含有一个量词的命题的否定练习题
高中数学 1.4.3含有一个量词的命题的否定练习 新人教A版高二选修1-1数学试题
1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．(2015·潍坊四县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2015·东北三校模拟)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为( )A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈m ，p (x )”的否定为“∀x ∈m ，¬p (x )”知选B4．(2015·某某省八校联考)命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x ≤x 2[答案] C[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 5．(2015·某某市曲江一中月考)下列说法正确的是( )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题 [答案] A[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p 为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______. [答案] 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________. [答案] 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值X 围是________. [答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·某某理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 [答案] D[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( ) A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [答案] B[解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0； 结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．4．(2014·某某省某某市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________.[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．(2015·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值X 围是________.[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．写出下列命题的否定． (1)p ：∀x >1，log 2x >0； (2)p ：∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2>0； (3)p ：有的正方形是矩形； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋2>0. [解析] (1)¬p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. (2)¬p ：∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤0. (3)¬p ：任意一个正方形都不是矩形． (4)¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋2≤0. 8.已知命题p ：f (x )＝x ＋1x ＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q ：g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p ∧q 为真命题．某某数a 的取值X 围．[解析] ∵f (x )＝x ＋1x ＋a ＝1＋1－ax ＋a在[2，＋∞)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >0，－a ≤2.∴－2≤a <1.∵g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)，∴0<a <1.要使p ∧q 为真命题，应有p 真且q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <1，0<a <1，∴0<a <1.∴实数a 的取值X 围是0<a <1.。
含有一个量词的命题的否定
2.判断下列命题是全称命题还是特 称命题，你能写出下列命题旳否定吗？
（1）全部旳矩形都是平行四边形； （2）每一种素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0； （4）有些实数旳绝对值是正数； （5）某些平行四边形是菱形； （6） x∈R, x2＋1＜0.
分析
前三个命题都是全称命题，即具
有 “ x ∈M，p（x）”旳形式；
（2）命题“ x ∈N, x3>x2”旳否定是
___x_∈__N__,_x_3_≤__x_2__.
2. 选择题
（1）命题“原函数与反函数旳图象有关
y=x对称”旳否定是（C ）
A. 原函数与反函数旳图象有关y=-x对称 B. 原函数不与反函数旳图象有关y=x对称 C.存在一种原函数与反函数旳图象不有关 y=x对称 D. 存在原函数与反函数旳图象有关y=x对称
（2）命题“全部能被3整除旳整数都
是奇数”旳否定是（C ）
A.全部能被3整除旳整数都不是奇数 B.不存在一种奇数，它不能被3整除 C.存在一种奇数，它不能被3整除 D.不存在一种奇数，它能被3整除
3.解答题
写出下列命题旳否定，并判断 它们旳真假：
（1）正方形旳四边相等; （2）平方和为0旳两个实数都为0; （3）对任意实数x，x>0.
（1）每条直线在y轴上都有截距； （2）每个二次函数旳图像都与x轴相交.
解：（1）存在一条直线，它在y轴上没有 截距；
（2）存在一种二次函数，它旳图像 与x轴相交.
探究二：
写出下列命题旳否定：
（1）有些实数旳绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形； （3） x∈R, x2＋1＜0.
经过观察，我们发觉，以上三个特称 命题旳否定都能够用全称命题表达.
