暑假班高一数学讲义第1讲
高一数学讲义1
高一数学讲义第一章：集合第一节：集合的概念和表示方法：知识点一：元素与集合的概念一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合。
说明：1、集合是一个整体2、构成集合的对象必须是确定的。
典型例题1：判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数（2）我国的小河流巩固练习:下列各组对象中，能组成集合的有。
（1）所有的好人；（2）平面上的到原点的距离等于2的点；（3）正三角形（4）不等式x+1>0的实数解；知识点二：元素的特征与集合相等：1、元素的特征：2、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如，集合{-1，1}与集合{1，-1}是相等的。
典型例题：判断下列各组中的两个集合是否相等。
（1）{3，4}和{4,3}；（2）{7,2}和{7,2}（3）{y|y=x²，x∈R}和{x| y=x²，x∈R};知识点三：元素与集合的关系我们通常用大写拉丁字母A,B,C，…表示集合，用小写的拉丁字母a,b，c…表示集合中的元素。
知识点四：常用的数集及其记法：注意：（1）通常情况下，上面的大写英文字母不再表示其他的集合；（2）0是最小的自然数（3）对于常用数集的记法要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，记忆准确，并且书写要规范。
典型例题：1、用符号∈和∉填空；（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国A, 美国 A印度A, 英国 A(2)若A={x|x²=x},则-1 A（3）若B={x|x²+x-6=0},则3 B(3)若C={x∈N|1≤x≤10}，则8 C，9.1 C巩固练习：用符号∈和∉填空；（1）√2+√5{x|x≤2+√3}（2）3 {x|x=n²+1，n∈N}y=3+√2π，M={m|m=a+b√2,a∈Q，b∈Q}，（3）x=3−5√2则x M,y M知识点五：集合的表示方法：（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法；（2）列表法：把集合的元素一一列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。
2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第1讲 方程的进阶——韦达定理(学生版)
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例2. 0519998081999
52
2=++=+-b b a a 及已知，求b
a
的值．
【巩固练习】
1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求b
a
a b +的值
2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且b
a a
b ab 1
4,1++≠求的值．
3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．
当堂检测
1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，
则p 、q 的值分别等于 ．
2．在R t △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程
0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ．
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，今天我们学习了韦达定理，大家尝试一下借助韦达定理解下面这道题：
已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m-1)x＋m2=0的两个非零实数根，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．。
高一数学暑期讲义
第一讲 集合一、知识要点点拨1.集合的概念（1）含义:集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。
一般地，把某些指定的研究对象集在一起就成为了一个集合。
（2）集合中的每个研究对象叫做元素，通常用小写字母表示元素，大写字母表示集合。
（3）集合中元素的性质➢ 确定性：集合中的元素必须是确定的． ➢ 互异性：集合中的元素必须是互不相同的．➢ 无序性：集合中的元素是无先后顺序的，集合中的任何两个元素都可以交换位置． 2.集合与元素的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A ．（2）不属于(not belong to)：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉． 3.集合的分类（1）有限集：含有限个元素的集合 （2）无限集：含无限个元素的集合（3）空集：不含有任何元素的集合，用∅表示。
4.集合的表示（1）大写字母表示法：N 表示自然数集，*N 或+N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，∅表示空集。
（2）列举法：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。
（3）描述法：具体表示集合的常用方法；要注意判断集合研究的对象。
（4）韦恩图法：抽象表示集合的常用方法。
（5）区间法。
5.集合与集合（1）子集：对于两个集合A 和B ，若集合A 中的元素都是集合B 的元素，我们就说A 是B 的子集，或A 包含于B ，记作A ⊆B ；反之，我们就说B 是A 的子集，或A 包含B ，记作B ⊆A 。
（2）真子集：如果A 是B 的子集且A ≠B ，则A 是B 的真子集。
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
6.集合的运算（1）交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作A B （2）并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作B A 。
（3）补集：若用U 表示所要研究的所有元素元素构成的集合即全集，则由全集U 中所有不属于集合A 的元素构成的集合叫做全集U 中A 的补集，记作C U A 。
高一-暑期班第1讲集合与映射学生版
