【最新】2020浙江省杭州市余杭区数学试卷+解析
2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试卷及解析
2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1．（3分）若x 与3互为相反数，则||3x +等于( ) A ．3-B ．0C ．3D ．62．（3分）下列运算正确的是( ) A ．22()a a -=B ．624a a a -=C ．224363a a a -+=D ．235()a a =3．（3分）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,2)-，作点A 关于y 轴的对称点，得到点A '，再将点A '向下平移4个单位，得到点A ''，则点A ''的坐标是( ) A ．(1,2)--B ．(1,2)C ．(1,2)-D ．(2,1)-4．（3分）如图中有四条互相不平行的直线1L 、2L 、3L 、4L 所截出的七个角 ． 关于这七个角的度数关系， 下列何者正确( )A ．247∠=∠+∠B ．316∠=∠+∠C ．146180∠+∠+∠=︒D ．235360∠+∠+∠=︒5．（3分）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x 人，女孩有y 人，则下列方程组正确的是( )A ．12x y x y -=⎧⎨=⎩B ．2(1)x y x y =⎧⎨=-⎩C ．12(1)x yx y -=⎧⎨=-⎩D ．12(1)x yx y +=⎧⎨=-⎩6．（3分）王师傅驾车到某地办事，洗车出发前油箱中有50升油．王师傅的车每小时耗油12升，行驶3小时后，他在一高速公路服务站先停车加油26升，再吃饭、休息，此过程共耗时1小时，然后他继续行驶，下列图象大致反映油箱中剩余油量y （升)与行驶时间t （小时）之间的函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．7．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，tan 2BAC ∠=，(0,)A a ，(,0)B b ，点C 在第二象限，BC 与y 轴交于点(0,)D c ，若y 轴平分BAC ∠，则点C 的坐标不能表示为( )A ．(2,2)b a b +B ．(2,2)b c b --C ．(,22)b c a c ----D ．(,22)a c a c ---8．（3分）已知正方形MNOK 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN 边与CD 边重合，完成第二次旋转；⋯⋯连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B ，M 间的距离可能是( )A ．0.5B ．0.7C 21D 319．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以OB 为直径画圆M ，过D 作M 的切线，切点为N ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，已知5AE =，3CE =，则DF 的长是( )A ．3B ．4C ．4.8D ．510．（3分）小轩从如图所示的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象中，观察得出了下面五条信息：①0abc <；②0a b c ++<；③20b c +>；④240ac b ->；⑤32a b =．你认为其中正确信息的个数有()A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分， 11．（4分）分解因式2233a b -= ．12．（4分）若一组数据4，a ，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是 ．13．（4分）ABC ∆的两边长分别为2和3，第三边的长是方程28150x x -+=的根，则ABC ∆的周长是 ． 14．（4分）如图，在22⨯的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A ，则tan ABO ∠的值为 ．15．（4分）如图，已知P 为等边ABC ∆形内一点，且3PA cm =，4PB cm =，5PC cm =，则图中PBC ∆的面积为 2cm ．16．（4分）如图，在菱形ABCD 中，45DAB ∠=︒，2AB =，P 为线段AB 上一动点，且不与点A 重合，过点P 作PE AB ⊥交AD 于点E ，将A ∠沿PE 折叠，点A 落在直线AB 上点F 处，连接DF 、CF ，当CDF ∆为等腰三角形时，AP 的长是 ．三、解答题：本大题有7个小题，共66分.17．如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为13x +．（1）求被墨水污染的部分； （2）原分式的值能等于17吗？为什么？ 18．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）: 七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98 八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98 整理得到如下统计表 年级 最高分 平均分 中位数众数方差 七年级 98 94am7.6 八年级98n94 936.6根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a = ；m = ；n = ； （2）两个年级中， 年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：1A ，2A ，八年级第一、第二名选手分别记为1B ，2B ，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率． 19．我们把有两边对应相等，且夹角互补（不相等）的两个三角形叫做“互补三角形”，如图1，ABCD 中，AOB ∆和BOC ∆是“互补三角形”． （1）写出图1中另外一组“互补三角形” ；（2）在图2中，用尺规作出一个EFH ∆，使得EFH ∆和EFG ∆为“互补三角形”，且EFH ∆和EFG ∆在EF 同侧，并证明这一组“互补三角形”的面积相等．20．跳跳一家外出自驾游，出发时油箱里还剩有汽油30升，已知跳跳家的汽车没百千米平均油耗为12升，设油箱里剩下的油量为y （单位：升），汽车行驶的路程为x （单位：千米）， （1）求y 关于x 的函数表达式；（2）若跳跳家的汽车油箱中的油量低于5升时，仪表盘会亮起黄灯警报．要使油箱中的存油量不低于5升，跳跳爸爸至多能够行驶多少千米就要进加油站加油？21．已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧． （1）如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；（2）当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB ∠的大小．22．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ．点C 的坐标是(1,0)-，抛物线22y ax bx =+-经过A 、C 两点且交y 轴于点D ．点P 为x 轴上一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点M ，交抛物线于点Q ，连接DQ ，设点P 的横坐标为(0)m m ≠．（1）求点A 的坐标． （2）求抛物线的表达式．（3）当以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求m 的值．23．如图：AB 是O 的直径，点D 在O 上，AC 交O 于G ，E 是AG 上一点，D 为BCE ∆内心，BE 交AD 于F ，且DBE BAD ∠=∠． （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：DF DG =；（3）若45ADG ∠=︒，1DF =，则有两个结论：①AD BD 的值不变；②AD BD -的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1．【解答】解：x 与3互为相反数， 3x ∴=-，||3|3|3336x ∴+=-+=+=．故选：D ．2．【解答】解：A 、22()a a -=，正确；B 、62a a -，无法计算，故此选项错误；C 、222363a a a -+=，故此选项错误；D 、236()a a =，故此选项错误．故选：A ．3．【解答】解：点A 的坐标是(1,2)-，作点A 关于y 轴的对称点，得到点A '， (1,2)A ∴'，将点A '向下平移4个单位，得到点A ''，∴点A ''的坐标是：(1,2)-．故选：C ． 4．【解答】解：四条互相不平行的直线1L 、2L 、3L 、4L 所截出的七个角，1AOB ∠=∠，46180AOB ∠+∠+∠=︒， 146180∴∠+∠+∠=︒． 故选：C ．5．【解答】解：设男孩x 人，女孩有y 人，根据题意得出：12(1)x yy x -=⎧⎨-=⎩， 解得：43x y =⎧⎨=⎩，故选：C ．6．【解答】解：根据题意可得：油量先下降到14升，然后加油，油量上升，加油、吃饭、休息的这一小时，油量不减少，然后开始行驶，油量降低． 故选：D ．7．【解答】解：作CH x ⊥轴于H ，AC 交OH 于F ．tan 2BCBAC AB∠==， 90CBH ABH ∠+∠=︒，90ABH OAB ∠+∠=︒， CBH BAO ∴∠=∠，90CHB AOB ∠=∠=︒， CBH BAO ∴∆∆∽，∴2BH CH BCAO BO AB===， 2BH a ∴=-，2CH b =，(2,2)C b a b ∴+，由题意可证CHF BOD ∆∆∽，∴CH HFBO OD =， ∴2b FHb c=， 2FH c ∴=，(2,2)C b c b ∴--， 222c b a +=-，222b a c ∴=--，b a c =--，(,22)C a c a c ∴---，故选：C ．8．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M 的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B ，M 间的距离大于等于221，当正方形和正六边形的边重合时，点B ，M 间的距离可能是131， 故选：D ．9．【解答】解：延长EF ，过点B 作直线平行AC 和EF 相交于P ， 5AE =，3EC =， 8AC AE CE ∴=+=，四边形ABCD 是菱形， 142OA OC AC ∴===，AC BD ⊥， 431OE OC CE ∴=-=-=，以OB 为直径画圆M ， AC ∴是M 的切线， DN 是M 的切线， 1EN OE ∴==，MN AN ⊥， 90DNM DOE ∴∠=∠=︒， MDN EDO ∠=∠， DMN DEO ∴∆∆∽， ::DM MN DE OE ∴=，12MN BM OM OB ===，3DM OD OM MN ∴=+=，33DE OE ∴==， //OE BP ， ::OD OB DE EP ∴=， OD OB =， 3DE EP ∴==， 22BP OE ∴==， //OE BP ， EFC PFB ∴∆∆∽，::3:2EF PF EC BP ∴==， :3:5EF EP ∴=，31.85EF EP ∴=⨯=，3 1.8 4.8DF DE EF ∴=+=+=．故选：C ．10．【解答】解：图象开口向下， 0a ∴<，对称轴132b x a =-=-，32b a ∴=，则32a b =，0b ∴<，图象与x 轴交于y 轴正半轴， 0c ∴>，0abc ∴>，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当1x =时，0y <， 0a b c ∴++<，故选项②正确；③当1x =-时，0y a b c =-+>，∴302b bc -+>，20b c ∴+>，故选项③正确；④抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ->，则240ac b -<， 故选项④错误． 故正确的有3个． 故选：B ．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分， 11．【解答】解：2233a b -223()a b =- 3()()a b a b =+-．故答案是：3()()a b a b +-．12．【解答】解：一组数据4，a ，7，8，3的平均数是5 478355a ∴++++=⨯解得：3a =从小到大排列为：3，3，4，7，8 第3个数是4，∴这组数据的中位数为4．故答案为：4．13．【解答】解：解方程28150x x -+=可得3x =或5x =， ABC ∴∆的第三边为3或5，但当第三边为5时，235+=，不满足三角形三边关系， ABC ∴∆的第三边长为3， ABC ∴∆的周长为2338++=，故答案为：8．14．【解答】解：如图，连接OA ，过点A 作AC OB ⊥于点C ，则1AC =，2OA OB ==，在Rt AOC ∆中，2222213OC OA AC =-=-=23BC OB OC ∴=-=-，∴在Rt ABC ∆中，1tan 2323AC ABO BC ∠===+-． 故答案是：23+．15．【解答】解：如图，将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BKA ∆， 则4PB BK ==，5AK PC ==，60PBK ∠=︒，KBP ∴∆为等边三角形，60KPB ∴∠=︒，4KP =， 3AP =，222AP KP AK ∴+=，90APK ∴∠=︒， 150APB ∴∠=︒，作BH AP ⊥于H ，则30BPH ∠=︒， 122BH BP ∴==， PBC ∴∆的面积AKB =∆的面积213134423343242APK BPK APB S S S ∆∆∆=+-=⨯⨯+⨯-⨯⨯=+． 故答案为：433+．16．【解答】解：如图1，当DF CD =时，点F 与A 重合或在点F '处． 在菱形ABCD 中，2AB =， 2CD AD ∴==，作DN AB ⊥于N ，由折叠的性质得：此时点P 与N 重合， 在Rt ADN ∆中，2AD =，45DAN ∠=︒，2DN AN NF =='2AP ∴如图2，当2CF CD ==时，点F 与B 重合或在F '处，点F 与B 重合，PE ∴是AB 的垂直平分线，112AP AB ∴==； 点F 落在F '处时，222AF '=+， 1122AP AF '∴==+； P 在AB 上，2AP ∴<，12AP =+，舍去如图3中，当FD FC =时， 21AF =+，121222AP AF ∴==+． 综上所述：当CDF ∆为等腰三角形时，AP 的长为2或1或2122+． 故答案为：2或1或2122+．三、解答题：本大题有7个小题，共66分. 17．【解答】解：（1）设被墨水污染的部分是A ，由题意得，241933x A x x x -÷=--+， 解得4A x =-；故被墨水污染的部分为4x -； （2）解：不能，若1137x =+， 则4x =， 由分式，2244439394x x x x x x x x ----÷=⋅----， 当4x =时，原分式无意义， 所以不能．18．【解答】解：（1）94a =；92m =， 1(88939393949495959798)9410n =+++++++++=； （2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小， 所以八年级的成绩稳定； 故答案为94，92，94；八； （3）列表得：共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，P ∴（这两人分别来自不同年级的概率）82123==． 19．【解答】解：（1）ABCD 中，OA OC =， OD OD =，180AOD COD ∠+∠=︒，AOD ∴∆和DOC ∆是“互补三角形”， 故答案为：AOD ∆和DOC ∆；（2）如图所示，//EH FG ，且EH FG =，则EFH ∆即为所求，证明：连接GH ，//EH FG ，且EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形，//GH EF ∴， EFG EFH S S ∆∆∴=．20．【解答】解：（1）设y 关于x 的函数表达式为：y kx b =+，因为0.12k =-， 把0x =，30y =代入0.12y x b =-+， 可得30b =，y 关于x 的函数表达式为：0.1230y x =-+；（2）当5y 时，0.12305x -+， 6253x 答：跳跳爸爸至多能够行驶6253千米就要进加油站加油． 21．【解答】解：（1）①如图，作AE PB ⊥于点E ，APE ∆中，45APE ∠=︒，2PA =221AE PE ∴===， 4PB =，3BE PB PE ∴=-=，在Rt ABE ∆中，90AEB ∠=︒，2210AB AE BE ∴=+=．②解法一：如图，因为四边形ABCD 为正方形，可将PAD ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到△P AB '，可得PAD ∆≅△P AB '，PD P B '=，PA P A '=． 90PAP '∴∠=︒，45APP '∠=︒，90P PB '∠=︒ 22PP PA ∴'==，22222425PD P B PP PB ∴='='+=+=；解法二：如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，与DA 的 延长线交PB 于G ． 在Rt AEG ∆中， 可得10cos cos 3AE AE AG EAG ABE ===∠∠，13EG =，23PG PE EG =-=． 在Rt PFG ∆中，可得10cos cos 5PF PG FPG PG ABE =∠=∠=，1015FG =． 在Rt PDF ∆中，可得，2222101010()()(10)255153PD PF AD AG FG =+++=+++=． （2）如图所示，将PAD ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到△P AB '，PD 的最大值即为P B '的最大值，△P PB '中，P B PP PB ''<+，22PP PA '==，4PB =， 且P 、D 两点落在直线AB 的两侧，∴当P '、P 、B 三点共线时，P B '取得最大值（如图）此时6P B PP PB ''=+=，即P B '的最大值为6． 此时180135APB APP '∠=︒-∠=度．22．【解答】解：（1）令1202y x =-+=，解得：4x =，0y =，则2x =，即：点A 坐标为：(4,0)，B 点坐标为：(0,2)；（2）把点A 、C 坐标代入二次函数表达式， 解得：32b =-，12a =，故：二次函数表达式为：213222y x x =--； （3）设点1(,2)2M m m -+，则213(,2)22Q m m m --，以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时， 则：21||(4)42MQ m m BD =±--==，当21442m m --=，解得：1m = 当21442m m --=-， 解得：2m =，0m =（舍去）；故：2m =或1+或1 23．【解答】（1）证明：连接DE ，BG ．D 为BCE ∆内心，DBC DBE ∴∠=∠，DBE BAD ∠=∠，DBC BAD ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90AGB ∴∠=︒， 90BCG CBG ∴∠+∠=︒， 90BCG CBD GBD ∴∠+∠+∠=︒，DAC DBG ∠=∠，ADB DAC ACB CBD ∠=∠+∠+∠， 90ADB DBG ACB CBD ∴∠=∠+∠+∠=︒ 90BAD ABD ∴∠+∠=︒，90DBC ABD ∴∠+∠=︒，即90ABC ∠=︒，AB BC ∴⊥，BC ∴是O 的切线；（2）证明：如图1，连接DE ， DBC BAD ∠=∠，DBC DBE ∠=∠，DBE BAD ∴∠=∠，ABF BAD ABF DBE ∴∠+∠=∠+∠， BFD ABD ∴∠=∠，DGC ABD ∠=∠， BFD DGC ∴∠=∠， DFE DGE ∴∠=∠，D 为BCE ∆内心，DEG DEB ∴∠=∠，在DEF ∆和DEG ∆中DFE DGE DEG DEF DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEF DEG AAS ∴∆≅∆， DF DG ∴=；（3）解：AD BD -的值不变；如图2，在AD 上截取DH BD =，连接BH 、BG ，AB 是直径，90ADB AGB ∴∠=∠=︒， 45ADG ∠=︒， 45ABG ADG ∴∠=∠=︒，∴AB ，90BDH ∠=︒，BD DH =， 45BHD ∴∠=︒，18045135AHB ∴∠=︒-︒=︒，9045135BDG ADB ADG ∠=∠+∠=︒+︒=︒， AHB BDG ∴∠=∠， BAD BGD ∠=∠，ABH GBD ∴∆∆∽，∴2AH ABDG BG ==， 1DG =，∴2AH =，AD BD AD DH AH -=-=，∴2AD BD -=．。
