28.1 锐角三角函数 (第3课时)
合集下载
特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值
2
当堂练习
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( ) A．40° B．30° C．20° D．10°
2. 已知 sinA = 1 ，则下列正确的是
()
2
A. cosA = 2 2
C. tanA = 1
B. cosA = 3 2
D. tanA = 3
课堂小结
30°、45°、60°角的三角函数值
特殊角的三角 函数值
通过三角函数值求角度
1，快速计算 (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°； (3) 1csoi6sn600 ta1n30 ；
2. 若规定 sin (α-β) = sinαcosβ － cosαsinβ，求 sin15° 的值.
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
学习目标
1. 运用三角函数的知识，推导出30°、 45°、 60°角的三角函数值. (重点) 2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加
以运用. (难点)
导入新课
复习引入
sin
A
=
∠A的对边
斜边
BC . AB
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
AC AB
.
tan
A
=
∠A的对边
∠A的邻边
AC AB
.
B
∠A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
一 30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这
当堂练习
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( ) A．40° B．30° C．20° D．10°
2. 已知 sinA = 1 ，则下列正确的是
()
2
A. cosA = 2 2
C. tanA = 1
B. cosA = 3 2
D. tanA = 3
课堂小结
30°、45°、60°角的三角函数值
特殊角的三角 函数值
通过三角函数值求角度
1，快速计算 (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°； (3) 1csoi6sn600 ta1n30 ；
2. 若规定 sin (α-β) = sinαcosβ － cosαsinβ，求 sin15° 的值.
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
学习目标
1. 运用三角函数的知识，推导出30°、 45°、 60°角的三角函数值. (重点) 2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加
以运用. (难点)
导入新课
复习引入
sin
A
=
∠A的对边
斜边
BC . AB
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
AC AB
.
tan
A
=
∠A的对边
∠A的邻边
AC AB
.
B
∠A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
一 30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这
人教版九年级数学下册第二十八章28.1第3课时 特殊角的三角函数值
30° ，∠B＝ 120° ．
14. 如图， 直线 MN 与⊙O 相切于点 M， ME＝EF 1 且 EF∥MN，则 cos∠E＝ 2 ．
15. 计算：(1)(2018· 宜宾)sin30° ＋(2018－ 3)0－ 2－1＋|－4|；
1 1 解：原式＝2＋1－2＋4＝5；
24 (2) 2(2cos45° －sin60° )＋ 4 ；
A．15°
B．30° C．45°
D．60°
10. (2018· 陕西)如图， 在△ ABC 中， AC＝8， ∠ABC ＝60° ，∠C＝45° ，AD⊥BC，垂足为 D，∠ABC 的平 分线交 AD 于点 E，则 AE 的长为( C )
4 A.3
2
B．2
8 2 C.3
2
D．3
2
【解析】由题意易得∠ABE＝∠DBE＝∠BAE＝ 30° ，∠ACD＝∠CAD＝45° ，∴AE＝BE，AD＝CD， ∵AC＝8，∴AD＝8cos45° ＝4 ＝AE＋AEsin30° ＝4 2，又 AD＝AE＋DE
a－b a2－b2 16. 先化简，再求值： ÷2 2 － 1. a＋2b a ＋4ab＋4b 其中 a＝2sin60° －tan45° ，b＝1.
a－b （a＋b）（a－b） 解：原式＝ ÷ －1 a＋2b （a＋2b）2 a－b （a＋2b）2 ＝ × －1 a＋2b （a＋b）（a－b） a＋2b b ＝ －1＝ . a＋b a＋b 当 a＝2sin60° －tan45° ＝ 3－1，b＝1 时， 1 1 3 原式＝ ＝ ＝3. （ 3－1）＋1 3
8 2 2，∴AE＝ 3 .