内容 基本要求集合的含义 会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系； 集合的表示能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等 集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念.在具体情景中，了解空集和全集的含义；理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集集合的基本运算掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算.能使用维恩图表达集合之间的关系和运算.1. 集合的含义，会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；3. 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等；4. 理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；5.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 6. 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．板块一：集合的含义与表示 （一） 知识内容1.集合的相关定义⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）. ⑵ 元素用小写字母,,,a b c 表示；集合用大写字母,,,A B C 表示.⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.知识精讲高考要求第1讲 集合与映射2.元素与集合间关系：属于∈；不属于∉.3.集合表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法. 例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x |描述特点}例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}（二）典例分析：1.集合的性质【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形【例2】已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 .2.集合与元素间的关系 【例3】用“∈”或“∉”填空：⑴ 若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ； ⑵ 0___∅； ⑶ 0___{0}．【例4】用符号“∈”或“∉”填空⑴0______N ， 5______N ，16______N⑵1______,π_______,e ______2-R Q Q Q （e 是个无理数）⑶2323-++________{}|6,,x x a b a b =+∈∈Q Q3.集合的表示方法【例5】用列举法表示下列集合⑴ 方程2260x x +-=的根；⑵ 不大于8且大于3的所有整数；⑶ 函数32y x =+与1y x=的交点组成的集合．【例6】下列命题正确的有（ ）⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合； ⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个板块二：集合间的基本关系 （一） 知识内容1.子集：对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为 集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）. 规定：∅是任意集合的子集. 2.真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集， 记作AB （或B A ）.∅是任意非空集合的真子集.3.相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A 与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B .(二)典例分析【例7】用适当的符号填空： ⑴ ___{0}∅ ⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺{(2,3)}___{(3,2)}【例8】下列说法中，正确的是（ ）A ．任何一个集合必有两个子集；B ．若,A B =∅则,A B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集；D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S ==【例9】设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______【例10】已知{25}⊆，求m的取值范围．=+≤≤-，B AB x m x m=-≤≤，{121}A x x【例11】若全集{}A=，则集合A的真子集共有．U=且{}20,1,2,3UA．3个B．5个C．7个D．8个【例12】{,,}a b c d e f，求满足条件的A的个数．a b c A{,,,,,}【例13】求集合{,}a b的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100}的子集和真子集的个数．板块三：集合的基本运算（一）知识内容1．相关概念：⑴并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A B（读作“A并B”），即{|,x B∈．A B x x A=∈或}⑵交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B（读作“A交B”），即{|,x B∈．=∈且}A B x x A⑶全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA ，即{|,UA x x U =∈且}x A ∉．（二）典例分析【例14】已知全集{1,2,3,,10}U =，{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，{3,5,7,9}C =求：AB ，AB ，()U A B ，UA B ，()A B C【例15】已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值．【例16】若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）⑴若A B =∅，则()()U UA B U =⑵若AB U =，则()()U U A B =∅⑶若A B =∅，则A B ==∅A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例17】已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[1,3]-【例18】若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0【例19】设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0N n x x n =-+=方程有实数根，求()UM N ．【例20】已知{(,)|,}I x y x y =∈R ，3(,)|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)|1B x y y x =≠+，则()I A B 等于（ ）A ．∅B ．{(2,3)}C ．(2,3)D ．{2,3}【例21】设全集{|20I x x =≤且x 为质数}．若{3,5},{7,19}IIAB AB ==，且{2,17}I IAB =，求集合,A B ．【例22】已知全集I 中有15个元素，集合MN 中有3个元素，I IMN 中有5个元素，IMN 中有4个元素．则集合N 中元素的个数（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615453INM【例23】设I =R ，集合2{|4430}A x x ax a =+-+=，22{|(1)0}B x x a x a =+-+=，2{|220}C x x ax a =+-=．若,,A B C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．板块四：映射的定义 （一）知识内容1.一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“f ：A →B ” 说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