命题的否定-高中数学知识点讲解(含答案)
命题的否定（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019秋•海淀区校级期中）已知命题:p x Q ∃∈，230x -=，则p ⌝为( ) A ．x Q ∃∈，230x -≠ B ．x Q ∃∉，230x -= C ．x Q ∀∈，230x -≠ D ．x Q ∀∉，230x -=2．（2018秋•潮阳区期末）已知命题1:p x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --，则p ⌝是( ) A ．1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x -- B ．1x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x -- C ．1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<D ．1x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<3．（2018秋•丰台区期末）已知命题:p x R ∃∈，210x ->，那么p ⌝是( ) A ．x R ∃∈，210x -<B ．x R ∃∈，210x - C ．x R ∀∈，210x -< D ．x R ∀∈，210x -二．填空题（共8小题）4．（2017秋•东城区校级期末）x R ∀∈，2104x x -+的否定是 ． 5．（2018春•西城区期末）已知命题:p x R ∀∈，221x x +>，则:p ⌝ ． 6．（2017秋•海淀区校级期末）已知:P x R ∃∈，240x x -+<；则P ⌝为 ．7．（2018秋•东城区校级期中）命题“5x ∀>，2250x ->的否定是 ，其是 命题（填“真、假” )． 8．（2018春•西城区校级期中）已知：命题:1p x ∀>，有21x >，则命题p ⌝为： ． 9．（2018•房山区一模）已知命题:(0,)p x ∀∈+∞，21x >，则p ⌝为 ．10．（2018•北京）能说明“若()(0)f x f >对任意的(0x ∈，2]都成立，则()f x 在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ．11．（2018•海淀区校级三模）能够说明命题:p x R ∃∈，220x ax a ++是假命题的一个实数a 是 ． 三．解答题（共1小题）12．（2019秋•海淀区校级期中）命题“0x ∀>，2230x x +->”的否定是 ．命题的否定（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019秋•海淀区校级期中）已知命题:p x Q ∃∈，230x -=，则p ⌝为( ) A ．x Q ∃∈，230x -≠ B ．x Q ∃∉，230x -= C ．x Q ∀∈，230x -≠ D ．x Q ∀∉，230x -=【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可． 【解答】解：命题为特称命题， 则命题的否定为x Q ∀∈，230x -≠， 故选：C ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础． 2．（2018秋•潮阳区期末）已知命题1:p x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --，则p ⌝是( ) A ．1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x -- B ．1x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x -- C ．1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<D ．1x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<【分析】由全称命题的否定是特称命题，写出命题p 的否定p ⌝来． 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，得； 命题p 的否定是:p ⌝1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<．故选：C ．【点评】本题考查了全称命题的否定命题是什么，解题时直接写出它的否定命题即可，是容易题． 3．（2018秋•丰台区期末）已知命题:p x R ∃∈，210x ->，那么p ⌝是( ) A ．x R ∃∈，210x -<B ．x R ∃∈，210x - C ．x R ∀∈，210x -< D ．x R ∀∈，210x -【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定． 【解答】解：命题“x R ∃∈，210x ->”为特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定为：x R ∀∈，210x -．故选：D ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．二．填空题（共8小题）4．（2017秋•东城区校级期末）x R ∀∈，2104x x -+的否定是 0x R ∃∈，200104x x -+< ． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可． 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即0x R ∃∈，200104x x -+<， 故答案为：0x R ∃∈，200104x x -+< 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键． 5．（2018春•西城区期末）已知命题:p x R ∀∈，221x x +>，则:p ⌝ x R ∃∈，221x x + ． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出即可． 【解答】解：命题:p x R ∀∈，221x x +>； 则:p x R ⌝∃∈，221x x +． 故答案为：:p x R ⌝∃∈，221x x +．【点评】本题考查了全称命题的否定是特称命题的应用问题，是基础题．6．（2017秋•海淀区校级期末）已知:P x R ∃∈，240x x -+<；则P ⌝为 x R ∀∈，240x x -+ ． 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题得:p x R ⌝∀∈，240x x -+， 故答案为：x R ∀∈，240x x -+．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．7．（2018秋•东城区校级期中）命题“5x ∀>，2250x ->的否定是 5x ∃>，2250x - ，其是 命题（填“真、假” )．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题： 即5x ∃>，2250x -，“5x ∀>，2250x ->恒成立，∴原命题为真命题， 则命题的否定是假命题，故答案为：5x ∃>，2250x - 假．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础． 8．（2018春•西城区校级期中）已知：命题:1p x ∀>，有21x >，则命题p ⌝为： 1x ∃>，21x ． 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题:1p x ∀>，有21x >，则命题p ⌝为：1x ∃>，21x ； 故答案为：1x ∃>，21x ；【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．9．