集合与常用逻辑语句
高中数学知识点汇总表格格式
{|x B =)()()U U B C A C B =)()()U U B C A C B =)U A A ={|x B x ={|U x x A =能够判断真假的语句。
原命题：若p 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互←−−−→复平面内的点向量OZ 向量OZ 的模叫做复数的模，bi，则首先要进行分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），在进行四则运算时，可以把向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是[cos b 12e e μ+。
若2为,x y 轴上的单位正交向量，(,)λμ就是向量a 的坐标。
坐标表示（向量坐标上下文理解）0b ≠存在唯一实数λ，0a b a b ⊥⇔=。
的平行四边形法则、三角形法则。
a +，()abc a ++=+a b -1(a b x -=-MN ON OM =-。
为向量，0λ>与与a 方向相反，a a λλ=。
(,a x λλ=a )()λμ=，a a λ+=)b b a λλ+=+)(与数乘运算有同样的坐标表示。
cos ,a b a b a b =⋅<>12b x x =+2a a =，ab a b ≤⋅。
2a x y =+221y y x ≤+a b b a =，()a b c a c b c +=+，()()()a b a b a b λλλ==。
与上面的数量积、数乘等具有同样4.算法、推理与证明圆的方程圆心x 2+ y 2= r 2（06.计数原理与二项式定理完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第做第n 步有任意取出mN n m ∈且,,k n k n ∈∈≤N N ，，）8. 函数与方程﹑函数模型及其应用9. 导数及其应用)()]()()()()g x f x g x f x g x '''=+，2)()()()()(()0))()f x g x g x f x g x g x '''⎤-=≠⎥⎦， ⎡⎢⎣()x 是[a10. 三角函数的图像与性质11. 三角恒等变换与解三角形sin sin βαβtan tan 1tan tan αα±sin c C=。
《第一章-集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计
《第一章集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计一、内容分析与整合（一）教学内容分析《第一章集合与常用逻辑用语》是高中数学学习的起点，为学生后续学习函数、数列、不等式等数学内容提供了重要的逻辑基础。
本章内容主要分为五个部分：集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算、充分条件与必要条件、以及全称量词与存在量词。
这些内容不仅在数学内部逻辑上紧密相连，而且在实际问题解决中也具有广泛的应用价值。
集合是现代数学的基本概念之一，它是描述事物群体及其相互关系的重要工具。
通过学习集合的概念，学生能够理解集合的确定性、互异性、无序性，并掌握集合的表示方法（如列举法、描述法等）。
集合的学习有助于学生形成分类讨论的数学思想，为后续学习打下坚实基础。
集合间的基本关系主要包括子集、真子集、相等关系等。
这些关系揭示了集合之间的层次结构和相互联系，是学习集合运算和逻辑推理的基础。
学生需要掌握判断集合间关系的方法，并能根据具体问题灵活应用。
集合的基本运算包括并集、交集、补集等。
这些运算是集合论中的重要内容，也是解决实际问题中常用的数学工具。
学生需要掌握集合运算的定义、性质及运算法则，并能够进行复杂的集合运算。
充分条件与必要条件是逻辑推理中的基本概念，它们描述了条件与结论之间的逻辑关系。
通过学习充分条件与必要条件，学生能够理解命题之间的逻辑关系，掌握推理的基本方法，提高逻辑思维能力。
全称量词与存在量词是数学语言中的重要组成部分，它们用于描述具有普遍性或特殊性的数学命题。
学生需要理解全称命题与特称命题的区别，掌握全称量词与存在量词的含义及用法，并能够运用量词进行逻辑推理和命题证明。
（二）单元内容分析本单元内容不仅涵盖了集合论和逻辑推理的基础知识，更在数学学科中占据着举足轻重的地位。
集合论，作为现代数学大厦的基石之一，为我们提供了一个描述和研究数学对象及其相互关系的强大框架。
它使我们能够更清晰地理解和表达数学中的基本概念，为深入学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。
专题1 集合与常用逻辑用语
专题1 集合与常用逻辑用语1.1集合的含义与表示 （1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().1.2集合间的基本关系（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.解析获取vx ：lingzi980N N *N +Z Q R a M a M ∈a M ∉x x x ∅A (1)n n ≥2n21n-21n-22n -1.3 集合的基本运算1. 2.注意：1. 元素与集合的关系,.2.德摩根公式.3.包含关系4.容斥原理.【例1】（2022•新高考Ⅰ）若集合 }4|{，<=x x M }13| {，≥=x x N 则=N MA ．}40|{<≤x xB ． }231|{<≤x x C ．}163|{<≤x x D ． }1631|{<≤x x 【例2】（2022•新高考II ）已知集合{}4211，，，-=A ，{}11≤-=x x B ，则=⋂B A A.{}21，- B.{}21， C.{}41， D.{}41，-【例3】（2022•乙卷理）设全集{1U =，2，3，4，5}，集合M 满足{1U M =，3}，则( )AB {|x x ∈A A A =A∅=∅A B A ⊆A B B ⊆AB {|x x ∈A A A =AA ∅=AB A ⊇AB B ⊇U A {|x x ()U A A =∅()U A A U =U x A xC A ∈⇔∉U x C A x A ∈⇔∉();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+()()()UU U A B A B =()()()U U U A B A B =A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉【例4】（2019•全国）设集合P ＝{x |x 2﹣2＞0}，Q ＝{1，2，3，4}，则P ∩Q 的非空子集的个数为（ ） A ．8B ．7C ．4D ．3【例5】（2020•上海）集合A ＝{1，3}，B ＝{1，2，a }，若A ⊆B ，则a ＝ ． 