(人教A版)2021年新高一数学暑假精品讲义-第一讲 集合的概念(教师版)
第一讲：集合的概念【学习目标】1．通过实例了解集合的含义； 2.理解集合中元素的特征；3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．【基础知识】一、元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 二、元素与集合的关系知识点关系 概念记法 读法 元素与集合的关系属于如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A a ∈A“a 属于A ”不属于 如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合Aa ∉A “a 不属于A ”三、常用数集及表示符号名称 自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N*N 或+NZQR【考点剖析】考点一：确定性如果元素的界限部明确，即不能构成集合，其中包括：著名的科学家；比较高的人；成绩比较好的学生，跑得比较快的同学，接近于1的数等例1．下列各对象可以组成集合的是（ ）A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数π相差很小的全体实数【答案】B【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B变式训练1：下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A．2007年所有的欧盟国家B．校园中长的高大的树木C．学校篮球水平较高的学生D．中国经济发达的城市【答案】A【详解】A：因为2007年欧盟国家是确定的，所以本选项符合题意；B：因为不确定什么样子的树木叫高大的树木，所以本选项不符合题意；C：因为不确定篮球水平较高是一种什么水平，所以本选项不符合题意；D：因为不确定经济水平什么样叫发达，所以本选项不符合题意，故选：A变式训练2：下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1.其中能构成集合的组数有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【详解】①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；故③④正确.故选：A.变式训练3：下列各组对象能构成集合的是（ ） A ．新冠肺炎死亡率低的国家 B ．19世纪中国平均气温较高的年份C ．一组对边平行的四边形D ．π的近似值【答案】C 【详解】解：只要一组对边平行的四边形都在选项C 这个全体中，那么C 中所有对象能构成一个集合， 而选项A ，B ，D 都没有明确的判定标准判定个体是否在全体中. 故选：C.考点二：互异性集合中的元素互相不相同例2．已知集合A 是由22,25,12a a a -+三个元素组成的，且3A -∈，求a =________.【答案】32- 【详解】解：由﹣3∈A ，可得﹣3=a ﹣2，或﹣3=2a2+5a ，由﹣3=a ﹣2，解得a=﹣1，经过验证a=﹣1不满足条件，舍去. 由﹣3=2a2+5a ，解得a=﹣1或32-，经过验证：a=﹣1不满足条件，舍去. ∴a=32-. 故答案为：﹣32. 变式训练1：已知集合A 是由21,1,3a a a +--三个元素组成，若1A ∈，则实数a 的值为__________. 【答案】0或2- 【详解】因为1A ∈，则11a +=或11a -=或231a -=， 当11a +=时，0a =，{}1,1,3A =--，符合题意；当11a -=时，2a =，{}3,1,1A =，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当231a -=时，2a =-或2a =（舍）当2a =-时，{}1,3,1A =--，符合题意； 综上所述：0a =或2a =-， 故答案为：0或2-变式训练2：已知集合A 中的元素为22,2,a a a --，若2A ∈，则a =__________. 【答案】1或2； 【详解】由{}22,2,A a a a =--，2A ∈， 若22a =，1a =，20a a -=， 此时{}2,2,0A =-，符合题意； 若22a a -=，则2a =，1a =-， 当1a =-时，22a =-，不符题意， 当2a =时，{}2,4,2A =-，符合题意， 综上可得：1a =或2a =. 故答案为：1或2.变式训练3：已知集合A 中的元素为21,1,3k k k +--，若1A ∈，则实数k 的值为_____________. 【答案】0或2- 【详解】 依题意1A ∈，当11k +=时，0k =，{}1,1,3A =--，符合题意.当11k -=时，2k =，2131k k -=-=，不满足互异性，错误. 当231k -=，2k =（舍去）或2k =-，2k =-时，{}1,3,1A =--，符合题意.综上所述，实数k 的值为0或2-. 故答案为：0或2-考点三：元素与集合的关系元素与集合之间只能用属于（∈）和不属于（∉）.例3．下列元素与集合的关系表示正确的是（ ）①0N *∈； Z ； ③32Q ∈； ④Q π∈．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【答案】B 【详解】N *为正整数集，所以0N *∉，故①不正确；Z Z ，故②正确；Q 表示有理数集，则32Q ∈，Q π∉，故③正确，④不正确；故选：B变式训练1：下列关系中，正确的个数为（ ）①0N ∈；②Q π∈Q ；④1Z -∈R .A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】0是自然数，故0N ∈，①正确；π是无理数，故Q π∉，②错误；Q ，③错误； 1-是整数，故1Z -∈，④正确；R ，⑤错误.故正确个数是2个.故选：B.变式训练2：给出下列关系：①12∈R ；②2∈Q ；③|3|-∈N ；④|3|-∈Z ；⑤0∉N ，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】根据元素与集合的关系：①12∈R ，正确；②2∈Q ，正确；③|﹣3|=3∈N ，正确；④|-3|=3∈Z ，正确；⑤0∉N ，错误， 故正确的个数为4．故选：D ．变式训练3：若集合A 中的元素满足1x -<x ∈R ，则下列各式正确的是（ ） A ．