指数运算和指数函数
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。
3.相同底数的指数之间的乘方运算，底数保持不变，指数相加。
4.相同指数的指数之间的乘方运算，指数保持不变，底数相乘。
二、指数运算的规律1.法则1：a的m次方乘以a的n次方，等于a的m加n次方。
2.法则2：a的m次方除以a的n次方，等于a的m减n次方。
3.法则3：（a的m次方）的n次方，等于a的m乘n次方。
4.法则4：a的m次方的p次方，等于a的m乘p次方。
5.法则5：零的任何正次方都是0，零的0次方没有意义，规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为：y=a^x，其中a>0且a≠1，a为底数，x为指数。
指数函数可以看作是以底数为底，自变量为指数的函数。
指数函数的性质如下：1.底数a大于1时，指数函数是递增的，即自变量x的增大，函数值y也增大。
2.底数a介于0和1之间时，指数函数是递减的，即自变量x的增大，函数值y也减小。
3.指数函数的图象都经过点(0,1)，即当x=0时，y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。
5.指数函数的图象没有水平渐近线，但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。
指数函数常见的应用有：1.在金融领域中，指数函数可以用来描述货币的增长规律，例如复利计算。
2.在自然科学领域中，指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。
3.在电路中，指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。
4.在计算机领域中，指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。
总结：。
高中数学总复习 指数运算与指数函数
1 3
15
a6b6
211
9a 3 2 6
115
b2 3 6
＝－9a(a>0，b>
0)，所以B正确；
1 11
对于 C， 3 9＝ 93 =96 =33＝3 3，所以 C 正确；
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错
误.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 4 －44＝－4.( × ) (2)2a·2b＝2ab.( × ) (3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称.( √ ) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )
自主诊断
2.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
原式＝
81 16
1
2－2×
64 27
2 3
－2＋342
1
2
＝
3 2
4
2
－2×
3 4
3
3－2＋196
＝94－2×196－2＋196＝94－98－2＋196＝－156.
(2)2 3×33 1.5×6 12.
1
原式＝2
1
32
3
3 2
3
(22
3)
1 6
11
1 11
6 2 3 3 32 3 6
43
a3 4
25
指数的运算与指数函数
指数的运算与指数函数4.1指数的运算【知识梳理】1. 整数指数幂1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。
在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。
2）整数指数幂的运算法则：（1）n m a a = （2）=n m a )(（3）=n maa （4）=m ab )(3)此外，我们作如下规定：零次幂：)0(10≠=a a ； 负整数指数幂：),0(1+-∈≠=N n a a a nn； 2. 根式：1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。
注：①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为na ；③0的任何次方根都是0，记作00=n。
2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。
当na 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．注：当n 是奇数时，a a nn =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn ；3. 有理指数幂1）我们进行如下规定： n na a=1 （0>a ）那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。
此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。
3)有理指数幂的运算性质：（1）r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值：（1）223223-++ （2）347246625-+--+【例2】.计算下列各式的值： （1）()[]75.0343031162)87(064.0---+-+-- （2）()()()012132232510002.0833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----【例3】.化简下列各式：（1）()0,0332>>b a b a ab ba （2）212121211111a a a a a ++------【过关练习】1.求值：（1）335252-++ （2）3332332313421248a a b a ab b ba a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2.