4)i为实数的充要条件是:m2-3m-4=0,可以得出m=4或m=-1;
(2)复数(m2-2m-3)+(m2-3m-4)i为纯虚数的充要条件是:m2-2m-3=0且m2-3m-4≠0,可以得出m=3; 2 (3)复数(m2-2m-3)+(m2-3m-4)i为零的充要条件是:m2-2m-3=0且m2-3m-4=0,可以得出m=-1.
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2.1复数的加法与减法同步练习北师大选修2-2讲解
1 高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2.1 复数的加法与减法同步练习 北师大版选修2-2
高手支招6体验成功
基础巩固
1.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是（ ）
A.1 B.2 C.2 D.5
答案:A
思路分析：由复数模的几何意义知|z+i|+|z-i|=2表示复平面上以点Ａ(０,1),Ｂ(０,-1)为端点的线段ＡＢ上的点,从而|z+i＋1|＝|z-(-1-i)|表示线段ＡＢ上的点Z到点C(-1,-1)的距离.∴|z+i＋1|的最小值为|BC|＝1.
2.设f(z)=1-z,z1=2+3i,z2=5-i,则f(z1-z2)的值为____________.
答案：4-4i
思路分析：f(z)=1-z可视为关于z的函数,自变量是复数,然后将z1-z2代入.f(z1-z2)=1-(z1-z2)=1-z1+z2=1-(2+3i)+(5-i)=4-4i.
3.复平面内的三点A、B、C,A点对应的复数为2+i,BA对应的复数为1+2i,向量BC对应的复数为3-i,求点C对应的复数.
解：∵BA对应的复数是1+2i,向量BC对应的复数为3-i,
∴AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又ACOAOC,∴C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
思路分析：由复数、点及向量对应关系可知,所求复数即为向量OC对应的复数.由加减法几何意义得ACOAOC.
4.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i}.若M∪P=P,求实数m的值.
解：∵M∪P=P,∴MP,∴由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1
得,02,1222mmmm解之得m=1.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
得,42,0222mmmm解之得m=2.
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入例题与探究北师大版选修2-2资料
1 高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入例题与探究 北师大版选修2-2
高手支招3综合探究
1.含有参数形式的复数何时表示实数、虚数、纯虚数.
此类问题是涉及到复数的分类及各自概念,在理解的基础上注意它们的联系与区别,以此作为判断它们为实数、虚数、纯虚数的条件.
复数z=a+bi当且仅当b≠0时为虚数,当且仅当b=0时为实数,当且仅当a=0,b≠0为纯虚数,当且仅当a=0,b=0时为0.
下面以3m+9+(m2+5m+6)i,m为何值时表示实数、虚数、纯虚数为例说明.
(1)若表示实数则:m2+5m+6=0(即虚部必须为零);
(2)若表示虚数则:m2+5m+6≠0(即虚部不能为零);
(3)若表示纯虚数则:3m+9=0且m2+5m+6≠0(即实部必须为零,虚部不能为零).
2.两个复数相等的充要条件及应用时应特别注意的问题.
因为复数可以用向量来表示,所以可以结合向量相等来理解.在向量坐标表示中,两个向量相等则对应坐标要相等.
两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等.
在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a、b、c、d∈R,即当a、b、c、d∈R时,a+bi=c+di.,dbca但忽略条件后,则不能成立,因此解决复数相等问题,一定要把复数的实部与虚部分离出来.再利用复数相等的充要条件,化复数问题为实数问题.
3.复系数一元二次方程根的问题与实系数一元二次方程根的问题.
利用复数相等可解决复系数方程根的问题,如果复系数方程有实根,我们将其中的未知数视为等式中的一个实数,将方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.这里要特别注意,方程有实根务必注意不能用判别式Δ≥0来处理方程的根的问题,否则出错.
如果复系数一元二次方程无实根,则同样不能用Δ<0来处理.此时,方程有复数根,可设方程的根为z=m+ni(m,n∈R),然后,化简方程,使方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数的加法和减法课堂探究新人教B选修1-2讲解
1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数的加法和减法课堂探究 新人教B版选修1-2
探究一 复数的加减法运算
复数的和(差)仍为复数，计算复数的加减法时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
【典型例题1】 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13＋2i，求z1，z2.
