锐角三角函数(1)课件ppt
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浙教版九年级下册 1.1 锐角三角函数 课件(共27张PPT)
AB A. sinA B. sinB C. tanA D. tanB 2.如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝1，则 BC 的长是( )
2 A. 2 B. 8 C. 2 5 D. 4 5
3.在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，则 sinB 的值是( )
A. 1 2
B. 2 2
C. 3 2
D. 2
4.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶2，则 sinA＝___.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20， 则∠B的度数为________．
6.如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC 于点 D，∠CBD＝α，AB＝3，BC＝4， 求 sinα，cosα，tanα的值．
B
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC 有什么关系?
(2) BC 和 B1C1 , AC 和 AC1 ，
AB AB1 AB AB1
BC 和 B1C1有什么关系?
AC AC1
(3)如果改变B在AB1上的位置呢?
A
C
想一想
B
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC 有什么关系?
1.1 锐角三角函数（1）
复习回顾
勾股定理
?当直角三角形的锐角不是
直 角
特殊角度时，三边之间是否
三
也有类似的定值数量关系呢？
角
形
想一想
B
A
C
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC 有什么关系? (2) BC 和 B1C1 , AC 和 AC1 ，
AB AB1 AB AB1
BC 和 B1C1有什么关系?
2 A. 2 B. 8 C. 2 5 D. 4 5
3.在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，则 sinB 的值是( )
A. 1 2
B. 2 2
C. 3 2
D. 2
4.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶2，则 sinA＝___.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20， 则∠B的度数为________．
6.如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC 于点 D，∠CBD＝α，AB＝3，BC＝4， 求 sinα，cosα，tanα的值．
B
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC 有什么关系?
(2) BC 和 B1C1 , AC 和 AC1 ，
AB AB1 AB AB1
BC 和 B1C1有什么关系?
AC AC1
(3)如果改变B在AB1上的位置呢?
A
C
想一想
B
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC 有什么关系?
1.1 锐角三角函数（1）
复习回顾
勾股定理
?当直角三角形的锐角不是
直 角
特殊角度时，三边之间是否
三
也有类似的定值数量关系呢？
角
形
想一想
B
A
C
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC 有什么关系? (2) BC 和 B1C1 , AC 和 AC1 ，
AB AB1 AB AB1
BC 和 B1C1有什么关系?
锐角三角函数(第一课)课件
锐角三角函数(第一课)
# 锐角三角函数(第一课) ## 一、引言 - 本课程将介绍锐角三角函数的概念和性质，帮助您更好地理解三角函数并为后续学习打下基础。 ## 二、三角函数的定义 - 正弦函数、余弦函数、正切函数、正割函数、余割函数以及它们的反函数。 ## 三、性质 - 了解三角函数的周期性、奇偶性、连续性、单调性、极值和最值。 ## 四、图像与应用 - 探索三角函数的图像以及它们在实际应用中的作用。 ## 五、总结 - 通过本课程，您将对锐角三角函数的概念和性质有全面的了解。
三角函数在其定义域内是连续的。
单调性
4
三角函数的单调性决定了其在不同区间
的递增或递减性。
5
极值和最值
三角函数的极值和最值对应着函数图像 的高点和低点。
图像与应用
正弦函数的图像
正弦函数呈现出美丽的波浪形图 像，广泛应用于物理学和工程学 中。
余弦函数的图像
正切函数的图像
余弦函数呈现出光滑的曲线图像， 常被用于振动和波动问题。
正切函数的图像具有特殊的涨落 特征，常用于解决角度和斜率相 关问题。
总结
课程概述
通过本课程，您了解了锐角三角函数的定义、 性质，以及它们在图像和应用中的作用。
基础打牢
掌握三角函数的图像和基本性质，对后续学习 将非常有帮助。
三角函数的定义
正弦函数
描述角的正弦值与其对边与斜边之比。
正切函数
描述角的正切值与其对边与邻边之比。
余弦函数
描述角的余弦值与其邻边与斜边之比。
正割函数
描述角的正割值与斜边与对边之比。
三角函数的性质
1
周期性
三角函数在一定范围内呈现周期性变化。
奇偶性
2
# 锐角三角函数(第一课) ## 一、引言 - 本课程将介绍锐角三角函数的概念和性质，帮助您更好地理解三角函数并为后续学习打下基础。 ## 二、三角函数的定义 - 正弦函数、余弦函数、正切函数、正割函数、余割函数以及它们的反函数。 ## 三、性质 - 了解三角函数的周期性、奇偶性、连续性、单调性、极值和最值。 ## 四、图像与应用 - 探索三角函数的图像以及它们在实际应用中的作用。 ## 五、总结 - 通过本课程，您将对锐角三角函数的概念和性质有全面的了解。
三角函数在其定义域内是连续的。
单调性
4
三角函数的单调性决定了其在不同区间
的递增或递减性。
5
极值和最值
三角函数的极值和最值对应着函数图像 的高点和低点。
图像与应用
正弦函数的图像
正弦函数呈现出美丽的波浪形图 像，广泛应用于物理学和工程学 中。
余弦函数的图像