3A ∈，且3A -∉ B ．3A ∈，且3A -∈C ．3A ∉且3A -∉D ．3A ∉，且3A -∈【答案】D 【详解】因为312-=>314--=-<，所以3A ∉，3A -∈. 故选：D考点三：元素的个数例3．设集合A 中的元素均为实数，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1，且a ≠0)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明：(1)若a ∈A ，则11－a ∈A .又因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A .因为－1∈A ，所以11－(－1)＝12∈A .因为12∈A ，所以11－12＝2∈A .所以A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解．所以a ≠11－a，所以集合A 不可能是单元素集．变式训练1：集合A 中的元素为1,2,3,5，当x A ∈时，若1,1x A x A -∉+∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【详解】解：对于元素1，112A +=∈，故不满足孤立元素的定义； 对于元素2，213A +=∈，故不满足孤立元素的定义； 对于元素3，312A -=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素5，514A -=∉，516A +=∉，故满足孤立元素的定义； 故A 中孤立元素的个数为1个. 故选：A.变式训练2：非空集合A 具有下列性质：①若x 、y A ，则x A y∈；②若x 、yA ，则x y A +∈，下列判断一定成立的是（ ） （1）1A -∉；（2）20202021A ∈；（3）若x 、y A ，则xy A ∈；（4）若x 、yA ，则x y A -∉.A ．（1）（3）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】C 【详解】 由①可知0A ∉.对于（1），若1A -∈，对任意的x A ∈，0x ≠，则1xx A -=∈-， 所以，()0x x A =+-∈，这与0A ∉矛盾，（1）正确； 对于（2），若0x ≠且x A ∈，则1xA x=∈，211A ∴=+∈，321A =+∈， 依此类推可得知，n N *∀∈，n A ∈，2020A ∴∈，2021A ∈，20202021A ∴∈，（2）正确； 对于（3），若x 、yA ，则0x ≠且0y ≠，由（2）可知，1A ∈，则1A y∈，所以，1x xy A y=∈，（3）正确； 对于（4），由（2）得，1,2A ∈，取2,1x y ==，则1x y A -=∈，所以（4）错误. 故选：C.【当堂小结】1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系． (2)常用数集的表示． (3)集合中元素的特性及应用． 2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．【过关检测】1、能够组成集合的是（ ） A ．与2非常数接近的全体实数 B ．很著名的科学家的全体 C ．某教室内的全体桌子D ．与无理数π相差很小的数【答案】C 【详解】解：A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合； B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合； C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合；D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合. 故选：C.2、下列各组对象不能构成集合的是（ ）A．上课迟到的学生B．2020年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【答案】B【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；2020年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于π的正整数分别为1,2,3，所以能够组成集合.故选：B3、下列各组对象不能构成集合的是（）A．所有的正方形B．方程210x-=的整数解C．我国较长的河流D．出席十九届四中全会的全体中央委员【答案】C【详解】对于A选项，“所有的正方形”对象是明确的，故能构成集合；对于B选项，“方程210x-=的整数解”的对象是明确的，故能构成集合；对于C选项，“较长”不是一个确定的范围，“我国较长的河流”的对象不明确，故不能构成集合；对于D选项，“出席十九届四中全会的全体中央委员”的对象是明确的，故能构成集合.故选：C.4、下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；在（2）中，若1aa=，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误． 故选：C5、已知集合A 中的元素为22,2a a ++，若3A ∈，则实数a 的值为（ ）A ．1或1-B ．1C ．1-D ．1-或0【答案】C 【详解】当23a +=时，得1a =，此时223a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；当223a +=时，得1a =±，若1a =，则23a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；若1a =-，则21a +=，满足{}232,2a a ∈++.故选：C6、下列关系中，正确的个数为（ ）R ；②13Q ∈；③0=∅；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈.A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【详解】R ，故①正确；在②中，13Q ∈，故②正确；在③中，0=∅，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误； 在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，3-∈Z ，故⑥正确. 故选：D.7、集合A 中的元素x 满足6,3x x∈∈-N N ，则集合A 中的元素为______________． 答案：0,1,2解析 ∵63－x ∈N ，∴3－x ＝1或2或3或6，即x ＝2或1或0或－3.又x ∈N ，故x ＝0或1或2.即集合A 中的元素为0,1,2.8、设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-．（1）若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？（2）集合A 是否为双元素集合？请说明理由．（3）若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A 中的元素．【答案】（1）A 中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）112,2,1,,3,223--． 