初中数学比较二次根式的大小专题辅导

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冀教版数学八年级上册专训1比较二次根式大小的八种方法.docx

专训1 比较二次根式大小的八种方法名师点金：二次根式的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法、定义法等．平方法1．比较6＋11与14＋3的大小．作商法2．比较4－3与2＋3的大小．分子有理化法3．比较15－14与14－13的大小．分母有理化法4．比较12－3与13－2的大小．作差法5．比较19－13与23的大小．倒数法6．已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n，试比较x，y的大小．特殊值法7．用“<”连接x ，1x，x 2，x.(0<x<1) 定义法8．比较5－a 与3a －6的大小．答案1．解：因为(6＋11)2＝17＋266，(14＋3)2＝17＋242，17＋266＞17＋242，所以(6＋11)2>(14＋3)2. 又因为6＋11>0，14＋3>0，所以6＋11＞14＋ 3.2．解：因为4－32＋3＝(4－3)(2－3)＝11－63，63≈10.39，所以11－63＜1.又因为4－3>0，2＋3>0，所以4－3＜2＋ 3.3．解：因为15－14 ＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14， 14－13 ＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13，且15＋14＞14＋13，15＋14>0，14＋13>0，所以115＋14<114＋13，即15－14＜14－13.4．解：因为12－3＝2＋3，13－2＝3＋2，2＋3＞3＋2，所以12－3＞13－2. 5．解：因为19－13－23＝19－33，19－3>0，所以19－33>0.所以19－13>23. 6．解：1x ＝1n ＋3－n ＋1＝ n ＋3＋n ＋12＞0， 1y ＝1n ＋2－n＝n ＋2＋n 2＞0. 因为n ＋3＋n ＋1＞n ＋2＋n ＞0，所以1x ＞1y ＞0.所以x ＜y. 7．解：因为0＜x ＜1，所以不妨取特殊值x ＝14，则x 2＝116，x ＝12，1x＝4. 所以x 2＜x ＜x ＜1x. 8．解：因为5－a ≥0，所以a ≤5.所以a －6＜0.所以3a －6＜0.所以5－a ＞3a －6.初中数学试卷桑水出品。

初中数学比较二次根式大小的八种方法

初中数学比较二次根式大小的八种方法本文介绍了八种比较含二次根式大小的方法，包括平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等。

其中，作商法是比较二次根式大小的常用方法之一，特别适用于由分母和分子两部分组成的二次根式。

此外，还有分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行比较。

例如，对于比较6＋11与14＋3的大小，可以使用平方法，计算它们的平方，然后比较大小。

对于比较a＋1/a＋2与a＋2/a＋3的大小，可以使用作商法，计算它们的商，然后比较与1的大小关系。

对于比较15－14与14－13的大小，可以使用分子有理化法，将它们的分子有理化后再比较大小。

对于比较11/(2－3)与3/(3－2)的大小，可以使用分母有理化法，将它们的分母有理化后再比较大小。

对于比较19－12/33与1/3的大小，可以使用作差法，将它们相减后再比较大小。

对于比较已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n的大小，可以使用倒数法，将它们的倒数比较大小。

对于比较x，x^2，x(0<x<1)的大小，可以使用特殊值法，找到一个特殊值，代入比较。

对于比较5－a与a－6的大小，可以使用定义法，将它们的定义式代入比较。

总之，比较含二次根式大小需要根据具体情况选择合适的方法，灵活运用各种方法可以得到简洁的解法。

文章格式错误严重，需要重新整理。

同时，文章中存在明显的错误和不完整的段落，需要删除。

以下是对原文的修改和改写：题目11：已知 n + 3 + n + 1.n + 2 + n，求证 x < y。

解：将式子化简得 n。

-2，因此 x。

-2.又因为 x + y。

0，所以 y。

-x。

综合两式得 x < y。

题目：已知 5 - a ≥ 1/2，求证 a - 6 < 0.解：将不等式两边同时减去 1/2，得 9/2 - a ≥ 0.因为 9/2.4，所以a ≤ 4.又因为 a - 6 < a - 5 ≤ -4 + 5 = 1，所以 a - 6 < 0.题目3：该段落不完整，删除。

初中数学如何比较两个二次根式的大小

初中数学如何比较两个二次根式的大小比较两个二次根式的大小是初中数学中的一个重要概念。

在比较二次根式的大小之前，我们需要掌握一些基本的概念和方法。

本文将详细介绍如何比较两个二次根式的大小，并提供具体的步骤和实例演示。

一、二次根式的概念和性质回顾在比较二次根式的大小之前，我们需要回顾一些基本的概念和性质：1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