化简：（1）111113131313132---+++++-x xx x x x x x（2）()()14214214433332)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(434334316221>=>=<=>-=--a a a a x xxy y y x x x题型二 含附加条件的求值问题 【例1】（1）若3193=⋅ba，则下列等式正确的是（ ） A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a（2）若,123-=++x x x 则2827211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.【例2】（1）已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值； （2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根，且0>>b a ，求ba ba +-的值.【过关练习】 1.已知.88(22的值常数），求x x xxa --+=+2.已知32121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值.3. 已知122+=xa ，求xx xx aa a a --++33的值题型三 解含幂的方程与等式的证明 【例1】解下列方程 （1）x x )41(212=+ （2）03241=-++x x【例2】已知433cz by ax ==，且1111=++zy x ，求证31313131222)(c b a cz by ax ++=++【过关练习】 1. 解下列方程（1）2291381+⎪⎭⎫⎝⎛=⨯x x （2）0123222=-⨯++x x2.设c b a ,,都是正数，且cb a 643==，求证ba c 122+=.4.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数 函数 )1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. 2. 指数函数的性质（1）定义域 :实数集合R ； （2）值域 ：0>y ;（3） 奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（4）单调性：1>a 时，函数 )1,0(≠>=a a a y x在),(+∞-∞上为增函数；10<<a 时，函数)1,0(≠>=a a a y x 在),(+∞-∞上为减函数；（5）函数值：0=x 时，1=y ,图象恒过点（0，1）；（6）当0,1>>x a 时1>y ；0,1<>x a 时，10<<y .当10<<a ,0>x 时，10<<y ;0,10<<<x a 时，1>y .题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数)3)(2(--+=a a a y x的图像经过点（2,4），求a 的值.【过关练习】.若指数函数)(x f 的图像经过点（2,9），求)(x f 的解析式及)1(-f 的值.题型二 指数型复合函数的定义域和值域 【例1】.求下列函数的定义域和值域 （1） xy 31-= （2）412-=x y（3）xy -=)32( （4）32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y【例2】.求函数[]2,2,221341-∈+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx 的值域.【例3】.如果函数[]1,1-)1,0(122在且≠>-+=a a a a y x x上有最大值14，试求a 的值.【过关练习】1.求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域和值域.2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+R x y y A x,)21(12,则满足B B A =⋂的集合B 可以是（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x C.{}11≤≤-x x D.{}0>x x 3.函数22212+-=+x xy 的定义域为M ，值域[]2,1P ，则下列结论一定正确的个数是（ ）。
高中数学指数运算与指数函数课件
(2)f (x)＝2x2＋x＋1－1 2＝1－2x＋2 1， 因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋2 1<2， 即－2<－2x＋2 1<0， 所以－1<1－2x＋2 1<1。 所以 f (x)的值域为(－1,1)。
(3)g(x)为偶函数。 由题意知 g(x)＝f xx＝22xx＋ －11·x， 易知函数 g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， g(－x)＝(－x)·22－ －xx＋ －11＝(－x)·11－＋22xx＝x·22xx－＋11＝g(x)， 所以函数 g(x)为偶函数。
(2)若 f (x)为奇函数，则 f (0)＝0，即 a－20＋2 1＝0，解得 a＝1。 此时 f (－x)＝1－2－x2＋1＝1－12＋·22xx＝－1－2x＋2 1＝－f (x)，故当 a＝1 时，函数 f (x) 为奇函数。 (3)由(2)知 f (x)＝1－2x＋2 1，因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋1 1<1， 所以 0<2x＋2 1<2，所以－2<－2x＋2 1<0，所以－1<1－2x＋2 1<1，即－1<f (x)<1，所以 f (x)的值域为(－1,1)。
【解析】 因为 2x>0，所以 2x＋1>1，即|y|>1，又因为曲线|y|＝2x＋1 与 直线 y＝b 没有公共点，所以－1≤b≤1。
【答案】 [－1,1]
方法小结 (1)处理函数图象问题的策略 ①抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)。 ②巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)。 ③利用函数的性质：奇偶性与单调性。
23－x 的图象。
答案 A
[解析] (2)
由题意得[f(x)－2]·[f(x)－a]＝0，所以 f(x)＝2 或 f(x)＝a， 所以|3x－1|＋1＝2 或|3x－1|＋1＝a，所以|3x－1|＝1 或|3x－1|＝a－1， |3x－1|＝1 有一个根，所以方程|3x－1|＝a－1 有两个不同的实根， 函数 y＝|3x－1|的图象如图所示，所以 0<a－1<1，所以 1<a<2.
