第8讲 幂函数、指数与运算
幂函数与指数函数的基本概念与计算
值域：幂函数的值域为全体实数，而指数函数的值域为(0,∞)
指数函数：形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1
性质的对比
函数图像：幂函数和指数函数的图像也不同，幂函数的图像在第一象限和第二象限，而指数函数的图像在第一象限和第三象限。
定义域：幂函数和指数函数的定义域不同，幂函数是全体实数，而指数函数是除去0以外的全体实数。
幂函数与指数函数的基本概念与计算
汇报人：XX
目录
01
幂函数
02
指数函数
03
幂函数与指数函数的比较
幂函数
PART 01
幂函数的定义
幂函数：形如y=x^n的函数，其中n为实数
幂函数的图像：幂函数的图像可以通过描点法绘制，并观察其变化规律
幂函数的应用：幂函数在数学、物理、工程等领域有广泛应用
幂函数的性质：当n>0时，函数在(0,∞)上单调递增；当n<0时，函数在(0,∞)上单调递减
幂函数的性质
幂函数在x=0处连续
添加标题
幂函数在x>0时单调递增
添加标题
幂函数在x<0时单调递减
添加标题
幂函数的图像可以经过原点
添加标题
幂函数的图像
幂函数图像的形状由指数决定
当指数为负时，幂函数图像在第一象限和第四象限
当指数为0时，幂函数图像是一条水平线
当指数为正时，幂函数图像经过原点
幂函数的计算
计算方法的Hale Waihona Puke 比幂函数：通过乘方运算进行计算
指数函数：通过乘方运算进行计算
THANK YOU
汇报人：XX
函数性质：指数函数具有非负性、过定点、单调性等性质
图像变换：通过平移、伸缩等变换可以得到不同底数的指数函数图像
幂函数与指数方程的解法
幂函数与指数方程的解法幂函数和指数方程是数学中常见的两类问题，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍幂函数和指数方程的基本概念，并探讨它们的解法。
一、幂函数的定义与解法幂函数是指函数的自变量以某个固定的数为底数，指数是自变量的函数。
幂函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^b，其中a和b是常数。
为了求解幂函数，我们可以采用以下步骤：1. 如果幂函数给定了特定的数值求解，我们可以直接将数值代入函数中计算得到结果。
2. 如果幂函数的幂指数是一个分式，我们可以将其化简为整数指数，利用指数运算的性质进行计算。
3. 若幂指数为负数，我们可以将幂函数的表达式倒置后，求解其正指数情况，并取倒数得到结果。
4. 对于幂函数之间的等式关系，我们可以通过将它们的底数和指数分别相等，进而求解出未知数。
二、指数方程的定义与解法指数方程是指方程中含有未知数的指数，我们需要求解出使方程成立的未知数的值。
我们可以采用以下方法来求解指数方程：1. 利用对数的性质将指数方程转化为对数方程，然后通过解对数方程求解出未知数。
2. 利用指数的性质将指数方程中的底数统一为同一个数，然后通过等式关系求解。
3. 对于指数方程中的分式指数，我们可以通过化简为整数指数的形式，再进行计算。
三、幂函数和指数方程的应用举例下面通过两个具体的例子来说明幂函数和指数方程的应用。
例子1：解决幂函数问题考虑幂函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，在 x = 2 处求解函数的值。
将 x = 2 代入幂函数中，得到 f(2) = 2 * 2^3 - 3 * 2^2 + 2 * 2 - 1 = 2 * 8 - 3 * 4 + 4 - 1 = 16 - 12 + 4 - 1 = 7。
因此，当 x = 2 时，幂函数的值为 7。
例子2：解决指数方程问题考虑指数方程 2^x = 16，我们需要找到使方程成立的未知数 x。
根据指数的性质，我们可以将方程改写为 2^x = 2^4。
幂函数与指数函数的运算
幂函数与指数函数的运算幂函数与指数函数是高中数学中常见的函数类型，它们具有各自的特点和运算规律。
本文将详细讨论幂函数与指数函数的运算，并给出相关例题和解答。
一、幂函数的定义及运算规律1. 幂函数的定义：幂函数是指函数y=x^a，其中a为常数，且a≠0。
在幂函数中，x称为底数，a称为指数。
2. 幂函数的运算规律：（1）相同底数幂相乘：若x不等于0时，x^a * x^b = x^(a+b)。
（2）相同底数幂相除：若x不等于0时，x^a / x^b = x^(a-b)。
（3）幂的幂：(x^a)^b = x^(a*b)。
（4）零幂：任何非零数的0次幂等于1，即x^0 = 1（x≠0）。
（5）负指数的幂：x^(-a) = 1 / x^a。
二、指数函数的定义及运算规律1. 指数函数的定义：指数函数是指函数y=a^x，其中a为常数，且a>0且a≠1。
在指数函数中，a称为底数，x称为指数。
2. 指数函数的运算规律：（1）指数相加：若a>0且a≠1，a^x * a^y = a^(x+y)。
（2）指数相减：若a>0且a≠1，a^x / a^y = a^(x-y)。
（3）指数的幂：(a^x)^y = a^(x*y)。
（4）指数函数的倒数：(1/a)^x = a^(-x)。
三、幂函数与指数函数的运算1. 幂函数与幂函数的运算：若x不等于0时，(x^a)^(x^b) = x^(a*b)。
2. 幂函数与指数函数的运算：（1）指数函数作为底数与幂函数的乘法：(a^x) * x^b = (a^x*b)。
（2）指数函数作为底数与幂函数的除法：(a^x) / x^b = (a^x/b)。
例题1：计算并化简下列表达式：2^3 * 2^(-2)。
解：根据幂函数的运算规律，2^3 * 2^(-2) = 2^(3-2) = 2^1 = 2。
例题2：计算并化简下列表达式：3^(2x) / 3^x。
