求极限的方法总结

求极限的几种常用方法
一、 约去零因子求极限
例如求极限limx→1x4-1x-1，本例中当x→1时，x-1→0，表明x 与1无限接近，但x≠1,所以x-1这一因子可以约去。

二、 分子分母同除求极限
求极限limx→∞x3-x23x3+1
∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13
三、 分子(母)有理化求极限
例:求极限limx→∞(x3+3-x2+1)
分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

()()()()131313lim 13lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x
x x x 0132lim 22=+++=+∞→x x x
例：求极限limx→01+tanx -1+sinxx3
30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()
x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→=
41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。

四、 应用两个重要极限求极限
(2)limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e
在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。

例：求极限limx→∞(x+1x-1)x
第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。

limx→∞(x+1x-1)x=limx→∞(1+2x-1)x=limx→∞[1+1x-122x-1(1+ 2x-1)12]2=e2
五、利用无穷小量的性质求极限
无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。

这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

例：求limx→∞sinxx
因为sinx≤1, limx→∞1x=0,所以limx→∞sinxx=0
六、用等价无穷小量代换求极限
常见等价无穷小有：
当x→0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1+x~ex1，
1-cosx~12x2，(1+ax)b-1~abx
等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。

此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

例：limx→0xln(1+x)1-cosx=limx→0xx12x2=2
limx→0sinx-xtan3x=limx→0sinx-xx3=limx→0cosx-13x2=limx
→0-12x23x2=-16
七、利用函数的连续性求极限
这种方法适合求复合函数的极限。

如果u=g(x)在点x0处连续gx0=u0，而f(u)在点x0处连续，那么复合函数y=f(gx)在点x0处连续。

limx→x0f(gx)=fgx0=f(limx→x0g(x))
也就说，极限号limx→x0与f可以互换顺序。

例：求limx→∞ln⁡(1+1x)x
令y=lnu,u=(1+1x)x
因为lnu在点u0=limx→∞(1+1x)x=e处连续
所以limx→∞ln(1+1x)x=lnlimx→∞(1+1x)x=lne=1
八、用洛必达法则求极限
洛必达法则只能对00或∞∞型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。

洛必达法则只说明当也存在limf'(x)g'(x)等于A时，那么limf(x)g(x)存在且等于A。

如果limf'(x)g'(x)不存在时，并不能断定limf(x)g(x)也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论limf(x)g(x)。

例：求极限limx→0lncos2x-in(1+sin2x)x2
limx→0lncos2x-in(1+sin2x)x2=limx→0-2sin2xcos2x-sin2x1+sin 2x2x=limsin2x2x(x→0-2cos2x-11+sin2x)=3
九、用对数恒等式求limf(x)g(x)极限
limx→01+ln1+x2x=limx→0e2xln1+ln1+x=elimx→02ln1+xx=e2
对于1∞型未定义式，也可以用公式
limf(x)g(x)1∞=elimfx-1g(x)
因为
limf(x)g(x)=elimgxln⁡(1+fx-1)=elimfx-1g(x)
十、利用两个准则求极限
夹逼准则：若一正数N。

当n>N时，有
xn<yn<zn,limx→∞xn=,limx→∞zn=a，则有limx→∞yn=a.
利用夹逼准则求极限关键在于从yn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{xn}和{zn}，使得xn<yn<zn。

例xn=1n2+1+1n2+2+…+1n2+n
求xn的极限。

因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项
xn≥1n2+n+1n2+n+…+1n2+n=nn2+n
xn≤1n2+1+1n2+1+…+1n2+1=nn2+1
nn2+n≤xn≤nn2+1
又因为limn→∞nn2+n=limn→∞nn2+1=1
所以limn→∞nn2+nxn=1
单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

例，证明下列极限存在，并求其极限。

y1=a ,
y2=a+a,
y3=a+a+a
⋯
yn=a+a+a+…a
证明：从这个数列看n y显然是增加的。

用归纳法可证。

又因为y2=a+y1,y3=a+y2……. yn=a+yn-1
所以得yn2=a+yn-1.因为前面证明yn是单调增加的。

两端除以yn得yn<ayn+1
因为yn≥y1=a则ayn≤a，从而ayn+1≤a+1
a≤yn≤a+1
即yn是有界的。

根据定理yn有极限且极限唯一。

令limn→∞yn=l
则limn→∞yn2=limn→∞yn-1+a
则l2=l+a，因为yn2>0n y>.解方程得l=1+4a+12
所以limn→∞yn=l=1+4a+12。