高中数学人教版中心对称

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高一函数的对称中心公式

高一函数的对称中心公式一、引言在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。

而在函数的研究中，对称是一个常见的话题。

本文将介绍高一函数的对称中心公式，通过对对称中心的定义和性质的探讨，加深对函数对称性的理解。

二、对称中心的定义对称中心是指在函数图像中，使得对称轴上的任意一点关于该点对称的点。

对称中心的存在是函数图像对称的重要体现。

三、函数的对称性及对称中心1. 偶函数的对称性偶函数是指对称轴为y轴的函数。

偶函数的对称中心在y轴上，对称中心公式为：(x, f(x)) → (-x, f(-x))。

2. 奇函数的对称性奇函数是指对称轴为原点的函数。

奇函数的对称中心在原点，对称中心公式为：(x, f(x)) → (-x, -f(-x))。

3. 分段函数的对称性对于分段函数，其对称性取决于各个分段的对称性。

当各个分段均为偶函数时，整个函数为偶函数；当各个分段均为奇函数时，整个函数为奇函数。

四、对称中心的性质1. 对称性对称中心的存在使得函数图像在对称轴上关于对称中心对称。

这种对称性使得函数图像更加美观，并且可以帮助我们更好地理解函数的性质。

2. 对称中心的唯一性对称中心是唯一的，即函数图像只有一个对称中心。

这一点可以通过对对称中心公式的分析得出。

3. 对称中心的坐标对称中心的坐标可以通过对对称中心公式进行计算得出。

根据函数的对称性，可以确定对称中心的位置。

五、对称中心的应用举例1. 函数图像的绘制通过对称中心的存在，我们可以更加轻松地绘制函数的图像。

只需要先找出对称中心的位置，然后再根据函数的性质进行绘制。

2. 函数性质的推导对称中心的存在可以帮助我们推导出函数的一些性质。

例如，对称中心为原点的奇函数在原点处取值为0，这可以通过对称中心公式进行推导得出。

六、总结通过对高一函数的对称中心公式的介绍，我们了解了对称中心的定义和性质，以及对称中心在函数图像绘制和函数性质推导中的应用。

对称中心的存在使得函数图像更加美观，也为我们深入理解函数提供了帮助。

《中心对称》知识全解

《中心对称》知识全解课标要求（1）了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及利用这些概念解决一些问题．（2）会画出与已知图形成中心对称的图形．知识结构内容解析本节课是中心对称的第一课时．它是初中数学的一项重要内容．它与轴对称、轴对称图形、旋转有着密不可分的联系,实际生活中也随处可见中心对称的应用．一、中心对称的定义把一个．．图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个．．．图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．二、中心对称与轴对称中心对称轴对称定义把一个图形绕某点旋转180°，如果能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心．把一个图形沿着某条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说着两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．性质1．关于中心对称的两个图形是全等图形；2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；3．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．1．关于轴对称的两个图形是全等图形；2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；3．两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，那么交点在对称轴上．举例线段、平行四边形、圆线段、等腰三角形、矩形、菱形、圆温馨提示：中心对称是两个图形之间的关系，它可以看作是特殊的旋转，在解决中心对称问题时，可用一些旋转的方法；全等的图形不一定是中心对称，而中心对称的图形一定是全等的．三、中心对称的性质1．中心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋转的一切性质，除了具有旋转的一般性质以外，中心对称还具有以下特殊性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；（3）关于中心对称的两个图形，对应角相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．2．确定对称中心的方法（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心；（2）任意连接两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心．3．中心对称的识别如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称．重点难点本节的重点是：中心对称的概念和性质．教学重点的解决方法：从日常生活现象入手，循序渐进，引导学生从旋转中归纳出中心对称的概念，借助线段、三角形、四边形的旋转过程来归纳出中心对称的性质，学生利用已有的旋转知识，设置一些由浅入深的练习题，加深对中心对称概念和性质的理解．本节的难点是：中心对称性质的应用．教学难点的解决方法：从生活中的旋转入手，让学生体会生活中的中心对称的应用，并通过这种应用对其中的两个量，对应线段和对应角来理解中心对称的性质，最后通过课堂练习得到巩固．教法导引教育家布鲁纳指出“探索是数学教学的生命线”．结合本节课的教学内容以及学生的心理特点和认知水平，主要采用启发探究和直观演示的教学方法，创设情境启导学生观察、探索、抽象、分析中心对称的概念，揭示刻画中心对称的性质．同时，利用多媒体直观演示，使得难于理解的知识形象生动，既锻炼学生的思维，又不超出学生的思维能力，这是用黑板、粉笔所不能达到的效果．学法建议学习本章内容时应注意以下三点：1．学习基本概念和性质时，注意观察现实生活中的各种变换现象，从而加深对基本概念和性质的理解；2．学习图形变换的性质时，要主动参与，积极探索，动手操作，这样才能加深对性质的理解；3．学习时要多观察图形，多与同学的合作交流，在交流和探讨中获得新知识．。