【详解】（1）2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--． 12A ∈，12112A ∴=∈-． A ∴中至少还有两个元素为1-，12； （2）不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x ∴∈-，11111x A x x-=∈--， 由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠， 则()11x x -≠，可得11x x ≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x -≠-， 故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合．（3）由（2）知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠）， 且1111x x x x-⋅⋅=--， 设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m -⋅⋅=--， 所以，A 中的元素为1111,,,,,11x m x m x x m m----，且集合A 中所有元素之积为1. 由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =（舍去）或2x =或12x =． 此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈， 由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=， 即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23， 所以，集合A 中的元素为112,2,1,,3,223--．。
新王牌暑假班 高一数学暑假补习班 集合的概念与表示
高一数学暑假第一讲 集合概念与表示一、集合中的相关概念：1、元素与集合的概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体 形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个_____，也简称____。
集合中的每个 对象叫做这个集合的_______。
. 2、集合与元素的表示方法（1）集合通常用大写的英文字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… （2）元素通常用小写的英文字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉注意: 一些元素构成的集合必须具有以下两个特点：一是整体性，二是确定性，其中“整体”一语， 说明集合是指某些对象的整体而不是指其中的个别对象，这就是集合的整体性．一个对象要么是 集合的元素，要么不是集合的元素，二者必居其一，这是集合的确定性． 4、空集一般地，我们把不含任何元素的集合叫做__________，记作________。
5、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 6、集合的分类（1）按元素的属性分类：数集（元素是数）、点集（元素是点）、序数对（元素是有序数对）等。
（2）按元素中元素的个数分类：有限集（元素的个数是有限个）；无限集（元素的个数是无数个）； 空集（不含任何元素），记做φ 7、常用数集及表示符号（1）N ，{} ,2,1,0=N （2）N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）Z , {} ，，，210±±=Z （4）Q , {}整数与分数=Q （5）R {}数数轴上所有点所对应的=R （6） 奇数集 {}21,x x n n N =+∈ （7） 偶数集 {}2,x x n n N =∈二、集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合注意： ① 元素间用分隔号“，”； ② 元素不重复； ③ 不考虑元素顺序； ④ 对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须 把元素间的规律显示清楚后方能用省略号. ⑤ 无限集有时也可用列举法表示。
最新高一数学暑假预科讲义 第1讲预科集合中等班教师版
第一讲集合的概念与表示考点1：集合的概念【知识点的认识】1.(1)集合的含义：集合是一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元,是具有某种特定性质的事物的总体．(2)一般情况下,集合用英文大写字母,,,a b c表A B C表示．元素用英文小写字母,,,示；(3)不含任何元素的集合叫做空集,记作∅．2．元素与集合的关系：∈；如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作a A∉．如果a不是集合A中的元素,就说a不属于A,记作a A3．某些常见的数集(数集即元素是数的集合)的写法：4①确定性：集合中的元素是确定的,不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的,相同的元素在集合中只能算作一个．③无序性：集合中的元素是无次序关系的．题型一：判断能否构成集合例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能,采用适当的方式表示它．(1)小于5的自然数；(2)某班所有个子高的同学；(3)不等式2x+1＞7的整数解．【解答】:(1)小于5的自然数为0,1,2,3,4,元素确定,所以能构成集合．为{0,1,2,3,4}．(2)个子高的标准不确定,所以集合元素无法确定,所以不能构成集合．(3)由2x +1＞7得x ＞3,因为x 为整数,集合元素确定,但集合元素个数为无限个,所以用描述法表示为{x |x ＞3,且x ∈Z }．例2.(1)(2018秋•兴庆区校级期末)下面给出的四类对象中,能组成集合的是( ) A ．高一某班个子较高的同学 B ．比较著名的科学家 C ．无限接近于4的实数D ．到一个定点的距离等于定长的点的全体【解答】解：选项A ,B ,C 所描述的对象没有一个明确的标准,故不能构成一个集合, 选项D 的标准唯一,故能组成集合． 故选：D ．(2)(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( ) A ．高中数学课本中的难题可以构成集合 B ．有理数集Q 是最大的数集 C ．空集是任何非空集合的真子集 D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ．题型二：元素与集合关系例3.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．例4.(1)(2018秋•泸州期末)下列关系中,正确的是( )A ．0N +∈B ．32Z ∈C ．Q π∉D ．0∈∅【考点】12：元素与集合关系的判断 【解答】解：选项:0A N +∉,错误；选项C ,Q π∉,正确； 选项D ,0∉∅,错误； 故选：C ．(2)(2018秋•兴庆区校级期末)下列元素与集合的关系表示正确的是( )①*0N ∈； Z ； ③32Q ∈； ④Q π∈A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解答】解：①0不是正整数,*0N ∴∈错误；④π是无理数,Q π∴∈错误；∴表示正确的为②③．