（2018•房山区一模）已知命题:(0,)p x ∀∈+∞，21x >，则p ⌝为 0(10,)x ∃∈+∞，21x ． 【分析】命题p 是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化． 【解答】解：命题p “：(0,)x ∀∈+∞，21x >”是全称命题， 否定时将量词对任意的x 变为x ∃，再将不等号>变为即可．故答案为：0(10,)x ∃∈+∞，21x ．【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．10．（2018•北京）能说明“若()(0)f x f >对任意的(0x ∈，2]都成立，则()f x 在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ()sin f x x = ．【分析】本题答案不唯一，符合要求即可． 【解答】解：例如()sin f x x =，尽管()(0)f x f >对任意的(0x ∈，2]都成立，当[0x ∈，)2π上为增函数，在(2π，2]为减函数，故答案为：()sin f x x =．【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题．11．（2018•海淀区校级三模）能够说明命题:p x R ∃∈，220x ax a ++是假命题的一个实数a 是12． 【分析】若命题:p x R ∃∈，220x ax a ++是假命题，则命题:p x R ⌝∀∈，220x ax a ++>是真命题，结合二次函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：若命题:p x R ∃∈，220x ax a ++是假命题则命题:p x R ⌝∀∈，220x ax a ++>是真命题， 即△2440a a =-<， 解得：(0,1)a ∈， 故答案为：12（答案不唯一，(0,1)上任意数均可） 【点评】本题考查的知识点是命题的否定，二次函数的图象和性质，难度中档． 三．解答题（共1小题）12．（2019秋•海淀区校级期中）命题“0x ∀>，2230x x +->”的否定是 00x ∃>，20230x x +- ． 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题“0x ∀>，2230x x +->”的否定是为00x ∃>，20230x x +-， 故答案为：00x ∃>，20230x x +-． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．。
1.4.3含有一个量词的命题的否定(李用2)
假 假
（2） ㄱq：存在一个正方形不是矩形;
例题
例2 :写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;
（3）p：对任意x∈Z, x² 的个位数字不等于3.
答:（1）ㄱp：存在一个能被3整除的整数不是奇数;
（2）ㄱp：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; （3）ㄱp： ∃x0∈Z, x0² 的个位数字等于3.
探究二:特称命题的否定
课本25页：写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) ∃x0∈R, x0² +1<0.
这些命题和它们的否定在形式上
有什么变化?
以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “∃x ∈M, p(x )”其中命题(1)的否定是“不 存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,
解析： (1)为全称命题． (2)为特称命题． (3)不是命题． (4)为全称命题． (5)为特称命题．
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表 示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3) 方程 ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0(a<1) 至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0； (5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
[解题过程]
π (1)特称命题． α＝2时， tan α 不存在， 所以，
特称命题“有一个实数 α，tan α 无意义”是真命题． (2)不是命题． (3)含有全称量词，所以该命题是全称命题，又任何一个 圆的圆心到切线的距离都等于半径， 所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于 半径”是真命题．
北师大版数学第一册全称量词命题与存在量词命题的否定练习题附答案
第二课时 全称量词命题与存在量词命题的否定课前预习课标要求素养要求1. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2. 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.知识探究新知探究►■情境引入一位探险家被土人抓住，土人首领说：“你猜你被烧死还是被五马分尸，如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分 国: 尸”.> i问题请问探险家该如何保命？提示 探险家应该说“我将被五马分尸”.如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该 被烧死；如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五 马分尸.所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着.七知避梳理1. 命题的否定当命题是真命题时，命题的否定是假命题：当命题是假命题时，命题的否定是真 命题.2. 全称量词命题的否定改量词，否定结论对于全称量词命题p ： V.vG/W,工具有性质p(x),通常把它的否定表示为X 不具有性质p(.v).全称量词命题的否定是存在量词命题.3. 存在量词命题的否定对于存在量词命题p：x具有性质p(x),通常把它的否定表示为VxeM,x不具有性质p(x).存在量词命题的否定是全称量词命题.拓展深化［微判断］判断下列说法的正误.1.V.veR._?一3工+3>0的否定是VWR,.『一3*+3〈0.(乂)提示3-vGR,2.V xeR.j尹x的否定是.『=》.(/)［微训练］写出下列命题的否定：(1)V.veg,3j+2r+lE。
；(2曰锐角a,使sin a=cos a：(3)所有的矩形都是平行四边形：(4)3.01,使X2—2x-3=0.答案(1)公丘。
，3_?+2丫+起。
.(2)V锐角a,sin a^cos a.(3)存在一个矩形不是平行四边形.(4)V a>1,疽一2x-3H0.［微思考1全称量词命题的否定有什么特点？存在量词命题的否定有什么特点？提示全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.方法步骤：改量词，否定结论.课堂互动匙型物题型一全称量词命题的否定【例1】写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)",bWR,方程ax=b都有唯一解.解(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)其否定为：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)其否定为：女八/?ER，使方程ax=b的解不唯一或不存在.规律方法全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.【训练1】命题*VreR.二使得的否定形式是()A.V.vGR,MEN',使得〃O2B.VxER,VnGN",使得〃。