正切函数的图像
余弦函数呈现出光滑的曲线图像， 常被用于振动和波动问题。
正切函数的图像具有特殊的涨落 特征，常用于解决角度和斜率相 关问题。
总结
课程概述
通过本课程，您了解了锐角三角函数的定义、 性质，以及它们在图像和应用中的作用。
基础打牢
掌握三角函数的图像和基本性质，对后续学习 将非常有帮助。
三角函数的定义
正弦函数
描述角的正弦值与其对边与斜边之比。
正切函数
描述角的正切值与其对边与邻边之比。
余弦函数
描述角的余弦值与其邻边与斜边之比。
正割函数
描述角的正割值与斜边与对边之比。
三角函数的性质
1
周期性
三角函数在一定范围内呈现周期性变化。
奇偶性
2
《锐角三角函数》PPT教学课件(第1课时)
BC AC
= 12 =
AC
34，所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
17 15
,则tan
15 A＝_8__．
由正切定义可知tan A＝BACC , 因为 AB 17 , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得 tan A＝ BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝ A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大，梯子（坡）越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它 的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮 船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫
1锐角三角函数课件
A 1 B2
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常 见的物体 你能比较两个梯子哪个更 陡吗？你有哪些办法？
驶向胜 利的彼
岸
生活问题数学化
驶向胜 利的彼
岸
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
小明的问题，如图:
A
E
5m
5m
B2.5m C F 2m D
有比较才有鉴别
驶向胜 利的彼
6.如图， ∠C=90°CD⊥AB.
tan
B
( (
))
( (
))((
)).
A
驶向胜 利的彼
岸
C
┌ DB
7.在上图中，若BD=6，CD=12.求tanA的值.
老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得
八仙过海，尽显才能
驶向胜 利的彼
岸
8.如图，分别根据图 (1)和图(2)求tanA的值.
A
你能根据图中所给数据求出tanC吗？
B
驶向胜 利的彼
岸
1.5
┌
A
D
C
2.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达
山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是
B
55m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
┌
A
C
八仙过海，尽显才能
3.鉴宝专家--是真是假：
(1).如图 (1)tan A BC (假)
岸
梯子AB和EF哪 个更陡？你是怎
样判断的？
小颖的问题，如图:
A
E
？
4m
3.5
m
B 1.5m C F 1.3m D
永恒的真理 变
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常 见的物体 你能比较两个梯子哪个更 陡吗？你有哪些办法？
驶向胜 利的彼
岸
生活问题数学化
驶向胜 利的彼
岸
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
小明的问题，如图:
A
E
5m
5m
B2.5m C F 2m D
有比较才有鉴别
驶向胜 利的彼
6.如图， ∠C=90°CD⊥AB.
tan
B
( (
))
( (
))((
)).
A
驶向胜 利的彼
岸
C
┌ DB
7.在上图中，若BD=6，CD=12.求tanA的值.
老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得
八仙过海，尽显才能
驶向胜 利的彼
岸
8.如图，分别根据图 (1)和图(2)求tanA的值.
A
你能根据图中所给数据求出tanC吗？
B
驶向胜 利的彼
岸
1.5
┌
A
D
C
2.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达
山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是
B
55m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
┌
A
C
八仙过海，尽显才能
3.鉴宝专家--是真是假：
(1).如图 (1)tan A BC (假)
岸
梯子AB和EF哪 个更陡？你是怎
样判断的？
小颖的问题，如图:
A
E
？
4m
3.5
m
B 1.5m C F 1.3m D
永恒的真理 变
人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数1 正弦、余弦》优课件(共18张PPT)
sin 60°= 3 2
cos 60°=
1 2
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = BC
┌
AB
cosB = BC AB
A
C
(1) sinA = cos(90 °－A）= cosB =
BC
(2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1
AB
(3) sin2A=( BC )2 AB
等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
┌ 不同大小的两个锐角的正弦值
A
C 可能相等吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一的确定的 值与它对应，所以sinA是A的函数。
已知sinA＝ 3 ，那么锐角A等于___6_0_°__。 2
锐角A满足2sin（A－15 °）＝1，那么∠A＝_4_5_°_.