人教版高中数学必修二考点练习：对称问题

对称问题一、中心对称1. 求点()24，关于点()35B ，对称的点C 的坐标．2. 求直线2530x y -+-=关于原点对称的直线方程_____________．3. 与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )A ．3x －2y ＋2＝0B ．2x ＋3y ＋7＝0C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝04. 直线23y x =+关于点()23，对称的直线方程为_____________________．5. 与直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是_______________．6. 直线112l :y x b =+与2182l :y x b =++关于点（4,6）对称，求b 的值. 二、轴对称1. 已知点P (a ，b )与点Q (b ＋1，a －1)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋32. 点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________．3. 点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(－2,5)C ．(2，－5)D ．(4，－3)4. 如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么（）A ．13a =，6b =B ．13a =，6b =-C ．3a =，2b =-D ．3a =，6b =5. 已知直线1:l 23y x =+，若直线2l 与1l 关于直线y x =-对称，则直线2l 的斜率为( )A ．2-B ．12-C ．12D ．26. 直线l:2x+y-3=0关于直线l 0: x-y+1=0对称的直线方程为_____________________.7. 求直线1:240l x y +-=关于:3410l x y +-=对称的直线2l 的方程．8. 求直线1:240l x y +-=关于:3410l x y +-=对称的直线2l 的方程.9. 某地东西有一条河，南北有一条路，A 村在路西3 千米、河北岸4千米处；B 村在路东2 千米、河北岸 3 千米处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问：发电站建在何处？到两村的距离为多远？10. 在△ABC 中，已知顶点A （2,2），∠B 的平分线所在的直线l 1的方程为y=0，∠C 的平分线所在的直线l 2的方程为x+y-1=0，求边BC 所在直线的方程.11. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长2AB =，宽1CD =，AB AD 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在直线斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程．三、反射问题1. 光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 52. 从点()2,1P -发出的光线l ，经过直线y x =反射，若反射光线恰好经过点()0,3Q ，则光线l 所在的直线方程是（）A ．30x y +-=B ．30x y -+=C ．530x y +-=D ．530x y +-=3. 当光线射到x 轴的点C 后进行反射，如果反射的路径经过点()0,1A 和点()3,4B ，求入射线所在直线方程．4. 光线由点()2,3P 射到直线10x y ++=上，反射后经过点()1,1Q ，求反射光线所在的直线方程．5. 一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4，3)，求反射光线的方程．6. 已知A （4,0），B （0,4），从点P （2,0）射出的光线经直线AB 反射后在射到OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路线是_____________.P ABy xO7. 在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P.若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于___________.RQ PCAB8. 一条光线从点()23--，射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( ).A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-四、转化思想求最值1. 已知点(1,3)A ，(4,1)B -，在x 轴上求一点P ，使得PA PB +最小．2. 在x 轴上求一点P ，使得：(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大，并求出最大值； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小，并求出最小值．3. 已知直线:280l x y -+=和两点()()2,02,4A B --、．（1）在l 上求一点P ,使PA PB +最小；（2）在l 上求一点P ,使PB PA -最大．参考答案对称问题一、中心对称1. 【答案】()46C ，【解析】由题知，B 是线段AC 的中点，设点()C x y ，，由中点坐标公式得6241046x y =-==-=，，故()46.C ，2. 【答案】2530x y --=【解析】根据关于原点对称的性质可得，分别将原直线中的x 换成x -，y 换成y -即可．故所求直线方程为2530x y --=． 3. 答案：D4. 【答案】250x y --=【解析】设所求直线方程任意一点坐标为(),x y ，其关于点()23，的对称点为()4,6x y --，此点在直线23y x =+上，则()6243250y x x y -=-+⇒--=．5. 【解析】设所求直线方程任意一点坐标为(),x y ，其关于点()1,1-的对称点为()2,2x y ---，此点在直线2360x y +-=上，则()()2232602380x y x y -+---=⇔++= 【答案】2380x y ++= 6. 略二、轴对称 1. 答案：C2. 答案：(－4，－1)3. 答案：B4. 【答案】A【解析】2y ax =+关于直线y x =对称的方程为2x ay =+与3y x b =-相同，比较系数可得，13a =，6b =．5. 【答案】C【解析】对称后直线方程为()23x y -=-+，从而选C. 6. x+2y-4=07. 【答案】211160x y ++=【解析】方法一：直线12l l ，的交点为()32P -，，取直线1l 上一点()20，，求得其关于2l 的对称点为4855Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则2l 的方程即为PQ 的直线方程，即求得为211160x y ++=.方法二：设点(),A x y 是直线2l 上任意一点，它关于l 的对称点为()00',A x y ，则00004,33410.22y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩解得007246,252478.25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩()00',A x y Q 在直线1:240l x y +-=上，72462478240,2525x y x y -+--+∴⨯+-=化简得211160x y ++=．8. 【解析】设点(),A x y 是直线2l 上任意一点，它关于l 的对称点为()00',A x y ，则00004,33410.22y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩解得007246,252478.25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩()00',A x y Q 在直线1:240l x y +-=上，72462478240,2525x y x y -+--+∴⨯+-=化简得211160x y ++=【答案】211160x y ++=9. 解：以小河的方向向东为x 轴正方向，以路的方向向北为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A (－3,4)，B (2，3)，问题转化为在x 轴上找一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．可设点P 为(x,0)，则有 |P A |＝x ＋32＋0－42＝x 2＋6x ＋25， |PB |＝x －22＋0－32＝x 2－4x ＋7.由|P A |＝|PB |得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，解得x ＝－95.即所求点P 为⎝⎛⎭⎫－95，0且|P A |＝ ⎝⎛⎭⎫－95＋32＋0－42＝21095. 故发电站应建在小路以西95千米处的河边，它距两村的距离为21095千米．10. x+3y+4=011. 【答案】()21102kx y k -++= 【解析】设点A 关于折痕的对称点为E ，由于点E 在线段DC 上，故可设点E 的坐标为()(),102t k ≤≤，若0t =，则折痕所在直线为线段AD 的中垂线．它的方程为12y =；若02t <≤，设折痕所在直线的斜率为k ，易知t k =-，从而线段AE 的中点M 的坐标为1,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故折痕所在直线的方程为122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．综上所述，折痕所在直线的方程为()2110.2kx y k -++=三、反射问题 1. 答案：C2. 【答案】C【解析】点()0,3Q 关于直线y x =的对称点为()3,0M ，101235MP k -==---，可得直线MQ 方程为：()1125y x -=-+化简得 530x y +-=．3. 【答案】1y x =--【解析】设反射光线的直线解析式为,y kx b =+∵反射的路径经过点()0,1A 和点()3,4B ，1,43b k b =⎧∴⎨=+⎩，解得1,1,k b ==∴反射光线的直线解析式为1,y x =+根据入射光线和反射光线轴对称，故知入射光线的解析式为1y x =--．4. 【答案】4510x y -+=．【解析】设点P 关于直线10x y ++=对称点(),P m n '，则'31,2231022PP n k mm n -⎧==⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩，解之得4,3.m n =-⎧⎨=-⎩可得()4,3P '--∵点()2,3P 射到直线10x y ++=上，反射后经过点()1,1Q ∴反射光线所在直线为P Q '所在直线，P Q 'Q 的斜率134145k +==+ ∴直线P Q '的方程为()4115y x -=-化简得：4510x y -+=．即反射光线所在的直线方程为4510x y -+=．5. 解：设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x ≤78. 6. 略7. 略8. 解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=．由题意，圆心()3,2-到此直线的距离等于圆的半径1，即2322311k k k ----=+，所以21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-．故选D ．四、转化思想求最值 1. 【答案】13,04⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设直线AB 的解析式为y kx b =+，所以3,,41k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得413,34k b =-=，所以解析式为413,33y x =-+当130,,4y x ==所以P 点的坐标是13,04⎛⎫⎪⎝⎭．2. 【解析】如图．3. 【答案】（1）()2,3P -；（2）()12,10P【解析】（1）设A 关于l 的对称点为()',A m n ，则2,22280.22nm m n ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪-⋅+=⎪⎩2,8,m n ∴=-=()'2,8'A A B ∴-⇒的方程是2,'x A B =-与l 的交点是()2,3-，故所求的点()2,3P -．（2）AB 的方程为()()()042, 2.22y x y x --=-⇒=---代入l 的方程，得直线AB 与l 的交点()12,10P ．。