解：根据指数函数的运算规律，3^(2x) / 3^x = 3^(2x-x) = 3^x。
幂函数指数函数与对数函数的性质与计算
幂函数指数函数与对数函数的性质与计算幂函数、指数函数与对数函数是数学中常见的函数类型，它们具有一些独特的性质以及特定的计算方式。
在本文中，我们将探讨这些函数的基本概念、性质以及如何进行计算。
一、幂函数的性质与计算幂函数是形如y=x^n的函数，其中n为实数。
幂函数的性质如下：1. 幂函数的定义域为实数集R，值域则取决于n的值。
- 当n为正奇数时，f(x)为增函数，值域为R+（正实数集）；- 当n为正偶数时，f(x)为非负且有最小值0，值域为[0, +∞)；- 当n为负数时，f(x)有正负之分，值域为R+和R-（负实数集），且在不同的定义域上具有不同的增减性；- 当n为0时，0的0次方没有定义。
2. 幂函数的图像特点：- 当n为正数时，随着x的增大，函数值也随之增大，图像呈现递增趋势；- 当n为负数时，随着x的增大，函数值递减，图像呈现递减趋势。
3. 幂函数的计算方法：- 幂函数的运算法则遵循指数运算法则，如x^m * x^n = x^(m+n)，x^m / x^n = x^(m-n)，(x^m)^n = x^(m*n)等。
二、指数函数的性质与计算指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。
指数函数的性质如下：1. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
2. 指数函数以a为底，随着自变量x的增大，函数值呈现指数增长的特征。
3. 指数函数的计算方法：- 当a为正数时，指数函数的运算法则与幂函数相似，如a^m *a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)等。
- 当a为负数时，指数函数的运算方法可以通过转化为幂函数的形式进行计算。
三、对数函数的性质与计算对数函数是指数函数的逆运算，以b为底，记作y=logₐx。
对数函数的性质如下：1. 对数函数的定义域为正实数集R+，值域为实数集R。
2. 对数函数以b为底，将正实数x映射到实数y，即b^y=x。
3. 对数函数的计算方法主要包括：- 同底数的对数乘法法则：logₐ(x * y) = logₐx + logₐy；- 同底数的对数除法法则：logₐ(x / y) = logₐx - logₐy；- 对数的换底公式：logₐx = log_bx / log_ba，其中a、b为正实数且a≠1，b≠1。
幂函数与指数函数幂函数与指数函数的性质和像特征
幂函数与指数函数幂函数与指数函数的性质和像特征幂函数与指数函数是高中数学中经常出现的两种函数形式。
它们具有一些独特的性质和特征。
本文将围绕幂函数和指数函数展开讨论，探究它们的定义、图像、性质及在实际问题中的应用。
一、幂函数的定义和性质幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数，其中$a$为常数，$a\neq 0$。
幂函数的定义域包括所有正实数、零和负实数。
根据指数法则，幂函数可以表示为$f(x)=e^{a\ln x}$，其中$e$为自然对数的底数。
幂函数的性质多种多样。
首先，当$a>0$时，幂函数$f(x)=x^a$在定义域上是递增的，即$x_1<x_2$时，$f(x_1)<f(x_2)$。
其次，当$a<0$时，幂函数$f(x)=x^a$在定义域上是递减的，即$x_1<x_2$时，$f(x_1)>f(x_2)$。
此外，幂函数在$x=0$处存在一个特殊点，当$a>0$时，该特殊点是一个局部最小值，当$a<0$时，该特殊点是一个局部最大值。
二、指数函数的定义和性质指数函数是形如$f(x)=a^x$的函数，其中$a$为常数，$a>0$且$a\neq1$。
指数函数的定义域为所有实数。
指数函数的性质也是多种多样的。
首先，当$a>1$时，指数函数$f(x)=a^x$在定义域上是递增的，即$x_1<x_2$时，$f(x_1)<f(x_2)$。
其次，当$0<a<1$时，指数函数$f(x)=a^x$在定义域上是递减的，即$x_1<x_2$时，$f(x_1)>f(x_2)$。
此外，指数函数不过过原点$(0,1)$，当$x<0$时，其值逐渐趋近于0，当$x>0$时，其值逐渐增大。
三、幂函数与指数函数的图像特征幂函数和指数函数在图像上也有一些特征。
对于幂函数$f(x)=x^a$而言，当$a>1$时，其图像在原点处上升地非常陡峭，随着$x$的增大，图像也越来越陡峭；当$0<a<1$时，其图像在原点处下降地非常平缓，随着$x$的增大，图像也越来越平缓。
幂函数与指数函数的性质与计算
幂函数与指数函数的性质与计算幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和科学中有着广泛的应用。
本文将讨论幂函数和指数函数的性质以及如何进行计算。
一、幂函数的性质与计算幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n是实数。
幂函数的性质如下：1. 当n为正偶数时，幂函数是关于y轴对称的，即f(x) = f(-x)。
例如，f(x) = x^2是一个关于y轴对称的函数。
2. 当n为正奇数时，幂函数是关于原点对称的，即f(x) = -f(-x)。
例如，f(x) = x^3是一个关于原点对称的函数。
3. 当n为负数时，幂函数的图像将出现在x轴下方。
例如，f(x) = x^-2是一个图像在x轴上方的函数。
4. 当n为0时，幂函数的图像将是一条水平直线。
例如，f(x) = x^0 = 1是一条水平直线。
计算幂函数的方法如下：1. 对于正整数n，计算x^n可以使用连乘法则。