012-含量词命题的否定
2.3.2全称量词命题与存在量词命题的否定学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点含量词的命题的否定1．命题“∀x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题．()2．若命题¬p是存在量词命题，则命题p是全称量词命题．()3．“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，¬p(x)”的真假性相反．()4．“任意x∈R，x2<0”的否定为“∃x∈R，x2≥0”．()一、全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)所有分数都是有理数；(2)所有被5整除的整数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解：反思感悟全称量词命题否定的关注点(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x)．(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．跟踪训练1写出下列全称量词命题的否定：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)对任意实数x，x2＋1≥0.解：二、存在量词命题的否定例2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)某些梯形的对角线互相平分；(2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小；(3)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解：反思感悟存在量词命题否定的关注点(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．跟踪训练2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有的素数是偶数；(2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0.解：三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用例3已知命题p：∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．解：延伸探究1．把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．解：2．把本例中的条件“∀x∈R”改为“∀x≥1”，求实数m的取值范围．解：反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>y max(或a<y min)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>y min(或a<y max)．跟踪训练3已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围．解：1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥02．命题“∃x>0,2x2＝5x－1”的否定是()A．∀x>0,2x2≠5x－1 B．∀x≤0,2x2＝5x－1C．∃x>0,2x2≠5x－1 D．∃x≤0,2x2＝5x－13．命题“∀x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0”的否定是()A．∀x∉[0，＋∞)，2x2－x<0B．∀x∉[0，＋∞)，2x2－x≥0C．∃x∈[0，＋∞)，2x2－x<0D．∃x∈[0，＋∞)，2x2－x≥04．命题“同位角相等”的否定为________________________________________________________________________．5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：______________________ __________________.1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用．2．方法归纳：转化思想．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根2．对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是()A．所有学生都不会做第1题B．存在一个学生不会做第1题C．存在一个学生会做第1题D．至少有一个学生会做第1题3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤14．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是()A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，¬p是假命题D．p是假命题，¬p是真命题5．(多选)对下列命题的否定说法正确的是()A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形D．p：∀n∈N,2n≤100；p的否定：∃n∈N,2n>1006．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________________________．7．命题“∃x，y∈Z，使得x2>2y”的否定是__________．8．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题¬p是假命题，则实数a的取值范围是________．9．写出下列命题的否定．(1)有些四边形有外接圆；(2)末位数字为9的整数能被3整除；(3)∃x∈R，x2＋1<0.解:10．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；(2)∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.解:11．下列命题的否定是真命题的为()A．p1：每一个合数都是偶数B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等C．p3：全等三角形的周长相等D．p4：所有的无理数都是实数12．(多选)下列命题的否定是假命题的是()A．等圆的面积相等，周长相等B．∀x∈N，x2≥1C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根13．已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x－a≥0；若¬p是真命题，则实数a的取值范围是() A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥314．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1。
人教A版高中数学选修2-1课件【8】含有一个量词的命题的否定
(4)不论 m 取何实数，方程 x2＋2x－m＝0 都有实数根．
解： (1)“有些质数是奇数”是特称命题， 其否定为“所有质 数都不是奇数”，假命题． (2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题， 其否定 为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
2 (3)“∃x0∈Q，x0 ＝5”是特称命题，其否定为 “∀x∈Q，
)
解析：因为命题 p：∃x0∈R，使 tanx0＝1 为特称命题，所以 它的否定为全称命题，即綈 p：∀x∈R，使 tanx≠1.
