数值微分
数 值 微 分
2!
3!
4!
5!
代入(6.17)得
G(h) f (a) h2 f (a) h4 f (5) (a) （6.18）
3!
5!
由此可知,从截断误差的角度来看,步长越小,计算结果
越准确。但从舍入误差角度, h越小, f (a h) 与 f (a h)
越接近,直接相减会造成有效数字的严重损失。就舍
(n 1)!
(n 1)! dx
式中
(x)
n
(x
xk
)。在这一余项公式中，由于
k 0
ξ和x是未知函数，因此无法对它的第二项作出
估计，但在插值节点xk处，由于上式右端的第二 项因式 (xk ) 等于零，因而在插值节点处的导数 余项为
f (x) P(x) f (n1) ( ) (x)
(n 1)!
平均值。上述三种方法的截断误差分别为 O(h) 、
O(h2) 和 O(h2 )
如右图所示，前述三种导数
A
T
的近似值分别表示弦线 AB， C
B
AC和BC的斜率，将这三条
通过A点的弦的斜率与切线
x0-h
x0
x0+h
AT的斜率进行比较后，可见弦BC的斜率更接近于切
线AT的斜率 f (x，0 )因此从精度方面看，用中心差商 近似代替导数值更可取，则称
f
( x0
)
G(
h 2
)
1 3
G(
h) 2
G(h)
由此可以看出,只要当二分前后的2个近似值G(h)和
G( h ) 2
很接近,就可以保证 G( h ) 的截断误差很小，大
2
致等于
1 3
数值微分方法
数值微分方法是一种用于求解函数微分问题的数值计算方法。
它通过在给定区间内选择一些离散点，并对这些点进行插值和逼近，来近似地求解函数的微分。
最常见的数值微分方法是差分法。
这种方法将函数的定义域划分为一系列小区间，并在这每个小区间上选择一个点，然后使用这些点的差分来近似函数的微分。
差分法的精度取决于选取的点数和区间的大小。
另一种常见的数值微分方法是中心差分法，它使用两个相邻的点之间的差的平均值来近似函数的微分。
这种方法比单纯的差分法更精确，但计算成本也更高。
除了差分法，还有其他一些数值微分方法，如样条插值法、最小二乘法、高斯积分法等。
这些方法各有优缺点，应根据具体的问题和要求选择合适的方法。
数值微分方法在科学计算、工程设计、经济学、生物学等领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，数值微分方法被用于模拟物体的运动和力学的相互作用；在经济学中，数值微分方法被用于预测市场的变化和制定经济政策；在生物学中，数值微分方法被用于研究生物系统的动态变化和演化。
第4节 数值微分
对于
f ( n1) ( ) R1 ( xk ) n 1 ( x k ) ( n 1)!
由 n1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
及
可知
f ( n 1 ) ( x ) M , x [a , b ]
M M n R1 ( xk ) ( x n x0 ) (b a ) n ( n 1)! ( n 1)! 0, ( n )
可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确
f ( xk ) Ln ( xk ),
k 0,1,, n
对于插值型数值微商公式
f ( xk ) Ln ( xk ),
得到一阶中心差商数值微分公式
f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) 2h R1 ( x0 ) O( h2 )
误差为
二阶中心差商数值微分公式为 f ( x0 h) 2 f ( x0 ) f ( x0 h) ( x0 ) f h2 误差为 R2 ( x0 ) O( h2 )
3! dx ( ) 1 2 df (4h 6hf ( )) O( h) 6 dx ( ) 1 2 df R2 ( x1 ) ( h ) O ( h2 ) R2 ( x2 ) O( h) 6 dx
总结一下，两点、三点数值微商公式：
一阶两点微商公式
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) h f ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 ) f h 一阶三点微商公式 1 f ( x0 ) L2 ( x0 ) [3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] 2h
数学的数值微分
数学的数值微分数值微分是数学中研究函数变化率的一部分，它主要通过近似计算来确定函数在某一点的导数值。
数值微分在实际问题中具有重要的应用价值，特别是在科学计算、工程技术和金融领域。
本文将介绍数学的数值微分的概念、计算方法及其应用。
