第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics
西北师范大学物理与电子工程学院
豆福全
第七章Green函数法
Green Function method
引言
前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题
7.1.1 内问题
Laplace 方程： 2222220u u u
x y z
???++=???
0u ?=
描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：
1. 第一边值问题 Dirichlet 问题
设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有
u
f Γ
=
具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。第一边值
问题的等价说法：在区域Ω内求一调和函数u ，使它在Ω=Ω+Γ上连续，并且在边界Γ上与已知函数相等。
2. 第二边值问题 Neumann 问题
u
f n Γ?=? n r 为Γ的外法线方向 3.第三边值问题
()u
u f n
α
β?+=? 其中α、β 不全为零 三维Laplace 方程的边值问题可统一写为：
0()u u u f n αβ?=??
??
+=???
三维Poisson 方程的边值问题可统一写为：
()u h u u g n βα?=-??
??+=???
其中g 、h 均为连续的三元函数
内问题：以上所讨论的边值问题都是在边界Γ上给定某些约束条件，并在Ω的内部求Laplace 方程或Poisson 方程的解，这样的问题称为内问题。
7.1.2 外问题
物理中，在确定物体外部的稳恒温度场时，人们常常将它归结为某一区域Ω的外部求调和函数(,,)u x y z ，并满足边界条件u
f Γ
=，这里Γ表示Ω的边界，f
表示物体表面的温度。类似这样的定解问题称为Laplace 方程的外问题。
1. Dirichlet 外问题
设f 是定义在曲面Γ上已知的连续函数，求一函数(,,)u x y z ，使得它是Γ的外部区域'Ω内的调和函数，并在'Ω+Γ上连续，而且当(,,)u x y z →∞时，u 满足
lim (,,)0r u x y z u f →∞
Γ=???
=??
(r = 物理上看，引入上述极限的条件是因为电学上总是规定无穷远点处的电位为零。数学上看，有了这个条件可以保证外问题解的唯一性。如：单位球面Γ外求一调和函数(,,)u x y z ，使其满足1u Γ
=，
则1(,,)1u x y z =与21
(,,)u x y z r
=都是上述问题的解。
2.Neunmann 外问题
lim (,,)0r u x y z →∞
=，
u f n
Γ
?=?
本章我们仅讨论内问题，所用方法也适合外问题。
7.1.3 Laplace 方程的球对称解
球坐标下Laplace 方程 0u ?= 外下述形式：
22222222221cos 1()0sin sin u u u u u
r r r r r θθθθθ?
?????++++=????? 或
2211[(sin )(sin )()]0sin sin u u u
r r r r θθθθθ?θ?
??????++=??????
若具有球对称性，u 不依赖于θ和?，仅与r 有关，则方程简化为：
2()0d du r dr dr =,2p du
r C dr
=,21()p p C dr du C d r r ==-
∴1
2(0)C u C r r =
+≠ 1C 、2C 为任意常数，取114C π=，20C =则得球对称解为1
(0)4u r r
π=≠。
7.2 Green 公式 调和函数的基本性质
Green 公式是研究Green 函数的工具，本节先介绍Green 公式，再对调和函数的基本性质加以说明。
7.2.1 Green 公式
Green 公式可视为微积分学中Gauss 公式的两个推论，有了Green 公式就可推出Laplace 方程解的积分形式，并讨论解的性质。
设Ω是以足够光滑的（分片光滑）曲面Γ为边界的有界连通区域，(,,)x y z P 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 为ΩΓU 上连续且在Ω内有连续偏导数的任意函数，则Gauss 公式（奥斯特洛格拉法斯基）公式：
(
)(cos cos cos )()
Q R
dV Q R ds x y z dydz Qdzdx Rdxdy αβγΩ
Γ
Γ
?P ??++=P ++???=P ++???????
其中dV 是体积之和（Ω内），(cos ,cos ,cos )n αβγ=r
为Γ的外法线方向，ds
是Γ上的面积微元。
设函数(,,)u x y z 和(,,)V x y z 在闭区域Ω=ΩΓU 是具有连续的一阶偏导数，在Ω内具有连续的所有二阶偏导数，在Gauss 公式中，令v
u
x
?P =?，v Q u y ?=?，
v
R u
z
?=?。 则
[
()()()][cos cos cos ]v v v u u u dV x x y y z z
v v v
u u u dS
x y z αβγΩ
Γ
??????++?????????=++????????
即
222222[()()][(
cos cos cos )]v v v u v u v u v u dV x y z x x y y z z v v v
u dS x y z
αβγΩΓ
?????????+++++????????????=++????????
()(
)u v u v u v v
u v dV dV u dS x x y y z z n Ω
Ω
Γ????????+++=??????????????? ∴()()v u v u v u v
u v dV u
ds dV n x x y y z z Ω
Γ
Ω
????????=-++??????????????? ——Green 第一公式
其中?：三维Laplace 算子，n
?