高中数学中心对称教案

高中数学中心对称教案
教学目标：学生能够理解中心对称的概念，能够进行中心对称的判断和作图，并能够应用中心对称解决实际问题。

教学重点：中心对称的定义、性质和应用
教学难点：中心对称的证明和实际问题应用
教学内容：
1. 中心对称的定义和性质
2. 中心对称的判断和作图
3. 中心对称的性质应用
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过展示几何图形和实物物体，引导学生思考其中的对称性质，并导入中心对称的概念。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解中心对称的定义和性质，引导学生理解中心对称的特点和判断方法。

2. 指导学生如何进行中心对称的判断和作图。

三、练习（20分钟）
1. 让学生进行中心对称的简单练习，巩固基本概念和作图技巧。

2. 设计一些需要应用中心对称解决的问题，让学生思考如何运用中心对称进行解答。

四、拓展（10分钟）
1. 引导学生探讨中心对称在实际生活中的应用，并展示相关例子。

2. 提出一些拓展问题，让学生更深入理解中心对称的意义和作用。

五、总结（5分钟）
对中心对称的概念、性质和应用进行总结，并强调学生的学习重点和难点。

六、作业（5分钟）
布置相关作业，要求学生运用中心对称的知识进行相关题目练习，并思考中心对称在生活中的应用场景。

教学反思：
通过本节课的学习，学生能够初步掌握中心对称的概念和应用技巧，但在中心对称的证明和更复杂问题的解决上还存在难度。

在后续教学中，需要多加练习和引导，让学生深入理解中心对称的原理和应用方式。

中心对称PPT课件

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谢谢
2024/1/30
THANKS
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中心对称与轴对称关系
CHAPTER
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轴对称定义及性质
• 轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
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轴对称定义及性质
轴对称性质
对称轴是一条直线。
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垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
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中心对称图形举例
01
02
03
基本图形
线段、平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）等都是中心对称图形。
2024/1/30
复杂图形
一些复杂的组合图形也可能是中心对称的，例如某些标志、图案等。
特例
圆是中心对称图形的特例，其任意一点都可以作为对称中心。
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中心对称在生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，中心对称经常被用来创造平衡和和谐的美感，如对称的门窗设计、对称的
性质二
中心对称的复数在复数平面上关于原点对称分布。
性质三
中心对称的复数在进行四则运算时，其结果也具有中心对称
性。
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复数域中典型问题解析
问题一
已知复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，求 $z_1 + z_2$ 和 $z_1 times z_2$。
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函数图像关于某点中心对称
若函数$y=f(x)$的图像关于点$M(m,n)$中心对称，则对于定义域内的任意$x$，都有$f(m+x)+f(m-x)=2n$。