思路分析：通过复数的加减法运算求得z(用x，y表示)，再利用共轭复数的定义及复数相等的充要条件求出x，y的值，从而求得z1，z2.
解：∵z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
∴z＝(5x－3y)－(x＋4y)i.
又∵z＝13＋2i，
∴ 5x－3y＝13，－(x＋4y)＝2.解得 x＝2，y＝－1.
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
探究二复数加减法的几何意义
由于复数与向量的对应关系为复数赋予了几何意义，因此在处理复数某些问题时，可通过数形结合实现数与形的沟通．
【典型例题2】 在复平面内，▱ABCO的顶点O是坐标原点，顶点A，C对应的复数分别是z1＝x＋23i，z2＝23－xi，若B点在单位圆内，则实数x的取值范围为________．
解析：设点B对应的复数为z，∵OB＝OA＋OC，即z＝z1＋z2＝x＋23i＋23－xi＝x＋23＋23－xi.
由已知|z|＜1，∴|z|2＜1.
∴x＋232＋23－x2＜1. 2 即x2＜118.∴－26＜x＜26.
答案：－26，26
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数的加法和减法自我小测新人教B选修1-2讲解
1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数的加法和减法自我小测 新人教B版选修1-2
1．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝( )
A．－3i B．3i C．±3i D．4i
2．下列命题：(1)z－z是纯虚数；(2)z1＋z2∈Rz2＝z1；(3)(3＋i)－(1＋i)＝23＋i＞1＋i.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|z－i|，则z所对应的点Z的集合构成的图象是( )
A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线
4．设f(z)＝z，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f(z1－z2)的值是( )
A．－2＋3i B．－2－3i C．4－3i D．4＋3i
5．复数x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．42 D．82
6．若P，A，B，C四点分别对应复数z，z1，z2，z3，且|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则点P为△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
7．非零复数z1，z2满足关系|z1|＝|z2|，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，z1，z2在复平面内对应的向量是1OZ和2OZ，以1OZ和2OZ为邻边的平行四边形是________．
8．已知复数z，且|z|＝1，则|z＋3＋i|的最小值是________．
9．已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i，4－4i，2＋6i，求第四个顶点对应的复数．
10．已知集合A＝{z1||z1＋1|≤1，z1∈C}，B＝{z2|z2＝z1＋i＋m，z1∈A，m∈R}．
(1)当A∩B＝时，求实数m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使A∩B＝A.
11．已知z1＝x＋5＋yi，z2＝x－5＋yi，且x∈R，y∈R，|z1|＋|z2|＝6.求f(x，y)＝|2x－3y－12|的最值．
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数的加法和减法课堂探究新人教B选修1-2创新
1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数的加法和减法课堂探究 新人教B版选修1-2
探究一 复数的加减法运算
复数的和(差)仍为复数，计算复数的加减法时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
【典型例题1】 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13＋2i，求z1，z2.
思路分析：通过复数的加减法运算求得z(用x，y表示)，再利用共轭复数的定义及复数相等的充要条件求出x，y的值，从而求得z1，z2.
解：∵z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
∴z＝(5x－3y)－(x＋4y)i.
又∵z＝13＋2i，
∴ 5x－3y＝13，－(x＋4y)＝2.解得 x＝2，y＝－1.
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
探究二复数加减法的几何意义
由于复数与向量的对应关系为复数赋予了几何意义，因此在处理复数某些问题时，可通过数形结合实现数与形的沟通．
【典型例题2】 在复平面内，▱ABCO的顶点O是坐标原点，顶点A，C对应的复数分别是z1＝x＋23i，z2＝23－xi，若B点在单位圆内，则实数x的取值范围为________．
解析：设点B对应的复数为z，∵OB＝OA＋OC，即z＝z1＋z2＝x＋23i＋23－xi＝x＋23＋23－xi.