浙江省杭州市余杭区2020年第一学期九年级期中考试数学试题及参考答案
2020学年第一学期九年级期中检测数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCACBCBDCB二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分． 11．4112．2213． 35；314．m ≥－1． 15． 1或7 16． ①③三、解答题：本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题6分)解：∵抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2)∴－2＝a (x －3)2＋2∴a ＝x －1 ∴y ＝－(x －3)2＋2 ……3分∴此函数的图象开口向下，当x ＜3时，y 随x 的增大而增大，当x ＞3时，y 随x 的增大而减小，∵点A (m ，s )，B (n ，t )(m ＜n ＜3)都在该抛物线上 ∴s ＜t ……3分 18．(本题8分)解：如图，连接OC ，∵∠AOC ＝2∠B ，∠DAC ＝2∠B ， ∴∠AOC ＝∠DAC ， ∴AO ＝AC ， ……3分 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ……2分∴AC ＝AO ＝21AD ＝3cm ． ……3分19．(本题8分) 解：选择方案二；……1分∵方案一获奖的概率为31，…… 3分方案二中出现的可能性如下表所示：第一次第二次红 黄 蓝 红 (红，红) (黄，红) (蓝，红) 黄 (红，黄) (黄，黄) (蓝，黄) 蓝(红，蓝)(黄，蓝)(蓝，蓝)共有9种不同的情况，其中指针落在不同颜色区域的可能性为9＝3……3分 ∵32＞31∴选择方案二 ……1分20．(本小题满分10分)解：(1)如图所示，⊙O 即为所求． ……4分(2)如图，连接OB ，由题意知CD ＝8m ，AB ＝40m ，∵OD ⊥AB ，∴BC ＝AC ＝21AB ＝20m ， ……3分设圆的半径为r ，则OC ＝r －8，在Rt △BOC 中，由BO 2＝BC 2＋OC 2可得r 2＝(r －8)2＋202， 解得：r ＝29，答：这钢梁圆弧的半径为29米． ……3分 21．(本小题满分10分)解：(1)设抛物线解析式为y ＝a (x －6)2＋5(a ≠0)，∵A (0，2)在抛物线上，∴代入得a ＝121-， ∴抛物线的解析式为y ＝121-(x －6)2＋5． ……5分(2)∵令y ＝0，即121-(x －6)2＋5＝0，解得x 1＝6－215(舍去)，x 2＝6＋215 ∴OC ＝6＋215．答：该同学把实心球扔出(6＋215)m ． ……5分22．(本小题满分12分)(1)110101+-=x y……2分 (2)解：当200=x 时，9011020=+-=y 1800090200=⨯(元)答：零售商一次性批发200件，需要支付18000元．……3分(3)解：当300100≤≤x 时5.3802)195(101)39101()71(2+--=+-=-=x x x x y w ……2分 ∵0101<-=a ，抛物线开口向下 当 195<x 时，w 随x 的增大而增大又 x 为10的正整数倍∴x ＝190时，w 最大，最大值是3800 当 195>x 时，w 随x 的增大而减小 又 x 为10的正整数倍∴x ＝200 时，w 最大，最大值是3800……2分当 400300≤<x 时，w ＝(80－71)x ＝9x ∵k ＝9>0 ∴ w 随x 的增大而增大∴x ＝400 时， w 最大，最大值是3600 ……2分综上所述，当 x ＝190或 x ＝200时，w 最大，最大值是3800 ……1分23．(本小题满分12分)(1)解：把A (－1，0)，C (0，3)代入抛物线解析式c x ax y ++=492得抛物线的解析式为349432++-=x x y ……4分 (2)解：令0349432=++-x x ，解得B (4，0) ∴343+-=x y CB令3)2(43343)343(34943222+--=+-=+--++-=x x x x x x h∴x ＝2时，h 有最大值为3，此时Q 的坐标为)29,2( ……2分此时S △BCQ ＝4321⨯⨯＝6 ……2分(3)解：已有343+-=x y CB∵∠DCB ＝2∠ABC ∴CD 所在直线与CB 所在直线关于y 轴对称∴343+=x y CD又连列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=349433432x x y x y 01=x (舍去)，22=x∴则点D 坐标为)29,2(……4分。
浙江省杭州市余杭区2019-2020学年七年级(上)期末数学试卷 解析版
2019-2020学年七年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．﹣的绝对值是（）A．B．﹣C．7 D．﹣72．下列各数中，属于无理数的是（）A．3.14159 B．C．D．2π3．已知某冰箱冷藏室的温度为5℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度要低15℃，则冷冻室的温度为（）A．10℃B．﹣10℃C．20℃D．﹣20℃4．用四舍五入法把106.49精确到个位的近似数是（）A．107 B．107.0 C．106 D．106.55．下列各组数比较大小，判断正确的是（）A．﹣6＞﹣4 B．﹣3＞+1 C．﹣9＞0 D．6．下列计算正确的是（）A．5a﹣2a＝3 B．2a+3b＝5abC．3a+2a＝5a2D．﹣3ab+ba＝﹣2ab7．估计的大小应在（）A．3.5与4之间B．4与4.5之间C．4.5与5之间D．5与5.5之间8．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x岁，则可列方程为（）A．4x+1+5＝3（x+5）B．3x﹣5＝4（x﹣5）+1C．3x+5＝4（x+5）+1 D．4x﹣5＝3（x﹣5）+19．点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数是互为相反数，若点B所表示的数为a，AB＝2，则点D所表示的数为（）A．2﹣a B．2+a C．a﹣2 D．﹣a﹣210．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣2的差倒数是，如果a1＝﹣4，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…以此类推，则a1+a2+a3+a4+…+a61的值是（）A．﹣55 B．55 C．﹣65 D．65二．填空题（共6小题）11．单项式﹣2ab2的系数是，次数是．12．太阳中心的温度可达15500000℃，数据15500000用科学记数法表示为．13．计算：＝，＝．14．若∠α＝25°42′，则它余角的度数是．15．如图，有一个盛有水的正方体玻璃容器，从内部量得它的棱长为30cm，容器内的水深为8cm，现把一块长，宽，高分别为15cm，10cm，10cm的长方体实心铁块平放进玻璃容器中，容器内的水将升高cm．16．已知点A，B，C都在直线l上，点P是线段AC的中点．设AB＝a，PB＝b，则线段BC 的长为（用含a，b的代数式表示）．三．解答题（共7小题）17．计算：（1）﹣5+7﹣8（2）18．解方程：（1）2﹣x＝3x+8（2）19．如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形．（1）画直线AB和射线CB；（2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使AE＝2AC；（要求保留作图痕迹）（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短，并写出画图的依据．20．（1）先化简．再求值：3（a2﹣ab）﹣2（a2﹣3ab），其中a＝﹣2，b＝3；（2）设A＝2x2﹣x﹣3，B＝﹣x2+x﹣25，其中x是9的平方根，求2A+B的值．21．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人．（1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处？（2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中90＜m＜100，若要使甲处植树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人？22．自2016年1月1日起，某市居民生活用水实施年度阶梯水价，具体水价标准见下表：类别水费价格（元/立方米）污水处理费（元/立方米）综合水价（元/立方米）第一阶梯≤120（含）立方米 3.5 1.5 5第二阶梯120～180（含）立方米5.25 1.56.75第三阶梯＞180立方米10.5 1.5 12 例如，某户家庭年用水124立方米，应缴纳水费：120x5+（124﹣120）x6.75＝627（元）．（1）小华家2017年共用水150立方米，则应缴纳水费多少元？（2）小红家2017年共用水m立方米（m＞200），请用含m的代数式表示应缴纳的水费．（3）小刚家2017年，2018年两年共用水360立方米，已知2018年的年用水量少于2017年的年用水量，两年共缴纳水费2115元，求小刚家这两年的年用水量分别是多少？23．直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）如图①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数；（2）如图②，射线OF在∠AOD内部．①若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；②若OF平分∠AOE，∠AOF ＝∠DOF，求∠BOD的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣的绝对值是（）A．B．﹣C．7 D．﹣7【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣|＝．故选：A．2．下列各数中，属于无理数的是（）A．3.14159 B．C．D．2π【分析】直接利用有理数和有理数的定义分析得出答案．【解答】解：A、3.14159是有理数，不合题意；B、＝0.3是有理数，不合题意；C、是有理数，不合题意；D、2π是无理数，符合题意；故选：D．3．已知某冰箱冷藏室的温度为5℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度要低15℃，则冷冻室的温度为（）A．10℃B．﹣10℃C．20℃D．﹣20℃【分析】用某冰箱冷藏室的温度减去冷冻室的温度比冷藏室的温度要低的温度，求出冷冻室的温度为多少即可．【解答】解：5﹣15＝﹣10（℃）答：冷冻室的温度为﹣10℃．故选：B．4．用四舍五入法把106.49精确到个位的近似数是（）A．107 B．107.0 C．106 D．106.5【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：用四舍五入法把106.49精确到个位的近似数是106，故选：C．5．下列各组数比较大小，判断正确的是（）A．﹣6＞﹣4 B．﹣3＞+1 C．﹣9＞0 D．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵﹣6＜﹣4，∴选项A不符合题意；∵﹣3＜+1，∴选项B不符合题意；∵﹣9＜0，∴选项C不符合题意；∵﹣＞﹣，∴选项D符合题意．故选：D．6．下列计算正确的是（）A．5a﹣2a＝3 B．2a+3b＝5abC．3a+2a＝5a2D．﹣3ab+ba＝﹣2ab【分析】根据合并同类项的法则把系数相加即可．【解答】解：A、5a﹣2a＝3a，故A不符合题意；B、2a与3b不是同类项不能合并，故B不符合题意；C、3a+2a＝5a，故C不符合题意；D、﹣3ab+ba＝﹣2ab，故D符合题意；故选：D．7．估计的大小应在（）A．3.5与4之间B．4与4.5之间C．4.5与5之间D．5与5.5之间【分析】直接利用估算无理数的方法分析得出答案．【解答】解：∵4.52＝20.25，∴的大小应在4.5与5之间．故选：C．8．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x岁，则可列方程为（）A．4x+1+5＝3（x+5）B．3x﹣5＝4（x﹣5）+1C．3x+5＝4（x+5）+1 D．4x﹣5＝3（x﹣5）+1【分析】设今年儿子x岁，根据五年前父亲的年龄不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设今年儿子x岁，依题意，得：3x﹣5＝4（x﹣5）+1．故选：B．9．点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数是互为相反数，若点B所表示的数为a，AB＝2，则点D所表示的数为（）A．2﹣a B．2+a C．a﹣2 D．﹣a﹣2【分析】根据两点间的距离公式求得点A表示的数为a﹣2，由相反数的定义得到点D所表示的数．【解答】解：由题意知，点A表示的数为a﹣2，因为点A，D表示的数是互为相反数，所以点D所表示的数为2﹣a．故选：A．10．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣2的差倒数是，如果a1＝﹣4，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…以此类推，则a1+a2+a3+a4+…+a61的值是（）A．﹣55 B．55 C．﹣65 D．65【分析】根据题意可以写出前几项，然后即可发现数字的变化规律，然后即可求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，a1＝﹣4，a2＝，a3＝，a4＝﹣4，a5＝，a6＝，…，∵﹣4+＝＝﹣，61÷3＝20…1，∴a1+a2+a3+a4+…+a61＝20×（﹣）+（﹣4）＝﹣51+（﹣4）＝﹣55，故选：A．二．填空题（共6小题）11．单项式﹣2ab2的系数是﹣2 ，次数是 3 ．【分析】单项式的次数是所含所有字母指数的和，系数就前面的数字，由此即可求解．【解答】解：单项式﹣2ab2的系数是﹣2，次数是3．故答案为：﹣2，3．12．太阳中心的温度可达15500000℃，数据15500000用科学记数法表示为 1.55×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将15500000用科学记数法表示为1.55×107．故答案为：1.55×107．13．计算：＝ 5 ，＝﹣3 ．【分析】根据立方根及算术平方根的定义即可得出答案．【解答】解：①由（±5）2＝25得：25的算术平方根为＝5，②由（﹣3）3＝﹣27，所以＝﹣3．故答案为：5，﹣3．14．若∠α＝25°42′，则它余角的度数是64°18′．【分析】两角互为余角和为90°，据此可解此题．【解答】解：根据余角的定义得，25°42′的余角度数是90°﹣25°42′＝64°18′．故答案为：64°18′．15．如图，有一个盛有水的正方体玻璃容器，从内部量得它的棱长为30cm，容器内的水深为8cm，现把一块长，宽，高分别为15cm，10cm，10cm的长方体实心铁块平放进玻璃容器中，容器内的水将升高cm．【分析】利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积解答即可．【解答】解：铁块的体积为：15×10×10＝1500（cm3），容器内的水将升高的高度为：1500÷（30×30）＝（cm）．故答案为：16．已知点A，B，C都在直线l上，点P是线段AC的中点．设AB＝a，PB＝b，则线段BC 的长为a+2b或a﹣2b或﹣a+2b．（用含a，b的代数式表示）．【分析】根据点A，B，C都在直线l上，点P是线段AC的中点．设AB＝a，PB＝b，分三种情况即可求线段BC的长．【解答】解：∵点A，B，C都在直线l上，点P是线段AC的中点．设AB＝a，PB＝b，①如图BC＝a+2b；②如图，BC＝a﹣2b；③如图，BC＝a﹣（2a﹣2b）＝﹣a+2b．则线段BC的长为：a+2b或a﹣2b或﹣a+2b．故答案为：a+2b或a﹣2b或﹣a+2b．三．解答题（共7小题）17．计算：（1）﹣5+7﹣8（2）【分析】（1）根据有理数的加减混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算乘方和括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝2﹣8＝﹣6；（2）原式＝36×（﹣）+×（﹣）＝﹣42﹣2＝﹣44．18．解方程：（1）2﹣x＝3x+8（2）【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、系数化为1，进行解答便可；（2）按照解一元一次方程的一般步骤进行解答便可．