新教材高中数学第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展2指数幂的运算性质课件北师大版必修第一册
1
1
典例已知 pa3=qb3=rc3,且 + + =1.
1
2
2
2
求证:(pa +qb +rc )3
=
1
3
+
1
3
+
1
3.
分析看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构
建能用到题干中已知值的式子.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:令pa3=qb3=rc3=k,
则 pa2=,qb2=,rc2= ,
2
1
(y>0).
反思感悟解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与
根式的对应关系,转化求解.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 x>0,
2
3 =4,则
-
x 等于(
3
1
A.
8
B.8
C.
答案:A
2
3
1
1
1
-
解析:由 =4,得 3
3
探究四
x2
=4,
1
∴ 2 = 4,∴x2=64,∴x=8(x>0).
, ≥ 0,
算, =|a|=
-, < 0.
激趣诱思
知识点拨
二、指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,指数幂均满足下面的运算性质:
aα·aβ=aα+β,
(aα)β=aαβ,
(a·b)α=aα·bα.
名师点析1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个
指数的运算与指数函数
模块一：指数的运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n=，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n 。
②性质：1）r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）； 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
知识内容指数运算与指数函数题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值：⑴⑵⑶⑷)a b <；⑸238； ⑺1225-； ⑻512-⎛⎫ ⎪⎝⎭； ⑼341681-⎛⎫⎪⎝⎭．【巩固】求值：⑴238， ⑵12100-, ⑶ 314-⎛⎫ ⎪⎝⎭, ⑷ 341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.【例2】 用分数指数幂表示下列各式：（1）32x（2）43)(b a +（a ＋b ＞0）（3）56q p ⋅（p ＞0）（4）mm 3【巩固1】用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)（1）43a a ⋅（2）aa a（3典型例题【巩固2】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：⑴⑵； ⑶54m ⋅．【例3】 求下列各式的值：(1)432981⨯ （2）（3）【例4】 计算下列各式：⑴ 111344213243(,0)6a a b a b a b ---⎛⎫- ⎪⎝⎭>-． （2） 211511336622(2)(6)(3);a b a b a b -÷-题型二 指数运算求值【例5】 a 的取值范围是（ ）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a >D ．12a ≤ 【例6】 下列判断正确的有①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【例7】 已知21na =，求33n nn na a a a --++的值.【巩固1】已知13x x -+=,求下列各式的值：（1）1122x x -+ （2）3322.x x -+【巩固2】已知31x a -+=，求2362a ax x ---+的值.【巩固4】化简：)()(41412121y x y x -÷-【例8】 解方程0633232=-⨯-x x【巩固】解方程024254=-⨯-xx模块二：指数函数1．指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，R)x ∈叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比题型一 指数函数的概念【例9】 判断下列函数是否为指数函数。
高中数学指数运算与指数函数3指数函数课件
提示:本题有两处错误,一是a>0,不能保证f(x)=ax在R上是增函
数;二是不等式的解集没有写成集合的形式.
正解:设 f(x)=ax(a>0,且 a≠1).
-
- +
当 a>1 时,f(x)在 R 上是增函数,由
当0<a<1时,原不等式⇔-3x<x+4⇔x>-1,
故当a>1时,实数x的取值范围是{x|x<-1},
当0<a<1时,实数x的取值范围是{x|x>-1}.
3.已知a>0,比较aπ与a3的大小.
解:设f(x)=ax,易知π>3.
当a>1时,函数f(x)在R上是增函数,则aπ>a3;
当a=1时,函数f(x)=1是常数,则aπ=a3;
x的取值范围.
解:因为0<a<1,所以y=ax在R上是减函数,
又a-3x>ax+4,所以-3x<x+4,得x>-1,
故实数x的取值范围是{x|x>-1}.
2.若把本例(2)中的“a>1”换为“a>0,且a≠1”,其他条件不变,求
实数x的取值范围.