故选：B ．题型三：元素的性质例5.(1)(2016秋•昌江区校级期末)若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解答】解：若集合中三个元素为边可构成一个三角形, 则由集合元素的互异性可得,三个元素互不相等, 故该三角形一定不可能是等腰三角形, 故选：D ．(2)若221x x +，，是一个集合中的三个元素,实数x 应满足什么条件？ 【解答】1x ≠±且2x ≠．(3)(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x 有( )个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．(4)下列叙述中正确的个数是( )①若a -∈Z ,则a ∈Z ；②若a -∉N ,则a ∈N ；③a ∈Z ,若a -∉N ,则a ∈N ；④a ∈Z ,若a ∈N ,则a -∉N ． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】C ．考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表,其它元素用省略号表示,并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，,{12345}，，，，，． ⑵ 描述法(又称特征性质描述法)：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,形如{|()}x A p x ∈,()p x 称为集合的特征性质,x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围,有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．题型四：集合的表示方法例6.(1)将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ； ④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =． 【解答】①{11}-，；②{11}-，；③{1}；④{(00)}，；⑤{(12)}--，． (2)用通俗的语言(即自然语言)描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭， 【解答】①由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．例7.(1)(2017秋•内蒙古期末)下列集合表示正确的是( ) A ．{2,4}B ．{2,4,4 }C ．{1,3,3}D ．{漂浪女生}【解答】解：在A 中,{2,4}表示集合,正确； 在B 中,{2,4,4}不满足集合中元素的互异性,错误； 在C 中,{1,3,3}不满足集合中元素的互异性,错误； 在D 中,{漂浪女生},不满足集合中元素的确定性,错误． 故选：A ．(2)(2017秋•桂林期末)集合2{|}A x x x ==中所含元素为( ) A ．0,1B ．1-,1C ．1-,0D ．1【解答】解：根据题意,20x x x =⇒=或1, 则{0A =,1},其中的元素为0、1, 故选：A ．(3)(2018秋•南康区校级月考)把集合2{|450}x x x --=用列举法表示为( ) A ．{1x =-,5}x =B ．{|1x x =-或5}x =C ．2{450}x x --=D ．{1-,5}【解答】解：根据题意,解2450x x --=可得1x =-或5, 用列举法表示可得{1-,5}； 故选：D ．(4)(2018秋•江岸区校级月考)下列叙述正确的是( ) A ．方程2210x x ++=的根构成的集合为{1-,1}-B ．{}22102030x x R x x Rx ⎧+>⎫⎧⎪⎪∈+==∈⎨⎨⎬+<⎪⎪⎩⎩⎭C ．集合{(,)|5M x y x y =+=,6}xy =表示的集合是{2,3}D ．集合{1,3,5}与集合{3,5,1]是不同的集合 【解答】解：选项A ：集合中的元素互异,故错误；错误,选项D ：元素相同即集合相等,故错误． 故选：B ．例8.(1)(2018•江西二模)设集合{1A =,2,3},{2B =,3,4},{|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈,则M 中的元素个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：集合{1A =,2,3},{2B =,3,4},{|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈, {2M ∴=,3,4,6,8,9,12}．M ∴中的元素个数为7．故选：C ．(2)（2020•章丘区校级模拟）若集合{1A =，2，3}，{(,)|40B x y x y =+->，x ，}y A ∈，则集合B 中的元素个数为( ) A ．9B ．6C ．4D ．3【解答】解：通过列举，可知x ，y A ∈的数对共9对，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9种，{(,)|40B x y x y =+->，x ，}y A ∈，∴易得(2,3)，(3,2)，(3,3)满足40x y +->， ∴集合B 中的元素个数共3个．故选：D ．（3）（2020•南昌一模）已知集合{0A =，1，2)，{}B x N A =∈，则(B = )A ．{0}B ．{0，2}C ．{0，12，2} D ．{0，2，4}解：集合{0B ∴=，2}． 故选：B ．例9.(1)(2018•山西一模)已知单元素集合2{|(2)10}A x x a x =-++=,则(a = ) A ．0B ．4-C ．4-或1D ．4-或0【解答】解：单元素集合2{|(2)10}A x x a x =-++=,∴△2[(2)]4110a =-+-⨯⨯=,解得4a =-或0a =． 故选：D ．(2)(2018秋•太原期中)已知集合2{|320}A x ax x =-+=中有且只有一个元素,那么实数a 的取值集合是( ) A ．9{}8B ．{0,9}8C ．{0}D ．{0,2}3【解答】解：集合2{|320}A x ax x =-+=中有且只有一个元素, 0a ∴=或0980a a ≠⎧⎨=-=⎩,故选：B ．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合,这个区域通常叫做维恩(Venn)图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，,且a b <,实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”, “-∞”读作“负无穷大”．实数集R 也可以用()-∞+∞，表示． 例10.将下面的集合表示成区间：(1){|12}x x -<≤；(2){|240}x x ->；(3){|420}x x -≥． 【解答】⑴(12]-，；⑵(2)+∞，；⑶(2]-∞，． 例11.把下列集合表示成区间。
人大附中高一暑期讲义学生版
A.对任意实数 a， (2,1) A
7．已知两个集合 M
x R
y
1
x
，N
y
R
y
1
x
，这两个集合的关系