高考数学复习考点题型专题讲解2 中心对称轴对称和周期性

高考数学复习考点题型专题讲解第2讲中心对称、轴对称与周期性7类【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数【典例分析】已知函数()1e e 21x x xf x -=+-+，若不等式()()2121f ax f ax +-≥对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,e B ．[]0,e C ．(]0,1 D ．[]0,1【答案】D 【分析】构造函数()()12g x f x =-，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为()()2111222f ax f ax ⎡⎤-≥---⎢⎥⎣⎦，即()()221g ax g ax ≥-，再利用函数单调性解不等式即可. 【详解】 ()1e e 21x x xf x -=+-+Q ， ()()1111e e e e 121212121x x x xx x x x f x f x ----∴+-=+-+-+=++=+++ 令()()12g x f x =-，则()()0g x g x +-=，可得()g x 是奇函数，又()()()2121e e e e e 21e 21ln 2ln 2++2122x x x x x xx x x x xg x --'⎛⎫''=+-== ⎪+⎝++--+⎭，又利用基本不等式知e 2+1e xx ≥当且仅当1e e xx=，即0x =时等号成立；ln 2ln 214222x x ≤++当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；故()0g x '>，可得()g x 是单调增函数，由()()2121f ax f ax +-≥得()()()21111212222f ax f ax f ax ⎡⎤-≥--+=---⎢⎥⎣⎦，即()()()21221g axg ax g ax ≥--=-，即2210axax -+≥对x ∀∈R 恒成立.当0a =时显然成立；当0a ≠时，需2440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，得01a <≤，综上可得01a ≤≤，故选：D.【变式演练】1.对于定义在D 上的函数()f x ，点(),A m n 是()f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x D ∈都有()()22f x f m x n +-=，判断函数()32234f x x x x =+++的对称中心______.【答案】270327⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】根据点(),A m n 是()f x 图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.解：因为()32234f x x x x =+++，由于()32322222223323234x f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯-=-⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+++++⎝⎭⎝⎭+701403422327272x +=⨯=⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.即23m =-，7027n =.所以270327⎛⎫- ⎪⎝⎭，是()32234f x x x x =+++的一个对称中心.故答案为：270327⎛⎫- ⎪⎝⎭，.2.设函数())ln f x x =，若a ，b 满足不等式()()22220f a a f b b -+-≤，则当14a ≤≤时，2a b -的最大值为 A ．1 B ．10 C ．5 D ．8【答案】B 【详解】因为()))()ln ln0f x f x x x +-=+=,所以函数()f x 为奇函数,又因为()))0ln-lnx f x x x >==时为单调减函数,且(0)0f =所以()f x 为R 上减函数,因此()()()()()()2222222202222f a a f b b f a a f b b f a a f b b -+-≤⇔-≤--⇔-≤-+222222(1)(1){{2020a b a ba ab b a b a b a b ≥≤⇔-≥-+⇔-≥-⇔+-≥+-≤或,因为14a ≤≤,所以可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中(1,1),(4,4),(4,2)A B C -,因此直线2z a b =-过点C 时取最大值10,选B.3.．已知函数()ln 2e exf x x e x=-+-，若22018202020202020e e e f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2019201920202e f a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0b >，则12a a b +的最小值为A ．34B ．54C D 【答案】A 【分析】通过函数()f x 解析式可推得()()2f x f e x +-=，再利用倒序相加法求得2201820192020202020202020e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得到a b +的值，然后对a 分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案. 【详解】解：因为()ln 2e exf x x e x=-+-，所以()()()ln ()ln 22()e ex e e e xf x f e x x e x e x e e x -+-=-++--+---2()()lnln ln()ln 2ex e e x ex e e x e e x x e x x--=+=⋅==--，令2201820192020202020202020e e e e S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则2019220182019222019202020202020202020202020e e e e e e S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2019S = 所以()201920192a b +=，所以2a b +=，其中0b >，则2a b =-. 当0a >时1||121212()112||2222a b a b a b a b a b a b -+⎛⎫+=+=+-=+⋅- ⎪⎝⎭15215511222224b a a b ⎛⎛⎫=++-≥+-= ⎪ ⎝⎭⎝ 当且仅当2,2b a a b =即24,33a b ==时等号成立；当0a <时1||1121212||222a a b a b a b a b a b ---+=+=+=++---112152()1122222b a a b a b a b --⎛⎫⎛⎫=+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1531224⎛≥-++= ⎝，当且仅当2,2b a a b -=-即2,4a b =-=时等号成立；因为3544<，所以1||2||a a b +的最小值为34.故选：A.【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称【典例分析】已知函数sin 1y x =+与2x y x+=在[]a a -，（a Z ∈，且2017a >）上有m 个交点11()x y ，，22()x y ，，……，()m m x y ，，则1122()()()m m x y x y x y ++++++=A ．0B ．mC ．2mD ．2017【答案】B 【详解】由图可知交点成对出现，每对交点关于点（0,1）对称，横坐标和为0，纵坐标和为2，所以()()()1122m m x y x y x y ++++++=22mm ⨯=，选B.【变式演练】1.函数11()2sin[()]12f x x x π=+--在[3,5]x ∈-上的所有零点之和等于______. 【答案】8 【详解】分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和．详解：零点即()0f x =，所以112sin 12x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 即12cos 1x x π=-，画出函数图像如图所示函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点图像关于1x =对称，所以各个交点的横坐标的和为8点睛：本题考查了函数的综合应用，根据解析式画出函数图像，属于难题．2.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为___________．【答案】【解析】试题分析：由已知22222sin 2sin ()=t+tx x t x x xf x x t x t++++=++，而函数22sin x x y x t +=+为奇函数又函数()f x 最大值为，最小值为，且，()242M t N t M N t t ∴-=--∴+==∴=考点：函数的奇偶性和最值【名师点睛】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解释要充分利用已知条件将函数变形为22sin ()=t+x x f x x t ++，则函数22sin x xy x t+=+为奇函数，而奇函数的最值互为相反数，可得()M t N t ∴-=--，则问题得解．