例如，2^3 = 2 × 2 × 2 = 8。
2. 对于负整数n，计算x^n可以使用倒数和连乘法则。
例如，2^-3 = 1/(2 × 2 ×2) = 1/8。
3. 对于分数n/m，计算x^(n/m)可以使用开方和连乘法则。
例如，2^(3/2) = √(2 × 2 × 2) = √8。
二、指数函数的性质与计算指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a是正实数且不等于1。
指数函数的性质如下：1. 当a大于1时，指数函数是递增的。
即随着x的增大，函数值也增大。
例如，f(x) = 2^x是递增函数。
2. 当0<a<1时，指数函数是递减的。
即随着x的增大，函数值减小。
例如，f(x) = (1/2)^x是递减函数。
3. 当x为0时，指数函数的值为1。
例如，f(0) = a^0 = 1。
计算指数函数的方法如下：1. 对于整数指数，计算a^x可以使用连乘法则。
例如，2^3 = 2 × 2 × 2 = 8。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数和指数函数是数学中经常遇到的两种函数类型，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将就幂函数和指数函数的定义、性质以及实际应用进行探讨。
一、幂函数的定义和性质幂函数是指形如f(x) = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数。
在这里，a可以是任意实数。
幂函数的图像一般可以分为三种类型：当a > 1时，函数图像是一个递增的曲线；当0 < a < 1时，函数图像是一个递减的曲线；当a = 1时，函数图像是一条直线。
幂函数具有如下性质：1. 定义域：对于非零自变量，幂函数的定义域为全体实数。
2. 奇偶性：当a为奇数时，幂函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)；当a为偶数时，幂函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
3. 增减性：当a > 0时，幂函数在整个定义域上是递增的；当a < 0时，幂函数在整个定义域上是递减的。
4. 连续性：幂函数在其定义域上是连续的。
二、指数函数的定义和性质指数函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中x为自变量，a为常数且a > 0且a ≠ 1。
指数函数在实际问题中经常出现，例如在经济增长、人口增长等领域中的应用。
指数函数的图像在a > 1时是递增的曲线，而在0 < a < 1时是递减的曲线。
指数函数具有如下性质：1. 定义域：对于所有实数，指数函数的定义域为全体实数。
2. 零点：指数函数不存在零点，因为对于任意正数a，a的任意次方都不可能等于0。
3. 奇偶性：指数函数不具备奇偶性。
4. 连续性：指数函数在其定义域上是连续的。
三、幂函数与指数函数的实际应用1. 幂函数的应用：- 在物理学中，物体的速度、加速度与时间的关系通常可以用幂函数表示，例如v = at^2。
- 在金融领域中，贷款利息、股票收益等往往也可以使用幂函数来描述，例如利率计算公式。
- 在电路分析中，电流和电压之间的关系可以通过幂函数来表达。
第八部分 幂函数
第八部分幂函数一、基本知识点1．幂函数的概念一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图像与性质由幂函数y＝x、y＝12x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图像，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在________上都有定义；(2)幂函数的图像都过点__________；(3)当α>0时，幂函数的图像都过点________与________，且在(0，＋∞)上是__________；(4)当α<0时，幂函数的图像都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是__________．3．五种幂函数的比较(1)幂函数的图像比较(2)幂函数的性质比较函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域值域奇偶性单调性二、内容扩充1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴．2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．三、小练习1．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图像不可能经过第________象限．2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.3．下列函数是幂函数的序号是________． ①y ＝2x ②y ＝2x －1 ③y ＝(x ＋2)2④y ＝3x 2 ⑤y ＝1x4．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值等于( )A ．16B.116C ．2 D.12四、题型分析题型一 幂函数的定义及应用例1已知y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值．探究提高 (1)判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1.