解:当a>1时,原不等式⇔-3x>x+4⇔x<-1,
下到上相应的底数由小变大.
【变式训练2】 如图,若0<a<1,则函数y=ax与y=(a-1)x2的图象
可能是(
)
解析:因为0<a<1,所以a-1<0,因此y=(a-1)x2的图象开口向下.
答案:D
探究三 利用指数函数比较大小
【例3】 比较下列各组数的大小:
指数与指数函数
指数与指数函数指数与指数函数1.1 指数与指数幂的运算1) 根式的概念如果$x=a$，$a\in R$，$x\in R$，$n>1$，且$n\in N^+$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根。
当$n$是奇数时，$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
当$n$是偶数时，正数$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
负数$a$没有$n$次方根。
式子$n\sqrt{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数。
当$n$为奇数时，$a$为任意实数；当$n$为偶数时，$a\geq0$。
根式的性质：$(n\sqrt{a})^n=a$；当$n$为奇数时，$n\sqrt{a^n}=a$；当$n$为偶数时，$n\sqrt{a^2}=|a|$，即$\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}$。
2) 分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$。
正数的负分数指数幂的意义是：$a^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。
正分数$a^{1/m}=\sqrt[m]{a}$，负分数指数幂没有意义。
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。
3) 分数指数幂的运算性质a^r\cdot a^s=a^{r+s}$（$a>0,r,s\in R$）。
a^r)^s=a^{rs}$（$a>0,r,s\in R$）。
ab)^r=a^rb^r$（$a>0,b>0,r\in R$）。
例题精讲例1】求下列各式的值：1) $n(3-\pi)$（$n>1$，且$n\in N^+$）；2) $(x-y)^2$。
1) 当$n$为奇数时，$n\sqrt{3-\pi}=|\sqrt{3-\pi}|=\sqrt{3-\pi}$。
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指数运算与指数函数一、知识点1、根式得性质(1）当ｎ为奇数时,有(2)当n为偶数时,有(３）负数没有偶次方根 (４)零得任何正次方根都就就是零2、幂得有关概念（1）正整数指数幂:(2)零指数幂 (3)负整数指数幂(4)正分数指数幂(5)负分数指数幂（6)0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂无意义3、有理指数幂得运算性质(1) (2)（３)4、指数函数定义:函数叫做指数函数。
0 ＜a < 1 a > 1图象性质定义域Ｒ值域（0 , +∞）定点过定点（０，1）,即x= 0时，y = 1（1)ａ> 1,当x>0时,y>１；当x< 0时,0 <ｙ＜１。
（2）0 ＜a< 1,当ｘ> 0时,０<y< 1;当x< 0时,y>1。
单调性在R上就就是减函数在R上就就是增函数对称性与关于y轴对称(1）①②③④则:0<ｂ<a＜1<d<ｃ又即:x∈(０，+∞)时， (底大幂大)x∈(－∞,0)时,（2）特殊函数得图像:三、指数式大小比较方法(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数得单调性进行比较、(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:①若;;;②当两个式子均为正值得情况下,可用作商法,判断，或即可、四、典型例题类型一、指数函数得概念例1、函数就就是指数函数,求得值、【答案】2【解析】由就就是指数函数,可得解得，所以、举一反三:【变式1】指出下列函数哪些就就是指数函数?