想一想比一比
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（1）
——正弦、余弦
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
┌
A
C 边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
实践与探索
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35，求AB。 根据：“在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜
一个固定值；
2
一般地，当∠ A取其它一定度数的锐角时，它的对边 与斜边的比是否也是一个固定值呢？
这也就是说，
在直角三角形中， 当锐角A的度数一 定时，不管三角形 的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 是一个固定值。
锐角三角函数(第一课时)课件ppt
对边与斜边的比 BC ，你能得出什
么结论？
AB
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是
等腰直角三角形，由勾股定理得
AB2 AC2 BC2 2BC2
AB 2BC
因此 BC BC 1 2
AB 2BC 2 2
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这 个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都 等于 2
（2）直角三角形中一个锐角的度数越大，它的 对边与斜边的比值越大
结论
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
B
sin A BC AB
＜1
sin B AC ＜1 AB
A
C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC ,
那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
C
AB
在Rt△BCD中， sin B CD BC
A
D
B
因为∠B=∠ACD，所以
sin B sin ACD AD AC
请分别计算60度的锐角对边与斜边的比值 你能发现什么规律吗？
sin 45 2 2
sin 45 2 2
sin30 1
2
(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的 对边与斜边的比值随之确定；
意大利的伟大科学家C 伽俐 ．略，曾在斜塔的顶
层做过自由落体运动的实 验.
B
“斜而未倒” AB=54.5m BC=5.2m
α
A
情
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井 房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，
锐角三角函数(1)ppt
AC
注意： 注意：
BC tanα 即tanα= AC
1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写 在三角函数的表示中， 英文字母表示的角前面的“ 一般省略不写． 英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写． sinα cosα tanα是一个完整的符号， 2、sinα、 cosα、 tanα是一个完整的符号，单 独的“sin”没有意义 没有意义. 独的“sin 没有意义.
H
D
动手实验
已知一个50 ∠MAN,在边AM上任意取一点 在边AM 取一点B 已知一个50 的∠MAN,在边AM上任意取一点B，作 BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出BC,AB的长度(精确到１ BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出BC,AB的长度(精确到１毫 C.用刻度尺先量出BC 的长度 的值(结果保留2个有效数字), ),并将所得 米),再计算 BC 的值(结果保留2个有效数字),并将所得 ),再计算 的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？ 的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？ M
三角函数的由来
“三角学”一词，是由希腊文三角形与测量二字构成的， 三角学”一词，是由希腊文三角形 测量二字构成的 三角形与 二字构成的， 三角学 原意是三角形的测量 也就是解三角形． 三角形的测量， 原意是三角形的测量，也就是解三角形．后来范围逐渐 扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支． 扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支． 三角测量在我国出现的很早．据记载， 三角测量在我国出现的很早．据记载，早在公元前两 千年，大禹就利用三角形的边角关系， 千年，大禹就利用三角形的边角关系，来进行对山川地 α 势的测量． 势的测量． A C
1 2 sinA=______
.
练一练
注意： 注意：
BC tanα 即tanα= AC
1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写 在三角函数的表示中， 英文字母表示的角前面的“ 一般省略不写． 英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写． sinα cosα tanα是一个完整的符号， 2、sinα、 cosα、 tanα是一个完整的符号，单 独的“sin”没有意义 没有意义. 独的“sin 没有意义.
H
D
动手实验
已知一个50 ∠MAN,在边AM上任意取一点 在边AM 取一点B 已知一个50 的∠MAN,在边AM上任意取一点B，作 BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出BC,AB的长度(精确到１ BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出BC,AB的长度(精确到１毫 C.用刻度尺先量出BC 的长度 的值(结果保留2个有效数字), ),并将所得 米),再计算 BC 的值(结果保留2个有效数字),并将所得 ),再计算 的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？ 的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？ M
三角函数的由来
“三角学”一词，是由希腊文三角形与测量二字构成的， 三角学”一词，是由希腊文三角形 测量二字构成的 三角形与 二字构成的， 三角学 原意是三角形的测量 也就是解三角形． 三角形的测量， 原意是三角形的测量，也就是解三角形．后来范围逐渐 扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支． 扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支． 三角测量在我国出现的很早．据记载， 三角测量在我国出现的很早．据记载，早在公元前两 千年，大禹就利用三角形的边角关系， 千年，大禹就利用三角形的边角关系，来进行对山川地 α 势的测量． 势的测量． A C
1 2 sinA=______
.