【例6】已知集合{0A =，1，2}，{|B ab a A =∈，}b A ∈，则集合B 中元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例7】已知集合{{}A =∅，}∅，下列选项中均为A 的元素的是( ) （1）{}∅；（2）{{}}∅；（3）∅；（4）{{}∅，}∅． A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【例8】已知函数2()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =，集合5|(())4B x f f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =≠∅，则实数a 的取值可以是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例9】向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是( ) A ．赞成A 的不赞成B 的有9人 B ．赞成B 的不赞成A 的有11人 C ．对A 、B 都赞成的有21人D ．对A 、B 都不赞成的有8人【例10】（2015•上海）设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是( ) A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 C ．存在a ，1P 不是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 D ．存在a ，1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集1.（2022•乙卷文）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则MN =（ ）A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}2.（2022•上海）已知集合A ＝（﹣1，2），集合B ＝（1，3），则A ∩B ＝ ．3.（2021•新高考Ⅰ）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4}4.（2021•上海）已知集合A ＝{x |x ＞﹣1，x ∈R }，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2≥0，x ∈R }，则下列关系中，正确的是（ ） A ．A ⊆BB ．∁R A ⊆∁R BC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R5.（2022•天津）设全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，2}，则()(U A B =⋂)A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{1-，1，2}D ．{0，1-，1，2}6.（2022•浙江）设集合{1A =，2}，{2B =，4，6}，则(A B = )A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}7.（2022•北京）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|21}A x x =-<，则(UA = )A ．(2-，1]B ．(3,2)[1--，3) C ．[2-，1)D ．(3-，2](1,3)- 8.（2021•乙卷）已知集合{|21S s s n ==+，}n Z ∈，{|41T t t n ==+，}n Z ∈，则(S T = )A ．∅B ．SC ．TD ．Z9.（2020•全国）若集合A 共有5个元素，则A 的真子集的个数为( ) A ．32B ．31C ．16D ．1510.（2020•新课标Ⅲ）已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．611.（2017•江苏）已知集合{1A =，2}，{B a =，23}a +．若{1}A B =，则实数a 的值为 ．12.（2022•重庆期末）下列说法正确的是( ) A ．任何集合都是它自身的真子集B ．集合{a ，}b 共有4个子集C ．集合{|31x x n =+，}{|32n Z x x n ∈==-，}n Z ∈D ．集合2{|1x x a =+，*2}{|45a N x x a a ∈==-+，*}a N ∈13.（2021•重庆期末）已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是()A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈14.（2021•虎丘区月考）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有( ) A ．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B ．只参加球类一项比赛的人数有2人C ．只参加径赛一项比赛的人数为0人D ．只参加田赛一项比赛的人数为3人1.4 充分条件与必要条件充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.抓住关键词：大必小充。
高中数学知识点总结(第一章 集合与常用逻辑用语)
第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。
高中数学知识点基础整理(1)——集合和常用逻辑用语。
大家好，我是小易老师。
所谓基础不牢，地动山摇。
今天起我将开始建个高中数学知识专栏，借助各类网络学习资源整理一下高中数学的知识点框架。
预计用15章的篇幅把高中数学知识脉络理完。
01 集合一、集合的相关概念1. 集合（集）：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）2. 元素：构成集合的每个对象3. 集合与元素的关系：若a 属于集合 A，记作a∈A若 b 不属于集合 A，记作 b?A4. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性5. 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法6. 常见数集的记法：自然数集：N正整数集：N*(或N＋)整数集：Z有理数集：Q实数集：R空集（不含任何元素的集合）：?7. 集合的分类：含有有限个元素的集合叫做有限集含有无限个元素的集合叫做无限集不含有任何元素的集合叫做空集(?)二、集合间的基本关系三、集合的基本运算1. 集合的基本运算2、集合的运算3、补充A∪B＝A?B?A A∩B＝A?A?B4. 德摩根公式四、补充知识1.若有限集 A 中有 n 个元素，则A 的子集个数为个非空子集个数为个真子集有个非空真子集的个数为个2.容斥原理有限集 A、B 的元素的个数，分别记为、：一、命题定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句疑问句，祈使句，感叹句都不是命题真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句一般用小写英文字母表示如二、量词1. 全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等符号：2. 