是（ ）
A． M N
B． M N
C．M N
D．M N
8．（北京外国语学校月考）下列关系中正确的是（ ）
（1）{0} （2） 0 （3） {a}
（4）{a}{a，b} （5）{a} {a}
（1）若 A B={2},求实数 a 的值; （2）若 A B=A，求实数 a 的取值范围。
30.（2017 北京 161 中学高一期中）已知函数 f (x) lg(9 3x ) 的定义域为 A ，函数 g(x) x2 + 4x 1 ， x [0,3] 的值域为 B ． （1 ）求集合 A ， B ． （ 2 ）设集合 M (A B) Z ，其中 Z 为整数集，写出集合 M 的所有子集． （ 3 ）设集合 P {x a 1 x 2a +1} ，且 P B ，求实数 a 的取值范围．
()
A.{-2}
B.{1}
C.{-2,1}
D.{-2,0,1}
22.(2017 北京朝阳一模)已知集合 A={x|-1≤x<3},B={x∈Z|x2<4},则 A∩B=
( )
A.{0,1}
B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,1}
D.{-2,-1,0,1,2}
5
23.(2016 北京海淀二模)已知全集 U={x|x>0},M={x|x>1},则∁UM=( )
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第1讲：集合的概念及表示方法【开心自测】1、请你列出“小于10”的自然数：2、请你写出方程2230x x --=的解：3、咱们班性格开朗的女生全体是否确定一个集合？【考纲要求】1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.在具体情境中，了解空集的含义.3.掌握常用数集及其专用符号.4.掌握集合的表示方法，通过实例体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，能在具体问题中选择适当的方法表示集合.【教学重难点】集合的概念和表示方法【重难点命题方向】集合的概念及表示方法自主预习：（1）集合的概念：一般的，把一些能够____________对象看成一个整体，就说这个整体是有这些对象的____构成的集合（或集）.构成集合的_____叫做这个集合的元素（或成员）.（2）集合与元素的记法：集合一般用_______字母来表示，集合中的元素一般用______字母来表示.（3）元素与集合的关系:如果a 是集合A 的元素，就说__________,记作______读作_______;如果a 不是集合A 的关系，就说__________,记作_______读作_______.（4)空集的概念：把____________________的集合叫做空集，记作________.（5）集合元素的性质特征：①___________；②___________；③___________.（6）集合的分类： 含有有限个元素的集合叫做________;含有无限个元素的集合叫做_________.（7）常用数集及其表示符号：自然数集记作__,正整数集记作__，整数集记作__，有理数集记作__，实数集记作__.（8）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用____________括起来表示集合的方法叫做___________.（9）特征性质描述法：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ，而不属于集合A 的元素都不具有性质()p x ，则性质()p x 叫做集合A 的一个_______.于是集合A 可以用它的特征性质()p x 描述为_______________，它表示集合A 是由集合I 中具有性质()p x 的所有元素构成的.这种表示集合的方法叫做_____________,简称描述法.【基础限时训练】（1.1.1）1.下列各组对象能构成集合的是（ ）A.本班视力较差的学生B.本班成绩较好的学生C.本班身材较高的学生D.本班今年9月入学的所有学生2.有下列四个结论：①φ∈0；②∈0N ；③∈a N ，则∉-a N ④若∈a Z ，∈b Z ，则∈-b aZ,其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.43.由n )1(-（∈n N ）构成的集合中含有的元素个数为（ ）A.1B.2C.3D.无数个4.用符号“∈”或“∉”填空：0___N; 4-___Z; -1___φ; 3___Q; π___R; 0___R. 5.由4,2,2a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）A.1B.-2C.6D.2课堂互动：一．集合的的概念[例1]下列各组对象能否构成一个集合？1、所有的好人；2、不超过20的非负数；3、一中高三年级一班16岁以下的学生；4、直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点；5、高个子的人；6、充分接近3的实数；巩固提高下列语句是否能确定一个集合？（1）你所在班级中，体重超过75kg 的学生的全体；（2）大于5的自然数的全体；（3）本校高一（23）班性格开朗的全体女生；（4）质数的全体；（5）平方后等于-1的实数的全体；二．元素与集合的关系[例2]用符号“∈”或“∉”填空：（1）1____ N; 0____N; -3____N; 0.5____N; 3____N.（2）1____Z; 0____Z; -3____Z; 0.5____Z; 3____Z.（3）1____Q; 0____Q; -3____Q; 0.5____Q; 3____Q.（4）1____R; 0____R; -3____R; 0.5____R;3____R.巩固提高用符号“∈”或“∉”填空：（1）-3____N ；（2）3.14____Q ；（3）31_____Z ；（4）0_____ φ；（5）3_____Q ； （6）21-_____R ；（7）1_____+N ；（8）π_____R. 三．空集的概念[例3] 写出下列集合中元素的个数.1、在实数范围内，方程012=+x 的解集；2、方程组0103{=+-=++y x y x 的解集； 3、小于1的自然数所组成的集合；4、小于等于0的正整数所组成的集合.巩固提高关于x 的方程02=++b ax x ，当a 、b 满足什么条件时，解集为空集？含有一个元素？含有两个元素四．集合中元素特征的应用[例4]已知集合A 是由三个元素a-2,22a +5a ,12构成的，且-3∈A ，求a巩固提高以方程0652=+-x x 和方程022=--x x 的解集为元素构成集合M ，则M 中元素的个数为（ ）A ．1 B.2 C ．3 D.4课堂检测1.下列各组对象可构成集合的是（ ）A.与1非常接近的数B.我校学生中的女生C.中国漂亮的工艺品D.本班视力差的男生2.若以正实数,,,x y z w 四个元素构成集合A ，以集合A 中四个元素为边长构成的四边形可能是（ ）A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形3.用符号∈或∉填空（1）-1____N ；（2）π____Q ；（3）17_____Z ；（4）0_____ φ；（5）；（6）0_____N . 4.设集合A 中有且仅有三个元素1，2,x x x -，求x 所满足的条件.课后总结：学完本课，在以下各项的后面的“（ ）”中，用“√”或“？”标注你是否掌握。