练一练
锐角三角函数课件(1)
2
3 0
tan B 3 0，2sin A 3 0
即tan B 3,sin A 3 2
A 600 , B 600
巩固练习
1．已知 α，β 都是锐角，如果 sinα＝cosβ，那么 α 和 β 之间满足的关
系是( B )
A．α＝β
B．α＋β＝90°
C．α－β＝90°
D．β－α＝90°
b
c
CaB
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和
斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , c
cos A b , c
B
sin B b , cosB a ,
c
c
∴sinA=cosB,cosA=sinB.
∵∠A+∠B=90°，
c
a
┌
A
b
C
∴∠B=90°－∠A，
即sinA=cosB=cos（90°－∠A），
60°
30°
45°
45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝ 2a2 a2 3a
sin 30 a 1
2a 2
30°
cos 30 3a 3 2a 2
tan 30 a 3 3a 3
sin 60 3a 3 2a 2
cos 60 a 1 2a 2
tan 60 3a 3
cosA=sinB= sin（90°－∠A）.
sinA和cosB有什么关系? sinA=cosB
结论： 任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的
余（正）弦值.
典例精析
例1： 计算:
(1)sin300+cos450; (2) sin2600+cos2600-tan450.
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2 2 2 2
A
AB BC 25 20 15
因此，△ABC的周长=25+20+15=60
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时 扩大100倍,sinA的值（ C ） B A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 4.已知∠A,∠B为锐角
A ┌ C
8.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)AC=3,AB=6,求sinA和cosB 5 (2)BC=3,sinA= ,求AC和AB.
13
B
3 4
B
3
A
4 ┌ ┌ C A C (1) (2)
老师提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
谈谈今天的收获
定 义
B
∠A的对边
sinA 斜边
A C C1
(3)如果梯子的倾斜角不变， 只改变B在梯子上的位置呢?
想一想
B
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形ABC有什么关系?
BC B1C 1 AC AC 1 (2) AB 和 AB1 , AB 和 AB1 , B1C 1 和 有什么关系? AC1
BC AC
A C C1
(3)如果梯子的倾斜角不变， 只改变B在梯子上的位置呢?
结论：由相似三角形的性质得，只要∠A不变，那 么都有： BC B1C 1 AC AC 1 BC B1C 1 = = AB1 = AB AB AB1 AC AC 1
B1
B
A
C
C1
即在直角三角形中，当锐角A 取一定度数时，不管三角形的大 小如何，∠A的对边与斜边的比是 一个固定值，叫做∠A的正弦，记 作sinA；邻边与斜边的比是一个 固定值，叫做∠A的余弦，记作 cosA；对边与邻边的比是一个固 定值，叫做∠A的正切，记作 tanA度
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形ABC有什么关系?
B
BC B1C 1 AC AC 1 BC (2) AB 和 , 和 , AB1 AB AB1 AC B1C 1 和 有什么关系? AC1
A C C1
(3)如果梯子的倾斜角不变， 只改变B在梯子上的位置呢?
垂 直 中 心 线 Ө
塔 身 中 心 线
如果要你根据上述信 息，用“塔身中心线与垂 直中心线所成的角Ө（如 图）“来描述比萨斜塔的 倾斜程度，你能完成吗？
从数学角度看，上述 问题就是：已知直角三角 形的某些边长，求其锐角 的度数，对于直角三角形， 我们知道三边之间的关系 和两个锐角之间的关系， 但我们不知道”边角之间 的关系“，因此，这一问 题的解答需要学习新的知 识。
意大利比萨尔塔在1350年 落成时就已倾斜，其塔顶 离中心偏离垂直中心线 2.1m，1972年比萨地区发 生地震，这座高54.5m的斜 塔在大幅度摇摆后仍巍然 屹立，但塔顶中心点偏离 垂直中心线增至5.2m，而 且还以每年增加1cm的速度 继续倾斜，随时都有倒塌 的危险。为此，意大利当 局从1990年起对斜塔进行 维修纠偏，2001年竣工， 使塔顶中心点偏离垂直中 心线的距离比纠偏前减少 了43.8cm。
角
形ABC有什么关系? ,
B
BC B1C 1 AC AC 1 (2) AB和 AB1, AB 和 AB1 B1C 1 和 有什么关系? AC1
BC AC
A C C1
(3)如果梯子的倾斜角不变， 只改变B在梯子上的位置呢?