存在量词存在、至少有、有一个、某个、某(有)些等符号：3. 全称命题：含有全称量词的命题全称命题它的否定是4.存在性命题：含有存在量词的命题存在性命题它的否定是三、“且”与“或”,“非”1. “且”（一假则假）“或”（一真则真）2. “非”（否定）四、推出与充分条件、必要条件1.推出“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由 p 可以推出q；记作：2.充分条件、必要条件如果p 可推出q，则称：p 是 q 的充分条件；q 是p 的必要条件3.充要条件如果，且，则称 p 是q 的充分且必要条件（p 是q 的充要条件）五、命题的四种形式1. 若p，则q原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若非p，则非q逆否命题：若非q，则非p 2. 充分条件、必要条件的判定（一）（1）如果p?q，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是p 的必要条件（2）如果p?q，但q?p，则 p 是 q 的充分不必要条件（3）如果p?q，且q?p，则p 是q 的充要条件（4）如果q?p，但p?q，则 p 是 q 的必要不充分条件（5）如果p?q，且q?p，则p 是q 的既不充分也不必要条件3. 充分条件、必要条件的判定（二）若p 以集合 A 的形式出现，q 以集合 B 的形式出现即 A＝{ x | p(x) }，B＝{ x | q(x) }，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为（1）若 A?B，则p 是q 的充分条件（2）若 A?B，则p 是q 的必要条件（3）若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件（4）若，则 p 是 q 的充分不必要条件（5）若，则 p 是 q 的必要不充分条件（6）若 A?B 且 A?B，则p 是q 的既不充分也不必要条件4. 等价命题（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性①?q 是?p 的充分不必要条件 p 是 q 的充分不必要条件②?q 是?p 的必要不充分条件 p 是 q 的必要不充分条件③?q 是?p 的充要条件 p 是 q 的充要条件④?q 是?p 的既不充分也不必要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系5. 常见结论的否定形式。
第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 高中数学人教版新教材必修第一册
第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件一、教学目标：1. 正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.2. 掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系.3. 能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件.4. 培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力.5. 在充要条件的教学中，培养等价转化思想．二、教学重点、难点重点：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念. 难点：能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）复习回顾，创设情景，揭示课题初中学过的命题：一般地，在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命．题．. 其中判断为真的语句叫做真命题．．．，判断为假的语句叫做假命题．．．.命题的形式：若p ，则q ，或者：如果p ，那么q .【讨论练习】判断下列命题中的真假命题：（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形. （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.（3）若2430x x -+=，则1x =（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ，则//a b . 【答案】命题（1）、（4）为真命题，命题（2）、（3）为假命题【引入问题】对于命题，除了真假命题的说法，还有其他的数学说法吗？（二）研讨新知，典型示例一般地，命题“若p ，则q ”为真命题，就称：由条件p 可以推出结论q ，记作：p q ⇒ 并且说，p 是q 的充分条件(sufficient condition)，q 是p 的必要条件(necessarycondition).如果命题“若p ，则q ”为假命题，则称：条件p 不能推出结论q ，记作：p q >≠ 就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件【新的说法】命题（1）、（4）为真命题，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件命题（2）、（3）为假命题，所以p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件【例题研讨】阅读领悟课本18P 例1、例2 （用时约为6-8分钟，教师逐一作出准确的评析.）例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件? （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若21x =，则1x =； （5）若a b =，则ac bc =；（6）若,x y 为无理数，则xy 为无理数. 解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理，p q ⇒，所以p是q 的充分条件.（4）由于2(1)1-=，即1x =-满足21x =，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件. （5）由等式的性质知，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（6）当x y ==为无理数时，2xy ==为有理数，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件.例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件? （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若1x =，则21x =； （5）若ac bc =，则a b =；（6）若xy 为无理数，则,x y 为无理数. 