?表示S 的外法线方向导数。 也可以写为：
()v
u v dV u
dS u vdV n Ω
Γ
Ω
??=-???????????? （1） 其中u gradu ?=，表示函数u 在点(,,)x y z 处的梯度。 将u 和v 的位置互易，得
()u
v u dV v
dS u vdV n Ω
Γ
Ω
??=-???????????? （2） 两式相减有：
()()v u
u v v u dV u
v dS n n
Ω
Γ
???-?=-??????? ——Green 第二公式
7.2.2 调和函数的积分形式
利用Green 公式推导调和函数的积分形式
定理：设曲面Ω是Γ的边界，若函数(,,)u x y z 在Ω内具有二阶连续偏导数，在闭区域Ω=ΩΓU 上有一阶连续偏导数，则(,,)u x y z 在Ω内任一点0M 处函数值可表示为
01()
111()[]44u u
r u M u dS dV r n n r ππΓ
Ω
???=--???????
其中n r
为Γ的外法线矢量，r 是0M 到定点M 的距离0()MM r
r = :()u u M
[证] 由于函数1
r 在Ω内有奇异点0M ，故不能直接利用Green 公式，需要
将奇异点挖掉：作一以0M 为球心，充分小的正数ρ为半径的球面ρΓ，并在Ω内
挖去ρΓ所围的球形区域ρΩ。这时1
r
在区域ρΩ-Ω及边界ρΓ+Γ上任意处可微，
且可验证1
r
在ρΩ-Ω内处处满足Laplace 方程
1
()0r ?= 令1V r =在区域1ρΩ=Ω-Ω上，利用Green 第二公式：
111
()()
1111[()][][]u
r r u u dV u u dS r r n r n n r n ξΩΓ+Γ?????-?=-+-????????? 在1Ω内1
()0r
?=
上式左端11
111
[()]udV u u dV r r r ΩΩ=-?=?-??????
∴111
()()
111[][]u u
r r udV u dS u dS r n r n n r n ρ
ΩΓΓ????-?=-+-???????????
先计算沿球面ρΓ内法线方向的方向导数：
2
1
1()()1
r r r
n
r
ρ
ρ
ρΓ=??=-=
?? （n r 与半径r r
方向相反）
所以
2
1()
1r u dS udS n ρ
ρ
ρΓΓ?=?????
得
1
21()
1111[]u u r u dS udS dS udV n r n r n r ρρρΓΓΓΩ???-+-=-????????????? 由积分中值定理：
2112
2
1
1
()()44()u M dS u M u M ρ
πρπρ
ρ
Γ==??
同理：
22
2
11144M M u u u u dS dS r n n n n
ρρ
πρπρρρΓΓ????===
????????
1M ，2M 是球面ρΓ某两点，让0ρ→，则10M M →，20M M →。同时u n
??在0M 的邻域内是有界的，所以当0ρ→时
2
40M u
n
πρ?→?。
01()
11[]4()u r u dS M udV n r n r πρΓΩ??-+=-???????? ∴01
()
1111
()[]44u r u M u dS udV r n n r ππΓ
Ω
??=
--???????? 若(,,)u u x y z =是Ω内的调和函数，则
01
()
11()[]4u
r u M u dS r n n
πΓ??=-???? ——调和函数的积分表达式（调和函数性质之一） 表明：对于在闭区域Ω=Ω+Γ上一阶偏导数连续的调和函数u ，它在Ω内任一点0M 处的值可用该函数在Ω的边界Γ上的值及其在Γ上法向导数值来表示。
注：推导过程中，点0000(,,)M x y z 始终在区域Ω内。若0M 在Ω外，式0M 在
Ω的边界曲面Γ上，同样也可得到类似式子。
00000011[()]2()4()M u u dS u M M r n n r u M M ππΓΩ????-=P ????Ω?
??在外
在上在内
7.2.3 调和函数的性质
1. Neumann 问题有解的必要条件
设函数(,,)u u x y z =是以曲面Γ为边界的区域Ω的调和函数，在Ω=Ω+Γ上有一阶连续偏导数，则0u
dS n
Γ
?=???
。 [证] 第二Green 公式中u 为调和函数，1V =可得证。
说明：调和函数的法向导数沿区域边界的积分等于零。对稳定的温度场来说，表示经过物体界面流入和流出该物体的热量相等，否则就不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
也有此式得Neumann 问题有解的必要条件为：0fdS Γ
=??。
可以证明这一条件也是Neumann 问题有解的充分条件。
2. 球面平均值公式——平均值定理
定理：设函数u 在某区域Ω内调和，0M 是Ω内任一点。若a Γ是以0M 为中心，a 为半径且完全给在Ω内的球面，则：
02
1
()4a
u M udS a πΓ=
??
[证]
2111
()()a
r a
n r
r r
a
Γ=??=
=-
??，并在球面a Γ上应用调和函数的积分表达式和性质1即可得证。0()u M 处的值就等于在球面a Γ上的平均值。
表明：只要a Γ所围球形区域不超出u 的调和区域，则该调和函数在球心0M 。 3.最值定理
定理：若u 是区域Ω内的调和函数，在闭区域Ω=Ω+Γ上连续且不恒为常数，则该函数的最大值和最小值只能在边界上取得。
分析：对稳定的温度场来说，热量的流动处于动态平衡，当内部无热源时（即方程是齐次的0u ?=）温度分布不可能在内部有最高点和最低点。否则，热量将
由温度高的地方流向温度低的地方，这就与没有热源且是稳定的温度场的假设相违背。
https://www.360docs.net/doc/5b18905366.html,lace方程边值问题的唯一性
7.3 Green 函数
7.3.1 Green 函数的引入
由上节知，设曲面Γ是区域Ω的边界。若函数(,,)u u x y z =在Ω内具有二
阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上有一阶连续偏导数，则(,,)u u x y z =在Ω内任一点
0M 处的函数值可表示为：12()()()u u M c c =∈ΩΩI
01
111
()[
()]44111
[()]444u u
u M u dS dV r n n r r u u dS u dV
r n n r r π
π
πππΓ
Ω
ΓΩ
???=
--????=--??????????????