【解答】解：（1）﹣x﹣3x＝8﹣2﹣4x＝6x＝﹣1.5；（2）12x﹣3（3x﹣1）＝2x12x﹣9x+3＝2x12x﹣9x﹣2x＝﹣3x＝﹣3．19．如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形．（1）画直线AB和射线CB；（2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使AE＝2AC；（要求保留作图痕迹）（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短，并写出画图的依据．【分析】（1）画直线AB和射线CB即可；（2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使AE＝2AC即可；（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短．【解答】解：如图所示，（1）直线AB和射线CB即为所求作的图形；（2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使AE＝2AC；（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短．20．（1）先化简．再求值：3（a2﹣ab）﹣2（a2﹣3ab），其中a＝﹣2，b＝3；（2）设A＝2x2﹣x﹣3，B＝﹣x2+x﹣25，其中x是9的平方根，求2A+B的值．【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；（2）把A与B代入2A+B中，去括号合并得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝3a2﹣3ab﹣a2+6ab＝2a2+3ab，当a＝﹣2，b＝3时，原式＝8﹣18＝﹣10；（2）∵A＝2x2﹣x﹣3，B＝﹣x2+x﹣25，∴2A+B＝2（2x2﹣x﹣3）+（﹣x2+x﹣25）＝4x2﹣2x﹣6﹣x2+x﹣25＝3x2﹣x﹣31，由x是9的平方根，得到x＝3或﹣3，当x＝3时，原式＝27﹣3﹣31＝﹣7；当x＝﹣3时，原式＝27+3﹣31＝﹣1．21．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人．（1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处？（2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中90＜m＜100，若要使甲处植树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人？【分析】（1）设应从乙处调x人去甲处，根据等量关系甲处植树的人数＝3×乙处植树人数列出方程，再解即可；（2）设调往乙处y人，则调往甲处（m﹣y）人，由题意得等量关系：在甲处植树的人数＝3×在乙处植树的人数，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）设应从乙处调x人去甲处，则3（96﹣x）＝220+x解得x＝17；答：应从乙处调17人去甲处；（2）设调往乙处y人，则调往甲处（m﹣y）人，则3（96+y）＝220+y+my＝17+0.25m因为y是正整数，且90＜m＜100，所以m＝92或m＝96．当m＝92时，调往甲处96人，调往乙处6人．当m＝96时，调往甲处89人，调往乙处7人．22．自2016年1月1日起，某市居民生活用水实施年度阶梯水价，具体水价标准见下表：类别水费价格污水处理费综合水价（元/立方米）（元/立方米）（元/立方米）第一阶梯≤120（含）立方米 3.5 1.5 55.25 1.56.75第二阶梯120～180（含）立方米第三阶梯＞180立方米10.5 1.5 12 例如，某户家庭年用水124立方米，应缴纳水费：120x5+（124﹣120）x6.75＝627（元）．（1）小华家2017年共用水150立方米，则应缴纳水费多少元？（2）小红家2017年共用水m立方米（m＞200），请用含m的代数式表示应缴纳的水费．（3）小刚家2017年，2018年两年共用水360立方米，已知2018年的年用水量少于2017年的年用水量，两年共缴纳水费2115元，求小刚家这两年的年用水量分别是多少？【分析】（1）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得；（2）利用总价＝单价×数量，结合阶梯水价，即可得出结论；（3）设2017年用水x立方米，则2018年用水（360﹣x）立方米．根据两年共缴纳水费2115元即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）小华家2017年应缴纳水费为120×5+（150﹣120）×6.75＝802.5（元）．答：小华家2017年应缴纳水费802.5元；（2）小红家2017年共用水m立方米（m＞200），则应缴纳的水费为：120×5+（180﹣120）×6.75+12（m﹣180）＝（12m﹣1155）元．答：小红家2017年应缴纳的水费是（12m﹣1155）元．（3）设2017年用水x立方米，则2018年用水（360﹣x）立方米．根据两年共缴纳水费2115元可得：120×5+（180﹣120）×6.75+12（x﹣180）+120×5+（360﹣x﹣120）×6.75＝2115．解得：x＝200．2018年用水量：360﹣200＝160（立方米）．答：小刚家2017年用水200立方米，2018年用水160立方米．23．直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）如图①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数；（2）如图②，射线OF在∠AOD内部．①若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；②若OF平分∠AOE，∠AOF＝∠DOF，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据∠BOC＝130°，OE平分∠BOD即可求∠AOE的度数；（2）①根据OF⊥OE，OE平分∠BOD，即可判断OF是∠AOD的平分线；②根据OF平分∠AOE，∠AOF＝∠DOF，即可求∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵∠BOC＝130°，∴∠AOD＝∠BOC＝150°，∠BOD＝180°﹣∠BOC＝50°∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝25°∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝155°．答：∠AOE的度数为155°（2）①OF是∠AOD的平分线，理由如下：∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°∴∠BOE+∠AOF＝90°∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE∴∠DOE+∠AOF＝90°∠DOE+∠DOF＝90°∴∠AOF＝∠DOF∴OF是∠AOD的平分线；②∵∠AOF＝∠DOF，设∠DOF＝3x，则∠AOF＝∠5x，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝5x∴∠DOE＝2x∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝4x5x+3x+4x＝180°∴x＝15°．∴∠BOD＝4x＝60°．答：∠BOD的度数为60°．。
精品解析：2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试题(解析版)
2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试题一、选择题1.若x 与3互为相反数，则|x |+3等于( ) A. ﹣3 B. 0C. 3D. 6【答案】D 【解析】 【分析】先利用相反数求出x 的值,再进行计算即可. 【详解】∵x 与3互为相反数， ∴x ＝﹣3，∴|x |+3＝|﹣3|+3＝3+3＝6． 故选D ．【点睛】本题考查了互为相反数的定义，绝对值的性质，是基础题，比较简单,熟悉概念是解题关键． 2.下列运算正确的是（ ） A. 22()a a -= B. 624a a a -=C. 224363a a a -+=D. 352()a a =【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则、合并同类项的法则以及幂的乘方运算法则进行计算即可判断． 【详解】A 、根据积的乘方运算法则可得（﹣a ）2＝a 2，正确； B 、a 6与a 2不是同类项，不能合并，无法计算，故此选项错误； C 、根据合并同类项法则可得﹣3a 2+6a 2＝3a 2，故此选项错误； D 、根据幂的乘方运算法则可得（a 2）3＝a 6， 故此选项错误． 故答案为：A ．【点睛】本题主要考查积的乘方运算、合并同类项以及幂的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 3.在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（– 1，2），作点A 关于y 轴的对称点，得到点A '，再将点A '向下平移4个单位，得到点A ″，则点A ″的坐标是（） A. （– 1，– 2） B. （1，2）C. （1，– 2）D. （–2，1）【答案】C 【解析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点A'坐标，再利用平移的性质得出答案．【详解】∵点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，∴A′（1，2）．∵将点A'向下平移4个单位，得到点A″，∴点A″的坐标是：（1，﹣2）．故选C．【点睛】本题考查了关于y轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握平移规律是解题的关键．4.如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A. ∠2=∠4+∠7B. ∠3=∠1+∠6C. ∠1+∠4+∠6=180°D. ∠2+∠3+∠5=360°【答案】C【解析】A项，根据三角形外角的性质可知，∠2=∠4+∠6，因为L3和L4不平行，所以∠6≠∠7，所以∠2≠∠4+∠7，故A项错误；B项，根据三角形外角的性质可知，∠3=∠AOB+∠OAB，根据对顶角相等可知，∠1=∠AOB，∠7=∠OAB，所以∠3=∠1+∠7，因为L3和L4不平行，所以∠7≠∠6，所以∠3≠∠1+∠6，故B项错误；C项，根据三角形内角和定理可知，∠AOB+∠4+∠6=180°，又根据对顶角相等可知，∠1=∠AOB，所以∠1+∠4+∠6=180°，故C项正确；D项，根据三角形外角的性质可知，∠2=∠4+∠6，又因为∠5+∠6=180°，所以∠2+∠3+∠5=∠4+∠6+∠3+∠5=∠3+∠4+180°，因为L3和L4不平行，所以∠3+∠4≠180°，所以∠2+∠3+∠5≠360°，故D项错误.5.游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x 人，女孩有y 人，则下列方程组正确的是( )A. 12x y x y -=⎧⎨=⎩B. 2(2)x yx y =⎧⎨=-⎩C. 12(1)x yx y -=⎧⎨=-⎩D. 12(1)x yx y +=⎧⎨=-⎩【答案】C 【解析】 【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多1倍，进而分别得出等式即可．【详解】解：设男孩x 人，女孩有y 人，根据题意得出：12(1)x yx y -=⎧⎨=-⎩故选C ．【点睛】主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用已知得出正确等量关系是解题关键． 6.王师傅驾车到某地办事，汽车出发前油箱中有50升油．王师傅的车每小时耗油12升，行驶3小时后，他在一高速公路服务站先停车加油26升，再吃饭、休息，此过程共耗时1小时，然后他继续行驶，下列图象大致反映油箱中剩余油量y （升）与行驶时间t （小时）之间的函数关系的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】找准几个关键点，3小时后的油量、然后加油、吃饭、休息这1小时后油量增多26升、然后油量再下降． 【详解】根据题意可得：油量先下降到14升，然后加油，油量上升，加油、吃饭、休息的这一小时，油量不减少，然后开始行驶，油量降低． 故选D ．【点睛】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．7.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，tan ∠BAC=2，A （0，a ），B （b ，0），点C 在第二象限，BC 与y 轴交于点D （0，c ），若y 轴平分∠BAC ，则点C 的坐标不能表示为（ ）A. （b+2a ，2b ）B. （﹣b ﹣2c ，2b ）C. （﹣b ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）D. （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）【答案】C 【解析】 【分析】作CH ⊥x 轴于H ，AC 交OH 于F ．由△CBH ∽△BAO ，推出2BH CH BCAO BO AB ===，推出BH=﹣2a ，CH=2b ，推出C （b+2a ，2b ），由题意可证△CHF ∽△BOD ，可得CH HF BO OD =,推出2b FHb c=，推出FH=2c ，可得C （﹣b ﹣2c ，2b ），因为2c+2b=﹣2a ，推出2b=﹣2a ﹣2c ，b=﹣a ﹣c ，可得C （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ），由此即可判断；【详解】解：作CH ⊥x 轴于H ，AC 交OH 于F ．∵tan ∠BAC=BCAB=2， ∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°， ∴∠CBH=∠BAO ，∵∠CHB=∠AOB=90°， ∴△CBH ∽△BAO ， ∴2BH CH BCAO BO AB===， ∴BH=﹣2a ，CH=2b ， ∴C （b+2a ，2b ），由题意可证△CHF ∽△BOD ，∴CH HFBO OD =， ∴2b FHb c=， ∴FH=2c ，∴C （﹣b ﹣2c ，2b ）， ∵2c+2b=﹣2a ，∴2b=﹣2a ﹣2c ，b=﹣a ﹣c ， ∴C （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）， 故选C ．【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8.已知正方形MNOK 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN 边与CD 边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B ，M 间的距离可能是（ ）A. 0.5B. 0.7C. 2﹣1D. 3﹣1【答案】D【解析】【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2-2小于等于1，由此即可判断．【详解】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣2小于等于1，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或3﹣1，故选D．【点睛】本题考查正六边形、正方形性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（）A. 3B. 4C. 4.8D. 5【答案】C【解析】【分析】过点B作直线平行AC和EF的延长线相交于P，由菱形的性质，可求得OE的长，证得AC是⊙M的切线，然后由切线长定理，求得EN的长，易证得△DMN∽△DEO，△EFC∽△PFB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【详解】过点B作直线平行AC和EF的延长线相交于P．∵AE=5，EC=3，∴AC=AE+CE=8．∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC12=AC=4，AC⊥BD，∴OE=OC﹣CE=4﹣3=1．∵以OB为直径画圆M，∴AC是⊙M的切线．∵DN是⊙M的切线，∴EN=OE=1，MN⊥AN，∴∠DNM=∠DOE=90°．∵∠MDN=∠EDO，∴△DMN∽△DEO，∴DM：MN=DE：OE．∵MN=BM=OM12=OB，∴DM=OD+OM=3MN，∴DE=3OE=3．∵OE∥BP，∴OD：OB=DE：EP=OE：BP．∵OD=OB，∴DE=EP=3，∴BP=2OE=2．∵OE∥BP，∴△EFC∽△PFB，∴EF：PF=EC：BP=3：2，∴EF：EP=3：5，∴EF=EP35⨯=1.8，∴DF=DE+EF=3+1.8=4.8．故选C．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定与性质、菱形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解答此题的关键．10.小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝32b．你认为其中正确信息的个数有（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象分别求出a ，b ，c 的符号，进而得出x 1=或1-时y 的符号，进而判断得出答案． 【详解】Q 图象开口向下，a 0∴<，Q 对称轴1bx 32a=-=-，3b 2a ∴=，则3a b 2=，b 0∴<，Q 图象与x 轴交与y 轴正半轴，c 0∴>，abc 0∴>，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当x 1=时，y 0<，a b c 0∴++<，故选项②正确；③当x 1=-时，y a b c 0=-+>，3b bc 02∴-+>， b 2c 0∴+>，故选项③正确；④抛物线与x 轴有两个交点，则2b 4ac 0->，则24ac b 0-<，故选项④错误． 故正确的有3个． 故选B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题11.分解因式：22-=________．3a3b【答案】3（a+b）（a-b）【解析】【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可．