(2)若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征． 练习 已知f (x )＝(m 2＋2m )21m m x＋－，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 题型二 幂函数的图像及性质的简单应用例2已知幂函数f (x )的图像过点(2，2)，幂函数g (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫2，14. (1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 探究提高 求幂函数解析式的步骤： (1)设出幂函数的一般形式y ＝x α (α为常数)； (2)根据已知条件求出α的值； (3)写出幂函数的解析式． 练习 已知幂函数y ＝243m m x－－(m ∈Z )的图像与y 轴有公共点，且其图像关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图像．题型三 利用幂函数的性质比较幂值的大小 例3比较下列各组数的大小： (1)13(0.95)和13(0.96)；(2)1-3-8和1319⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)0.20.5和0.40.3.探究提高 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题关键． 练习 比较下列各组数的大小：(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)122，131.8；(4)254.1，2-33.8和35(1.9). 题型四 幂函数的综合应用 例4已知幂函数f (x )＝223m m x－－(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m3<-3(32)ma 的a 的取值范围．探究提高 本题集幂函数的概念、图像及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图像对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图像求出参数a 的取值范围． 练习 已知幂函数f (x )＝21()m m x－＋(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．练习若函数f (x )＝3-24(+42)mx x m ++＋(x 2－mx ＋1)0的定义域为R ，求实数m 的取值范围． 解 设g (x )＝mx 2＋4x ＋m ＋2， ① h (x )＝x 2－mx ＋1，②原题可转化为对一切x ∈R 有g (x )>0且h (x )≠0恒成立． 由①得{ m >0，Δ1＝42－4m (m ＋2)<0. [3分] 即{ m >0m 2＋2m －4>0⇒{ m >0，m <－1－5，或m >－1＋5， ∴m >－1＋ 5.[6分] 由②得Δ2＝(－m )2－4<0，即－2<m <2.[10分]综上可得5－1<m <2.[12分]批阅笔记 (1)有关幂函数y ＝x α的定义域的确定，当α为分数时，可转化为根式考虑，当α＝0时，底是非零的，不可忽视．本题将原题转化为对一切x ∈R 有g (x )>0且h (x )≠0恒成立是解题的关键．(2)不等式恒成立问题，可利用数形结合思想，如g (x )>0和h (x )≠0在R 上恒成立作进一步转化．(3)易错分析：第一，不能将问题转化为mx 2＋4x ＋m ＋2>0恒成立问题，也就是缺乏转化的意识；第二，易忽略x 2－mx ＋1≠0的隐含条件，致使范围扩大. 方法与技巧1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y ＝x ＋1，y ＝x 2－2x 等都不是幂函数．2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．3．幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0，曲线下凸．失4．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．5．作幂函数的图像要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图像，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图像．6．利用幂函数的图像和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型的问题．进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法．限时训练A 组(时间：60分钟)一、选择题1．幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f (8)的值为 ( )A ．2 6B ．64C.24D.1642．如图是函数y ＝m nx (m ，n ∈N *，m 、n 互质)的图像，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >13．(2011·陕西)函数y ＝13x 的图像是( )二、填空题4．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·22m m x －－的图像不经过原点，则实数m 的值为________．5．