当0
MM r r =时，若()V V M =是区域Ω内的某一调和函数，由第二Green
公式有：
0()V
u v
v
u dS v udV n n Γ
??=--???????? 将上面两式相减，有
0111()[(
)
()]()444u u M v u v dS v u dV r
n n r r πππΓ
Ω
??=-----????????? 记
01(,)4G G M M v r
π==
-
则有
0()[]u G
u M G
u dS G udV n n Γ
Ω
??=--???????? 函数G 在Ω内除点0M （0M 是奇点）外,满足Laplace 方程，若开始时选取：
14V
r
πΓ
Γ
=
即 0G
Γ
=
这样定义的函数G 称为Laplace 方程第一边值问题的Green 函数。
注：1. Green 函数定义式中的函数v 实际上就是区域Ω内的边值问题
014V V r πΓΓ?=??
?
=??
的解
2. G 满足
0G G Γ
?=??
=? 实际上0()G M M δ?=--。 0
000()M M M M M M δ≠?-=?
∞=? Green 函数为该定解问题的解。 3. Green 函数0(,)G M M 在物理中常用来表示一定的边界条件下，位于0M 的点源在点M 处产生的场。在这个意义下，将Green 函数称为Laplace 方程第一边值问题的源函数，0M 称为源点，M 称为场点。
位于处的源在x 处的响应，由0()[]u G
u M G
u dS G udV n n Γ
Ω
??=--????????可知函数V 一经求出，则Laplace 方程第一边值问题0
u u f Γ?=??=?的解（若存在）也可用Green
函数表示：0()G
u M f
dS n
Γ
?=-??? Poisson 方程第一边值问题u F
u f Γ
?=??=?的解（若存在）也可用Green 函数表示：
0()G
u M f
dS FGdV n Γ
Ω
?=--?????? 由此可见，对任意函数f 求Laplace 方程或Poisson 方程第一边值问题的解就转化为求相应的Green 函数。而由Green 函数的定义，求某区域内的Green 函
数就是去求一调和函数V ，满足014V V r πΓΓ?=???=?? ，而求01
4V V r πΓΓ?=??
?=??
的解。 最终，将Laplace 方程第一边值问题的求解归结为另一Laplace 方程第一边值问题的求解。似乎没有在本质上得以解决问题，有点“换汤不换药”之感，但
0()G u M f
dS n Γ
?=-???， 0()G
u M f dS FGdV n ΓΩ
?=--??????有着重要的意义。 （1）Green 函数仅与区域有关，而与原Laplace 方程第一边值问题的边界条件无关。只要求出某区域上的Green 函数，就可以一劳永逸的给出所有Laplace
方程第一边值问题的统一形式解。
（2）对于某些特殊的区域，如球形区域或半空间，Green 函数可以通过比较直观的物理方法求得。
物理意义：Green 函数在物理，化学及工程学等多门学科中都有着举足轻重的作用和地位。如在静电学中，假设在闭曲面Γ内一点0M 处放置一单位正电荷，即以它在Γ的内侧就感应有一定分布密度的负电荷，而在Γ的外侧则分布有相同数量的正电荷。若曲面Γ是导体，并接地，则分布在Γ外侧的正电荷消失，电位（势）变为0，这时Γ内任意一点M 处的电势就由两种电荷产生：
①位于0M 处的单位正电荷，产生的电势为
1
4r
π（假设介质的介电常数为1）。
②Γ的内侧所感应的负电荷，产生的电势V ，V 是Laplace 方程第一边值问
题01
4V V r πΓΓ?=???=??
的解。 所以，Green 函数0(,)G M M 表示位于0M 处的单位正电荷在导电曲面Γ内任一点M 处产生的电势。
7.3.2 Green 函数
1.基本解
定义：设L 是线形微分算子，称方程0()Lu M M δ=-的解0(,)u M M 为方程
()Lu f M =或0Lu =的基本解或称算子L 的基本解，有时也称自由空间的Green
函数，其中M 为区域Ω内一点，0M 为Ω内任一固定点。0(,)u M M 在0M M ≠时满足0Lu =。而0M 点为该函数（或某阶导数）的奇点。如：三维Poisson 方程
和Laplace 方程()0u f M u ?=???=?
的基本解为0()u M M δ?=-的解，其中
0000()(,,)M M x x y y z z δδ-=---
课本P 292-301为利用Fourier 变换法求各种方程的基本解。 几种常见方程的基本解：
04xx yy zz u u u u u πρ?=++=??
?=-?