解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件. （2）这是三角形相似的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件.（3）如图1.4-1， 四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.（4）显然，p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.（5）由于(1)010-⨯=⨯，但11-≠，p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.（6）由于2=p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.【小组互动】完成课本20P 练习，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.（三）探索与发现、思考与感悟 已知以下“若p ，则q ”形式的命题：①若:p “||||x y =”，则:q “x y =”；② 设,a b 是实数，若:p “0a b +>” ，则“0ab >”；③若:p “{|02}x A x x ∈=<<”，则:q “{|13}x B x x ∈=-<<”； ④若:p “{|6,}x x x k k Z ∈=∈”，则:q “{|3,}x x x k k Z ∈=∈”.其中p 是q 的充分条件的命题是_______________；p 不是q 的充分条件的命题是_______________;q 是p 的必要条件的命题是_______________；q 不是p 的必要条件的命题是________________.解：①由已知||||x y =可能有x y =或x y =-，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件② 当3,1a b ==-时, 0a b +>,但0ab <，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件③当x A ∈时，必有x B ∈，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 ④当x A ∈时，必有x B ∈，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 综上，p 是q 的充分条件的命题是③④，p 不是q 的充分条件的命题是①②q 是p 的必要条件的命题是③④，q 不是p 的必要条件的命题是①②（四）归纳小结，回顾重点1.完成课本22P 习题1.4 1.22.预习1.4.2 充要条件五、教学反思：（课后补充，教学相长）1.4.2 充要条件（一）复习回顾，创设情景，揭示课题【引入问题】下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题与它的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，则0ac < （4）若A B 是空集，则A 与B 均是空集.【答案】易知命题（1）和（4）与它的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，它的逆命题是真命题.（二）研讨新知，典型示例如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p q ⇒又有q p ⇒就记作 p q ⇔此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，则可称p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary condition). 显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件.【答案】上述思考中的命题（1）和（4），p 是q 的充要条件.【例题研讨】阅读领悟课本21P 例3，（用时约为2-3分钟，教师逐一作出准确的评析.）例3下列各题中， 哪些p 是q 的充要条件?（1） p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直且平分； （2） p ：两个三角形相似，q ：两个三角形三边成比例； （3）:0p xy >，:0,0q x y >>（4）:1p x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，:0(0)q a b c a ++=≠ . 解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么？可以是菱形或者特殊的等腰梯形），所以q p >≠，所以p 不是q 的充要条件.（2）因为此题中“若p ，则q ”是相似三角形的性质定理，“若q ，则p ”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件.（3）因为0xy >时，0,0x y >>不一定成立(为什么？因为可以有0,0x y <<)，所以p q >≠，所以p 不是q 的充要条件.（4）因为此题中“若p ，则q ”和“若q ，则p ”均是真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件.【例题研讨】阅读课本22P 例4，（用时约为2-3分钟，同桌交流感受）（三）探索与发现、思考与感悟1. 已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由0a >且0b >可得0a b +>且0ab >，由0a b +>有,a b 至少一个为正，0ab >可得,a b 同号，两者同时成立，则必有0a >且0b >，故选C.2. 已知:10,:p x q x a -<>，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 解：由已知:1,:p x q x a >>，若p 是q 的充分不必要条件，则p q ⇒，但q p >≠， 也就是说，p 对应集合是q 对应集合的真子集，所以1a <答案：{|1}a a <3. 设集合2{|0},{|03}x A x B x x x-=≤=<<，那么“m A ∈”是“m B ∈”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：由已知2{|0}{|02}x A x x x x-=≤=<≤．{|03}B x x =<< 所以m A m B ∈⇒∈，但是m B m A >∈≠∈，所以“m A ∈”是“m B ∈”的充分不必要条件．故选A4. 设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：由题意得：，所以D 是A 的必要不充分条件，故选B（四）归纳小结，回顾重点1、充分条件、必要条件、充要条件命题真假“若p ，则q”为真命题“若p，则q”为假命题“若p，则q”与逆命题“若q，则p”均为真命题推出关系p q⇒p q>≠p q⇔条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件p是q的充要条件q是p的充要条件2、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件集合{|()},{|()} A x p x B x q x ==关系A B⊆B A⊆A B=A B⊄且B A⊄图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件（五）作业布置，精炼双基1.完成课本22P练习 1、2、32. 完成课本习题1.4 1、2、3、4、5、6五、教学反思：（课后补充，教学相长）。