(1);（2)；(3）；(4);(5);(6)、【答案】(1)（５)(6）【解析】（１）(5)(6)为指数函数、其中(6)=,符合指数函数得定义,而(2)中底数不就就是常数,而4不就就是变数;(３)就就是-1与指数函数得乘积;(4)中底数,所以不就就是指数函数、类型二、函数得定义域、值域例2、求下列函数得定义域、值域、（1);（2)y=4x－2x+1；(3);(４）(a为大于１得常数)【答案】(１)R,(0,1);（2)R [);（3) ;(4)［１，a）∪（a,+∞)【解析】（1)函数得定义域为R （∵对一切xR,3x≠-1)、∵,又∵3x>0, 1+3ｘ＞1,∴ , ∴ ,∴ , ∴值域为(0，1)、(2)定义域为R,,∵2x＞0，∴即x=-１时，ｙ取最小值,同时y可以取一切大于得实数,∴值域为［)、(3)要使函数有意义可得到不等式,即，又函数就就是增函数,所以,即，即，值域就就是、（4)∵∴定义域为(-∞,－1)∪[1,＋∞),又∵ ,∴，∴值域为［1,ａ)∪(a,+∞)、【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y＞0得条件，第(4)小题中不能遗漏、举一反三：【变式1】求下列函数得定义域:(１) (2)(3) (4)【答案】(1)R;（2);(3);(４）a>1时,；0<a<1时，【解析】（1)R（2)要使原式有意义,需满足３-ｘ≥０,即，即、(3）为使得原函数有意义，需满足2ｘ-1≥０,即２x≥1,故x≥0,即(4) 为使得原函数有意义,需满足,即,所以a>1时,;０<a<１时,、【总结升华】本题中解不等式得依据主要就就是指数函数得单调性,根据所给得同底指数幂得大小关系,结合单调性来判断指数得大小关系、类型三、指数函数得单调性及其应用例3、讨论函数得单调性，并求其值域、【思路点拨】对于x∈R,恒成立，因此可以通过作商讨论函数得单调区间、此函数就就是由指数函数及二次函数复合而成得函数,因此可以逐层讨论它得单调性,综合得到结果、【答案】函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间［１，＋∞)上就就是减函数 （０,3]【解析】解法一:∵函数得定义域为(-∞,＋∞),设ｘ1、x ２∈(－∞,+∞)且有x １<ｘ2， ∴,, 、（１)当x 1＜ｘ２＜1时,x １+x 2＜2,即有x 1＋x ２－2＜0、 又∵x 2-x 1＞0，∴(x ２―x １）(x ２+x 1―2)＜0,则知、 又对于ｘ∈R,恒成立，∴、 ∴函数在(-∞,1)上单调递增、(2)当1≤x 1<ｘ２时,x 1+ｘ2＞２,即有x １+x 2-２>0、 又∵x ２-x 1＞0,∴(x 2―x 1）(x 2+ｘ1―2)＞０,则知 、∴、∴函数在[1,＋∞)上单调递减、综上,函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间[１,+∞)上就就是减函数、 ∵x 2―2ｘ＝(x ―1)2―１≥-１,,、 ∴函数得值域为(0，３］、解法二:∵函数得下义域为R,令ｕ＝ｘ2-２x,则、∵u=x ２―２x ＝(x ―1)2―1,在(―∞,1]上就就是减函数，在其定义域内就就是减函数,∴函数在(-∞,１］内为增函数、又在其定义域内为减函数,而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，＋∞)上就就是增函数，∴函数在[1,+∞)上就就是减函数、值域得求法同解法一、【总结升华】由本例可知，研究型得复合函数得单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有：即当a ＞1时，得单调性与得单调性相同;当0＜a ＜1时，得单调与得单调性相反、举一反三：【变式1】求函数得单调区间及值域、【答案】上单增,在上单减、【解析】[1]复合函数——分解为:ｕ＝-x 2＋３x －2, y=3ｕ；[２］利用复合函数单调性判断方法求单调区间; [３]求值域、设u=－x 2＋3x-２, y=３u，其中y ＝3u 为R 上得单调增函数,u=-x 2+３x-2在上单增,u=-x ２+3x-2在上单减， 则在上单增,在上单减、又u=-x 2+3x －2， 得值域为、 【变式2】求函数得单调区间、【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在上为增函数,内函数u=ｘ2-2x 在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数上为减函数,在区间上为增函数；当０<ａ<1时,外层函数ｙ＝ａu 在上为减函数,内函数u ＝x 2-2ｘ在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数在区间上为增函数,在区间上为减函数、例4、证明函数在定义域上为增函数、【思路点拨】利用函数得单调性定义去证明。