基本解：11
[,]44u V V r r ππ== 0xx yy u u u ?=+= 1
ln 2u r π
=-
物理意义：点00(,)x y 处放置一单位点热源在(,)x y 处产生的影响，即物体的稳恒温度场就是基本解。或在点00(,)x y 处放置一单位电荷，在点(,)x y 处所产生的电势分布。
热导方程Cauchy 问题2(,0)()
t xx u a u u x x ??=?=?
的基本解为：2
2
()4x a t V ζ--=
三维波动方程Cauchy 问题： 2()
(,,,0)(,,)(,,,0)(,,)tt xx yy zz t
u a u u u u x y z x y z u x y z x y z ?ψ?=++?
=??=?
基本解为：1
(,)()4W r t r at ar
δπ=
- 一维波动方程Cauchy 问题：：2(,0)()(,0)()tt xx t
u a u u x x u x x ?ψ?=?
=??=? 的基本解为：
1
(,,)20x at
W x t a
x at ξξξ? -?
均有物理意义。
2．Green 函数. 定义：满足
0()0G M M G δ?=-- Ω??= Γ?内上， 的函数0(,)G M M 称为Laplace 方程
Dirichlet 问题的Green 函数。其中Γ为Ω的边界。 类似的满足
0()0G M M G
n δΓ
?=-- Ω??
??=???内
的函数0(,)G M M 称为Laplace 方程Neumann 问题的Green 函数。n r
为Γ的外法
线方向——实际上不存在（物理，数学上）要引入广义Green 函数： 满足
0()0 G M M G
G n δαβΓ
?=-- Ω??
??= ???内（+） 的函数0(,)G M M 称为Laplace 方程Robin 问题的Green 函数。（α，β不同时为零）
Neumann 问题的Green 函数不存在的情况解释：G 为稳定温度场，δ表示物体内部有热源，即在Γ上
0G
n
?=?表示物体在边界上无热交换，
因而热源散发出的热量不能通过边界散发出去，物体内的温度不断升高，此温度场不稳定。从数学的角度也可以严格证明。
7.3.3 Green 函数的性质
性质1. 设0(,)G M M 是区域Ω上的Green 函数，曲面Γ为Ω的边界，则
1G
dS n Γ
?=- ??? [证] 由Gauss 公式及0()0G M M G δΓ?=-- ??=? ，0()1M M dV δΩ
-=???
有
0(,)1G
dS GdV M M dV n δΓΩΩ
?=?=-=-????????? 性质2. 对称性 互易原理 关于源点和场点是对称的。
Green 函数0(,)G M M 关于点0(,)M M 具有对称性。即对区域Ω内的任意两个互异点1M ，2M ，有1221(,)(,)G M M G M M =。
物理意义：位于点1M 的点源，在Dirichlet 边界条件下在2M 点产生的场，等于位于2M 点同样强度的点源，在相同边界条件下在1M 点产生的场，物理上称为互易性或倒易性。
7.4 Green 函数法
7.4.1 Green 函数法
假设Green 函数已求出，就可研究Laplace 方程和Poisson 方程各类边界问题解的积分表示，前节已讨论
定解问题 0u u f Γ?= Ω??=?内
0()[]u G u M G
u dS G udV n n Γ
Ω
??=--???????? 而三维Poisson 方程边值问题为：
()u h u
u f n αβΓ?=- Ω??
??+=Γ???内
上 h ，g 为连续三元函数 0000(,)()[(,)
](,)G M M u
u M G M M u dS G M M udV n n Γ
Ω
??=--???????? 中用0(,)G M M 代替0(,)G M M 并让M 与0M 互换有
000000000
(,)()(,)()[(,)
()]G M M u
u M G M M h M dV G M M u M dS n n Ω
Γ
??=+-??????? 其中
n ?
?表示在0M 求导，0dV ，0dS 分别表示在0M 取面积元，体积元素 —— 基本积分公式
1. 第一类边界条件 0,0αβ=≠ ， 即f u
β
1=Γ
，0(,)G M M 位置M ，时
间t 处。由0M 处影响，将所有影响加起来（积分）
0000000
(,)
1
()(,)()()
G M M u M G M M h M dV f M dS n β
Ω
Γ
?=-
??????
（源与初始条件所有影响加起来的结果。）
2.第二类边界条件 0,0αβ≠=，
1
()u f M n α
Γ
?=?
0000
001
()(,)()(,)()u M G M M h M dV G M M
f M dS α
Ω
Γ
=+
?????
3.第三类边界条件 0,0αβ≠≠
0000
001
()(,)()(,)()u M G M M h M dV G M M f M dS α
Ω
Γ
=+
?????
若是定解问题
0u u f ?= Ω??