【详解】解：3a2-3b2=3（a2-b2）=3（a+b）（a-b）．故答案为：3（a+b）（a-b）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12.若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是________．【答案】4【解析】【分析】先根据平均数的定义求出x的值，然后根据中位数的定义求解．【详解】由题意可知，（4+a+7+8+3）÷5=5，a=3，这组数据从小到大排列3，3，4，7，8，所以，中位数是4．故答案是：4．【点睛】考查平均数与中位数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．13.△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是_____．【答案】8【解析】试题解析：解方程x2-8x+15=0可得x=3或x=5，∴△ABC的第三边为3或5，但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系， ∴△ABC 的第三边长为3， ∴△ABC 的周长为2+3+3=8．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．14.如图，在2×2的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A ，则tan ∠ABO 的值为_____．【答案】2+3． 【解析】 【分析】连接OA ，过点A 作AC⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC=22OA AC -=3、BC=OB ﹣OC=2﹣3，在Rt△ABC 中，根据tan∠ABO=ACBC可得答案． 【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt△AOC 中，222221OA AC --3， ∴BC=OB﹣OC=23，∴在Rt△ABC 中，tan∠ABO=23AC BC =-3． 故答案是：3【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键． 15.如图，已知P 为等边△ABC 形内一点，且P A ＝3cm ，PB ＝4 cm ，PC ＝5 cm ，则图中△PBC 的面积为________cm 2．【答案】43＋3【解析】【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BKA，可得△KBP为等边三角形，KP=4，因为AP2+KP2=AK2，可得∠APK=90°，所以∠APB=150°，作BH⊥AP于H，则∠BPH=30°，根据△PBC的面积=△AKB的面积=S△APK+S△BPK-S△APB即可得出△PBC的面积．【详解】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BKA，则PB=BK=4，AK=PC=5，∠PBK=60°，∴△KBP为等边三角形，∴∠KPB=60°，KP=4，∵AP=3，∴AP2+KP2=AK2，∴∠APK=90°，∴∠APB=150°，作BH⊥AP于H，则∠BPH=30°，∴BH=12BP=2，∴△PBC的面积=△AKB的面积=S△APK+S△BPK-S△APB=12×3×4+34×42−12×2×3＝3．故答案为3．【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握图形旋转的性质．16.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2，P为线段AB上一动点，且不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AD于点E，将∠A沿PE折叠，点A落在直线AB上点F处，连接DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长是_____．2或1或2或21 22【解析】【分析】如图1，当DF＝CD时，有一个解，如图2，当CF＝CD＝2时，有两个解，如图3中，当FD＝FC时有一个解，根据折叠变换的性质和直角三角形的性质分别求出即可．【详解】解：如图1，当DF＝CD时，点F与A重合或在点F′处．∵在菱形ABCD中，AB＝2，∴CD＝AD＝2，作DN⊥AB于N，由折叠的性质得：此时点P与N重合，在Rt△ADN中，∵AD＝2，∠DAN＝45°，DN＝AN＝NF′2，∴AP2如图2，当CF＝CD＝2时，点F与B重合或在F′处，∵点F与B重合，∴PE是AB的垂直平分线，∴AP＝12AB＝1；点F落在F'处时，AF'＝2，∴AP＝12AF'＝2；如图3中，当FD＝FC时，AF2，∴AP＝12AF＝2122+．综上所述：当△CDF为等腰三角形时，AP的长为2或1或1+2或21 22+.故答案为2或1或1+2或21 22+【点睛】本题考查菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及分类讨论；熟练掌握折叠的性质是解题的关键，注意分类讨论．三、解答题17.如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为1x3 +．(1)求被墨水污染的部分；(2)原分式的值能等于17吗？为什么？【答案】(1)x-4；(2)不能，见解析.【解析】试题分析：（1）设被墨水污染的部分是A ，计算即可得到结论； （2）令1137x =+，解得x =4，而当x =4时，原分式无意义，所以不能． 试题解析：解：（1）设被墨水污染的部分是A ，则2443193(3)(3)3x A x x x x x x A x ---÷=⋅=--+-+，解得：A = x -4； （2）不能，若1137x =+，则x =4，由原题可知，当x =4时，原分式无意义，所以不能． 18.某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）： 七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98 八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98 整理得到如下统计表根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a ＝ ；m ＝ ；n ＝ ； （2）两个年级中， 年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：A 1，A 2，八年级第一、第二名选手分别记为B 1，B 2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率． 【答案】（1）94；（2）94，92，94；八；（3）23【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解； （2）根据方差的意义进行判断；（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）n ＝110（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94（分）；把七年级的10名学生的成绩从小到大排列，最中间的两个数的平均数是：93+952=94（分），则中位数a=94；七年级的10名学生的成绩中92分出现次数最多，故众数为92分；（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，所以八年级的成绩稳定；（3）列表得：乙甲A1A2B1B2A1（A1，A2）（A1，B1）（A1，B2）A2（A2，A1）（A2，B1）（A2，B2）B1（B1，A1）（B1，A2）（B1，B2）B2（B2，A1）（B2，A2）（B2，B1）共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，∴P（这两人分别来自不同年级的概率）＝82=123．【点睛】题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．19.我们把有两边对应相等，且夹角互补(不相等)的两个三角形叫做“互补三角形”，如图1，□ABCD中，△AOB和△BOC是“互补三角形”.(1)写出图1中另外一组“互补三角形”_______；(2)在图2中，用尺规作出一个△EFH，使得△EFH和△EFG为“互补三角形”，且△EFH和△EFG在EF同侧，并证明这一组“互补三角形”的面积相等.【答案】(1)答案不唯一，△AOD和△AOB，△ABD和△ABC；(2)如图所示，见解析.【解析】【分析】（1）根据“互补三角形”的定义解答.（2）在G点同侧作GH=EF.FH=EG，则四边形EFHG是平行四边形，根据“互补三角形”的定义，△EFH和△EFG为“互补三角形”，且△EFH和△EFG是同底等高的，即面积相等.【详解】(1)答案不唯一，如：△AOD和△AOB，△ABD和△ABC(2)如图所示，△EFH为所求作的三角形，∵GH=EF，FH=EG，∴四边形EFHG是平行四边形，∴GH∥EF，GP＝HQ，△EFH和△EFG同底等高，三角形面积相等.【点睛】本题考查的是新定义，正确的理解新定义并应用是关键.20.跳跳一家外出自驾游，出发时油箱里还剩有汽油30升，已知跳跳家的汽车每百千米．．．的平均油耗为12升，设油箱里剩下的油量为y（单位：升），汽车行驶的路程为x（单位：千米．．）.（1）求y关于x的函数表达式；（2）若跳跳家的汽车油箱中的油量低于5升时，仪表盘会亮起黄灯警报. 要使邮箱中的存油量不低于5升，跳跳爸爸至多能够行驶多少千米就要进加油站加油？【答案】（1）y=-0.12x+30 ;（2）625 3.【解析】【分析】（1）汽车每千米平均油耗为0.12升，再根据题意得到y关于x的函数表达式；（2）当y≥5时，得到关于x的不等式，求不等式得到x的取值范围即可得解. 【详解】（1）由题意可知汽车每千米平均油耗为0.12升，则函数表达式为y=-0.12x+30 ；（2）当y≥5时，-0.12x+30≥5 ，解得：x≤625 3.答：跳跳爸爸至多能够行驶6253千米就要进加油站加油.【点睛】本题主要考查一次函数的应用，一次函数与不等式，解此题的关键在于准确理解题意得到y关于x 的函数表达式.21.已知：PA=2，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．(1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．【答案】（1）10AB=，PD=25；（2）P B 的最大值为6【解析】【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°-∠APP'=135°．【详解】(1)①如图，作AE⊥PB于点E，∵△APE 中，∠APE ＝45°，P A ＝，∴AE ＝PE ＝×＝1，∵PB ＝4，∴BE ＝PB ﹣PE ＝3， 在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°， ∴AB ＝22AE BE +＝．②解法一：如图，因为四边形ABCD 为正方形，可将 △P AD 绕点A 顺时针旋转90°得到△P 'AB ， 可得△P AD ≌△P 'AB ，PD ＝P 'B ，P A ＝P 'A ． ∴∠P AP '＝90°，∠APP '＝45°，∠P 'PB ＝90° ∴PP ′＝P A ＝2，∴PD ＝P ′B ＝2PP 2PB ''+＝2224+＝25； 解法二：如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，与DA 的 延长线交PB 于G ． 在Rt △AEG 中， 可得AG ＝AE cos EAG ∠＝AE cos ABE ∠＝103，EG ＝13，PG ＝PE ﹣EG ＝23．在Rt △PFG 中，可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝105，FG＝1015．在Rt△PDF中，可得，PD＝22PF(AD AG FG)+++＝22101010105153⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝25．(2)如图所示，将△P AD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝2P A＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．【点睛】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中通过添加辅助线，确定P′B取得最大值时点P′的位置．22.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣12x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB 于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．（1）求点A的坐标．（2）求抛物线的表达式．（3）当以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求m 的值．【答案】（1）点A 坐标为（4，0）；（2）y ＝12x 2﹣32x ﹣2；（3）m ＝2或17或117 【解析】 【分析】 (1)直线y=﹣12x +2中令y=0，即可求得A 点坐标； (2)将A 、C 坐标代入，利用待定系数法进行求解即可；(3)先求出BD 的长，用含m 的式子表示出MQ 的长，然后根据BD=QM ，得到关于m 的方程，求解即可得. 【详解】(1)令y ＝﹣12x +2＝0，解得：x ＝4， 所以点A 坐标为：(4，0)；(2)把点A 、C 坐标代入二次函数表达式，得0164202a b a b =+-⎧⎨=--⎩， 解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故：二次函数表达式为：y ＝12x 2﹣32x ﹣2； (3)y=﹣12x +2中，令x=0，则y=2，故B(0，2)， y ＝12x 2﹣32x ﹣2中，令x=0，则y=-2，故D(0，-2)，所以BD=4， 设点M (m ，﹣12m +2)，则Q (m ，12m 2﹣32m ﹣2)，则MQ=|(12m 2﹣32m ﹣2)-(﹣12m +2)|=|12m 2﹣m ﹣4| 以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时， 则：MQ ＝BD ＝4，即|12m 2﹣m ﹣4|=4， 当12m 2﹣m ﹣4=-4时， 解得：m ＝2或m ＝0(舍去)；当12m 2﹣m ﹣4=4时， 解得m ＝1±17，故：m ＝2或1+17或1-17．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点，平行四边形的性质，解一元二次方程等内容，综合性较强，熟练掌握相关内容并运用分类讨论思想是解题的关键.23.如图：AB 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于G ，E 是AG 上一点，D 为△BCE 内心，BE 交AD 于F ，且∠DBE=∠BAD ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求证：DF=DG ；（3）若∠ADG=45°，DF=1，则有两个结论：①AD•BD 的值不变；②AD －BD 的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）正确的结论：AD ﹣BD 的值不变，证明见解析，AD ﹣2.【解析】【详解】试题分析：（1）根据三角形内心的性质得出∠DBC =∠DBE ，进而根据已知求得∠DBC =∠BAD ，根据圆周角定理即可证得90BAD ABD ∠+∠=o ，从而求得AB ⊥BC ，证得结论；（2）连接DE ，根据圆内接四边形外角的性质得出DGC ABD ，∠=∠由三角形外角的性质求得BFD ABD ，∠=∠证得BFD DGC ∠=∠， 进而求得DEG DEB ∠=∠， 由三角形内心的性质得出DEG DEB ∠=∠，然后根据AAS 证得△DEF ≌△DEG ,从而证得DF DG =；（3）在AD 上截取DH =BD ，连接BH 、BG ，证得ABG V 是等腰直角三角形，得出2AB BG =，然后证得△ABH ∽△GBD ，得出2AHABDG BG ==，求得2AH =，即可求得 2.AD BD -=试题解析：(1)证明：∵D 为△BCE 内心，∴∠DBC =∠DBE ，∵∠DBE =∠BAD .∴∠DBC =∠BAD ，∵AB 是O e 的直径，∴90ADB ∠=o ，∴90BAD ABD ∠+∠=o ，∴90,DBC ABD ∠+∠=o即90ABC ∠=o ，∴AB ⊥BC ，∴BC 是O e 的切线；(2)证明：如图1，连接DE ，∵∠DBC =∠BAD ，∠DBC =∠DBE ，∴∠DBE =∠BAD ，∴∠ABF +∠BAD =∠ABF +∠DBE ，∴∠BFD =∠ABD ，∵∠DGC =∠ABD ，∴∠BFD =∠DGC ，∴∠DFE =∠DGE ，∵D 为△BCE 内心，∴∠DEG =∠DEB ，在△DEF 和△DEG 中DFE DGEDEG DEF DE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，∴△DEF ≌△DEG (AAS)， ∴DF =DG ；(3)AD −BD 的值不变；如图2，在AD 上截取DH =BD ，连接BH 、BG ， ∵AB 是直径，∴90ADB AGB ∠=∠=o ， ∵45ADG ∠=o ，∴45ABG ADG ∠=∠=o ， ∴2AB BG =，∵90BDH BD DH ∠==o ，， ∴45BHD ∠=o ，∴18045135AHB ∠=-=o o o ， ∵9045135,BDG ADB ADG o o o ∠=∠+∠=+=∴∠AHB =∠BDG ，∵∠BAD =∠BGD ，∴△ABH ∽△GBD ， ∴2AHABDG BG ==，∵DG =1， ∴2AH =，∵AD −BD =AD −DH =AH ，∴AD BD-=点睛：直径所对的圆周角是直角.。