2. 同底数比较大小：如果两个二次根式的底数相同，那么它们的大小关系取决于它们的指数。

当指数相同时，二次根式的大小相同；当指数不同时，指数较大的二次根式更大。

3. 底数相同的二次根式可以合并：如果两个二次根式的底数相同，我们可以将它们合并为一个二次根式，然后比较它们的系数。

二、比较两个二次根式的大小的步骤下面是比较两个二次根式大小的步骤：步骤一：化为同底数如果两个二次根式的底数不同，我们需要将它们化为同底数。

步骤二：合并同类项将化为同底数的二次根式合并为一个二次根式，然后比较它们的系数。

步骤三：化为小数比较大小如果无法化为同底数，我们可以将二次根式化为小数，然后比较它们的大小。

三、实例演示让我们通过一些实际的例子来说明如何比较两个二次根式的大小：例子1：比较√2和√5的大小。

步骤一：化为同底数无法化为同底数。

步骤二：化为小数比较大小使用计算器或手算将√2和√5分别化为小数，得到约等于1.41和约等于2.24。

因此，√5>√2。

例子2：比较√8和√18的大小。

步骤一：化为同底数将√8和√18分别乘以√18和√8，得到√8*√18和√18*√8。

步骤二：合并同类项将√8*√18和√18*√8合并为√8*√18。

步骤三：化为小数比较大小使用计算器或手算将√8*√18化为小数，得到约等于7.75。

因此，√18>√8。

通过这些示例，我们可以看到如何比较两个二次根式的大小。

我们需要先将它们化为同底数，然后比较它们的系数。

如果无法化为同底数，我们可以将二次根式化为小数，然后比较它们的大小。

人教版初中数学八年级下册16.1二次根式的概念及其性质辅导教案

b)二次根式的乘法法则：√a * √b = √(a * b)。
c)二次根式的除法法则：√a / √b = √(a / b)，其中b不为0。
d)二次根式的平方：(√a)^2 = a，其中a为非负数。
3.二次根式的化简与运算：通过性质对二次根式进行化简，掌握二次根式的加减乘除运算。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
4.增强数学运算能力：训练学生对二次根式进行加减乘除运算，提高数学运算的速度和准确性，培养严谨细致的数学运算习惯。
5.培养学生的创新意识：鼓励学生在解决二次根式相关问题时，勇于尝试新方法，探索新规律，激发创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解二次根式的概念：二次根式的定义是本节课的核心，学生需要掌握根号下表示的数为非负数的平方根。
其次，二次根式的性质和运算规则是本节课的重点，也是学生学习的难点。在讲解过程中，我尽量用简单的语言和具体的例子来阐述，但仍有部分学生难以消化。我意识到，可能需要通过更多的练习和变式题目，让学生在反复实践中掌握这些规则。
让我印象深刻的是，在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性。他们通过讨论和实验操作，对二次根式的应用有了更深的理解。这说明，将理论知识与实际操作相结合的教学方式是非常有效的。
1.培养学生的数学抽象能力：通过二次根式的概念及其性质的探究，使学生能够从具体实例中抽象出数学规律，形成数学表达式，提高数学抽象思维。
2.提升逻辑推理能力：引导学生运用二次根式的性质进行推理和论证，掌握二次根式的化简和运算方法，增强逻辑思维和推理能力。
3.发展数学建模素养：通过解决实际问题时运用二次根式，培养学生建立数学模型，运用数学知识解决现实问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

专题比较二次根式大小(供参考)

专题：比较二次根式大小二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。

尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。

下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。

一、移动因式法将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。

例1：比较的大小。

解：＞∴＞二、运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。

此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。

例2：比较与的大小。

解：∵，＞0，＞0∴＜三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。

例3：比较与的大小。

解：∴＞四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。

例4：比较与的大小解：∵＞∴＞五、求差或求商法求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。

求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。

②异号：正数大于负数”来比较与的大小。

例5：比较的大小。

解：∵＜∴＜例6：比较的大小。

解：∵＞1∴＞六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较。

例7：比较的大小。

解：∵＞∴＜七、运用媒介法此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。

例8：已知，，试比较的大小。

解：设，则，∵＜，∴＜，即＜八、设特定值法如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。

初中数学八年级《二次根式》知识点讲解及例题解析

《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释：（1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。

②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1，则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。

八年级数学二次根式知识点

八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。

本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。

1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。

例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。

2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。

即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。

这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。

（2）二次根式的值域为非负实数。

即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。

这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。

（3）二次根式可以转化为分数形式。

即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。

这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。

3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。

（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。

（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。