= Γ?内上
则
00(,)
()G M M u M f M dS n Γ
?=???（）
这种先求Green 函数，再求原问题解的方法称为Green 函数法。
7.4.2 用G reen 函数法解题的步骤
1. 从Green 函数公式出发，推导方程解的积分表达式。
2. 求各边值问题相应的Green 函数
3. 将所的Green 函数代入解的积分形式，整理化简得原边值问题的解。 Green 函数法不仅可以求稳态边值问题，也可以非稳态边值问题或混合问题。不仅适用于PDE ，也适用于ODE ，对有界问题适用，对无界问题也适用，是求解数理方法的常用方法之一。
7.5 几种特殊区域的Green 函数——电像法
及Laplace 方程第一边值问题的解
引言
通过前几节的学习，我们知道只要求出了区域Ω在各边界条件下的Green 函数，则Laplace 方程或Poisson 方程相应边值问题的解，都可以通过积分形式表示出来。大多数情况下Green 函数的求解十分麻烦或困难，但对于某些特殊区域的空间或平面区域，往往可以通过比较巧妙的方法求出其上的Green 函数。本节介绍一种经典的求Green 函数的方法——电像法（静电源像法或镜像法）。所谓电像法，就是在区域Ω外找出其内任意一点0M 关于边界Γ的像点（或对称点）
1M 。然后在1M 处放置适量的负电荷，使得由它产生的负电势等量于0M 的单位
正电荷产生的正电势在Γ上正好相互抵消。由于0M 在Γ内，则1M 必在Γ外，从而故在1M 处的负电荷所形成的电场在Γ内的电势为一调和函数V ，且满足
1
4MM V
r πΓ
Γ
=
。故由位于0M 与1M 两点处的点电荷所形成的电场在Γ内任一点
M 处的电势就是我们寻找的Green 函数。由于这种方法是通过静电学中的镜像原理来求Green 函数，因此常称为电像法。
另外，求Green 函数还可用本征函数展开法（固有函数法）。该法应用比较普遍，但要求区域规则（详见P 260车181）这里不再详述。
介绍镜像法前先谈Green 函数的一般求法——无界区域的Green 函数。
7.5.1 Green 函数的一般求法
1.无界区域的Green 函数
无界区域的Green 函数，又称自由空间的Green 函数，即为相应方程的基本解。
如：三维Poisson 方程基本解，即Green 函数：01
(,)4G M M r π=
二维Poisson 方程基本解，即Green 函数 011(,)ln 2G M M r
π=
注： 也可以用Fourier 变换法求无界区域的Green 函数。 2. 用本征函数展开法求边值问题的Green 函数。
7.5.2 Laplace 方程的Dirichlet 问题—镜像法
本部分对几个特殊区域求Green 函数，并给出在此区域上Laplace 方程Dirichlet 问题完整的求解过程。
对Laplace 方程求出Green 函数G ，可以将G 看作是非齐次方程的一解u 与齐次方程一个解v 的和，而G u v =+，其中u 满足
0(,)u M M δ?=- Ω内
而v 满足：
V u V Γ
?=???
=-?? 而u 正好为Laplace 方程的基本解，于是求Green 函数G 的关键是求问题：
0V u V Γ
?=Ω???
=-Γ?? 内
上的解。 镜像法的再描述：镜像法又称静电源像法，可以从Green 函数在静电学中的物理意义来构造Green 函数。G u v =+，u 是区域Ω内0M 点处放置的单位点电荷在自由空间的电势，G 在Ω的边界Γ上等于零，这表明边界面接地，电势为0，而v 恰好是0M 处，单位点电荷在边界上感应电荷所产生的电势，为求v ，只要在Ω外某点虚设一个点电荷，使其产生的电势在边界限上恰好为源点电荷产生的电势抵消，则这个虚设的点电荷的电势就等于感应电荷所产生的电势，问题是这个虚设的点电荷的位置在何处，一个直观的想法是这个虚设的点电荷放置在与源点0M 关于边界Γ对称的点1M 上。
?像源
1. 半空间的Green 函数
例1. 求上半空间}{,,):0x y z z Ω=≥由Laplace 方程Dirichlet 问题
00(,),xx yy zz u u u z u f x y x y Γ++= >??= -∞<<∞
?
的解。其中Γ为Ω的边界，即xoy 坐
标面。
[解]：先求Green 函数 在上半空间Ω内任一点
0000(,)M x y z
则关于0M 的对称点为100(,,M x y -并于1M 在与0M 处的单位正电荷所产生的电场的电势在Γ上互相抵消， 即
1
1144MM MM r r ππΓ
Γ
=
又
1
1
4MM r π为上半空间Ω内的调和函数，且在Ω=Ω+Γ上具有一阶连续偏导数，
故由0M 处的单位正电荷以及1M 处的单位负电荷在Ω内一点M 处产生的电势和为上半空间
[∵上半空间0M 处放置的单位正电荷，则M 点产生的场的势函数为：
10
1
4u r π=
，其中00MM r r ==而与0M 对称的1M 处虚设的单位负电荷在M 点产生的场的势函数为：
21
14u r π=
， 其中 11MM r r =
又
0()0G M M G δΓ
?=-- Ω??
=?内
则
102()
0u M M u δ?=--??
?=?