2020-2021学年浙江省杭州市余杭区七年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年浙江省杭州市余杭区七年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．下列是具有相反意义的量的是（）A．向东走5米和向北走5米B．身高增加2厘米和体重减少2千克C．胜1局和亏本70元D．收入50元和支出40元2．﹣的相反数是（）A．B．﹣C．D．﹣3．计算机的计算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒（）A．384×109次B．38.4×1010次C．3.84×1011次D．0.384×1012次4．下列算式中，运算结果为负数的是（）A．﹣（﹣2）B．|﹣2|C．（﹣2）3D．（﹣2）25．用代数式表示：“x的5倍与y的和的一半”可以表示为（）A．5x+y B．5x+y C．x+y D．（5x+y）6．数轴上表示﹣1的点A的位置应在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．7与8之间7．在代数式（1）2a；（2）﹣3a；（3）|a|+3；（4）a2+1；（5）|﹣a2|﹣2（a为有理数）中，值一定为正数的代数式的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．下列说法正确的是（）①一个数的绝对值一定是正数；②绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；③任何有理数小于或等于它的绝对值；④绝对值最小的整数是1．A．②③B．①②③C．①②D．②③④9．若xy＞0，则﹣1的值为（）A．1B．﹣1或1C．﹣3D．﹣3或110．如图3×3的正方形方格中共有9个空格，小林同学想在每个空格中分别填入1、2、3个数字中的一个，使得处于同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和均不相等．你认为小林的设想能实现吗？（）A．一定可以B．一定不可以C．有可能D．无法判断二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．比较大小：﹣﹣．12．计算：＝，﹣2的倒数是．13．在实数，﹣（﹣1），，，313113113，中，无理数有个．14．某产品原价为n元，涨价30%之后，销量下降，于是又降价20%销售，则该产品现价为元．15．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣1表示的点与5表示的点重合，则表示的点与数表示的点重合．16．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．若n＝565，则第2020次“F运算”的结果是．三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．当a＝6，b＝﹣2时，求下列代数式的值．（1）2ab；（2）a2+2ab+b2．18．计算：（1）﹣20+14﹣18+13；（2）|﹣2|×÷（﹣）×2﹣（﹣32）；（3）（﹣）÷（﹣）；（4）﹣16+8÷（﹣2）2﹣（+）．19．（1）求出下列各数：①9算术平方根；②﹣27的立方根；③2的平方根．（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并将每个数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）．20．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？21．一辆汽车以每小时a千米的速度行驶，从A城市到B城市需要t小时，按题意解决下列问题：（1）用a，t的代数式表示A城市到B城市的距离；（2）如果汽车行驶的速度每小时增加v千米，那么从A城市到B城市需要多少小时．（3）如果当a＝80时，t＝3，汽车从B城市返回到A城市的平均速度增加20%，那么返回时需要多少小时？22．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为；（2）在图②的4×4方格中画一个面积为8的正方形；（3）把图②中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数和﹣．23．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c，（1）当n＝1时，①点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能A．在点A左侧或在A，B两点之间B．在点C右侧或在A，B两点之间C．在点A左侧或在B，C两点之间D．在点C右侧或在B，C两点之间②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值；（2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，a、b、C、d四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a为整数，请在数轴上标出点D并用含n的代数式表示a．2020-2021学年浙江省杭州市余杭区七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列是具有相反意义的量的是（）A．向东走5米和向北走5米B．身高增加2厘米和体重减少2千克C．胜1局和亏本70元D．收入50元和支出40元【分析】根据相反意义的量的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、向东走5米和向北走5米，不是具有相反意义的量，故本选项错误；B、身高增加2厘米和体重减少2千克，不是具有相反意义的量，故本选项错误；C胜1局和亏本70元、不是具有相反意义的量，故本选项错误；D、收入50元和支出40元，是具有相反意义的量，故本选项正确．故选：D．2．﹣的相反数是（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：﹣的相反数是：．故选：A．3．计算机的计算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒（）A．384×109次B．38.4×1010次C．3.84×1011次D．0.384×1012次【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：384000000000用科学记数法表示为：3.84×1011．故选：C．4．下列算式中，运算结果为负数的是（）A．﹣（﹣2）B．|﹣2|C．（﹣2）3D．（﹣2）2【分析】根据在一个数的前面机上负号就是这个数的相反数，负数的绝对值是它的相反数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，可得答案．【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，故A错误；B、|﹣2|＝2，故B错误；C、（﹣2）3＝﹣8，故C正确；D、（﹣2）2＝4，故D错误；故选：C．5．用代数式表示：“x的5倍与y的和的一半”可以表示为（）A．5x+y B．5x+y C．x+y D．（5x+y）【分析】根据x的5倍与y的和先列式再求和的一半即可解决．【解答】解：根据题意，得（5x+y）故选：D．6．数轴上表示﹣1的点A的位置应在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．7与8之间【分析】估算的大小，再估算﹣1的大小，进而得出答案．【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴4﹣1＜﹣1＜5﹣1，∴3＜﹣1＜4，故选：B．7．在代数式（1）2a；（2）﹣3a；（3）|a|+3；（4）a2+1；（5）|﹣a2|﹣2（a为有理数）中，值一定为正数的代数式的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据平方数非负数和绝对值非负数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：（1）2a值不一定是正数；（2）﹣3a值不一定是正数；（3）|a|≥0，所以|a|+3＞0，值一定是正数；（4）a2+1值一定是正数；（5）|﹣a2|﹣2（a为有理数）值不一定是正数；，综上所述，值一定是正数的代数式有2个．故选：C．8．下列说法正确的是（）①一个数的绝对值一定是正数；②绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；③任何有理数小于或等于它的绝对值；④绝对值最小的整数是1．A．②③B．①②③C．①②D．②③④【分析】根据绝对值的意义和性质，逐项判断即可．【解答】解：0的绝对值是0，因此选项A不符合题意；绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数，因此选项B符合题意；正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，因此选项C符合题意；绝对值最小生物数是0，因此选项D不符合题意；因此，正确的结论有②③，故选：A．9．若xy＞0，则﹣1的值为（）A．1B．﹣1或1C．﹣3D．﹣3或1【分析】先确定x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，然后根据绝对值的意义进行计算．【解答】解：∵xy＞0，∴x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，﹣1＝1+1﹣1＝1；当x＜0，y＜0时，﹣1＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，综上所述，﹣1的值为1或﹣3．故选：D．10．如图3×3的正方形方格中共有9个空格，小林同学想在每个空格中分别填入1、2、3个数字中的一个，使得处于同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和均不相等．你认为小林的设想能实现吗？（）A．一定可以B．一定不可以C．有可能D．无法判断【分析】在每个空格中分别填入1、2、3三个数字中的一个，和有3～9，共有7种情况，而同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和有8个，依此即可求解．【解答】解：在每个空格中分别填入1、2、3三个数字中的一个，和有3～9，共有7种情况，而同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和有8个，7＜8．故小林的设想一定不可以实现．故选：B．二．填空题（共6小题）11．比较大小：﹣＞﹣．【分析】先计算|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，然后根据负数的绝对值越大，这个数反而越小即可得到它们的关系关系．【解答】解：∵|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，而＜，∴﹣＞﹣．故答案为：＞．12．计算：＝4，﹣2的倒数是﹣．【分析】直接利用算术平方根以及倒数的定义分别得出答案．【解答】解：＝4，﹣2的倒数是：﹣．故答案为：4，﹣．13．在实数，﹣（﹣1），，，313113113，中，无理数有2个．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：是分数，属于有理数；﹣（﹣1）＝1，是整数，属于有理数；，是整数，属于有理数；313113113是有限小数，属于有理数；无理数有：，共2个．故答案为：2．14．某产品原价为n元，涨价30%之后，销量下降，于是又降价20%销售，则该产品现价为 1.04n元．【分析】提高后的价格＝（提高率+1）×原价，现价＝提高后的价格×（1﹣降低率），计算出产品现价为1.04元．【解答】解：涨价30%之后的价格：（1+30%）n＝1.3n，降价20%后的价格：1.3n×（1﹣20%）＝1.04n，故答案为1.04n．15．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣1表示的点与5表示的点重合，则表示的点与数4﹣表示的点重合．【分析】根据对称的知识，若﹣1表示的点与5表示的点重合，则对称中心是2，从而找到的对称点．【解答】解：若﹣1表示的点与5表示的点重合，则对称中心是2，所以表示的点与数4﹣表示的点重合；故答案为4﹣．16．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．若n＝565，则第2020次“F运算”的结果是5．【分析】计算出n＝565时第1、2、3、4、5、6次运算的结果，找出规律再进行解答即可求解．【解答】解：若n＝1，第一次结果为3n+1＝4，第2次“F运算”的结果是：4÷22＝1；若n＝565，第1次结果为：3n+5＝1700，第2次“F运算”的结果是：＝425，第3次结果为：3n+5＝1280，第4次结果为：＝5，第5次结果为：3n+5＝20，第6次结果为：＝5，…可以看出，从第4次开始，结果就只是5，20两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是5，次数是奇数时，结果是20，而2020次是偶数，因此最后结果是5．故答案为：5．三．解答题（共7小题）17．当a＝6，b＝﹣2时，求下列代数式的值．（1）2ab；（2）a2+2ab+b2．【分析】（1）把a与b的值代入原式计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式化简，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a＝6，b＝﹣2，∴原式＝2×6×（﹣2）＝﹣24；（2）∵a＝6，b＝﹣2，∴原式＝（6﹣2）2＝16．18．计算：（1）﹣20+14﹣18+13；（2）|﹣2|×÷（﹣）×2﹣（﹣32）；（3）（﹣）÷（﹣）；（4）﹣16+8÷（﹣2）2﹣（+）．【分析】（1）从左向右依次计算即可．（2）首先计算乘方、绝对值，然后计算乘法、除法，最后计算减法，求出算式的值是多少即可．（3）根据乘法分配律计算即可．（4）首先计算乘方、开方和括号里面的运算，然后计算括号外面的除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1）﹣20+14﹣18+13＝﹣6﹣18+13＝﹣24+13＝﹣11．（2）|﹣2|×÷（﹣）×2﹣（﹣32）＝2×÷（﹣）×2﹣（﹣9）＝﹣4﹣（﹣9）＝5．（3）（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣36）＝（﹣）×（﹣36）+×（﹣36）﹣×（﹣36）＝9﹣21+20＝8．（4）﹣16+8÷（﹣2）2﹣（+）＝﹣1+8÷4﹣（﹣2+4）＝﹣1+2﹣2＝﹣1．19．（1）求出下列各数：①9算术平方根；②﹣27的立方根；③2的平方根．（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并将每个数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）．【分析】（1）根据算术平方根、立方根、平方根的定义，求出各数即可；（2）先把各数表示在数轴上，再根据数轴上实数比较大小的方法，用不等号连接起来即可．【解答】解：（1）∵＝3，＝﹣3，∴9的算术平方根是3，﹣27的立方根是﹣3，2的平方根是；（2）如图：∴．20．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20，∴B地在A地的东边20千米；（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：14千米；14﹣9＝5千米；14﹣9+8＝13千米；14﹣9+8﹣7＝6千米；14﹣9+8﹣7+13＝19千米；14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13千米；14﹣9+8﹣7+13﹣6+12＝25千米；14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20千米．∴最远处离出发点25千米；（3）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|＝74千米，应耗油74×0.5＝37（升），故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升）．21．一辆汽车以每小时a千米的速度行驶，从A城市到B城市需要t小时，按题意解决下列问题：（1）用a，t的代数式表示A城市到B城市的距离；（2）如果汽车行驶的速度每小时增加v千米，那么从A城市到B城市需要多少小时．（3）如果当a＝80时，t＝3，汽车从B城市返回到A城市的平均速度增加20%，那么返回时需要多少小时？【分析】（1）根据路程、速度、时间之间的关系解答即可；（2）先表示A城市与B城市之间的距离，再表示后来的速度，最后表示后来的时间即可；（3）求出总路程和返回的速度，进而求出返回的时间．【解答】解：（1）A城市到B城市的距离为：at（千米）；（2）（小时），答：从A城市到B城市需要小时；（3）＝2.5（小时），答：返回时所用的时间为2.5小时．22．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为；（2）在图②的4×4方格中画一个面积为8的正方形；（3）把图②中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数和﹣．【分析】（1）结合网格和利用勾股定理即可算出正方形ABCD的边长；（2）画出边长为3和1的长方形的对角线，对角线长就是，再画一个边长为的正方形即可；（3）利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数和﹣的位置．【解答】解：（1）图①中正方形ABCD的边长为＝；故答案为：；（2）如图所示：（3）如图所示：23．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c，（1）当n＝1时，①点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能CA．在点A左侧或在A，B两点之间B．在点C右侧或在A，B两点之间C．在点A左侧或在B，C两点之间D．在点C右侧或在B，C两点之间②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值；（2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，a、b、C、d四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a为整数，请在数轴上标出点D并用含n的代数式表示a．【分析】（1）把n＝1代入即可得出AB＝1，BC＝2，再根据a、b、c三个数的乘积为正数即可选择出答案；（2）分两种情况讨论：当n为奇数时；当n为偶数时；用含n的代数式表示a即可．【解答】解：（1）①把n＝1代入即可得出AB＝1，BC＝2，∵a、b、c三个数的乘积为正数，∴从而可得出在点A左侧或在B、C两点之间．故选C；②b＝a+1，c＝a+3，当a+a+1+a+3＝a时，a＝﹣2，当a+a+1+a+3＝a+1时，a＝﹣，当a+a+1+a+3＝a+3时，a＝﹣；（2）依据题意得，b＝a+1，c＝b+n+1＝a+n+2，d＝c+n+2＝a+2n+4．∵a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，∴a+c＝0或b+c＝0．∴a＝﹣或a＝﹣；∵a为整数，∴当n为奇数时，a＝﹣，当n为偶数时，a＝﹣．。
2020年浙江省杭州中考数学试卷附答案解析版
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.