已知a ＝x α，b ＝2ax ，c ＝1ax ，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小顺序是________．6．若(a ＋1)－12<(3－2a )－12，则a 的取值范围是__________．三、解答题7．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点(12，18)．求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．8．已知f (x )＝2123n n x-++(n ＝2k ，k ∈Z )的图像在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x＋3)．限时训练B 组一、选择题1．设a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a2．已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)27325t t x +-(t ∈N )是偶函数，则实数t 的值为 ( )A ．0B ．－1或1C ．1D ．0或1 3．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ， x <0⎝⎛⎭⎫13x ， x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为( )A ．[－1,2)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞D ．(1，3]∪[3，＋∞) 二、填空题 4．函数y ＝(m 2－m －1)223m m x－－是幂函数且在x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为________．5．已知函数f (x )＝x α(0<α<1)，对于下列命题： ①若x >1，则f (x )>1； ②若0<x <1，则0<f (x )<1；③当x >0时，若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f (x 1)x 1<f (x 2)x 2.其中正确的命题序号是________．6．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．7．已知函数f (x )，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在f (x )的定义域内，就有f (a )，f (b )，f (c )也是某个三角形的三边长，则称f (x )为“保三角形函数”．在函数：①f 1(x )＝x ，②f 2(x )＝x ，③f 3(x )＝x 2中，其中________是“保三角形函数”(填上正确的函数序号)． 三、解答题 8．已知函数f (x )＝22k k x－＋＋(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．答案要点梳理 1．y ＝x α2．(1)(0，＋∞) (2)(1,1) (3)(0,0) (1,1) 递增的 (4)递减的 3．(2)定义域：R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域：R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性：奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数单调性：增 x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减 增 增 x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减 基础自测1．二、四 2.32 3.④⑤ 4.D题型分类·深度剖析例1 解 ∵y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)为幂函数．∴m 2＋2m －2＝1且2n －3＝0.∴m ＝－3，m ＝1且n ＝32.又m 2－1≠0，∴m ＝－3且n ＝32.变式训练1 解 (1)若f (x )是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，解得m ＝1.∴当m ＝1时，f (x )为正比例函数． (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1. ∴当m ＝－1时，f (x )为反比例函数．(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.∴当m ＝－1±132时，f (x )为二次函数．(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2.∴当m ＝－1±2时，f (x )为幂函数． 例2 解 (1)设f (x )＝x α，∵其图像过点(2，2)，故2＝(2)α， 解得α＝2，∴f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，∵其图像过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴14＝2β， 解得β＝－2，∴g (x )＝x －2.(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x－2的图像，如图所示．