高考第一轮复习集合与常用逻辑用语
年级高三学科数学版本通用版课程标题高考第一轮复习——集合与常用逻辑用语编稿老师孙丕训一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破考纲解读:1. 集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。
2．对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面内容：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价；二是充要条件的判定。
这些内容大多是以其他数学知识为载体，具有较强的综合性。
3. 常用逻辑用语高考以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、特称命题的否定为主。
命题预测：1. 根据考试大纲的要求,结合近几年高考的命题情况,可以预测集合这部分内容在选择、填空和解答题中都有可能涉及.高考命题热点有以下两个方面:一是对集合的运算、集合的有关陈述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查,题型常以选择、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现. 2. 作为高中数学的基础知识,命题、量词与逻辑联结词、四种命题及充要条件是每年高考的必考内容,题量一般为1~2道,多以选择题或填空题的形式出现,难度不大,重点考查命题真假的判断,全称命题与特称命题的否定, 与函数、直线与平面、圆锥曲线等知识联系很紧密,要求考生理解命题的四种形式、充分条件、必要条件、充要条件的意义,能够判断给定的两个命题的逻辑关系.题目内容和思想方法涉及或渗透到高中数学的各个章节,有一定的综合性.二、重难点提示重点：理解集合的表示，能准确进行集合间的交、并、补的运算；正确地对含有一个量词的命题进行否定。
难点：集合的表示及充分必要条件的判定。
一、知识脉络图二、知识点拨1. 集合与元素（1）集合元素具有三个特征：、、。
（2）元素与集合的关系是属于或不属于的关系，用符号∈或∉表示。
（3）集合的表示法：、、、。
（4）常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N＋）；整数集Z；有理数集Q；实数集R;复数集C。
高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲逻辑联结词全称量词与存在量词
第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题； 对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假． 其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。
第一章集合与常用逻辑用语-1.2集合(试题及答案解析)
第一章集合与常用逻辑用语§1.2.1 命题与量词一、选择题1．已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2是一个偶数;④若x=2,则x2−5x+6=0.其中是命题的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．42．下列命题中为真命题的是（）A．平行直线的倾斜角相等 B．平行直线的斜率相等C．互相垂直的两直线的倾斜角互补 D．互相垂直的两直线的斜率互为相反数3．下列命题中是全称量词命题的是（）A．圆有内接四边形 B．√3>√2C．存在x0∈(0,1)，使2x0=1D．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形4．下列全称量词命题中真命题的个数是（）①末位是0或5的整数，可以被5整除；②钝角都相等；③三棱锥的底面是三角形.A．0 B．1 C．2 D．35．下列存在量词命题中真命题的个数是（）①∃x∈R,x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x{x|x是无理数}，x2是无理数。
A．0 B．1 C．2 D．36．下列是全称量词命题且是真命题的是( )A．∀x∈R,x2>0 B．∀x∈Q,x2∈QC．∃x0∈R,x02>1 D．∀x,y∈R,x2+y2>07．．下列存在量词命题中，假命题是（）A.∃x∈Z,x2−2x−3=0 B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一条直线 D．∃x∈{x是无理数}，x2是有理数8．下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是( )A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x02>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x>29．给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( ) A．4 B．2 C．1 D．－310．已知“命题p:∃x∈R,使得ax2+2x+1<0成立”为真命题，则实数a满足( )A．[0,1) B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(－∞，1]二、填空题1、下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′2、命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)三、解答题11．已知命题“∃x∈[1,2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，求a的取值范围．12．是否存在整数，使得命题“∀x∈R,m2−m<x2+x+1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．第一章集合与简易逻辑§1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定一、选择题1．已知命题p：“∃a>0，有a+1a<2成立”，则命题¬p为（）A．∀a≤0，有a+1a ≥2成立B．∀a>0，有a+1a≥2成立C．∃a>0，有a+1a ≥2成立D．∃a>0，有a+1a>2成立2．已知命题p:∀x∈R，e x≥1+sin x.则命题¬p为（）A．∀x∈R，e x<1+sin x B．∀x∈R，e x≤1+sin xC．∃x0∈R，e x0≤1+sin x0D．