数学物理方法第二次作业答案解析
第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉
第七章 数学物理定解问题习题 数学物理方法梁昆淼
第七章 数学物理定解问题 1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。 3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 .0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和 4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为、 95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =?∈??=?-?∈??。 5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 。 7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端四分之一
数学物理方法习题答案[1]
数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时
数学物理方法第二次作业答案
第七章数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知 x0端是自由的，则该端的边界条件为__。2．研究细杆的热传导，若细杆的x0 端保持绝热，则该端的边界条件为。3．弹性杆原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在 x 轴上，则其边界条件为u x 0 0 , u x l 0。 4．一根长为 l 的均匀弦，两端 x0 和 x l 固定，弦中张力为T0。在 x h 点，以横向力F0拉 弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f(0)=0,f(l)=0;_____。 5、下列方程是波动方程的是D。 A u tt a2u xx f ； B u t a2u xx f ； C u t a2u xx； D u tt a2u x。 6、泛定方程u tt a2u xx0要构成定解问题，则应有的初始条件个数为B。 A 1 个； B 2 个； C 3 个； D 4 个。 7．“一根长为 l 两端固定的弦，用手把它的中u h u 点朝横向拨开距离 h ，（如图〈 1〉所示）然后放0x l / 2 手任其振动。”该物理问题的初始条件为 ( D)。图〈 1〉 2h x, x[0, l ] u t h A ．u t l2 l B．0 o u t0 2h(l x), x, l ]t 0 l [ 2 2h l x, x [ 0,] u t l2 C．u t0h D．02h l (l x), x [,l ] l2 u t t00 8．“线密度为，长为 l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点x0(0 x0l ) 受谐变力 F0 sin t 的作用而振动。”则该定解问题为(B)。 u tt a2 u xx F0 sin t(x x ) ,(0x l ) A ． u
数学物理方法试卷(全答案).doc
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
第七章-一维波动方程的解题方法及习题答案
第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ?????-?=?????????+??=????-?+??=+=????? 弹性定律弦弹性体力学 杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????? ???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ??-?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 22.2u i u Vu t m ?=-?+?
稳态方程 Laplace equation 20u ?= 椭圆型 二、数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤： （1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。 （2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化” ---“无理取闹”（物理趣乐）。 （3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽 略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。 Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解 第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立 7.1.1 弦横振动方程的建立 （一根张紧的柔软弦的微小振动问题） （1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从 而速度为t u ，加速度为tt u . （2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又 tan u x αα?=≈?，1<
数学物理方法习题
数学物理方法习题 第一章： 应用矢量代数方法证明下列恒等式 1、 2、 3、 4、 5、 第二章： 1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1） （2） ; 2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。 3、计算数值（和为实常数，为实变数） 4、函数 将平面的下列曲线变为平面上的什么曲线？ （1） （2） 5、已知解析函数的实部或虚部，求解析函数。 （1） ； （2） 6、已知等势线族的方程为 常数，求复势。 第三章： 1、计算环路积分： 3r ?= 0r ??= ()()()()()A B B A B A A B A B ???=?-?-?+? 21()0 r ?=()0A ???= 0; 2 Z a Z b z z -=--=0arg 4z i z i π -<<+1Re()2 z =1;1i i e ++a b x sin5i i ?sin sin() iaz ib z a i b e -+1 W z = z W 224x y +=y x =()f z (,)u x y (,)x y υ22sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ?==-+== =(00) f υ==22 x y +=
2、证明：其中是含有的闭合曲线。 3、估计积分值 第四章： 1、泰勒展开 （1） 在 （2）在 （3）函数在 2、（1） 在区域展成洛朗级数。 （2） 按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以为中心展开； ②在的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。 3、确定下列函数的奇点和奇点性质 第五章： 1、计算留数 （1） 在点。 （2） ，在点； （3） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）； 2211132124sin 4(1).(2).11sin (3). (4). () 231 (5). (1)(3)z z z i z z z z z e dz dz z z z e dz dz z z z dz z z π π+=+====-+--+-????? 21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξ πξξ=? l 0ξ=222i i dz z +≤? ln z 0 z i =1 1z e -0 0z =21 1z z -+1z =1 ()(1)f z z z = -01z <<1 ()(3)(4)f z z z = --0z =0z =521 (1);(2)(1)sin cos z z z z -+2 (1)(1)z z z -+1,z =±∞3 1sin z e z -0z =31 cos 2z z -
数学物理方法课程教学大纲