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形ABC有什么关系?
B
BC B1C 1 AC AC 1 BC (2) AB 和 AB1 , AB 和 AB1 , AC B1C 1 和 有什么关系? AC1
作业
1.书本作业题 2.同步练习
例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6. 求:BC的长. C 解：
BC sin A AC BC AC sin A 200 0 6 120
200
A
┌ B
A
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 5 求: sinB,cosB,tanB. 解：过点A作AD垂直于BC于D. ∵AB=AC=5 ∴BD=1/2BC=3 在Rt△ABD中 AD
(1)若∠A=∠B,则sinA = sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A = ∠B.
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
sin B
( (
) )
(
) )
(
(
) )
C
.
A
(
┌ D
B
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
7.如图,分别根据图(1) 和图(2)求∠A的三个三角 函数值.
定 义
斜边
注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中. B
∠A的对边
斜边
sinA
∠A的对边
cosA tanA
∠A的邻边 斜边
A ∠A的邻边
C
∠A的对边 ∠A的邻边
1。锐角A的正弦、余弦、和正切叫做∠A的锐角三角函数 2。锐角的三角函数的值都是正实数，并且 0〈sin α〈1， 0〈cosα〈1
，
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°AB=5,BC=3, 求 ∠A, ∠B的正弦,余弦和正切. 观察以上计算结果,你发现了什么?若AC=5,BC=3呢?
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
倾斜角
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
B ┌ 6 D
5 C
AB BD 5 3 4
2 2 2 2
4 3 4 sin B , cos B , tan B 5 5 3
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20, 求:△ABC的周长.
4 sin A . 5
B ┐ C
BC 解： sin A AB BC 20 AB 25 sin A 4 5 AC
B 解：在Rt△ABC中,
AC AB2 BC2 52 32 4
A
C
因此
sin A cos B cos A sin B tan A tan B 1
3 sin A 5 4 cos A 5 3 tan A 4
4 sin B 5 3 cos B 5 4 tan B 3
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形ABC有什么关系?
B
AC 1 BC BC B1C 1 AC (2) AB 和 AB1 , AB 和 AB1 , AC B1C 1 和 有什么关系? AC1
A C C1
(3)如果梯子的倾斜角不变， 只改变B在梯子上的位置呢?
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
越大 梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 越大 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 越小 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿
倾斜角越大——铅直高度与水平宽度
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
斜边 ∠A的对边
cosA
∠A的邻边 斜边
A
∠A的邻边
C
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
回味无穷
• 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A 的正切,习惯省去“∠”号； 3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序, 且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关, 而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函 数值相等,则这两个锐角相等.
A
AB BC 25 20 15
因此，△ABC的周长=25+20+15=60
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时 扩大100倍,sinA的值（ C ） B A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 4.已知∠A,∠B为锐角
A ┌ C
8.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)AC=3,AB=6,求sinA和cosB 5 (2)BC=3,sinA= ,求AC和AB.
13
B
3 4
B
3
A
4 ┌ ┌ C A C (1) (2)
老师提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
谈谈今天的收获
定 义
B
∠A的对边
sinA 斜边
A C C1
(3)如果梯子的倾斜角不变， 只改变B在梯子上的位置呢?
想一想
B
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形ABC有什么关系?
BC B1C 1 AC AC 1 (2) AB 和 AB1 , AB 和 AB1 , B1C 1 和 有什么关系? AC1
BC AC
A C C1
(3)如果梯子的倾斜角不变， 只改变B在梯子上的位置呢?
结论：由相似三角形的性质得，只要∠A不变，那 么都有： BC B1C 1 AC AC 1 BC B1C 1 = = AB1 = AB AB AB1 AC AC 1
B1
B
A
C
C1
即在直角三角形中，当锐角A 取一定度数时，不管三角形的大 小如何，∠A的对边与斜边的比是 一个固定值，叫做∠A的正弦，记 作sinA；邻边与斜边的比是一个 固定值，叫做∠A的余弦，记作 cosA；对边与邻边的比是一个固 定值，叫做∠A的正切，记作 tanA度
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形ABC有什么关系?