由已知|z|＜1，∴|z|2＜1.
∴x＋232＋23－x2＜1. 2 即x2＜118.∴－26＜x＜26.
答案：－26，26
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2复数的四则运算自我小测北师大版选修2-2资料
1 高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2 复数的四则运算自我小测 北师大版选修2-2
1.复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量12ZZ对应的复数为( )．
A．3＋4i B．5－2i C．－2＋6i D．2－6i
2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2z是实数，则实数t＝( )．
A．34 B．43 C．43 D．34
3．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数积z1z2的实部和虚部是相等的正数，则m＝( )．
A．1 B．34 C．43 D．34
4．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于( )．
A． 1＋5i2 B．－1＋5i2 C．1－5i2 D．－1－5i2
5．设复数z＝1＋2i，则z2－2z等于( )．
A．－3 B．3 C．－3i D．3i
6．已知1im＝1－ni，其中m，n∈R，则m＋ni等于( )．
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
7．已知z＝1＋i，则z2－3z＋6z＋1的模为__________．
8．已知z＝34i43i＋2i，则|z|zzz＝__________.
9．已知复数1i23i2i3im(m∈R)在复平面上对应的点在直线y＝x上，求m的值．
10．已知z＝1＋i，如果221zazbzz＝1－i，求实数a，b的值． 2
参考答案
1. 答案：D 解析：12ZZ＝(5－2i)－(3＋4i)＝2－6i.
2. 答案：A 解析：∵(3＋4i)(t－i)＝3t－3i＋4ti＋4＝3t＋4＋(4t－3)i为实数，∴4t－3＝0，∴t＝34.
3. 答案：B 解析：∵(1＋2i)[m＋(m－1)i]＝m＋(m－1)i＋2mi－2(m－1)＝(2－m)＋(3m－1)i，
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2.1复数的加法与减法教材基础北师大版选修2-2资料
1 2.1 复数的加法与减法
随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学和技术的进步,逐步建立起来的复变数函数理论在应用于堤坝渗水的问题、建立巨大水电站时所提供的理论依据中越来越需要进行大量的加、减、乘、除、乘方、开方运算.早在1747年,法国著名的数学家达兰贝尔指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi的形式(a、b都是实数).他开创了复数四则运算的先河.
高手支招1细品教材
一、复数的加法
1.复数的加法法则
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,复数的加法按照以下法则进行:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
两个复数和仍是一个复数,其实部为a+c,虚部为b+d.因此,两复数相加就是将两个复数的实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.
【示例1】 计算(7+5i)+(2+3i).
思路分析:实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.
解:(7+5i)+(2+3i)=(7+2)+(5+3)i=9+8i.
【示例2】 计算:①(-2+3i)+(5-i);②(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
思路分析:直接运用复数的加减运算法则进行计算.
解:①原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.
②原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.
2.复数加法的交换律、结合律
对任何z1,z2,z3∈C,复数运算律如下:
(1)交换律:z1+z2=z2+z1.
证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i.
则:z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,
而z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i,
由a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1及复数相等的定义得:
(a1+a2)+(b1+b2)i=(a2+a1)+(b2+b1)i,
高中数学 第四章 数系的扩充 复数的加法与减法教案 北师大版选修1-2
复数的加法与减法
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握复数的加法运算及意义；
2、过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律；
3、情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
二、教学重难点
重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
难点：加、减运算的几何意义
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备：
1. 与复数一一对应的有？
2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03iiiiii在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472ziZi与所对应的向量，并计算12OZOZ。向量的加减运算满足何种法则？
4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？
（二）、探析新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：12zabiZcdi与，则12()()ZZacbdi。
例1、计算（1）(14)(72)ii+ （2）(72)(14)ii+
（3）[(32)(43)](5)iii+
（4）(32)(43)(5)]iii+[
②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2、例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)ii，(32),(43),(5)iii所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
2、复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12ZZZ，则Z叫做21ZZ减去的差,21ZZZ记作。
④讨论：若12,ZabZcdi，试确定12ZZZ是否是一个确定的值？ （引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）