《数学物理方法》课程教学大纲 （供物理专业试用） 课程编码：140612090 学时：64 学分：4 开课学期：第五学期 课程类型：专业必修课 先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》 教学手段：（板演） 一、课程性质、任务 1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。 2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课中加以介绍。 3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。二、课程基本内容及课时分配 第一篇复数函数论 第一章复变函数（10） 教学内容： §1.1．复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。 §1.2．复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。 §1.3．导数。导数，导数的运算，科希—里曼方程。 §1.4．解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。 §1.5．平面标量场。稳定场，标量场，复势。 第二章复变函数的积分（7） 教学内容： §2.1．复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2．科希定理。科希定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。 §2.3．不定积分*。原函数。 §2.4．科希公式。科希公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求） 第三章幂级数展开（9） 教学内容：
数学物理方法
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
《高等数学》第四册(数学物理方法)
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -- = -- =-()122(12)(34)(2)5102122. ; 345(34)(34)59165 5 i i i i i i i i i i i i +-++--+++ = + =- =- --+-+5 5 51(3). ; (1)(2)(3) (13)(3) 102i i i i i i i = = = ------ 4 2 2 2 (4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-=- 1 1 22 ())]a b a b i =+= 1 1 2 2 24s sin )]()(co s sin ); 2 2 i a b i θθθθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i = 试用三角形式表示12z z 及1 2z z 。 解： 121co s sin ;(co s sin ); 4 4 2 6 6 z i z i ππππ=+= + 121155[co s( )sin ( )](co s sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z z i i π π π π ππ= + ++ = + 12 2[co s( )sin ( )]2(co s sin ); 4 6 4 6 12 12 z i i z ππππππ=- +- =+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231; z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1 的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123 ,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123 ,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics 西北师范大学物理与电子工程学院 豆福全
第七章Green函数法 Green Function method 引言 前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。 本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。 从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。 本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
数学物理方法名词解释
第一章 1.定解条件：边界条件和初始条件统称为定解条件。边界条件又有Dirichlet 边界条件（也称第一类边界条件）、Neumann 条件,也称第二类边界条件、Robin 边界条件，第三类边界条件。P3-4 2.定解问题：一个微分方程（组）和相对应的定解条件合在一起就构成了一个定界问题。又分有初始问题（Cauchy 问题），只有初始条件没有边界条件的定界问题；边值问题，只有边界条件没有初始条件的定解问题；混合问题，两者都有。对于边值问题，根据边界条件不同，又可以分为第一、第二和第三边值问题。 P11 3.定解问题的适定性 从数学上看，判断一个定解问题是否合理，即是否能够完全描述给定的物理状态，一般来说有一下三个标准： ⑴解的存在性：所给定的定解问题至少存在一个解。 ⑵解的惟一性：所给定的定解问题至多存在一个解。 ⑶解的稳定性：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动。 定解问题解的存在性、惟一性和稳定性统称为定解问题的适定性。P12 4.Dirichlet 、Neumann 定解问题 定解条件只有Dirichlet 条件没有初始条件的定解问题叫做Dirichlet 定解问题。 定解条件只有Neumann 条件没有初始条件的定解问题叫做Neumann 定解问题。 5.热传导Fourier 定律：热量以传导形式传递时，单位时间内通过单位面积所传递的热量与当地温度梯度成正比。对于一维问题，可表示为:Φ＝-λA(dt/dx) 其中Φ为导热量，单位为W,λ为导热系数,A 为传热面积，单位为m2, t 为温度，单位为K, x 为在导热面上的坐标。 6.Hooke 弹性定律：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。χχεσE = 7.发展方程：所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等 8.在热传导方程中，如果温度分布稳定，即0u t =，则三维热传导方程f u a u 2t +?=变为 0f u =+?，此方程为Poisson 方程。特别地，若f(x,y,z)=0，即0u =?，则为Laplace 方程。 Poisson 方程或Laplace 方程统称为位势方程。 9.二阶线性偏微分方程分类方法 022*******=++++++F Cu u B u B u A u A u A ηξηηξηξξ的二阶主部为yy xy xx u A u A u A 2212112++。 若二阶主部作成的判别式在区域Ω中的某点 ），（00y x 02211212>-≡?a a a ，则称方程在这点），（00y x 是双曲型的；若某点），（00y x 022112 12=-≡?a a a ，称方程在这点），（00y x 是 抛物型的；若某点），（00y x 02211212<-≡?a a a ，则称方程在这点），（00y x 是椭圆型的。 第二章 1.特征值： 使常微分方程边值问题具有非零解的数λ称为这个边值问题的特征值，相对应的非零解称为这个特征值的特征函数。P26
数学物理方法解析函数
第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念及哥西-黎曼条件 一 导数的定义 定义 2.1. 设函数()w f z =在区域D 上有定义，且z 及z z +?均属于D ，如果 0()()lim z f z z f z z ?→+?-? 2.1 存在，则称此极限为函数()f z 在z 点的导数，记为()df z dz 或'()f z . 这时称函数()f z 在z 点可微. 例1. ()n f z z =在复平面上每点均可微，且 1n n d z nz dz -=. 事实上，对固定的点z ，有 121100()(1)lim lim[()]2n n n n n n z z z z z n n nz z z z nz z ----?→?→+?--=+?++?=?. 例2. ()f z z =在复平面上均不可微. 事实上， z z z z z z z z z z +?-+?-?==???. 当0z ?→时，上式的极限不存在. 因为当z ?取实数而趋于0时，它趋于1，当z ?取纯虚数而趋于0时，它趋于1-. 函数在一点可微，则它在该点必连续，反之不一定正确. 例如函数()f z z =，由000 lim ()lim ()lim ()()z z z f z z z z z z z f z ?→?→?→+?=+?=?+==，知它在复平面上处处连续，但由例2知它处处不可微.