答案：C
5 ． (2012· 东莞高二检测 ) 下列命题的非命题是真命题的是 ( ) A．π 是无理数 B．∀x∈R，x2＞－1 C．∃x0∈R，使 4x0－2＞5x0
解：(1)这一命题的否定形式是綈 q：对所有实数 x，都有 x2 ＋x＋1＞0.利用配方法可以证得綈 q 是一个真命题． (2)这一命题的否定形式是綈 r：存在一对等圆，其面积不相 等或周长不相等．由平面几何知识知，綈 r 是一个假命题．
(3) 这一命题的否定形式是 綈 s ：存在 α0 ∈R ，使 sin2α0 ＋
) C．②④ D．①③④
B．②③
解析：∵p：当 x＝－1 时， x2≠x，∴p 是假命题，q 显然 是真命题，∴p∧q 是假命题，(綈 p)∧q 是真命题，(綈 p)∨(綈
q)是真命题，p∨(綈 q)是假命题．故选 C.
答案：C
3．“a 和 b 都不是偶数”的否定形式是( A．a 和 b 至少有一个是偶数 B．a 和 b 至多有一个是偶数 C．a 是偶数，b 不是偶数 D．a 和 b 都是偶数
第一章常用ຫໍສະໝຸດ 辑用语1． 4全称量词与存在量词
高中数学(必修一)第一章 全称量词命题和存在量词命题的否定 练习题
高中数学（必修一）第一章 全称量词命题和存在量词命题的否定 练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．命题“R x ∃∈，2220x x ++<”的否定是（ ）A ．R x ∃∈，2220x x ++≥B ．R x ∀∈，2220x x ++≥C ．R x ∃∈，2220x x ++>D ．R x ∀∉，2220x x ++≥2．若命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．()1,3-C ．(][),13,-∞-+∞D ．()(),13,-∞-⋃+∞3．命题“[)0,x ∃∈+∞，210x -<”的否定为（ ）A ．[)20,,10x x ∀∈+∞-≥B ．()2,0,10x x ∃∈-∞-<C ．[)20,,10x x ∀∈+∞-<D ．[)20,,10x x ∃∈+∞-≥4．命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ）A ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞nB ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞nC ．()**00N N n f n ∃∈∉，且f （n 0）＞n 0D ．()**00N N n f n ∃∈∉，或f （n 0）＞n 05．命题“2110x x ∀≥-<，”的否定是（ ）A ．2110x x ∀≥-≥，B ．2110x x ∃≥-≥，C ．2110x x ∃<-≥，D ．2110x x ∀<-<，6．已知集合{}1,2,4,5,6P =，{}2,4,6M =，则下列说法正确的是（ ）A ．对任意x P ∈，有x M ∈B ．对任意x P ∈，有x M ∉C ．存在x M ∈，使得x P ∉D ．存在x P ∈，使得x M ∉二、填空题7．若命题“2,220x R x ax a ∃∈++-=是假命题”，则实数a 的取值范围是___________.8．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ﹣a ＞0为假命题，则实数a 的取值范围是 __.9．命题“x ∀∈R ，40x -≤”的否定是______．10．p ：x R ∀∈，20x ≥的否定是__________．三、解答题11．写出下列命题的否定，并判断真假.(1)q: x∈R ，x 不是5x -12=0的根;(2)r:有些素数是奇数;(3)s: x 0∈R ，|x 0|＞0.12．设全集U =R ，集合{}15A x x =≤<，非空集合{}212B x x a =≤≤+，其中a R ∈.(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求a 的取值范围；(2)若命题“x B ∃∈，x A ∈R ”是真命题，求a 的取值范围.四、多选题13．命题p ：()0,2x ∃∈，3cos x x >.命题q ：每个正三棱锥的三个侧面都是正三角形.关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）A ．p 是真命题B ．p ⌝：()0,2x ∀∈，3cos x x ≤C ．q 是真命题D ．q ⌝：每个正三棱锥的三个侧面都不是正三角形参考答案与解析：1．B【分析】由特称命题的否定：将存在改任意，并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，所以原命题的否定为R x ∀∈，2220x x ++≥.故选：B2．B【分析】写出命题的否定，则∆<0，从而可得出答案.【详解】:解：命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定为“()2R,110x x a x ∀∈+-+>”为真命题，所以()2140a ∆=--<，解得13a -<<，即实数a 的取值范围是()1,3-.故选：B.3．A【分析】根据存在量词命题的否定直接得出结果.【详解】命题“2[0,)10x x ∃∈+∞-<，”的否定为：“2[0,)10x x ∀∈+∞-≥，”.故选：A4．D【分析】利用全称命题的否定是特称命题形成结果即可.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是：()**00N N n f n ∃∈∉，或f （n 0）＞n 0.