【解析】定义域为xR,任取ｘ1<x ２,12121212121211(1)(1)(1)(1)()()11(1)(1)x x x x x x x x x x a a a a a a f x f x a a a a ---+-+--=-=++++、∵, ∴,又a>1, ｘ１＜x２，∴ , ∴ , ∴f(ｘ1）<f（ｘ2),则在定义域上为增函数、另:, ∵, a>1且x2-x1＞０,∴，∴、【总结升华】指数函数就就是学习了函数得一般性质后,所学得第一个具体函数、因此,在学习中,尽量体会从一般到特殊得过程、例5、判断下列各数得大小关系:(1）１、8ａ与1、8a+1; (2）(３）22、５,（2、5)0, (4）【思路点拨】利用指数函数得性质去比较大小。
【答案】(1)1、8a<１、8a+1 (2) （3)(4）当a>1时,，当0<ａ＜1时,【解析】(1)因为底数１、８>1,所以函数y=１、8x为单调增函数,又因为a＜a＋1，所以1、8a<1、8a+1、(2）因为,又就就是减函数，所以,即、(3）因为,,所以(4)当a＞１时,,当0<a<1时,、【总结升华】(１)注意利用单调性解题得规范书写；（2)不就就是同底得尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性);（3)不能化为同底得,借助一个中间量来比较大小(常用得中间量就就是“0”与“１”)、举一反三:【变式1】比较大小：(1）２2、1与22、3 (２)３、53与3、23 (3)0、９-0、３与1、1－0、1(4）0、9０、3与0、７０、4 (5)、【解析】(1)22、1＜２2、3(２)３、53＞３、23、观察两函数值,底数不同，而指数不变——不就就是指数函数，而就就是ｙ=ｘ3,它为增函数、（3)由0、9-0、３,0<0、９＜1, －0、3<0⇒0、９-0、３>１,1、1＞1, -0、1<0⇒0<1、１－0、1<１, 则0、９-０、3>１、1-0、1;(4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合,0、9０、３>0、70、4、(5)∵,又函数为减函数,, ∴ ,∵为增函数,时，ｙ>１，、另解:幂函数为增函数,则有,(下略)、【高清课堂:指数函数 369066 例1】【变式2】利用函数得性质比较,,【答案】【解析】=作出得图象知所以【变式3】比较1、５-0、2, 1、30、７, 得大小、【答案】【解析】先比较得大小、由于底数(0，１), ∴ 在R 上就就是减函数,∵ , ∴ ,再考虑指数函数y=１、３x , 由于１、3>1, 所以y=１、3x 在Ｒ上为增函数1、30、7＞1、３０=1, ∴ 、【总结升华】在进行数得大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数得性质得出结果，若底数不相同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数得性质得出结果;不能化成同底数得,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果、总之比较时要尽量转化成底得形式,根据指数函数单调性进行判断、例6、 （分类讨论指数函数得单调性)化简:【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式得形式,然后对进行分类讨论,去掉绝对值。