11. 已知 α 为锐角，若 3tan(α＋20° )＝3，则 α ＝ 40° ．
特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值
B
c
a
A
b
C
六、达标检测
1、已知为锐角，且
1 2
cos
2 2
，
则的取值范围是（）
A．0°<α<30° C．45°<α<60°
B．60°<α<90 D．30°<α<45°．
2、已知：Rt△ABC中，∠C=90°cosA= 3 ，
5
AB=15，则AC的长是（ C）．
B
A．3
B．6
C．9
D．12
A
C
30°
sinα 1
2
cosα 3
2
tanα 3 3
45°
2 2 2 2
1
60°
3 2
1 2
3
要熟记上表，灵活运用
八、课堂作业 课本69页：3、4题
挑战自我，迎接中考我能行
一.已知角，求值 (1)tan45°-sin60°cos30°
(2)2sin30°+3tan30°+tan45°
(3)cos245°+ tan60°cos30°
30°
3a 3
sin 60 3a 3 cos 60 a 1
2a 2
2a 2
tan 60 3a 3
60°
a
设两条直角边长为a，则斜边长＝ a2 a2 2a
sin 45 a 2 2a 2
cos 45 a 2
45°
2a 2
tan 45 a 1 a
特殊角的三角函数值及增减性
正切值和正弦值
三、自主学习
活动1
两块三角尺中有几个不同的锐 角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值．
部审人教版九年级数学下册教学设计28.1 第3课时《特殊角的三角函数值》
部审人教版九年级数学下册教学设计28.1 第3课时《特殊角的三角函数值》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.1节《特殊角的三角函数值》是三角函数基础知识的重要组成部分。
本节课主要让学生掌握30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切函数值，并能够运用这些知识解决实际问题。
教材通过引入特殊角的三角函数值，为学生深入学习三角函数奠定基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的概念，对直角三角形的边角关系有一定的了解。
但部分学生对函数值的计算和应用还不够熟练，需要在本节课中加强训练。
此外，学生对于解决实际问题的能力有待提高，需要教师在教学中进行引导和培养。
三. 教学目标1.让学生掌握30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切函数值。
2.培养学生运用三角函数知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.重点：掌握30°、45°、60°特殊角的三角函数值。
2.难点：灵活运用特殊角的三角函数值解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究特殊角的三角函数值。
2.运用合作学习法，培养学生团队协作能力和沟通能力。
3.利用案例分析法，让学生学会将理论知识应用于实际问题。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生解决实际问题。
2.准备多媒体教学设备，用于展示特殊角的三角函数值。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示特殊角的三角函数值，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切函数值，让学生直观地感受这些特殊角的三角函数值。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用特殊角的三角函数值解决实际问题。
教师巡回指导，帮助学生克服困难。
人教新课标版初中九下28.1锐角三角函数(3)ppt课件
（ 2） ）
cos 45° 2 2 － tan45° = ° ÷ － 1=0 sin 45° 2 2
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
例 2： （ 1） 如 图 （ 1） ， 在 Rt△ ABC 中 ， ∠ C=90， AB= 6 ， BC= 3 ， ： ） ） △ ， 求∠A 的度数．
双基演练 能力提升 聚焦中考
Rt△ 1 ． B 是 Rt △ ABC 的 一 个 内 角 ， sinB= ∠ 且
3 B =______． ， cos =______ ． 则 2 2 1 3 2 ． 在 △ ABC 中 ， ∠ A ， ∠ B 都 是 锐 角 ， 且 sinA= ， cosB= ， 2 2
课本第8 页练习1 课本第83页练习1、2、3题
补充练习 在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°， ABC中 AD是BC边上的高， B=30° 边上的高 ∠C=45°，BD=10，求AC． C=45° BD=10， AC．
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
3 A=30° 例 3． 如 图 ， 在 ⊿ ABC 中 , ∠ A=30 ° ,tanB= ． , 2 AC=2 3 , 求 AB
C
A
B
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业 小结
1 ， 则 点 A′ 的 坐 2
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习 分
cos 45° 2 2 － tan45° = ° ÷ － 1=0 sin 45° 2 2
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
例 2： （ 1） 如 图 （ 1） ， 在 Rt△ ABC 中 ， ∠ C=90， AB= 6 ， BC= 3 ， ： ） ） △ ， 求∠A 的度数．
双基演练 能力提升 聚焦中考
Rt△ 1 ． B 是 Rt △ ABC 的 一 个 内 角 ， sinB= ∠ 且
3 B =______． ， cos =______ ． 则 2 2 1 3 2 ． 在 △ ABC 中 ， ∠ A ， ∠ B 都 是 锐 角 ， 且 sinA= ， cosB= ， 2 2
课本第8 页练习1 课本第83页练习1、2、3题
补充练习 在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°， ABC中 AD是BC边上的高， B=30° 边上的高 ∠C=45°，BD=10，求AC． C=45° BD=10， AC．
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
3 A=30° 例 3． 如 图 ， 在 ⊿ ABC 中 , ∠ A=30 ° ,tanB= ． , 2 AC=2 3 , 求 AB
C
A
B
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业 小结
1 ， 则 点 A′ 的 坐 2
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习 分
28.1 锐角三角函数 第3课时 特殊角的锐角三角函数值
∴ 2 sin2α + cos2α － 3tan (α+15°)
= 2 sin245°+cos245°－ 3tan60°
2
2
2
2 2
+
2 2
3
3
3.