由图像可知：f(x)，g(x)的图像均过点(－1,1)与(1,1)．∴①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．变式训练2解依题意，其图像与y轴有公共点，则4－3m－m2>0，即m2＋3m－4<0，解得－4<m<1.又∵m∈Z，∴m＝－3，－2，－1,0.当m＝－3或m＝0时，函数可化为y＝x4，符合题意，其图像如图①. 当m＝－2或m＝－1时，函数可化为y＝x6，符合题意，其图像如图②.图①图②综上所述，m的值为－3，－2，－1,0.例3解(1)∵函数y＝13x在(0，＋∞)上是递增函数，且0.95<0.96.∴130.95<130.96，∴13(-0.95)>13(-0.96).(2)－1319⎛⎫⎪⎝⎭＝－1-39，由于函数y＝13x-在(0，＋∞)上是减函数，∴1-38>1-39，∴－1-38<－1-39，即－1-38<－1319⎛⎫⎪⎝⎭.(3)由于函数y＝0.2x在R上是减函数，∴0.20.5<0.20.3，又函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，∴0.20.3<0.40.3，故0.20.5<0.40.3.变式训练3解(1)函数y＝3x是增函数，∴30.8>30.7.(2)函数y＝x3是增函数，∴0.213<0.233.(3)∵122>121.8>131.8，∴122>131.8.(4)254.1>251＝1；0<2-33.8<2-31＝1；35(-1.9)<0，∴35(-1.9)<2-33.8<254.1.例4 解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图像关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a . 解得a <－1或23<a <32.故a 的取值范围为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a <－1或23<a <32.变式训练4 解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)， m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数． ∴函数f (x )＝21()m m x－＋(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝21()2m m －＋，即122＝21()2m m －＋.∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1.解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．课时规范训练 A 组1．C 2.C 3.B 4.1或25．c <a <b 6.⎝⎛⎭⎫23，327．解 设在[－1,1)中，f (x )＝x n ，由点(12，18)在函数图像上，求得n ＝3.令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2， ∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3. 即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．8．解 由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3. 又n ＝2k ，k ∈Z ，∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13，∴f (x )在R 上是递增的．∴f (x 2－x )>f (x ＋3)转化为x 2－x >x ＋3. 解得x <－1或x >3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． B 组1．A 2.B 3．B4．2 5．①②③ 6．(0，＋∞) 7．①② 8．解 (1)∵f (2)<f (3)， ∴f (x )在第一象限是增函数． 故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， ∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q)处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.∴存在q ＝2满足题意．。
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考点四：幂函数及其性质应用
例 4、已知幂函数 y ＝(k 2－2k －2)· x m2
－2m －3
(m ∈N＋)的
图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数． 求 m 和 k 的值；
【解析】(1)因为函数 y ＝(k 2－2k －2)x m 2
－2m －3
为幂函数，
所以 k 2－2k －2＝1，即(k －3)(k ＋1)＝0， 所以 k ＝3 或 k ＝－1，又函数在(0，＋∞)上递减，
(1)已知幂函数 f (x )＝(m 2－m －1)x m 2 数，则 m ＝ ；
－2m －1
为奇函
1 (2)已知幂函数 f (x )＝x (m －4)(m ∈N)是偶函数， 2 且在(0，＋∞)上递减，则 f (x )＝ .
【解析】(1)因为函数 f (x )＝(m 2－m －1)x m2 数，所以 m 2－m －1＝1，即 m 2－m －2＝0， 所以 m ＝2 或 m ＝－1.