3.已知函数()())2+1sin lnf x x x x =++，若不等式()()39334x x x f f m -+⋅-<对任意x ∈R 均成立，则m 的取值范围为（）A ．()1-∞ B ．(),1-∞-C ．()1-D ．()1,-+∞【答案】A 【分析】由题设，构造()()2g x f x =-，易证()g x 为奇函数，利用导数可证()g x 为增函数，结合题设不等式可得(39)(33)x x x g g m -<-⋅，即3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，即可求m 的范围. 【详解】由题设，令()()22sin )g x f x x x x =-=++，∴()2sin())2sin )()g x x x x x x x g x -=-+-+=---=-， ∴()g x 为奇函数，又()2cos 0g x x '=+>，即()g x 为增函数，∵()()39334x x xf f m -+⋅-<，即(39)2[(33)2]x x x f f m --<-⋅--，∴(39)(33)(33)x x x x g g m g m -<-⋅-=-⋅，则3933x x x m -<-⋅，∴3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，又331113xx +-≥=，当且仅当12x =时等号成立，∴1m <，即m ∈()1-∞.故选：A【题型三】轴对称【典例分析】已知函数()()222212222x x x f x ea a ---=-+-有唯一零点，则负实数a =（） A ．2- B ．12-C ．1-D ．12-或1- 【答案】A 【解析】函数()()222212222x x x f x ea a ---=-+-有有唯一零点，设1x t -=，则函数()()212222t t t f x e a a -=-+-有唯一零点，则()212222t t t e a a--+= 3e |t|-a （2t +2-t ）=a 2，设()()1122222222tt t t t tg t e a g t e a g t ---=-+-=-+=（），（）（），∴g t （）为偶函数，∵函数f t （）有唯一零点，∴yg t =（）与2y a =有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，22a a ∴-=，解得2a =-或1a =（舍去），故选A ．【变式演练】1.已知函数()()()22241x x f x x x ee x --=--++在区间[]1,5-的值域为[],m M ，则m M +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【详解】解：()()24x xy x e ex -=--+ 在[]3,3-上为奇函数，图象关于原点对称，()()()()()222222412423x x x x f x x x e e x x e e x ----⎡⎤=--++=---+-+⎣⎦是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以()f x 图象关于()2,3对称，则6m M +=，故选C .2.已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （a-x ），若函数y=|x 2-ax-5|与y=f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），且mi i 1x =∑=2m ，则a=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】∵f （x ）=f （a-x ），∴f （x ）的图象关于直线x=2a对称，又y=|x 2-ax-5|的图象关于直线x=2a对称，当m 为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=2a 对称，∴x 1+x 2+x 3+…+x m =2m•a=2m，解得a=4．当m 奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=2a 对称，另一个交点在对称轴x=2a上， ∴x 1+x 2+x 3+…+x m =a•-12m +2a=2m ．解得a=4．故选：D ．3.已知函数()()()22sin 122xf x x x x π=+-+，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 既有最大值又有最小值；③函数()f x 的定义域为R ，且其图象有对称轴；④对于任意的()1,0x ∈-，()0f x '<（()f x '是函数()f x 的导函数） A ．②③ B ．①③ C ．②④ D ．①②③【答案】A 【详解】函数()f x 定义域为R ，当x →+∞或x -∞←时，()0f x →，又0x =，1x =±，2x =±，3x =±，……时，()0f x =，且均为变号零点.又因为函数满足()()()()()()()()2222sin 1sin 1122111212x xf x f x x x x x x x ππ-===-⎡⎤⎡⎤+-+-+---+⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 关于直线12x =对称，函数图像如下图，故②③正确.【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性【典例分析】已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当，时， .若函数在区间，上的所有零点之和为__________．【答案】5【详解】∵足，∴ ，又因函数为偶函数，∴，即，∴ ，令，，，即求与交点横坐标之和.，作出图象：由图象可知有10个交点，并且关于，中心对称，∴其和为故答案为：5【变式演练】1.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[)0,1上单调递减，若方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则方程()1f x =在区间[]1,11-上所有实根之和是（）A ．30B ．14C ．12D ．6【答案】A【分析】根据条件可得出()f x 的图象关于1x =对称，()f x 的周期为4，从而可考虑()f x 的一个周期，利用[]1,3-，根据()f x 在[)0,1上是减函数可得出()f x 在(]1,2上是增函数，()f x 在()1,0-上是减函数，在[)2,3上是增函数，然后根据()1f x =-在[)0,1上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断()1f x =-在一个周期[]1,3-内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出()1f x =-在区间[]1,11-这三个周期内上有6个实数根，和为30.【详解】由()()2f x f x -=知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∵()()2f x f x -=，()f x 是R 上的奇函数，∴()()()2f x f x f x -=+=-，∴()()4f x f x +=，∴()f x 的周期为4，考虑()f x 的一个周期，例如[]1,3-，由()f x 在[)0,1上是减函数知()f x 在(]1,2上是增函数，()f x 在(]1,0-上是减函数，()f x 在[)2,3上是增函数，对于奇函数()f x 有()00f =，()()()22200f f f =-==，故当()0,1x ∈时，()()00f x f <=，当()1,2x ∈时，()()20f x f <=，当()1,0x ∈-时，()()00f x f >=，当()2,3x ∈时，()()20f x f >=，方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为()f x 在()0,1上是单调函数，则由于()()2f x f x -=，故方程()1f x =-在()1,2上有唯一实数，在()1,0-和()2,3上()0f x >，则方程()1f x =-在()1,0-和()2,3上没有实数根，从而方程()1f x =-在一个周期内有且仅有两个实数根，当[]13,x ∈-，方程()1f x =-的两实数根之和为22x x +-=，当[]1,11x ∈-，方程()1f x =-的所有6个实数根之和为244282828282830x x x x x x +-++++-+++-+=+++++=.故选：A .2.已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 【答案】B【分析】由函数()f x 的图像关于原点对称，得出()00f =，再由()()30f x f x -+-=得出函数()f x 的最小正周期为6T =，由原函数与导函数具有相同的周期性可得函数'()f x 的最小正周期为6T =，由此可得选项.