2
课堂测试
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( D)
A．40° B．30° C．20° D．10°
2
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形．
4. 已知：| tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－3 )2 ＝
解：∵ | tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－ 3 )2 ＝0，
∴ tanB＝
3 ，sinA＝
3， 2
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
第3课时
特殊角的锐角三角函数值
复习导入
说说锐角三角函数是如何定义的.
复习引入
sin A =
∠A的对边
斜边
BC . AB
cos A =
∠A的邻边
斜边
AC . AB
tan A =
∠A的对边
∠A的邻边
AC . AB
∠B A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
若∠A为30°，你能立即说出它对应的三
角函数值吗？
cos A
tan A
30°
1 2 3 2 3 3
45° 60°
2
3
2
2
2
1
2
2
1
3
例1 求下列各式的值：
28.1.3锐角三角函数(教案)
28.1.3锐角三角函数（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第28章第1节第3部分——锐角三角函数。教学内容主要包括：锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，以及利用三角函数解决实际问题。具体内容包括：
1.锐角三角函数的定义：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）的概念及表示方法。
2.特殊角的三角函数值：掌握30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦和正切值。
在今后的教学中，我会针对这些问题进行调整，力求提高教学效果。一方面，加强课堂互动，鼓励学生提问和发表观点，提高他们的课堂参与度；另一方面，注重因材施教，针对不同学生的特点，采用个性化的教学方法，帮助他们克服学习难点。
然而，我也注意到在讲解特殊角的三角函数值时，部分学生出现了记忆混淆的情况。为此，我采用了记忆口诀和图表辅助记忆的方法，希望帮助他们更好地掌握这一部分内容。在实践活动和小组讨论中，学生们表现出了很高的热情，积极思考、交流，共同解决问题。这让我深感欣慰，认为这样的教学方式有助于提高学生的合作能力和解决问题的能力。
1.教学重点
（1）锐角三角函数的定义：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）的概念及表示方法，这是本节课的核心内容，是后续学习的基础。
-例如：正弦的定义为“锐角三角形中，一个角的正弦等于该角的对边长度与斜边长度的比值”。
（2）特殊角的三角函数值：30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦和正切值，这些数值需要学生熟练掌握。
-突破方法：通过案例分析、小组讨论等方式，引导学生逐步建立数学模型，选择合适的三角函数解决问题。
（4）计算过程中的精度问题：在实际应用中，学生可能会在计算过程中出现误差。
-突破方法：强调精确计算的重要性，教授有效的小数处理技巧，提高学生的计算准确性。
一、教学内容
本节课选自教材第28章第1节第3部分——锐角三角函数。教学内容主要包括：锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，以及利用三角函数解决实际问题。具体内容包括：
1.锐角三角函数的定义：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）的概念及表示方法。
2.特殊角的三角函数值：掌握30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦和正切值。
在今后的教学中，我会针对这些问题进行调整，力求提高教学效果。一方面，加强课堂互动，鼓励学生提问和发表观点，提高他们的课堂参与度；另一方面，注重因材施教，针对不同学生的特点，采用个性化的教学方法，帮助他们克服学习难点。
然而，我也注意到在讲解特殊角的三角函数值时，部分学生出现了记忆混淆的情况。为此，我采用了记忆口诀和图表辅助记忆的方法，希望帮助他们更好地掌握这一部分内容。在实践活动和小组讨论中，学生们表现出了很高的热情，积极思考、交流，共同解决问题。这让我深感欣慰，认为这样的教学方式有助于提高学生的合作能力和解决问题的能力。
1.教学重点
（1）锐角三角函数的定义：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）的概念及表示方法，这是本节课的核心内容，是后续学习的基础。
-例如：正弦的定义为“锐角三角形中，一个角的正弦等于该角的对边长度与斜边长度的比值”。
（2）特殊角的三角函数值：30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦和正切值，这些数值需要学生熟练掌握。
-突破方法：通过案例分析、小组讨论等方式，引导学生逐步建立数学模型，选择合适的三角函数解决问题。
（4）计算过程中的精度问题：在实际应用中，学生可能会在计算过程中出现误差。
-突破方法：强调精确计算的重要性，教授有效的小数处理技巧，提高学生的计算准确性。
九年级下册数学28.1 第3课时 特殊角的三角函数值
3 × 3 1 ×1 1.依据公式求 sin15°＋sin75°的值． 2 2 22
解：方法一：sin15°＋sin75°＝sin(60°－45°) ＋sin(30°＋45°)＝sin60°·cos45°－cos60°·sin45° ＋sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°＝ 3 × 2 1 × 2
2 2 22 1× 2+ 3? 2 = 6 . 22 2 2 2
方 法 二： sin15 ° ＋sin75°＝ sin(45°－ 30°) ＋ sin(30°＋ 45°) ＝ sin45°·cos30°－ cos45°·sin30°＋ sin30°·cos45°＋ cos30°·sin45°＝ 2sin45 ° · cos30 ° ＝2× 2 × 3 = 6 .