3
(2)
a
3 2
a
3
3
a
7 3
aLeabharlann 13考点二：幂函数的定义域图像
1.下列函数： 1 3 2 4 2 ①y＝x3；②y＝3x－2；③y＝x ＋x ；④y＝ x ，其中幂函 ) 数的个数为( A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①④为幂函数，选 B. 答案：B
2．函数 y＝x 的图象是(
1 3
)
1、 理解有理数指数幂的含义； 2、 了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算； 3、 了解幂函数的概念； 4、 结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y x 的图象， 了解它们的变化情况及基本性质；
2 3 －1
1 2
基础梳理 1．方根 (1)n 次方根的定义 n 如果 x ＝a，那么 x 叫作 a 的 n 次方根，其中 n>1，n∈N＋， 式子 a叫作根式，n 叫作根指数，a 叫作被开方数． (2)方根的性质
A
解析：由 y＝x 的图象过点(1,1)可排除 A、D；当 x＞1 时， 1 由 x ＜x 排除 C，选 B. 3 答案：B
1 3
B
C
D
考点三：幂函数的解析式
例 3．幂函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 则 f(x)的解析式是________．
1 解析：设 f(x)＝x ，则 3＝3 ，∴α＝ . 2
a； 当 n 为奇数时， a ＝____ a， a≥0， n n 当 n 为偶数时， a ＝|a|＝ －a，a<0.
n
n
n
2．实数指数幂 给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，n(m，n 互素)，存 m n m 在唯一的正实数 b，使得 b ＝a ，我们把 b 叫作 a 的 次幂， n m 记作 b＝a n ，它就是分数指数幂
α x y ＝ x y ＝ a 说明：幂函数 与指数函数
有何不同？
提示：本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在 底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．
5、常用幂函数的图象与性质
6.幂函数的图象和性质
考点一：幂式的化简与求值
例1、化简下列各式(其中各字母均为正数)．
化简： 3 0 －2 1 1 (1)(2 ) ＋2 ×(2 )－ －(0.01)0.5 ； 5 4 2
而当 m＝1 或 2 或 3 时，f(x)不是偶函数； 当 m＝0 时，f(x)＝x
－2,
为偶函数，
故 m＝0 时，f(x)＝x 2.
－
1．分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式 的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指 数幂的运算．在运算过程中，要贯彻先化简后 计算的原则，并且注意运算的顺序．
－2m －1
是幂函
又 f (x )是奇函数，而 m ＝－1 时，f (x )＝x 2 为偶函数， 当 m ＝2 时，f (x )＝x 1，为奇函数，所以 m ＝2.
－
1 m－4<0 (2)因为 f(x)在(0，＋∞)上递减，所以2 m∈N
m<4 所以 m∈N
，
，所以 m＝0,1,2,3.
2．幂函数是指型如y ＝x ( R，且为常数)的函数， 它的形式非常严格，必须完全具备这种形式的函数 才是幂函数．由于其解析式中只有一个参数(幂指数)， 因此只需一个条件就可确定幂函数的解析式． 3．对幂函数的学习要求不高，只要求对几个简单幂 函数的图象与性质有所了解即可．掌握幂函数的图 象特点是研究幂函数性质的基础，而其主要性质就 是单调性和奇偶性．
m a 正分数指数幂的表示：a n ＝______ (a>0，m，n∈N＋，且
定义 分 数 指 数 幂
m
n
n>1) 表示 负分数指数幂的表示：a n＝ m ＝ a n n am (a>0，m，n∈N＋，且 n>1) 0 的负分数指数幂没有意义 0 的正分数指数幂是 ___,0
－
m
1
1
3．实数幂的运算性质
α α
答案：
1 2 3、 已知幂函数 f(x)＝k· x 的图像过点 ， ， 则 2 2
α
k＋α＝( 1 A. 2
) B．1 3 C. 2 D．2
解析：选 C.∵f(x)＝k· xα 是幂函数，∴k＝1. 1 2 又 f(x)的图像过点 ， ， 2 2 1α 2 1 1 3 ∴2 ＝ ，∴α＝ ，∴k＋α＝1＋ ＝ . 2 2 2 2
m 2－2m －3<0 －1<m <3 所以 ，即 ，所以 m ＝1 或 2. m ∈N＋ m ∈N＋
而函数图象关于 y 轴对称，即函数为偶函数， 所以 m ＝1，此时 y ＝x . 综上，得 k＝－1 或 3，m＝1.
－4
【点评】幂函数的图象与性质由于 α 的值不同而较为复杂， 解决与幂函数性质有关问题，关键是抓住其图象特征，将其 转化为代数语言．
(1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)
(2)aras＝ ar-s (2)(ar)s＝
ars
(a>0，r，s∈Q) (a>0, r，s∈Q)
(3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)
4、幂函数定义
α y＝x
函数__________叫作幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．