【详解】因为定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，所以()00f =，因为()()30f x f x -+-=，()()630f x f x -+-=，两式相减可得，()()6f x f x -=-，故6T =，故()()202200f f -==；因为()()()2022064f f f '''-===，故所求切线方程为48088y x =+，故选：B ．3.若函数()y f x =是R 上的奇函数，又(1)y f x =+为偶函数，且1211x x -??时，2121[()()]()0f x f x x x -->，比较(2017)f ，(2018)f ，(2019)f 的大小为（）A ．(2017)(2018)(2019)f f f <<B ．(2018)(2017)(2019)f f f <<C ．(2018)(2019)(2017)f f f <<D ．(2019)(2018)(2017)f f f <<【答案】D【分析】由题意可知，函数()y f x =的周期4T =，再由当1211x x -??时，2121[()()]()0f x f x x x -->可知函数()y f x =在[]1,1-上为增函数，然后计算比较即可.【详解】函数()y f x =是R 上的奇函数，又(1)y f x =+为偶函数，∴()()f x f x -=-，(1)(1)-+=+f x f x ，∴()(4)f x f x =+，即函数()y f x =的周期4T =，1211x x -??时，210x x ->，2121[()()]()0f x f x x x -->，∴21()()0f x f x ->即21()()f x f x >，函数()y f x =在[]1,1-上为增函数， ∴(2017)(14504)(1)f f f =+⨯=，(2018)(24504)(2)(0)f f f f =+⨯==，(2019)(14505)(1)f f f =-+⨯=-，∴(2019)(2018)(2017)f f f <<.故选：D.【题型五】画图：放大镜【典例分析】设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()2x f x =是“似周期函数”；③如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ”．以上正确结论的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据题意，首先理解“似周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假. 【详解】解：①∵“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-， (1)()f x f x ∴-=-，(2)(1)()f x f x f x ∴-=--=，故()y f x =它是周期为2的周期函数，故①正确；②若函数()2x f x =是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即22x T x T +=⋅恒成立，故2T T =成立，但无解，故②错误；③若函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，则存在非零常数T ，则()()f x T T f x +=⋅，即[]cos ()cos x T T x ωω+=恒成立，故cos()cos x T T x ωωω+=恒成立，即cos cos sin sin cos x T x T T x ωωωωω⋅-⋅=恒成立，故cos sin 0T T T ωω=⎧⎨=⎩，故2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ，故③正确．所以以上正确结论的个数是2.故选：C.【变式演练】1.已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0=>a f x x a 且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（） A ．(625,)+∞ B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)【答案】C 【分析】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点；当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，解得9625a <<.故选：C.2.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有1()2f x ≥-，则m 的取值范围是（）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B．10,4⎛-∞ ⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D．⎛-∞ ⎝⎦【答案】B 【分析】作出图示，求出当23x <≤时，函数的解析式，求出1()2f x =-成立的x 的值，运用数形结合的思想可得选项．【详解】解：(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)=2()f x f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令14(2)(3)2x x --=-，解得12x x ==所以要使对任意(,]x m ∈-∞，都有1()2f x ≥-，则m ≤，m ⎛∴∈-∞ ⎝⎦，故选：B ．3.定义在R 上函数q 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是（）A ．72B ．92C ．134D ．154【答案】D 【分析】计算()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，画出图像，计算()116f x =，解得154x =，得到答案. 【详解】根据题设可知，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，故()()()11112322f x f x x =-=--，同理可得：在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，所以当4n ≥时，()116f x ≤.作函数()y f x =的图象，如图所示.在7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，由()11127816f x x =⎡--⎤=⎣⎦，得154x =. 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤. 故选：D .【题型六】利用对称解决恒成立和存在型【典例分析】已知函数()lg(f x x =，且对于任意的(12]x ∈，，21()[]01(1)(6)x mf f x x x ++>---恒成立，则m 的取值范围为（）A ．()0-∞，B ．(]0-∞，C ．[4)+∞，D ．(12)+∞，【答案】B 【分析】本题根据函数的解析式先判断函数的奇偶性与单调性，再运用单调性转化不等式，接着运用参变分离构建新函数，最后借导函数求函数在指定区间内的最大值即可解题.【详解】()f x 的定义域为R ，()))()f x x x f x -===-=-，∴()f x 为奇函数，又()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴221()[][]1(1)(6)(1)(6)x m m f f f x x x x x +>-=------，∴211(1)(6)x mx x x +>----，又(1,2]x ∈，则10x ->，60x -<，∴(1)(1)(6)x x x m +--<-恒成立；设32()(1)(1)(6)66g x x x x x x x =+--=--+，则22()31213(2)13g x x x x =--=--'，当12x <≤时()0g x '<，∴()g x 在(12]，内单调递减，()g x 的最大值为从负数无限接近于0，max ()0g x <， ∴0m ≤-，0m ≤，故选：B.【提分秘籍】基本规律常见不等式恒成立转最值问题：（1）min ()()x D f x m f x m ∀∈>⇔>，；（2）max ()()x D f x m f x m ∃∈>⇔>，；（3）()min ()()()()0x D f x g x f x g x ∀∈>⇔->，；（4）()max ()()()()0x D f x g x f x g x ∃∈>⇔->，；（5）12121min 2max ,()()()()x D x M f x g x f x g x ∀∈∈>⇔>，；（6）12121max 2min ,()()()()x D x M f x g x f x g x ∃∈∈>⇔>，；（7）12121min 2min ,()()()()x D x M f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>，；（8）12121max 2max ,()()()()x D x M f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>，；【变式演练】1.已知函数2()21x x mf x +=+（01x ≤≤），函数()(1)g x m x =-（12x ≤≤）.