30 40
a，∴sin(α ＋β)＝sin
∠
BA
C
＝B A
E B
＝
30
40
2 ，则α＋β＝45°.故选 A.
45a 2
15．已知α是锐角，cos(α－15°)＝ 2 ，求 2
sinα
cosα
α
tan
的值．
3
2
解：由题意，得α－15°＝45°， ∴α＝60°.
3
∴ sinα
cosα
α
tan
＝
2
1
3 =1
出 y 值为 1 的是( C ) 2
A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45° C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°
14．(2020·河北模拟)已知α，β均为锐角，若
tanα＝ 1 ，tanβ＝ 1 ，则α＋β＝( A )
2
3
A．45°
解：方法一：sin15°＋sin75°＝sin(60°－45°) ＋sin(30°＋45°)＝sin60°·cos45°－cos60°·sin45° ＋sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°＝ 3 × 2 1 × 2
2 2 22 1× 2+ 3? 2 = 6 . 22 2 2 2
方 法 二： sin15 ° ＋sin75°＝ sin(45°－ 30°) ＋ sin(30°＋ 45°) ＝ sin45°·cos30°－ cos45°·sin30°＋ sin30°·cos45°＋ cos30°·sin45°＝ 2sin45 ° · cos30 ° ＝2× 2 × 3 = 6 .
30 40
a，∴sin(α ＋β)＝sin
∠
BA
C
＝B A
E B
＝
30
40
2 ，则α＋β＝45°.故选 A.
45a 2
15．已知α是锐角，cos(α－15°)＝ 2 ，求 2
sinα
cosα
α
tan
的值．
3
2
解：由题意，得α－15°＝45°， ∴α＝60°.
3
∴ sinα
cosα
α
tan
＝
2
1
3 =1
出 y 值为 1 的是( C ) 2
A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45° C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°
14．(2020·河北模拟)已知α，β均为锐角，若
tanα＝ 1 ，tanβ＝ 1 ，则α＋β＝( A )
2
3
A．45°
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条边的比值分别是多少?你能写出每个锐角的三角函数值
吗?试试看.
1.当角度在0°~90°间变化时,正切值、正弦值随着角
度的增大(或减小)而 增大 (或 减小 );余弦值随着 角度的增大(或减小)而 减小 (或 增大 ).
1∶ ������∶2
2.在含30°的直角三角形中三边长的比是
;
等腰直角三角形的三边长之比为 1∶1∶ ������
������ ������ 3.已知α 为锐角,且 sin(α -10°)= ,则α 等于( C )
A.50° B.60° C.70° D.80°
4.计算:4sin 30°+2 ������cos 30°+tan 45°.
解:原式=4× +2 ������× +1=6.
������ ������
������
������������������������������° ������������������������������°
-tan 45°的值是
0
.
������
2.2cos 30°-tan 45°- (������-������������������������������°) 的值是( B ) A.2 ������-2 B.0 C.2 ������ D.2
解:如图所示,菱形 ABCD 中对角线 AC,BD 相交于 点 O,且 AC=6,BD=2 ������.由菱形的性质得, AC⊥BD,AO=OC= AC, BO=OD= BD,
������ ������ ������ ������
且 AC,BD 分别平分菱形的四个角. ∵AC=6,BD=2 ������, ∴AO=3,BO= ������. ∴在 Rt△AOB 中,tan∠BAO= ,
������
5.在△ABC 中,若 ������������������������- +(cos B- ) =0,求∠C 的度数.
2
������ ������
������ ������
解:∵ ������������������������- +(cos B- ) =0,
2
������ ������
.
3.完成三角函数与其他数的混合运算: ������sin 60°������ ������cos 45°+ ������.
解:原式= ������× - ������× +2= -1+2= .
������ ������ ������ ������
������
������
������
������
1.计算
������ ������
∴sin A- =0,cos B- =0, ∴sin A= ,cos B= ,∠A=30°,∠B=60°,
������ ������ ������ ������ ������ ������
������
������ຫໍສະໝຸດ ∴∠C=90°.已知菱形的两条对角线长分别为 2 ������和 6, 求菱形中较小的内角的度数.
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数 第3课时
学习目标
1.熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能够进行有关的
推理.
2.能够进行30°,45°,60°角的三角函数值的计算.
学习重点
熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的运算式.
从小学开始我们就用三角尺画图,你对三角尺了解吗?一 副三角尺中有几个度数不同的特殊锐角?每个三角尺中三
������ ������
∴∠BAO=30°,∴∠BAD=60°.