数学试卷 第 3 页（共 6 页）
18.（本题满分 8 分） 某工厂生产某种产品，3 月份的产量为5 000 件，4 月份的产量为10 000 件.用简单随 机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别 绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边 界 值）.已知检测综合得分大于 70 分的产品为合格产品. 1 求 4 月份生产的该产品抽样检测的合格率； 2 在 3 月份和 4 月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？
2 连接 EG ，若 EG AF ， 上
①求证：点 G 为 CD 边的中点.
②求 的值.
答
题
（第 21 题）
22.（本题满分 12 分）
在平面直角坐标系中，设二次函数 y x2 bx a ，y ax2 bx 1（ a ，b 是实数，
1
2
无
a 0）.
（1）若函数 y1 的对称轴为直线 x 3 ，且函数 y1 的图象经过点a,b ，求函数 y1 的表
（第 23 题）
数学试卷 第 6 页（共 6 页）
2020 年浙江省杭州市初中学业水平考试
数学答案解析
一． 1. 【答案】B 【解析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可． 解 ： 236，
故选：B． 2. 【答案】C 【解析】直接利用平方差公式计算得出答案．
解： 1 y1 y 1 y2 ．
1 / 12
故选：C． 6. 【答案】A 【解析】求得解析式即可判断．
解： 函数 y ax a a 0 的图象过点 P 1,2 ，
2020-2021学年浙江省杭州市余杭区七年级(上)月考数学试卷(12月份)(附答案详解)
2020-2021学年浙江省杭州市余杭区七年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 如果零上3℃记作+3℃，那么零下5℃记作 ( )A. −5B. 5C. −5℃D. 5℃2. −5的倒数是( )A. 5B. 15C. −15D. −53. 习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为( )A. 1.17×106B. 11.7×108C. 1.17×108D. 1.17×1074. 下列说法正确的是( )A. 16的平方根是4B. 互为相反数的数的立方根也互为相反数C. −2xy 5的系数是25D. 3π2是有理数5. 在数√10，227，−√273，√59，3，14，0.808008，π中，有理数有( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6. 下列单项式与5x 2y 是同类项的是( )A. −3xyB. 3x 2yzC. 3xy 2D. 2x 2y7. 七年级(1)班有30人会下象棋或围棋，已知会下象棋的人数比会下围棋的人数多5人，两种棋都会下的有17人，问只会下围棋的有多少人？设只会下围棋的有x 人，可得方程( )A. x +(x −5)+17=30B. x +(x +5)+17=30C. x +(x −5)−17=30D. x +(x +5)−17=308. 如图，射线AD 上有B ，C ，D 三点，则图中有( )A. 1条射线、3条线段B. 4条射线、3条线段C. 4条射线、6条线段D. 7条射线、8条线段9. 已知x =−2是关于x 的方程12(1−2ax)=x +a 的解，则a 的值为( )A. 1B. −1C. −53D. −5210. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x 值为22，我们发现第1次输出结果为11，第2次输出结果为14，…请你探索第2020次输出的结果为( )A. 1B. 2C. 4D. 8二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. “x 的2倍与y 的差”用代数式可以表示为______． 12. 多项式3a 2b 3−5ab 2+a 2−6是______次______项式． 13. 若x 是64的算术平方根，则√x 3=______．14. 若方程(m −3)x |m|−2−5=1是关于x 的一元一次方程，则m 的值为______． 15. 已知关于x 的方程2x +3=x +k 的解与x −3=5k 的解的和为6，则k =______． 16. 有三个互不相等的有理数，既可表示为−1，a +b ，a 的形式，又可表示为0，−ba ，b 的形式，则b 2021a 2020的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 17. 计算：(1)12+|−6|−(−3)；(2)−12−23÷(−12)×14+√−273．四、解答题（本大题共6小题，共60.0分） 18. 解方程：(1)2x −3=x +5； (2)x−12=1−x−14．19.如图，在直线BC外有一点A．(1)按下列语句画图：①画线段AC，②画射线BA；③在线段BC上任取一点D(不同于B，C)，连接AD；(2)数一数，此时图中共有线段______条．20.字母a，b，c，d所表示的数如表：字母a b c d字母表示的数4的平方根−√6的相反数−12020单项式−2x2y的系数3(1)直接写出上表中各字母所表示的数；(2)计算(1)中最大数与最小数的平方差．21. (1)先化简再求值：x 2−(x 2+2xy −y 2)+5(y 2−3xy)，其中x =117，y =13．(2)已知m −n =6，求−4(m −n)+3m −3n +8的值．22. 2019年双“十一”期间，天猫商场某书店制定了促销方案：若一次性购书超过300元，其中300元按九五折优惠，超过300元的部分按八折优惠．(1)设一次性购买的书箱原价是a 元，当a 超过300时，实际付款为______元；(用含a 的代数式表示，并化简)(2)若小明购书时一次性付款365元，则所购书籍的原价是多少元？(3)小冬在促销期间先后两次下单购买书箱，两次所购书籍的原价之和为600元(第一次所购书籍的原价高于第二次)，两次实际共付款555元，则小冬两次购物所购书籍的原价分别是多少元？23. 已知式子M =(a +10)x 3+80x 2−2x +5是关于x 的二次多项式，且二次项系数为b ，数轴上A ，B 两点所对应的数分别是a 和b ． (1)a =______，b =______；(2)现在有一只甲壳虫P 从A 点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只甲壳虫Q 恰好从B 点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设爬行时间为t 秒，①当t为何值时，两只甲壳虫在数轴上的C点相遇，并写出此时C点对应的数；②当t为何值时，两只甲壳虫在数轴上相距35个单位长度，并写出此时P点对应的数．答案和解析1.【答案】C【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若零上3℃记作+3℃，那么零下5℃记作，应记作“−5℃”．故选C．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．本题主要考查正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2.【答案】C．【解析】解：−5的倒数是−15故选：C．根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．3.【答案】D【解析】解：11700000=1.17×107，故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：A 、16的平方根是±4，故A 不正确，不符合题意；B 、两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数，故B 正确，符合题意；C 、−2xy 5的系数是−25，故C 不正确，不符合题意；D 、3π2是无理数，故D 不正确，不符合题意；故选：B ．根据平方根的定义，立方根的性质，单项式的系数，实数的概念判断即可．本题考查了实数，单项式，平方根，立方根等，熟练掌握它们的概念及性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：在数√10，227，−√273，√59，3，14，0.808008，π中，有理数有227，−√273，3，14，0.808008，共5个． 故选：C ．根据有理数的定义，结合所给的数据即可得出答案．本题考查了实数的知识，注意掌握有理数的定义，π是无理数，一定要熟记．6.【答案】D【解析】解：A 、−3xy 与5x 2y 所含字母完全相同，相同字母的指数不相同，故此选项不符合题意；B 、3x 2yz 与5x 2y 所含字母不完全相同，故此选项不符合题意；C 、3xy 2与5x 2y 所含字母完全相同，相同字母的指数不相同，故此选项不符合题意；D 、2x 2y 与5x 2y 所含字母完全相同，相同字母的指数也相同，故此选项符合题意． 故选：D ．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，由此进行判断即可． 本题考查了同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同．7.【答案】B【解析】解：设只会下围棋的有x人，则只会下象棋的有(x+5)人，依题意，得：x+(x+5)+17=30．故选：B．设只会下围棋的有x人，则只会下象棋的有(x+5)人，根据该班有30人会下象棋或围棋且两种棋都会下的有17人，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：分别以A、B、C、D为端点向右的射线共有4条，线段有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6条，所以，有4条射线、6条线段．故选：C．根据射线和线段的定义分别计算出条数即可得解．本题考查了直线、射线、线段的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键，射线要根据端点的不同确定．9.【答案】D(1+4a)=−2+a，【解析】解：根据题意得：12．解得a=−52故选：D．根据方程的解的定义，把x=−2代入方程，即可得到关于a的方程，即可求解．本题主要考查了方程的解的定义，正确解方程是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵第1次输出的结果为11，第2次输出的结果为14，第3次输出的结果为7，第4次输出的结果为10，第5次输出的结果为5，第6次输出的结果为8，第7次输出的结果为4，第8次输出的结果为2，第9次输出的结果为1，第10次输出的结果为4，……∴除去前6次的输出结果，后面每输出3次为一个周期循环，∵(2020−6)÷3=671…1，则第2020次输出的结果为4．故选：C．根据程序框图计算出前10次的输出结果，据此得出除去前6次的输出结果，后面每输出3次为一个周期循环，从而得出答案．此题考查了代数式求值，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．11.【答案】2x−y【解析】解：表示“x的2倍与y的差”的代数式为2x−y．故答案为：2x−y．根据题意直接列代数式即可．本题考查了列代数式，要注意语句中的关键字，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．12.【答案】五四【解析】解：多项式3a2b3−5ab2+a2−6是五次四项式．故答案为：五，四．根据多项式的项数和次数的确定方法即可求出答案．本题考查多项式，解题的关键是理解多项式的项数和次数的确定方法，本题属于基础题型．13.【答案】2【解析】解：∵82=64， ∴64的算术平方根8， ∴√x 3=√83=2． 故答案为：2．根据算术平方根的定义求出64的算术平方根，然后再根据立方根的定义解答． 本题考查了算术平方根和立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．14.【答案】−3【解析】解：∵关于x 的方程(m −3)x |m|−2−5=1是一元一次方程， ∴m −3≠0且|m|−2=1， 解得：m =−3， 故答案为：−3．根据一元一次方程的定义和已知条件得出m −3≠0且|m|−2=1，求出m 的值即可． 本题考查了一元一次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．15.【答案】1【解析】解：解2x +3=x +k 得x =k −3， 解与x −3=5k 得x =5k +3， 根据题意得(k −3)+(5k +3)=6， 解得：k =1． 故答案是：1．首先解两个方程，然后根据两个方程的解的和是6即可列方程求解． 本题考查了一元一次方程的解法，正确解关于x 的方程是关键．16.【答案】−1【解析】解：∵三个互不相等的有理数，既可表示为−1，a +b ，a 的形式，又可表示为0，−b a，b 的形式， ∴这两个数组的数分别对应相等．∴a +b 与a 中有一个是0，−b a 与b 中有一个是−1，但若a =0，会使−b a 无意义， ∴a ≠0，只能a +b =0，即a =−b ，于是−b a =1．∴只能是b =−1，于是a =1；∴b 2021a 2020的值为−1，故答案为：−1．根据三个互不相等的有理数，既表示为−，a +b ，a 的形式，又可以表示为0，−b a ，b 的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a +b 与a 中有一个是0，−b a 与b 中有一个是−1，再根据分式有意义的条件判断出a 、b 的值，代入计算即可． 本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“a +b 与a 中有一个是0，−b a 与b 中有一个是−1”是解答此题的关键．17.【答案】解：(1)12+|−6|−(−3)=12+6+3=21；(2)−12–23÷(−12)×14+√−273=−1−8×(−2)×14+(−3)=−1+4−3=0．【解析】(1)去掉绝对值，由有理数加法法则计算即可；(2)根据有理数混合运算法则计算即可．本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数运算的顺序及混合运算的法则．18.【答案】解：(1)2x −3=x +5，移项，得2x −x =5+3，合并同类项，得x =8；(2)x−12=1−x−14，去分母，得2(x−1)=4−(x−1)，去括号，得2x−2=4−x+1，移项，得2x+x=4+1+2合并同类项，得3x=7，两边同除以3，得x=73．【解析】(1)方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；(2)方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．19.【答案】6【解析】解：(1)如图：①线段AC即为所求；②射线BA即为所求；③线段AD即为所求；(2)此时图中共有线段6条．故答案为6．(1)①画线段AC即可；②画射线BA即可；③在线段BC上任取一点D(不同于B，C)，连接AD即可；(2)观察图形即可得图中共有线段的条数．本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图．20.【答案】解：(1)a=±√4=±2，b=−(−√6)=√6，c=−12020=−1，单项式−2x2y3的系数是−23，∴d=−23；(2)∵(1)中最大数是√6，，最小数是−2，∴(√6)2−(−2)2=6−4=2．【解析】(1)根据平方根、相反数、乘方以及单项式即可求解；(2)根据实数的性质以及平方差公式，可得答案．本题考查了实数的性质，平方差公式，正确得出各数是解题关键．21.【答案】解：(1)原式=x2−x2−2xy+y2+5y2−15xy=6y2−17xy，当x=117，y=13时，原式=6×19−17×117×13=13；(2)原式=−4(m−n)+3m−3n+8=−4(m−n)+3(m−n)+8，=−(m−n)+8当m−n=6时，原式=−6+8=2．【解析】(1)先根据整式的加减法则把原式进行化简，再把x、y的值代入进行计算即可；(2)先根据整式的加减法则把原式进行化简，再把m−n=6代入进行计算即可．本题考查的是整式的加减−化简求值，熟知整式的加减就是合并同类项是解答此题的关键．22.【答案】(0.8a+45)【解析】解：(1)由题意知，300×0.95+0.8(a−300)=0.8a+45故答案是：(0.8a+45)；(2)设所购书籍的原价是x元，由题意知，x>300．故0.8x+45=365．解得x=400答：若小明购书时一次性付款365元，则所购书籍的原价是400元；(3)∵第一次所购书籍的原价高于第二次，∴第一次所购书籍的原价超过300元，第二次所购书籍的原价低于300元．设第一次所购书籍的原价是b元，则第二次所购书籍的原价是(600−b)元，由题意知，0.8b+45+0.95(600−b)=555解得b=450，则600−b=150．答：第一次所购书籍的原价是450元，则第二次所购书籍的原价是150元．(1)付费由两部分组成：(300×0.95)元+0.8(a−300)元；(2)设所购书籍的原价是x元，根据销售优惠方案列出方程并解答；(2)由第一次所购书籍的原价高于第二次，可得出第一次所购物品的原价超过300元且第二次所购物品的原价低于300元，设小冬第一次所购书籍的原价是b元，则第二次所购物品的原价是(600−b)元，根据促销方案列出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论．考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，得到等量关系，列出方程．23.【答案】−1080【解析】解：(1)由题意得，a+10=0，解得a=−10，由二次项系数是80可得b=80．故答案为：−10，80；(2)①∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−10，B点对应的数为80，∴AB=80+10=90，设t秒后P、Q相遇，∴3t+2t=90，解得t=18；∴此时点P走过的路程：3×18=54，∴此时C点表示的数为−10+54=44．答：C点对应的数是44；②相遇前：(90−35)÷(2+3)=11(秒)，相遇后：(35+90)÷(2+3)=25(秒)．则经过11秒或25秒，2只甲壳虫在数轴上相距35个单位长度，P点11秒对应的数为23，25秒对应的数为65．(1)根据二次多项式的定义得到a+10=0，由此求得a的值；然后由多项式的系数的定义得到b的值；(2)①根据题意得到AB=90，再根据相遇问题列出方程可得解；②分相遇前和相遇后两种情况分别列方程即可．本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，解答(3)题时，一定要分类讨论．。