故选：D.5．B【分析】由命题的否定的定义判断．【详解】全称命题蝗否定是特称命题．命题“2110x x ∀≥-<，”的否定是2110x x ∃≥-≥，．故选：B ．6．D【分析】根据集合间的关系，全称命题、特称命题的真假判断可得答案.【详解】由于{}1,2,4,5,6P =，{}2,4,6M =，所以M P ，故存在x P ∈，使得x M ∉．故选：D ．7．21a -<<##(2,1)-##{|21}a a -<<【分析】等价于2,220x R x ax a ∀∈++-≠，解2=44(2)0,a a ∆--<即得解.【详解】解：因为命题“2,220x R x ax a ∃∈++-=是假命题”，所以2,220x R x ax a ∀∈++-≠，所以222=44(2)4480,20,21a a a a a a a ∆--=+-<∴+-<∴-<<.故答案为：21a -<<8．a 14≥- 【分析】根据命题p 为假命题，则它的否定￢p 是真命题，利用判别式∆≥0求出实数a 的取值范围.【详解】解：因为命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ﹣a ＞0为假命题，所以它的否定￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ﹣a ≤0为真命题，所以∆＝12﹣4×（﹣a ）≥0，解得a 14≥-. 故答案为：a 14≥- 9．0x ∃∈R ，040x ->【分析】根据全称命题的否定形式，即可求解. 【详解】全称命题的否定是特称命题，∴命题“x ∀∈R ，40x -≤”的否定是：“0x ∃∈R 040x ->”． 故答案为：0x ∃∈R ，040x ->10．0x R ∃∈，200x <【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可求解．【详解】因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：0x R ∃∈，200x <．故答案为: 0x R ∃∈，200x <．11．（1）⌝q: x 0∈R ，x 0是5x -12=0的根 真命题（2）⌝r:任意一个素数都不是奇数 假命题（3）⌝s:x∈R ，|x|≤0 假命题【分析】分别写出（1），（2），（3）命题的否定，再判断真假.【详解】(1)q: x 0∈R ，x 0是5x -12=0的根，真命题. (2)r:任意一个素数都不是奇数，假命题. (3)s:x∈R ，|x|≤0，假命题.【点睛】命题的否定与否命题的区别：否命题是对原命题既否定条件，又否定结论；命题的否定，只是否定命题的结论. 对特（全）称命题进行否定的方法是：改量词，否结论.12．(1)1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)[)2,+∞【分析】（1）由题意得出B A ⊆，从而列出不等式组，求a 的范围即可，（2）由题意R BA ≠∅，列出不等式，求a 的范围即可．（1）解：若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，又集合B 为非空集合， 故有122125a a +⎧⎨+<⎩，解得122a <， 所以a 的取值范围1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭， （2） 解：因为{}15A x x =≤<，所以{|1R A x x =<或5}x ，因为命题“x B ∃∈，x A ∈R ”是真命题，所以R B A ≠∅，即125a +，解得2a ．所以a 的取值范围[)2,+∞．13．AB【分析】根据全称命题、存在命题的否定形式可判断BD 的正误，根据反例可判断A 的正误，根据正三棱锥的定义可判断C 的正误.【详解】p 的否定为()0,2x ∀∈，3cos x x ≤，故B 正确. 因为()0,22π∈，3cos 22ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以p 的否定为假命题，故p 是真命题，故A 正确. 对B ，每个正三棱锥的三个侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故q 为假命题， 故C 错误，而q ⌝为：存在一个正三棱锥，它的三个侧面不都是正三角形，故D 错误. 故选：AB.。
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含有一个量词的命题的否定
例1写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练；
（2）p：∀x∈R，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；
（4）p：∃x∈R，x2－x+1＝0；
分析：（1）⌝ P：有的人不晨练；（2）∃x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）∀x∈R，x2－x+1≠0；
例2写出下列命题的否定。
（1）所有自然数的平方是正数。
（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.
（4）有些质数是奇数。
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。
在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
例3写出下列命题的否定。
（1）若x2＞4 则x＞2.。