∃x0∈R，e x0<1+sin x03．若命题p:∃x∈Z,e x<1，则¬p为（）A.∀x∈Z,e x<1B.∀x∈Z,e x≥1C.∀x∉Z,e x<1D.∀x∉Z,e x≥1 4．命题“若a2+b2=0则a=0且b=0”的否定是（）A．若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0.B．若a2+b2=0,则ab≠0.C．若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0.D．若a2+b2=0,则a2+b2≠0. 5．命题“存在x0∈R，使得x03>x02”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x3>x2B．不存在x0∈R，使得x03≤x02C．对任意x∈R，都有x3≤x2D．存在x0∈R，使得x03≤x02二、填空题6．命题“∀x∈R,3x2−2x+1>0”的否定是__________.7．命题：“∃x∈R,x2−ax+1<0”的否定为__________．8．若命题“存在x<2017,x>a”是假命题，则实数a的取值范围是__________.三、解答题9．写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）任何有理数都是实数；（2）存在一个实数a，能使a2+1=0成立.10．已知命题“∃x∈[1,2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，求a的取值范围．11．是否存在整数m，使得命题“∀x∈R,m2−m<x2+x+1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．12．已知命题p:∀x∈[0,1],x2−a≥0,命题q:∃x0∈R,x02+2ax0+a+2=0，若命题p,q至少有一个是真命题，求实数a的取值范围．第一章集合与简易逻辑§1.2.3 充分条件、必要条件一、选择题1．命题“正方形的四条边都相等”中的条件是（ )A．正方形B．正方形的四条边C．四条边D．四条边都相等2．如果命题“p⇒q”是真命题，那么①p是q的充分条件②p是q的必要条件③q是p的充分条件④q是p的必要条件，其中一定正确的是（ )A．①③B．①④ C．②③D．②④3．已知p:A=ϕ，q:A∩B=ϕ，则p是q的（ )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若a >0,b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知p:x >0，q:x 2>0，则（ ） A ． q 是p 的充分条件 B ． q 是p 的必要条件 C ．命题是真命题D ．命题是假命题 6．对任意的实数a,b,c ，在下列命题中的真命题是（ ）A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要不充分条件B ．“ac =bc ”是“a =b ”的必要不充分条件C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分不必要条件D ．“ac =bc ”是“a =b ”的充分不必要条件 二、填空题7．设x ∈R ，则“x =1”是“x 3=8．“a 2=b 2”是“a =充分也不必要）．9．已知s 是r 的充分条件，r 是p 的充分条件，p 是s 充分条件，则s 是p 的________________条件． 10．已知A ={x|1≤x ≤2}，{|}B x x a =<，如果B 的充分条件是A ，则实数a 的取值范围是_________. 三、解答题11．试判断“p:x =1”是“q:x 3−x 2−x +1=0”的充分条件还是必要条件？并给出证明.12．已知P ={x |x 2−3x +2≤0}，S ={x |1−m ≤x ≤1+m }.（1）是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由．答案与解析§1.2.1 命题与量词一、选择题1．已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2是一个偶数;④若x=2,则x2−5x+6=0.其中是命题的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①陈述句，但未表示判断；②表示判断，但是缺少必要的陈述条件；③是陈述句有判断，是命题；④是陈述句，也有判断，是命题.故选B.2．下列命题中为真命题的是（）A．平行直线的倾斜角相等 B．平行直线的斜率相等C．互相垂直的两直线的倾斜角互补 D．互相垂直的两直线的斜率互为相反数【答案】A【解析】∵当两直线平行时，它们与x轴的夹角相等，即直线的倾斜角相等，故A成立．∵当两平行直线都与x轴垂直时，直线的倾斜角都为90°，斜率都不存在，故B不成立．∵互相垂直的两直线，当其中一条和x轴垂直，另一条和x轴平行时，它们的倾斜角一个为90度，另一个为0度，并不互补，故C不成立．∵互相垂直的两直线，当其中一条和x轴垂直，另一条和x轴平行时，它们的斜率一个为0，另一个不存在，故D不成立．故选 A．3．下列命题中是全称量词命题的是（）A．圆有内接四边形 B．√3>√2C．存在x0∈(0,1)，使2x0=1D．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形【答案】A【解析】含有存在量词“有些”“至少”“存在”的命题都是特称命题；含有全称量词“任意”“所有”“全部”的命题都是全称量词命题.A中命题即为所有的圆都有内接四边形，是全称量词命题.其余三个命题均不是全称量词命题.故选A.4．下列全称量词命题中真命题的个数是（）①末位是0或5的整数，可以被5整除；②钝角都相等；③三棱锥的底面是三角形.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①正确；②错误，钝角不一定都相等，如120°，150°是钝角，但不相等；③正确，三棱锥四个面都是三角形.5．下列存在量词命题中真命题的个数是（）①∃x∈R,x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数。
第一章 集合与常用逻辑用语复习
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个 x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．
(3)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词 命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称量词命题．
7．充分条件、必要条件、充要条件 关于充要条件的判断主要有以下几种方法：的概念在数学中的抽源自与反应．(1)交集运算的性质
A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A； (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；如果A⊆B，则A∩B＝A.