2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．（1．（3分）长度分别为1，5，x的三条线段首尾连接能组成一个三角形，则x的值可以是（）A．4B．5C．6D．72．（3分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y＝6x﹣1B．y＝C．y＝x2D．y＝3．（3分）下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等4．（3分）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A﹣∠B＝∠CC．a＝1，b＝2，c＝D．（b+c）（b﹣c）＝a25．（3分）点A（3，﹣4）到x轴的距离是（）A．B．3C．5D．46．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a＞b+2B．a+2＞b+1C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|7．（3分）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y＝2x﹣14B．y﹣＝﹣2x+18C．y＝4x D．y＝﹣2x+12 8．（3分）若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3B．4C．6D．19．（3分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（）A．≤t＜2B．＜t≤1C．1＜t≤2D．≤t≤2且t≠110．（3分）在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D 旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF＝AB，②AE2+BF2＝S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（）＝EF2，③S四边形CEDFA．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为．12．（4分）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点坐标为．13．（4分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＞x+b的解集是．14．（4分）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，△BPD能够与△CQP全等．15．（4分）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x+2y≤8，它的正整数解有个．16．（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图的方式放置，A1，A2，A3…和点C1，C2，C3…分别在直线y＝x+2和x轴上，则点C2020的横坐标是．三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B＝26°，∠ACD ＝56°，求∠AED的度数．18．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．19．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．（1）用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D（保留作图痕迹）；（2）过点D画△ABD的边AB上的高DE，交线段AB于点E，若△BDE的周长是5cm，求AB的长．20．（10分）已知函数y＝（2n﹣8）x﹣n﹣3．（1）若函数图象经过原点，求n的值；（2）若这个函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限，求n的正整数值．21．（10分）文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款．某班学生需购买8个书包和若干个文具盒（不少于8个），设购买文具盒个数为x（个），付款总金额为y（元）．（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式；（2）请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱？22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8与直线y＝x﹣1交于点A（3，m）．（1）求k，m的值；（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x﹣1交于点M，过点P 作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+8交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．23．（12分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AD．（1）求证：△BOC≌△ADC；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．（1．【分析】根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案．【解答】解：5﹣1＜x＜5+1，4＜x＜6，只有选项5符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．2．【分析】利用正比例函数的定义进行分析即可．【解答】解：A、y＝6x﹣1是一次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；B、y＝是反比例函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；C、y＝x2是二次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；D、y＝x是正比例函数，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了正比例函数定义，解题的关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k ≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．3．【分析】根据三角形外角、高、中线好全等三角形的判定判断解答即可．【解答】解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．【点评】此题考查命题与定理，关键是根据三角形外角、高、中线好全等三角形的判定判断．4．【分析】根据直角三角形的定义，以及勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：A、由题意：∠C＝×180°＝75°，△ABC是锐角三角形，本选项符合题意．B、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．C、∵a＝1，b＝2，c＝，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，∴b2＝a2+c2，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，平方差公式，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．【分析】求得﹣4的绝对值即为点P到x轴的距离．【解答】解：∵点P到x轴的距离为其纵坐标的绝对值即|﹣4|＝4，∴点P到x轴的距离为4．故选：D．【点评】考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．6．【分析】根据不等式的基本性质对给出的式子进行变形，即可得出答案．【解答】解：A、因为a＞b，所以a+2＞b+2，故本选项不合题意；B、因为a＞b，所以a+1＞b+1，所以a+2＞b+1，故本选项符合题意；C、因为a＞b，所以﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、当a＝1，b＝﹣2时，|a|＜|b|，故本选项不合题意．故选：B．【点评】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．7．【分析】由设所求一次函数的解析式为y＝kx+b，函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，可得k＝﹣2，将点（8，2）代入即可人求解．【解答】解：设所求一次函数的解析式为y＝kx+b，∵函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，∴k＝﹣2，又过点（8，2），有2＝﹣2×8+b，解得b＝18，∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+18，故选：B．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键掌握当k相同，且b 不相等，图象平行．8．【分析】求出不等式组的解集，由不等式组恰好只有2个整数解，确定出a的范围，即可求得满足条件的整数．【解答】解：解不等式组得：＜x＜2，由关于x的不等式组恰好只有2个整数解，得到﹣1≤＜0，即0≤a＜4，满足条件的整数a的值为0、1、2、3，整数a的值之和是0+1+2+3＝6，故选：C．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．【分析】由y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），得出直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论．【解答】解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则3＝2t+2，解得t＝；当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则6＝2t+2，解得t＝2；当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则4＝2t+2，解得t＝1；∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是≤t≤2且t≠1，故选：D．【点评】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．10．【分析】连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE＝CF，进而得出CE＝BF，就有AE+BF＝AC，由勾股定理就可以求出结论．【解答】解：连接CD，∵AC＝BC，点D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD＝AB．∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°．∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵∠EDC+∠FDC＝∠GDH＝90°，∴∠ADE＝CDF．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），＝S△CDF．∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE∵AC＝BC，∴AC﹣AE＝BC﹣CF，∴CE＝BF．∵AC＝AE+CE，∴AC＝AE+BF．∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝AB，∴AE+BF＝AB．∵DE＝DF，∠GDH＝90°，∴△DEF始终为等腰直角三角形．∵CE2+CF2＝EF2，∴AE2+BF2＝EF2．＝S△EDC+S△EDF，∵S四边形CEDF＝S△EDC+S△ADE＝S△ABC．∴S四边形CEDF∴正确的有①②③④．故选D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明△ADE≌△CDF是关键．二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质．12．【分析】根据x轴上点的坐标特点是纵坐标为0解答即可．【解答】解：令y＝0，得x＝2；所以，图象与x轴交点坐标是（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查了一次函数图象点的坐标，关键是根据两个特殊点（与坐标轴的交点）的求法．13．【分析】观察函数图象得到当x＜3时，函数y＝kx+6的图象都在y＝x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+6＞x+b的解集为x＜3．【解答】解：当x＜3时，kx+6＞x+b，即不等式kx+6＞x+b的解集为x＜3．故答案为：x＜3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，根据全等三角形的判定得出两种情况：①BD＝CP，BP＝CQ，②BD＝CQ，BP＝PC，再求出答案即可．【解答】解：设运动时间为t秒，∵AB＝12厘米，点D为AB的中点，∴BD＝AB＝6（cm），∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴要使，△BPD能够与△CQP全等，有两种情况：①BD＝CP，BP＝CQ，8﹣3t＝6，解得：t＝，∴CQ＝BP＝3×＝2，∴点Q的运动速度为2÷＝3（厘米/秒）；②BD＝CQ，BP＝PC，∵BC＝8厘米，∴BP＝CP＝BC＝4（厘米），即3t＝4，解得：t＝，∴CQ＝BD＝6厘米，∴点Q的运动速度为6÷＝4.5（厘米/秒），故答案为：3或4.5．【点评】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．15．【分析】先把y作为常数，解不等式得x≤8﹣2y，根据x，y是正整数，得8﹣2y＞0，求出y的正整数值，再分情况进行讨论即可．【解答】解：x+2y≤8，x≤8﹣2y，∵x，y是正整数，∴8﹣2y＞0，解得0＜y＜4，即y只能取1，2，3，当y＝1时，0＜x≤6，正整数解为：，，，，，，当y＝2时，0＜x≤4，正整数解为：，，，，当y＝3时，0＜x≤2，正整数解为：，；综上，它的正整数解有12个．故答案为：12．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出y的整数值是本题的关键．16．【分析】根据直线解析式先求出A1（0，2），OC1＝OA1＝2，得出C1的横坐标是2＝21，再求出C2的横坐标是6＝21+22，C3的纵坐标是14＝21+22+23，得出规律，即可得出结果．【解答】解：∵直线y＝x+2，当x＝0时，y＝2，∴A1（0，2），OC1＝OA1＝2，∴C1（2，0），其中2＝21，∴A2（2，4），OC2＝2+4＝6，∴C2（6，0），其中6＝21+22，∴A3（6，8），OC3＝6+8＝14，∴C3（14，0），其中14＝21+22+23，…∴点∁n的坐标是（21+22+23+…+2n，0），∴∁n的坐标是（2n+1﹣2，0），∴点C2020的横坐标是22021﹣2，故答案为：22021﹣2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出C1、C2、C3的坐标得出规律是解决问题的关键．三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BAC＝∠ACD﹣∠B，∠AEC＝∠B+∠BAE，而AE平分∠BAC，故可求得∠AEC的度数．【解答】解：∵∠B＝26°，∠ACD＝56°∴∠BAC＝30°∵AE平分∠BAC∴∠BAE＝15°∴∠AED＝∠B+∠BAE＝41°．【点评】本题利用了三角形内角与外角的关系和角平分线的性质求解．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤1．故答案为：x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】（1）利用尺规周长∠CAB的角平分线即可．（2）利用尺规过点D作DE⊥AB即可．证明△BDE的周长＝AB即可．【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求．（2）如图，线段DE即为所求．∵∠DAC＝∠DAE，∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴△ADC≌△ADE（AAS），∴AC＝AE，DC＝DE，∵CA＝CB，∴CB＝AE，∵△DEB的周长＝5cm，∴DE+BD+BE＝DC+BD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝5（cm）．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．【分析】（1）由函数图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出n的值；（2）由函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，再取其中的正整数值即可得出结论．【解答】解：（1）∵函数y＝（2n﹣8）x﹣n﹣3的图象经过原点，∴﹣n﹣3＝0，解得：n＝﹣3．（2）∵这个函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限，∴，解得：﹣3＜n＜4．∴n的正整数值为1、2、3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出n值；（2）牢记“k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限”．21．【分析】（1）根据题意，可以分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式；（2）根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，方案①：y＝30×8+5（x﹣8）＝5x+200（x≥8），方案②：y＝（30×8+5x）×90%＝4.5x+216（x≥8），即方案①中y与x之间的函数关系式是y＝5x+200（x≥8），方案②中y与x的函数关系式为y＝4.5x+216（x≥8）；（2）当5x+200＝4.5x+216时，解得x＝32；当5x+200＞4.5x+216时，解得x＞32；当5x+200＜4.5x+216时，解得x＜32；即购买文具盒为32个时，两种方案付款相同；购买文具盒超过32个时，方案②更省钱；购买文具盒为少于32个而不少于8个时，方案①更省钱．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．22．【分析】（1）把A点坐标代入y＝x﹣2中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入y＝kx+7中，求得k的值；（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得PM、PN的值，根据PN ≤2PM，列出n的不等式，再求得结果．【解答】解：（1）把A（3，m）代入y＝x﹣1中，得m＝3﹣1＝2，∴A（3，2），把A（3，2）代入y＝kx+8中，得2＝3k+8，解得，k＝﹣2；答：k，m的值为﹣2、2；（2）由（1）知，直线y＝kx+8为y＝﹣2x+8，根据题意，如图：∵点P（n，n），∴M（n+1，n），N（n，﹣2n+8），∴PM＝1，PN＝|3n﹣8|，∵PN≤2PM，∴|3n﹣8|≤2×1，∴2≤n≤∵P与N不重合，∴n≠﹣2n+8，∴n≠，综上，2≤n≤，且n≠．【点评】本题是一次函数图象的相交与平行的问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，第（2）小题关键是用n的代数式表示PM与PN的长度．23．【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，根据SAS可证明△BOC≌△ADC．（2）利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；（3）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形，∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，∴∠ACD＝∠BCO，在△BOC和△ADC中，，∴△BOC≌△ADC（SAS）；（2）解：△ADO是直角三角形．理由如下：∵△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC，∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，∴△ADO是直角三角形；（3）解：∵∠COB＝∠CDA＝α，∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∠OAD＝50°，①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴α﹣60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，∴190°﹣α＝50°，∴α＝140°．所以，当α为125°、110°、140°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．。