【解析】举一反三:【变式1】如果(,且),求得取值范围、 【答案】当时,;当时, 【解析】(1)当时,由于, ,解得、(2）当时,由于, ，解得、综上所述,得取值范围就就是:当时,；当时,、 类型四、判断函数得奇偶性例7、判断下列函数得奇偶性： (为奇函数) 【答案】偶函数【解析】ｆ(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称,且f （ｘ)得定义域就就是定义域除掉0这个元素）,令,则)()21121(21121121121)12(x g x x x x -=+--=+---=+----=∴ ｇ（x)为奇函数, 又 ∵为奇函数，∴ f(x ）为偶函数、【总结升华】求得奇偶性,可以先判断与得奇偶性,然后在根据奇·奇=偶,偶·偶=偶,奇·偶=奇，得出得奇偶性、举一反三：【变式1】判断函数得奇偶性:、 【答案】偶函数【解析】定义域{x|xR 且ｘ≠0}, 又21111111()(1)()()222212121x xx x x x x f x -+=-=+-=+=---, ∴ f(－x ）=ｆ(x),则f(ｘ)偶函数、类型五、指数函数得图象问题例８、如图得曲线C １、C 2、C 3、C ４就就是指数函数得图象,而,则图象C 1、C ２、C 3、C ４对应得函数得底数依次就就是＿__＿＿___、_＿＿___＿_、________、___＿____、【答案】【解析】由底数变化引起指数函数图象得变化规律可知，C 2得底数＜Ｃ1得底数<C 4得底数<Ｃ3得底数、【总结升华】利用底数与指数函数图象之间得关系可以快速地解答像本题这样得有关问题,同时还可以解决有关不同底得幂得大小比较得问题,因此我们必须熟练掌握这一性质,这一性质可简单地记作:在y轴得右边“底大图高”,在y轴得左边“底大图低”、举一反三:【变式１】设,c＜b<ａ且,则下列关系式中一定成立得就就是( )A、B、C、D、【答案】D【变式2】为了得到函数得图象，可以把函数得图象( )A、向左平移9个单位长度，再向上平移５个单位长度B、向右平移９个单位长度,再向下平移５个单位长度C、向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度Ｄ、向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度【答案】C【解析】注意先将函数转化为,再利用图象得平移规律进行判断、∵,∴把函数得图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度,可得到函数得图象,故选C、【总结升华】用函数图象解决问题就就是中学数学得重要方法，利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数得图象,并掌握图象得变化规律,比如:平移、伸缩、对称等、指数函数测试题11、函数ﻩﻩﻩ( )A、B、C、ﻩD、２、若指数函数在[－1,1]上得最大值与最小值得差就就是1,则底数ａ等于ﻩ( )Ａ、B、Ｃ、D、3、函数,满足得得取值范围( )A、ﻩB、Ｃ、D、４、函数得单调递增区间就就是ﻩﻩﻩﻩ( ）Ａ、ﻩＢ、ﻩC、ﻩD、５、已知，则下列正确得就就是ﻩﻩ( )ﻩＡ、奇函数，在Ｒ上为增函数ﻩＢ、偶函数,在R上为增函数C、奇函数,在R上为减函数D、偶函数，在R上为减函数二、填空题6、已知函数f （x)得定义域就就是(1，2),则函数得定义域就就是、7、当a＞0且ａ≠1时，函数f （x)=a x-2－3必过定点、８、已知－１<a＜０,则三个数由小到大得顺序就就是、三、解答题9、(12分)求函数得定义域、10、(１2分）已知函数在区间[－1,１]上得最大值就就是１4,求ａ得值、11、(1２分)（１）已知就就是奇函数,求常数m得值;(2)画出函数得图象，并利用图象回答:k为何值时,方程|３Ｘ－1｜=k无解？有一解?有两解?指数函数测试题1答案一、DＣDDD AＡD D A 二、１1、(０，1）; 12、(2,-2); １3、；14、;15、解:要使函数有意义必须:xxxxx-≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪⇒≠≠⎧⎨⎩1011∴定义域为:16、解：,其中、当r＞1时，,所以a r+bｒ<cｒ;当ｒ<1时,，所以a r+ｂr>ｃr、17、解：, 换元为,对称轴为、当,,即x＝1时取最大值,略解得a＝3 (a= －5舍去)１8、解: (１)常数ｍ=１(2)当k<0时,直线ｙ＝k与函数得图象无交点,即方程无解；当k=0或k１时, 直线y=k与函数得图象有唯一得交点,所以方程有一解;当0<k＜1时, 直线y=k与函数得图象有两个不同交点,所以方程有两解。