若函数(),()f z g z 在区域D 上z 点可微，则其和，差，积，商（要求分母不为0）在区域D 上z 点可微，且有如下的求导法则： [()()]''()'()f z g z f z g z ±=±， [()()]''()()()'()f z g z f z g z f z g z =+， 2 ()'()()()'()[]'(()0)()[()]f z f z g z f z g z g z g z g z -=≠. 二 哥西---黎曼条件 现在，我们来研究复变函数()f z 在点z 可微的必要条件和充分条件. 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在一点可微，也就是说， 0()()lim '()z f z z f z f z z ?→+?-=?. 2.2 令,()()z x i y f z z f z u i v ?=?+?+?-=?+?，其中 (,)(,)u u x x y y u x y ?=+?+?-， (,)(,)v v x x y y v x y ?=+?+?-， 则前式变为 00lim '()x y u i v f z x i y ?→?→?+?=?+?. 因为z x i y ?=?+?无论按什么方式趋于0，(2.2)式总是成立的.可先让 0,0,x y ?→?=即变点z z +?沿平行于实轴的方向趋于z 点，此时(2.2)成为 00lim lim '()x x u v i f z x x ?→?→??+=??. 于是知道,u v x x ????必存在，且 '().u v f z i x x ??=+?? 2.3 同样，让0,0,y x ?→?=即变点z z +?沿平行于虚轴的方向趋于z 点，此时(2.2)成为
【最新】数学物理方法试卷(全答案)
嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞-) ()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3 sin 3 cos 2 3 1cos sin 2 32 1isin cos 2 2 2 π π ??ρ??ρi i i +=++=+= + 指数形式：由三角形式得：3 1 3 πρπ?i e z === 7、求函数2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
数学物理方法大总结
数学物理方法 一、填空题 1、Г函数为：Г(x)= 0,10 >-∞ -? x dt t e x t ；又称为第二类欧拉积分的为： 0Re ,)(10 >=Γ-∞ -?z dt t e z z t 。 2、B 函 数（又称为第一类欧拉积分）为： 0Re ;0Re )1(),(110 1>>-=--?q p dt t t q p B q p ，；B 函数与Г函数之间的重要关系为：) () ()(),(q p q p q p B +ΓΓΓ= 3、勒让德P l (x)的母函数：1)(211 1),(0 2<=+-==∑∞ =t t x P t tx d t x v l l l ，（B 卷） 4、贝塞尔J n (x)的母函数：∑∞ ∞ --=n n t t x t x J e )()1 (2；其积分形式为： dt t e i x J l n t t x n ?+-= 1)1 (221)(π（B 卷） 5、球阶函数： ?θπ?θ?θim m l m M l m l l l l l m l e p m l m l l Y y r d r c u )(cos )! ()!(412)1(),(),()1(,1 ,+-+-=+=+，其中 6、=-?l n a z dz )(? ??≠=的整数）是0(0)1(2n n n i π 7、S —L 方程表现形式： 0)()(])([=+-y x y x q dx dy x k dx d λρ 8、复数=-)4ln()2(4ln ππk i ++ 9、=+??∞ ∞-)6 (sin π δx x 216sin -=-π 10、复数=i cos 2 1 1--e e
数学物理方法第一章作业答案
第一章复变函数 §1.1 复数与复数运算 1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1）z≤ 2 解：以原点为心，2 为半径的圆内，包括圆周。 （2）z?a=z?b，（a、b 为复常数） 解：点z 到定点a 和 b 的距离相等的各点集合，即a 和 b 点连线的垂直平分线。 （3）Re z＞1/2 解：直线x=1/ 2右半部分，不包括该直线。 （4）z+Re z≤1 解：即x2 +y2 +x≤1，则x≤1，y2 ≤1?2x，即抛物线y2 =1?2x及其内部。（5）α＜arg z＜β，a＜Re z＜b，（α、β、a、b为实常数） 解： （6）0 z -1 ≤（7）1, z +1 2 z-1 x 1 iy x y 1 4y ?+?+?? 2 2 2 ==+ ?? 解：()[()] +++++ iy 1 y2 2 2 z 1 x 1 x ?x 1 y ?+ 2 + 2 所以()[()] x+?+≤++ 2 2 2 y 1 4y2 x 1 y 2 2 2 化简可得x≥0 （8）Re(1 /z) =2 ????? 1 x iy x 解：Re( ?=R e 2 1/ z=? ) R e 2 == ???? ?iy? x ?x ++y+y ?x 2 2 2 即(1/ 4)1/16 x? 2 +y= 2 (9)Re Z2 =a2 解：Re Z2 =x2 ?y2 =a2 +z+z?z=2 z+2 z 2 (10) z 1 第一章 复述和复变函数 1.5连续 若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且 )()(0lim z f z f z z =→， 则称f(z)在0z 点连续。 1.6导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??在点不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为 ???? ?? ???-=????=??y y x u x y x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析 若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??存在。 (ii)C-R 条件在该点成立。 解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。 1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： 22x u ??+2 2y u ??=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。 ②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)? 通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分 柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分 ?B A dz z f )(的值均相等。 柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。 ?=C dz z f 0)( 二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。 n+1连区域柯西定理： ???? ΓΓΓΓ+++=n i i i e dz z f dz z f dz z f dz z f )(....)()()(2 1 推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式 若f(z)在单连有界区域D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域D 的任何一个内点a ，有?Γ -= dz a z z f i a f ) (21)(π其中Γ是境 界线。 2.5柯西导数公式 ξξξπd z f i n z f C n n ?+-= 1)() () (2!)( 第三章 级数 3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数 ∑∞ =0 )(k k z u 在境 界Γ上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m 阶导数组成的级数数学物理方法知识点归纳