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浙江省杭州市余杭区数学试卷一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1，2，3B ．13C ．3，4，8D ．4，5，62．（3分）能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条( )A ．高线B ．角平分线C ．中线D ．边的垂直平分线3．（3分）能说明命题“对于任何实数a ，||a a >−”是假命题的一个反例可以是( )A ．13a =B ．2a =−C ．1a =D ．a =4．（3分）在ABC ∆中，::3:4:5A B C ∠∠∠=，则C ∠等于( )A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．90︒5．（3分）如图，已知ABC BAD ∠=∠，添加下列条件还不能判定ABC BAD ∆∆≌的是( )A ．AC BD =B ．CAB DBA ∠=∠C ．CD ∠=∠ D ．BC AD =6．（3分）等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的中线长为( )A ．64B ．25C ．13D ．87．（3分）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形全等；（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等；（3）等腰三角形两腰上的高线相等；（4）三角形的三条高线交于三角形内一点．其中真命题的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．（3分）如图，ABC ∆为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且AD CE =，AE与BD 相交于点P ，BF AE ⊥于点F ．若4BP =，则PF 的长( )A ．1B ．2C ．3D ．89．（3分）如图，Rt ABC ∆中，9AB =，6BC =，90B ∠=︒，将ABC ∆折叠，使A 点与BC的中点D 重合，折痕为PQ ，则线段BQ 的长度为( )A ．53B ．4C ．52D ．510．（3分）在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，AB 边长为4，AC 边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二．填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．12．（4分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，36BAC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，则1∠的度数是 ．13．（4分）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．14．（4分）如图，在等腰直角ABC ∆中，90C ∠=︒，点O 是AB 的中点，且1AC =，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC 、BC 相交，交点分别为D 、E ，则CD CE += ．15．（4分）如图，在正方形ABCD 中，2AB =，延长BC 到点E ，使1CE =，连接DE ，动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB BC CD DA →→→向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当ABP ∆和DCE ∆全等时，t 的值为 ．16．（4分）如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列四个结论：①EF BE CF =+； ②1902BOC A ∠=︒+∠； ③点O 到ABC ∆各边的距离相等；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=．其中正确的结论是 ．（填序号）三．解答题（本大题共有7小题，共66分）17．（6分）如图，在DCE ∠内部找一个点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等且到DCE∠两边的距离也相等，请作出点P （尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）．18．（8分）已知：如图， 在ABC ∆中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥，交线段AB 于点F ． 请找出一组相等的线段(AB AC =除外），并加以证明 ．19．（8分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，AF 平分外角BAD ∠，BE 与FA 交于点E ，求E ∠的度数．20．（10分）如图，点E 在ABC ∆的外部，点D 边BC 上，DE 交AC 于点F ，若12∠=∠，AE AC =，BC DE =．（1）求证：AB AD =；（2）若160∠=︒，判断ABD ∆的形状，并说明理由．21．（10分）如图，在四边形ABCD 中，8AB AD ==，60A ∠=︒，10BC =，6CD =． 求：（1）ADC ∠的度数；（2）四边形ABCD 的面积．22．（12分）如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG CE⊥于G ，CD AE =．（1）写出CG 与EG 的数量关系，并说明理由．（2）若8BD =，5CD =，求：①点E 到线段BC 的距离；②CE 的长（结果保留根号）．23．（12分）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，2AB AD cm ==，5BC cm =，如图，量得第四根木条5CD cm =，判断此时B ∠与D ∠是否相等，并说明理由．（2）若固定二根木条AB 、BC 不动，2AB cm =，5BC cm =，量得木条5CD cm =，90B ∠=︒，写出木条AD 的长度可能取得的一个值（直接写出一个即可）（3）若固定一根木条AB 不动，2AB cm =，量得木条5CD cm =，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．浙江省杭州市余杭区数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1，2，3B ．13C ．3，4，8D ．4，5，6【解答】解：A 、123+=，不能组成三角形，故本选项错误；B 、13+<，不能组成三角形，故本选项错误；C 、348+<，不能组成三角形，故本选项错误；D 、456+>，能组成三角形，故本选项正确．故选：D ．2．（3分）能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条( )A ．高线B ．角平分线C ．中线D ．边的垂直平分线【解答】解：把三角形的面积分成相等的两部分的是三角形的中线．此时两个三角形等底同高．故选：C ．3．（3分）能说明命题“对于任何实数a ，||a a >−”是假命题的一个反例可以是( )A ．13a =B ．2a =−C ．1a =D ．a =【解答】解：命题“对于任何实数a ，||a a >−”是假命题，反例要满足0a ，如2a =−． 故选：B ．4．（3分）在ABC ∆中，::3:4:5A B C ∠∠∠=，则C ∠等于( )A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．90︒【解答】解：在ABC ∆中，::3:4:5A B C ∠∠∠=，∴设3A x ∠=，4B x ∠=，5C x ∠=，180A B C ∠+∠+∠=︒，345180x x x ∴++=︒，15x ∴=︒，575C x ∴∠==︒，故选：A ．5．（3分）如图，已知ABC BAD ∠=∠，添加下列条件还不能判定ABC BAD ∆∆≌的是( )A ．AC BD =B ．CAB DBA ∠=∠C ．CD ∠=∠ D ．BC AD =【解答】解：由题意，得ABC BAD ∠=∠，AB BA =，A 、ABC BAD ∠=∠，AB BA =，AC BD =，两三角形不全等，故A 符合题意；B 、在ABC ∆与BAD ∆中，ABC BAD AB BACAB DBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC BAD ASA ∆∆≌，故B 不符合题意； C 、在ABC ∆与BAD ∆中，C D ABC BAD AB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC BAD AAS ∆∆≌，故C 不符合题意；D 、在ABC ∆与BAD ∆中，BC AD ABC BAD AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC BAD SAS ∆∆≌，故D 不符合题意；故选：A ．6．（3分）等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的中线长为( )A ．64B ．25C ．13D ．8【解答】解：如图：10AB AC ==，12BC =．ABC ∆中，AB AC =，BD CD =；则AD BC ⊥，162BD DC BC ===； 在Rt ABD ∆中，10AB =，6BD =；由勾股定理，得：8AD ==．故选：D ．7．（3分）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形全等；（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等；（3）等腰三角形两腰上的高线相等；（4）三角形的三条高线交于三角形内一点．其中真命题的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】解：形状、大小相同的两个三角形全等，所以（1）错误；斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，所以（2）正确；等腰三角形两腰上的高线相等，所以（3）正确；只有锐角三角形的三条高线交于三角形内一点，所以（4）错误．故选：C ．8．（3分）如图，ABC ∆为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且AD CE =，AE与BD 相交于点P ，BF AE ⊥于点F ．若4BP =，则PF 的长( )A ．1B ．2C ．3D ．8【解答】解：ABC ∆为等边三角形，AB AC ∴=，60BAD ACE ∠=∠=︒．在BAD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD ACE AD EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAD ACE ∴∆∆≌．CAE ABD ∴∠=∠．60BPF ABP BAP BAP EAC BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．∴在Rt BPF ∆中，906030PBF ∠=︒−︒=︒．122PF BP ∴==． 故选：B ．9．（3分）如图，Rt ABC ∆中，9AB =，6BC =，90B ∠=︒，将ABC ∆折叠，使A 点与BC的中点D 重合，折痕为PQ ，则线段BQ 的长度为( )A ．53B ．4C ．52D ．5【解答】解：设BQ x =，由折叠的性质可得9DQ AQ x ==−， D 是BC 的中点，3BD ∴=，在Rt BQD ∆中，2223(9)x x +=−，解得：4x =．故线段BQ 的长为4．故选：B ．10．（3分）在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，AB 边长为4，AC 边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【解答】解：如图，AC BC ⊥时，30ABC ∠=︒，4AB =，114222AC AB ∴==⨯=， 垂线段最短，2AC ∴，∴在1、2、3、4、5中可取的值有2、3、4、5，当2AC =时可以作1个三角形，当3AC =时可以作2个三角形，当4AC =时可以作1个三角形，当5AC =时可以作1个三角形，共12115+++=个，所以，符合题意的三角形的个数是5个．故选：C ．二．填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 同位角相等，两直线平行 ．【解答】解：原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行．12．（4分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，36BAC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，则1∠的度数是72︒ ．【解答】解：AB AC =，36A ∠=︒，(18036)272ABC C ∴∠=∠=︒−︒÷=︒，又BD 为ABC ∠的平分线，36ABD ∴∠=︒，172∴∠=︒，故答案为：72︒．13．（4分）已知直角三角形的两边的长分别是3和4 【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：=②长为3、4的边都是直角边时：5=；综上，第三边的长为：5故答案为：514．（4分）如图，在等腰直角ABC ∆中，90C ∠=︒，点O 是AB 的中点，且1AC =，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC 、BC 相交，交点分别为D 、E ，则CD CE += 1 ．【解答】解：如图，连接CO ，在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点O 是AB 的中点，CO AO ∴=，45A OCB ∠=∠=︒，且90AOC ∠=︒，90DOE ∠=︒，90AOD DOC DOC COE ∴∠+∠=∠+∠=︒，AOD COE ∴∠=∠，在ADO ∆和CEO ∆中A OCE AO COAOD COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ADO CEO ASA ∴∆∆≌，AD CE ∴=，1CD CE CD AD AC ∴+=+==，故答案为：1．15．（4分）如图，在正方形ABCD 中，2AB =，延长BC 到点E ，使1CE =，连接DE，动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB BC CD DA →→→向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当ABP ∆和DCE ∆全等时，t 的值为 3或7 ．【解答】解：在ABP ∆与DCE ∆中，AB CD ABP DCE BP CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABP DCE SAS ∴∆∆≌，由题意得：21BP t =−=，所以3t =，在BAP ∆与DCE ∆中，90AB DC BAP DCE AP CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()BAP DCE SAS ∴∆∆≌，由题意得：81AP t =−=，解得7t =．所以，当t 的值为3或7时．ABP ∆和DCE ∆全等．故答案为3或716．（4分）如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列四个结论：①EF BE CF =+； ②1902BOC A ∠=︒+∠； ③点O 到ABC ∆各边的距离相等；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=．其中正确的结论是 ①②③ ．（填序号）【解答】解：在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒， 1902OBC OCB A ∴∠+∠=︒−∠， 1180()902BOC OBC OCB A ∴∠=︒−∠+∠=︒+∠；故②正确； 在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，OBC OBE ∴∠=∠，OCB OCF ∠=∠，//EF BC ，OBC EOB ∴∠=∠，OCB FOC ∠=∠，EOB OBE ∴∠=∠，FOC OCF ∠=∠，BE OE ∴=，CF OF =，EF OE OF BE CF ∴=+=+，故①正确；过点O 作OM AB ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接OA ，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，ON OD OM m ∴===1111()2222AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD OD AE AF mn ∆∆∆∴=+=+=+=；故④错误； 在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，∴点O 到ABC ∆各边的距离相等，故③正确．故答案是：①②③三．解答题（本大题共有7小题，共66分）17．（6分）如图，在DCE ∠内部找一个点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等且到DCE∠两边的距离也相等，请作出点P （尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）．【解答】解：如图所示：点P 就是所求．18．（8分）已知： 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥，交线段AB 于点F ． 请找出一组相等的线段(AB AC =除外），并加以证明 ．【解答】解：AD AF =；AB AC =，B C ∴∠=∠DE BC ⊥，90BEF DEC ∴∠=∠=︒，BFE D ∴∠=∠，BFE DFA ∠=∠，DFA D ∴∠=∠，AF AD ∴=．19．（8分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，AF 平分外角BAD ∠，BE 与FA 交于点E ，求E ∠的度数．【解答】解：设ABC x ∠=︒，BAD ∠是ABC ∆的外角，90C ∠=︒，90BAD ABC C x ∴∠=∠+∠=︒+︒， AF 平分外角BAD ∠，11(90)22DAF BAD x ∴∠=∠=︒+︒， 1(90)2EAG DAF x ∴∠=∠=︒+︒． BE 平分ABC ∠，1122CBE ABC x ∴∠=∠=︒， 190902AGE BGC CBE x ∴∠=∠=︒−∠=︒−︒， 180E EAG AGE ∠+∠+∠=︒，即11(90)9018022E x x ∠+︒+︒+︒−︒=︒，解得45E ∠=︒．20．（10分）如图，点E 在ABC ∆的外部，点D 边BC 上，DE 交AC 于点F ，若12∠=∠，AE AC =，BC DE =．（1）求证：AB AD =；（2）若160∠=︒，判断ABD ∆的形状，并说明理由．【解答】解：（1）1180AFE E ∠+∠+∠=︒，1801E AFE ∴∠=︒−∠−∠，2180CFD C ∠+∠+∠=︒，1802C CFD ∴∠=︒−∠−∠，12∠=∠，AFE CFD ∠=∠，E C ∴∠=∠，AC AE =，C E ∠=∠，BC DE =，ABC ADE ∴∆∆≌，AB AD ∴=．（2）ABD ∆是等边三角形．理由：1260∠=∠=︒，1802120BDE ∴∠=︒−∠=︒，AB AD =，B ADB ∴∠=∠，ABC ADE ∆∆≌，B ADE ∴∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠， ∴1602ADB BDE ∠=∠=︒， ABD ∴∆是等边三角形．21．（10分）如图，在四边形ABCD 中，8AB AD ==，60A ∠=︒，10BC =，6CD =． 求：（1）ADC ∠的度数；（2）四边形ABCD 的面积．【解答】解：（1）连接BD ，8AB AD ==，60A ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，8BD ∴=，60ADB ∠=︒，10BC =，6CD =，则222286100BD CD +=+=，2210100BC ==，222BD CD BC ∴+=，90BDC ∴∠=︒，150ADC ∴∠=︒；（2）ABD BDC ABCD S S S ∆∆=+四边形131222AD AD BD DC =+118886222=⨯⨯⨯+⨯⨯24=．22．（12分）如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG CE⊥于G ，CD AE =．（1）写出CG 与EG 的数量关系，并说明理由．（2）若8BD =，5CD =，求：①点E 到线段BC 的距离；②CE 的长（结果保留根号）．【解答】解：（1）CG EG=．理由如下：连接DE，AD是BC边上的高线，∴∆是直角三角形，ABDCE是AB边上的中线，∴是AB的中点，E即DE是Rt ABD∆斜边AB上的中线，∴==，DE AE BECD AE=，∴=，DE CDDG CE⊥，∴=；CG EG（2）①作EF BC⊥于点F，DE BE=，EF BC⊥，142DF BD ∴==， 5DE CD ==，3EF ∴==；②在直角CEF ∆中，9CF DF CD =+=，3EF =，90CFE ∠=︒，CE ∴==．23．（12分）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，2AB AD cm ==，5BC cm =，如图，量得第四根木条5CD cm =，判断此时B ∠与D ∠是否相等，并说明理由．（2）若固定二根木条AB 、BC 不动，2AB cm =，5BC cm =，量得木条5CD cm =，90B ∠=︒，写出木条AD 的长度可能取得的一个值（直接写出一个即可）（3）若固定一根木条AB 不动，2AB cm =，量得木条5CD cm =，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．【解答】解：（1）相等．理由：连接AC ，在ACD ∆和ACB ∆中，AC AC AD AB CD BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，ACD ACB ∴∆∆≌，B D ∴∠=∠．（2）2AB cm =，5BC cm =，且90B ∠=︒，AC ∴==5295AD +所以AD 可以为5cm ．（3）设AD x =，BC y =，当点C 在点D 右侧时，25(2)530x y x y +=+⎧⎨+++=⎩，解得1310x y =⎧⎨=⎩， 当点C 在点D 左侧时，三边之和等于第四边是构不成四边形的，不合题意， 综上所述，13AD cm =，10BC cm =．。