（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
（3）可以被5整除的整数，末位是0。
（4）被8整除的数能被4整除。
（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数
x，虽然满足20x＞4，但0x≤2。
或者说：存
在小于或等于2的数
x，满足20x＞4。
（完整表达为对任意的实数x, 若
x2＞4 则x＞2）
（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个
x，使20x+ 0x-m=0无实数根。
（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
）
（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。
（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。
（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。
）
例4写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。
（1）p：若x＞y,则5x＞5y；
（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；
（3）p：正方形的四条边相等；
（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。
解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y；假命题
否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题
（2）⌝ P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题
否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。
（3）⌝ P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。
假命题。
（4）⌝P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。
假命题。
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。
真命题。
评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。
其理由：
1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。
3．原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则⌝q”；而它的否命题为“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。
六、回顾反思
在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
1．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）
A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；
B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
3．命题“∀x∈R，x2-x+3>0”的否定是
4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是
否命题是
5．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：∀m∈R，方程x2+x-m=0必有实根；
（2）q：∃∈R，使得x2+x+1≤0；
6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：
（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．
（2）平方和为0的两个实数都为0．
（3）若ABC
∆是锐角三角形，则ABC
∆的任何一个内角是锐角．（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．
（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．
八、参考答案：
1． B
2．C
3．∃ x∈R，x2-x+3≤0
4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除
否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除
5．（1）⌝p：∃m∈R，方程x2+x-m=0无实根；真命题。
（2）⌝q：∀∈R，使得x2+x+1>0；真命题。
6．⑴若m>1，则方程x2-2x+m=0无实数根，(真)；
⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；
⑶若ABC
∆的任何一个内角不都是锐角(假)；
∆是锐角三角形，则ABC
⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；
⑸若(x-1)(x-2)=0，则1
x，(真)．
=
x或2
=。