(2)并集运算的性质
A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A； (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；如果A⊆B，则A∪B＝B.
(3)补集运算的性质
∁U(∁UA)＝A；A∩(∁UA)＝∅；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； ∁U(A∪B)＝ (∁UA)∩(∁UB)．
[典例6] 已知p：－2<m<0,0<n<1，q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小 于1且互不相等的正实根，试判断p是q的什么条件．
p是q的必要不充分条件
[典例7] 已知p：x∈{x|－2<x－1<2}，q：x∈{x|－2<x<3}，问p是q的什
么 条件？
[典例8] 已知α是β的充要条件，δ是γ的必要条件，同时又是β的充要
条
件，试求α与γ的关系．
四、数学思想方法 1．数形结合思想 集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助维恩图、数轴或直角坐标系等 工具将抽象问题直观化、形象化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活 直观地获解．
[典例9] 设A＝{x|－2<x<－1或x>1}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}．已知A∪B＝ {x|x>－2}，A∩B＝{x|1<x≤3}，试求a，b的值．
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高考冲刺第1讲 集合与简易逻辑
一、知识要点与基本方法：
（一）集合的概念
1．集合元素的三大特征：无序、互异、确定
2．集合的表示方法：描述、区间、列举、Venn
3．元素与集合的关系：元素与元素，元素与集合，集合与集合
（二）集合的运算
1．交集
2．并集
3. 补集
4. 集合中所含元素个数及子集个数。
（三）逻辑联结词和四种命题
1. 量词
2. 基本逻辑连接词
3. 真值表
4. 四种命题
（四）充分条件与必要条件
二、典型例题：
例1、设A 、B 是两个集合，对于A B ⊆，下列说法正确的是（ ）
A ．存在0x A ∈，使0x
B ∈ B ．B A ⊆一定不成立
C ．B 不可能为空集
D ．0x A ∈是0x B ∈的充分条件
例2．设集合{}{}
021x M x x m N y y x R =-≤==-∈,,，若 M N φ=，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m ≥－1
B ．m ＞－1
C ．m ≤－1
D ．m ＜－1
例3．集合M ＝{x ││x │＝1}，N ＝{ x │ax ＝1}，M ∪N ＝M ，则实数a 的所有可能值的集合为（ ）
A ．{1，－1}
B ．{1}
C ．{0，1}
D ．{－1，0，1}
例4．设集合}|20{},|11{22N q q B N p p A ∈+=∈+=。
若M B A = ，则M 中元素的个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、至少3
例5．已知+∈∈R y R x ,，集合}1,2
,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A ，若A=B ，则2
2y x +的值是（ ）
（A ）5 （B ）4 （C ）25 （D ）10
例6.下列4个命题
111:(0,),()()23
x x p x ∃∈+∞< 2:(0,1),p x ∃∈㏒1/2x>㏒1/3x 31p :(0,),()2x x ∀∈+∞>㏒1/2x 411:(0,),()32
x p x ∀∈<㏒1/3x 其中的真命题是( )
A 13,p p
B 14,p p
C 23,p p
D 24,p p
例7．设集合101
x A x x -=<+{|},B={x ||x －1|＜a }，若“a =1”是“A ∩B ≠∅的( )” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
例8．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n ∈Z}，
k ＝0，1，2，3，4。
给出如下四个结论：
①2011∈[1]；
②－3∈[3]；
③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]。
其中，正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4。