B
BC B1C 1 AC AC 1 BC (2) AB 和 , 和 , AB1 AB AB1 AC B1C 1 和 有什么关系? AC1
A C C1
(3)如果梯子的倾斜角不变， 只改变B在梯子上的位置呢?
垂 直 中 心 线 Ө
塔 身 中 心 线
如果要你根据上述信 息，用“塔身中心线与垂 直中心线所成的角Ө（如 图）“来描述比萨斜塔的 倾斜程度，你能完成吗？
从数学角度看，上述 问题就是：已知直角三角 形的某些边长，求其锐角 的度数，对于直角三角形， 我们知道三边之间的关系 和两个锐角之间的关系， 但我们不知道”边角之间 的关系“，因此，这一问 题的解答需要学习新的知 识。
意大利比萨尔塔在1350年 落成时就已倾斜，其塔顶 离中心偏离垂直中心线 2.1m，1972年比萨地区发 生地震，这座高54.5m的斜 塔在大幅度摇摆后仍巍然 屹立，但塔顶中心点偏离 垂直中心线增至5.2m，而 且还以每年增加1cm的速度 继续倾斜，随时都有倒塌 的危险。为此，意大利当 局从1990年起对斜塔进行 维修纠偏，2001年竣工， 使塔顶中心点偏离垂直中 心线的距离比纠偏前减少 了43.8cm。
角
形ABC有什么关系? ,
B
BC B1C 1 AC AC 1 (2) AB和 AB1, AB 和 AB1 B1C 1 和 有什么关系? AC1
BC AC
A C C1
(3)如果梯子的倾斜角不变， 只改变B在梯子上的位置呢?
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形ABC有什么关系?
B
BC B1C 1 AC AC 1 BC (2) AB 和 AB1 , AB 和 AB1 , AC B1C 1 和 有什么关系? AC1
作业
1.书本作业题 2.同步练习
例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6. 求:BC的长. C 解：
BC sin A AC BC AC sin A 200 0 6 120
200
A
┌ B
A
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 5 求: sinB,cosB,tanB. 解：过点A作AD垂直于BC于D. ∵AB=AC=5 ∴BD=1/2BC=3 在Rt△ABD中 AD
(1)若∠A=∠B,则sinA = sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A = ∠B.
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
sin B
( (
) )
(
) )
(
(
) )
C
.
A
(
┌ D
B
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
7.如图,分别根据图(1) 和图(2)求∠A的三个三角 函数值.
定 义
斜边
注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中. B
∠A的对边
斜边
sinA
∠A的对边
cosA tanA
∠A的邻边 斜边
A ∠A的邻边
C
∠A的对边 ∠A的邻边
1。锐角A的正弦、余弦、和正切叫做∠A的锐角三角函数 2。锐角的三角函数的值都是正实数，并且 0〈sin α〈1， 0〈cosα〈1
，
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°AB=5,BC=3, 求 ∠A, ∠B的正弦,余弦和正切. 观察以上计算结果,你发现了什么?若AC=5,BC=3呢?
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
倾斜角
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
B ┌ 6 D
5 C
AB BD 5 3 4
2 2 2 2
4 3 4 sin B , cos B , tan B 5 5 3
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20, 求:△ABC的周长.
4 sin A . 5
B ┐ C
BC 解： sin A AB BC 20 AB 25 sin A 4 5 AC
B 解：在Rt△ABC中,
AC AB2 BC2 52 32 4
A
C
因此
sin A cos B cos A sin B tan A tan B 1
3 sin A 5 4 cos A 5 3 tan A 4
4 sin B 5 3 cos B 5 4 tan B 3
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形ABC有什么关系?
B
AC 1 BC BC B1C 1 AC (2) AB 和 AB1 , AB 和 AB1 , AC B1C 1 和 有什么关系? AC1
A C C1
(3)如果梯子的倾斜角不变， 只改变B在梯子上的位置呢?
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
越大 梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 越大 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 越小 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿
倾斜角越大——铅直高度与水平宽度
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
斜边 ∠A的对边
cosA
∠A的邻边 斜边
A
∠A的邻边
C
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
回味无穷
• 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A 的正切,习惯省去“∠”号； 3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序, 且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关, 而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函 数值相等,则这两个锐角相等.