（1）集合的意义. （ ）（2）元素与集合之间“属于”与“不属于”的关系及其表示符号. （ ）（3）有限集和无限集的概念. （ ）（4）一些特殊集合的符号. （ ）（5）集合的两种表示方法：列举法与描述法. （ ）（6）集合中元素的三个特性. （ ）【拔高限时训练】1、 给出下列关系①∈21R ；②∉2Q ；③∈-3N ；④∈-3Q 。
其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.下列各组对象不能构成集合的是（ ）A.正三角形的全体B.所有的无理数C.高一课本中的所有难题D.不等式132>+x 的解3. 数1，a ，a a -2构成一个集合A ，则a 应满足的条件为（ ） A. 215,1,0±≠a B. 215±≠a C. 2,1≠a D. 2,1,0≠a 4.若集合M 中的三个元素a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是（ ）A.锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D. 等腰三角形5.设a ，b 都是非零实数，则由abab b b a a ++的值组成的集合S 中元素的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 C.46.设直线32+=x y 上的点的集合为P ，则点（1，5）与集合P 的关系是___________，点（2，6）与集合P 的关系是____________.7.由实数332,,,x x x x --所组成的集合里最多有_________个元素.8.若集合A 含有3个元素：2，4，6，若∈a A ，且∈-a 6A ，求a 的值.9.设集合A 中含有33,)1(,222++++a a a a 这三个元素，若∈1A ，求实数a 的值10.由对象x x x x x 3,,32--能构成一个集合吗？如果能构成一个集合，说明理由；如果不能，需要增加什么条件，可使它组成一个集合？【基础限时训练】（1.1.2）1. 下列各表示中，正确表示集合的个数是 （ ）①{}12321，，，，；②{}2；③{}x x 为本班高个子男同学；④{}210x x +< . A.1 B.2 C.3 D.42. 集合{}5x N x +∈<的另一种表示方法是 （ ）A. {}01234，，，，B. {}1234，，，C. {}012345，，，，，D. {}12345，，，，3.集合{}13579A =，，，，用描述法表示应是（ ） A.{}x x 是不大于9的非负奇数 B.{}9,x x x N ≤∈C. {}19,x x x N ≤≤∈D. {}09,x x x Z ≤≤∈4.集合{}2,2,3A =-,集合{}2,B x x t t A ==∈,用列举法表示集合B =_____________. 5.下列集合中表示同一集合的是（ ）A.(){}(){}3223M N ==，，， B. {}{}3223M N ==，，， C. (){}{}11M x y x y N y x y =+==+=，， D. {}(){}1212M N ==，，， 课堂互动：一．用列举法表示集合[例1]用列举法表示下列集合：1、{}05A x N x =∈<≤；2、{}2560B x x x =-+=；3、大于2小于15的偶数全体；4、平方等于16的实数全体；5、15的正约数组成的集合；6、绝对值小于3的整数集合.巩固提高用列举法表示下列集合：（1）方程24x =的解集；（2）大于0小于5的整数的全体；（3）方程()()221280x x x -+-=的解集； （4）方程13x -=的解集.二．用描述法表示集合[例2]用描述法表示下列集合：（1）{}11-，；（2）大于3的全体偶数构成的集合；（3）在平面α内，线段AB 的垂直平分线；（4）所有偶数的集合；（5）方程2230x x -+=的解集；（6）除以3余2的整数的全体.巩固提高用描述法表示下列集合：（1）{}02468，，，，；（2）{}392781，，，，；（3）13572468⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，；（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合.三．两种表示方法的运用[例3] 用适当的方法表示下列集合：1、构成英语单词mathematics （数学）字母的全体；2、直线1y x =+上的所有点构成的集合；3、方程2560x x ++=的解集；4、在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；.巩固提高用适当的方法表示下列集合：⑴大于-3且小于10的所有正偶数构成的集合；⑵大于0.9且不大于6的自然数构成的集合；⑶15的质因数全体构成的集合；⑷矩形的全体构成的集合.课堂检测1.已知集合{A x N x =∈≤≤，则必有（ ）A.1A -∈B. 0A ∈C.A D. 2A ∈ 2.方程组11x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ） A.{}0,1x y == B. {}0,1 C. (){}01， D. (){},01x y x y ==或 3.用适当的方法表示下列集合：⑴方程组0103{=+-=++y x y x 的解集；⑵函数1y x =+中的所有函数值构成的集合； ⑶(){},6,,x y x y x N y N +++=∈∈；⑷坐标平面上第一、三象限上点的集合.【拔高限时训练】1.直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为（ ）A.(){},0,00,0x y x y x y =≠≠=或B. (){},00x y x y ==且C. (){},0x y xy =D. (){},0x y x y ，不同时为2.下列六种表示法：①{}2,1x y ==；②()2,1x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭；③(){}21，；④()12-，；⑤{}21，；⑥(){},21x y x y ==，.能正确表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ）A.①②③④⑤⑥B. ②③④⑤C. ②③D. ②③⑥ 3. 已知{}09,A x x x R =≤≤∈,{}611,B x x x Z =-<<∈,则A 、B 中（ ）A. 没有有限集B. 两个都是无限集C. 只有一个是有限集D. 无法确定哪个是有限集4.定义集合运算：(){},,A B z z xy x y x A y B ⊗==+∈∈，设集合{}0,1A =,{}2,3B =，则集合A B ⊗的所有元素之和为（ ）A.0B. 6C.12D. 185.已知{}2,P x x a x N =<<∈,且集合P 中恰有3个元素，则整数a =__________.6.{}2550x x ax -∈--=，则集合{}240x x x a --=中所有元素之和为 _________.7.到直角坐标系中横轴和纵轴距离相等的点构成的集合可表示为________________.8. 用适当的方法表示下列集合：⑴方程组28{1x y x y +=-=的解集； ⑵自然数中五个最小的完全平方数构成的集合； ⑶6m ,5N m Z m +⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭且； ⑷{}248163264，，，，，【李老师5分钟答疑】。