若任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围为（）A ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,3C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】问题转化为函数()f x 的值域是()g x 值域的子集，分别求出()f x 和()g x 的值域，得到关于m 的不等式组，解出即可. 【详解】对任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，即()f x 在[]0,1上的值域是()g x 在[]1,2上的值域的子集，22111()1212121x x x xxm m m f x +++--===++++，当1m <时，∴10m -<，∴()f x 在[]0,1上单调递增，()f x ∴的值域为12,23m m ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又()(1)g x m x =-在[]1,2上单调递减，()g x ∴的值域为：[]22,1m m --，[]12,22,123m m m m ++⎡⎤∴⊆--⎢⎥⎣⎦，1222213m m m m +⎧≥-⎪⎪∴⎨+⎪≤-⎪⎩，方程无解当1m >时，10m ->，∴()f x 在[]0,1上单调递减，()f x ∴的值域为21,32m m ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x 的值域为：[]1,22m m --，[]21,1,2232m m m m ++⎡⎤∴⊆--⎢⎥⎣⎦1222213m m m m +⎧≤-⎪⎪∴⎨+⎪≥-⎪⎩，解得5532m ≤≤ 当1m =时，()1,()0f x g x ==，显然不满足题意.综上，实数m 的取值范围为55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D .2.已知()f x 是定义在R 上的函数，且()1f x +关于直线1x =-对称.当0x ≥时，()211422,022log ,2x x f x x x -+⎧⎪≤<=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()22f x f x m -≥+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【分析】结合复合函数的单调性，可知()f x 在[)0,+∞上单调递减，由()1f x +关于直线1x =-对称，可知()f x 为偶函数，从而可将题中不等式转化为22x x m -≤+，整理得223(82)40x m x m -++-≤对任意的[],1x m m ∈+恒成立，进而结合二次函数的性质，可求出m 的取值范围.【详解】当02x ≤<时，()21142x f x -+=，函数2114y x =-+在[)0,2上单调递减，且2x y =是R 上的增函数，根据复合函数的单调性可知，函数()f x 在[)0,2上单调递减，且()2121421f x -⨯+=>；当2x ≥时，()22log f x x =-，易知函数()f x 在[)2,+∞上单调递减，且()()22log 221f x f -==≤. ∴函数()f x 在[)0,+∞上单调递减.∵()1f x +关于直线1x =-对称，∴()f x 关于0x =对称，即()f x 为偶函数，∴不等式()()22f x f x m -≥+可化为()()22f x f x m -≥+，∴22x x m -≤+恒成立，即2222x x m -≤+，整理得223(82)40x m x m -++-≤，令()223(82)4g x x m x m =-++-，∴对任意的[],1x m m ∈+，()0g x ≤恒成立，∴2222()3(82)40(1)3(1)(82)(1)40g m m m m m g m m m m m ⎧=-++-≤⎨+=+-+++-≤⎩，即840410m m -+≤⎧⎨--≤⎩，解得12m ≥.故选：D.3.已知2()sin ||sin ||f x x x ππ=-，()|ln |g x x =，若对于121,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦，122,x e e -⎡⎤∃∈⎣⎦使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是_________．【答案】⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】先分析题意即()()12min min f x g x ≥，再利用单调性求解()f x 的最小值和()g x 的最小值，解不等式即得结果. 【详解】依题意，对于121,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦，122,x e e -⎡⎤∃∈⎣⎦使得()()12f x g x ≥，只需()()12min min f x g x ≥. 21,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦时()sin sin sin y x x x πππ==-=-，2,36x πππ⎡⎤--⎢⎣∈⎥⎦，0y <，故当232,x πππ⎡⎤--⎢⎣∈⎥⎦，即212,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，sin y x π=单调递增，当2,6x πππ⎡-∈⎤-⎢⎥⎣⎦，即1261,x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，sin y x π=单调递减.而函数2()f x x x=-，显然在(),0x ∈-∞单调递减. 故根据复合函数单调性可知，2()sin ||sin ||f x x x ππ=-在212,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递减，在1261,x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，故min 122()sin 11221sin 2f x f ππ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.对于12,x e e -⎡⎤∈⎣⎦，()|ln |g x x =，当1,1x e -⎡⎤∈⎣⎦时ln 0x ≤，故()ln g x x =-是单调递减的，当(21,x e ⎤∈⎦时ln 0x >，故()ln g x x =是单调递增的，故min ()(1)|ln1|g x g ===.故依题意知，1≥，即m ≥.所以实数m 的取值范围是⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.【题型七】函数整数问题【典例分析】定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D.【变式演练】1.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[)0,2x ∈时，2()48f x x x =-+.若在区间[],a b 上，存在(3)m m ≥个不同的整数(1,2,...,)x i m =，满足111()()72m i i f x f x =+=-≥∑，则b a -的最小值为A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】D 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，得2222f x f x f x f x ++=--=-=-（）（）（）（），即4?f x f x +=-（）（），则44[]f x f x f x f x f x +=-+=--=∴（）（）（）（）．（）的周期为8．函数f x （）的图形如下：比如，当不同整数i x 分别为-1，1，2，5，7…时，b a -取最小值，141420f f f -=-==（），（），（），，至少需要二又四分一个周期，则b-a 的最小值为18，故选D2.已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，若关于x 的不等式在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．12(0,)e - B ．1322(,3)e e --C ．312(3,2)e e --D ．112(,2)e e --【答案】B 【分析】利用导函数讨论当[0,3]x ∈时的单调性，结合对称性周期性数形结合求解. 【详解】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，22211122()x x xf x ee e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=，当(]2,3x ∈时，()0f x ¢<，当[)0,2x ∈时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在(]2,3x ∈单调递减，在[)0,2x ∈单调递增， ()32(0)0,330f f e-=>=，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以()(3)(3)3f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322(,3)t e e --∈。

中心对称和轴对称的区别

中心对称和轴对称的区别高中数学在高中理科的学习中是非常重要的，常言道“数理化不分家”，学好数学对学习其他理科学科有非常大的帮助。

数学公式是学习数学需要掌握的基础知识，下面大家整理了中心对称和轴对称的区别，供大家参考。

1、中心对称图形判断技巧在平面内，把一个图形绕某一定点180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点。

常见的中心对称图形有：线段，矩形，菱形，正方形，，圆,边数为偶数的正多边形等。

例如：正偶数边形是中心对称图形，正奇数边形不是中心对称图形;正六角形是中心对称图形，等腰梯形不是中心对称图形;等边三角形正三角形不是中心对称图形，的图像双曲线是以原点为对称中心的中心对称图形。

2、中心对称和轴对称的区别一、性质不同中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合;轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合。

二、定理不同对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分。

成中心对称的两个图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。

中心对称是两个图形间的位置关系，而中心对称图形是一种具有独特特征的图形。

如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是对称轴且对称轴垂直平分对称点所连线段。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

两个图形关于某条直线对称，如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交，那么交点在对称轴。

以上中心对称和轴对称的区别的内容到这里就结束了，希望帮助同学们复习。

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人教版高中数学函数的周期性与对称性

函数的周期性与对称性函数的对称性1. 对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2. 轴对称：()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）3. 中心对称（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()(2)2f x f a x b +-=⇔函数()y f x =图象关于点(,)A a b 中心对称练习1：已知()y f x =的图象关于点(1,2)-成中心对称，写出该函数几何特征的代数形式。

解：()y f x =的图象关于点(1,2)-成中心对称的代数含义：()f x 取和为2-的两个值，如x 和2x --，其对应的函数值的和为4符号语言：()(2)4f x f x +--=函数的周期性1. 定义：设()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，存在一个非零常数T ，有()()f x T f x +=，则称函数()f x 是一个周期函数，称T 为()f x 的一个周期。

对定义的理解：周期为T 的函数()f x 的自变量取差为T 或-T 的两个值x T +和x 时，对应的函数值相等。

例1：若函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，怎么理解？分析：这个等式从左往右看，可以理解为函数()y f x =取了两个自变量1x -、1x +，当自变量增加2个单位时，对应的函数值相等，这两个自变量的特征也可以理解为差为常数（这里是2或-2）根据周期函数概念，我们知道()y f x =的一个正周期为2例2：若函数()y f x =满足(1)(1)2f x f x -++=，则()y f x =有什么性质呢？分析：（1）等式变形为(1)2(1)f x f x -=-+ ①∴()y f x =的自变量增加2个单位后所得到的函数值的相反数加2与原函数值相等（2）据此性质，我们不难得出，(1)2(3)f x f x +=-+ ②（3）由①②可知，[](1)22(3)(3)f x f x f x -=--+=+这个等式的含义是()y f x =取1x -和3x +这两个自变量的值的时候，其对应的函数值总相等。

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3
B
2 1
X
－3
－2
－1
O －1 －2 －3
1
2
3
B’ (1 ， -2)
A’ (-2，-3)
o
D
(2)
B
O
是中心对称图形
B (3) A C
等边三角形不是中心对称图形
C
o
D
(4)
o
是中心对称图形是中心对称图形来自、两个图形关于某个点对称和对称中心
A C’
o
B
C A’
B’
1. 把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么我们就说这两个图形关于这个点对称
2. 这个点叫做对称中心 3. 这两个图形中的对应点叫做关于中心
图3
（5）下列字母哪几个是中心对称图形？哪几个是轴对称图形？
E、H、S、T、O、Z
（1）线段是不是轴对称图形？是不是中心对称图形？如果是的话对称中心在哪里？
O
线段是轴对称图形线段也是中心对称图形，它的对称中心是线段的中点
（2）下列哪些图形是中心对称图形？对称中心在哪里？ A
B (1) A C
O －1
1
2
3
A(2，-1)
B’ (-3，-2)
－2 －3
A(2,-1) 关于原点对称点 A’(-2,1)
B(3,2) B’(-3,-2) P(a,b)
关于x轴关于y轴关于原点的对称点的对称点的对称点 P(a,-b) P(-a,b) P(-a,-b)
练习：在直角坐标平面内，线段AB的端点A、B的坐标分别为(2，3)、(-1，2)，画出线段AB关于原点O对称的线段A’B’，并写出A’、B’的坐标 Y A
o
的对称点
四、两个图形关于一个点对称的性质：
A
C’ B’
o
B
C
A’
关于中心对称的两个图形，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分
例2
如图在直角坐标平面内，点A的坐标为（2，-1），画出点A关于原点的对称点，并写出对称点的坐标
Y
3
2
B(3，2)
A’ (-2，1)
1
X
－3
－2
－1
第十七章
中心对称与平行四边形
中心对称
17.1
请大家观察下图是否为轴对称图形？
o
二、中心对称图形和对称中心定义：
1. 把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 2. 这个点叫做对称中心
o
（4）下列四个图形哪几个是中心对称图形？
O
图1
图2
一/1. 怎样的图形叫做轴对称图形？
o
1. 把一个图形沿着某一条直线翻折，
如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形
一/2.什么叫两个图形关于某条直线对称？
2. 平面上的两个图形，将其中一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形
关于这条直线对称