一、概念数值微分是利用数值方法来计算一个函数在给定点的导数值。
导数描述了函数在特定点的变化率，它的计算可以帮助我们理解函数的性质和行为。
然而，有些函数很难通过解析方法直接计算出导数，这时就需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
二、计算方法常见的数值微分方法包括有限差分法和插值法。
有限差分法是通过计算函数在给定点的前后两个点上的函数值来近似计算导数值。
其中，向前差分法使用函数在当前点和下一个点的差值来计算导数；向后差分法使用函数在当前点和上一个点的差值来计算导数；中心差分法使用函数在当前点前后两个点的差值来计算导数。
插值法通过将函数的曲线与一条或多条插值曲线拟合，然后计算插值曲线在给定点的导数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
三、应用数值微分在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些实际应用场景：1. 科学计算：数值微分在科学计算中具有重要作用，如物理学、化学和生物学等领域。
在物理学中，数值微分可以帮助计算物体在某一时刻的速度和加速度；在化学中，可以用来计算反应速率；在生物学中，可以用来研究细胞生长速率等。
2. 工程技术：数值微分在工程领域中有广泛的应用，如电路设计、信号处理和计算机图形学等。
在电路设计中，可以用来分析电路中的电流和电压变化；在信号处理中，可以用来计算信号的频率和相位；在计算机图形学中，可以用来计算图像的变化率。
3. 金融领域：数值微分在金融领域中也有重要的应用，如金融衍生品定价和风险管理等。
在金融衍生品定价中，可以使用数值微分来计算期权的Delta值和Gamma值；在风险管理中，可以用来计算投资组合的价值变动率。
四、总结数值微分是数学中研究函数变化率的一部分，通过近似计算来确定函数在某一点的导数值。
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
第六章 数值微分
′ ≈ f 2 + 4 f1 3 f 0 f0 2h
′′ ≈ f 2 2 f1 + f 0 f0 2 h
二次多项式, 若已知函数是一过点 x = [0,1, 2], y = [1,0,0] 二次多项式, 该系数可由polyfit获得,再用polyder求导即可. 获得,再用 求导即可. 该系数可由 获得 求导即可
坐标轴上两个相邻节点之间的长度, 其中 h 代表 x 坐标轴上两个相邻节点之间的长度, 可用线性插值函数A, 则 f 0′ = f ′( x0 ) 可用线性插值函数 B, C的梯度来 的梯度来 分别称为向前差分,向后差分,中心差分, 分别称为向前差分,向后差分,中心差分, 向前差分 近似, 近似, 具体如下: 具体如下:
或
d=polyfit(xd-a,yd,L-1); deriv=polyval(d,0); for n=1:L-1 d=polyder(d); deriv=[polyval(d,0),deriv]; end deriv
结果按导数阶数从大到小排列,最后一个为函数值: 结果按导数阶数从大到小排列,最后一个为函数值:
(3) 式 <1> 减式 <2> 得:
′ + 1 h3 f i′′′ + fi +1 fi 1 = 2hfi 3 解得中心差分近似 中心差分近似: 解得中心差分近似:
′ = f i +1 f i 1 + E fi 2h
h 2 ′′′ E ≈ fi 6
的差分近似: 下面用 f i , fi +1 , f i + 2 来推导 fi′ 的差分近似: 由
微分一次及两次, 微分一次及两次,令 x = 0 ,得: ′ ≈ f1 f 1 ′′ ≈ f1 2 f 0 + f 1 f0 f0 2h h2 (3) 过点 xi (i = 2, 1,0) 的Lagrange插值多项式为: 插值多项式为: 插值多项式为
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
数值微分与积分算法
数值微分与积分算法数值微分和积分算法是计算数学中常用的数值计算方法，它们通过离散化数学函数来估计导数和定积分的值。
本文将介绍数值微分和积分的基本概念，并介绍几种常用的数值方法。
1. 数值微分数值微分是计算函数导数的数值方法。
导数表示了函数在某一点的斜率或变化率。
常见的数值微分方法有：向前差分、向后差分和中心差分。
1.1 向前差分向前差分计算导数的方法是通过近似函数在某一点的切线斜率。
假设有函数f(x)，可选取小的增量h，并使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h1.2 向后差分向后差分与向前差分类似，也是通过近似函数在某一点的切线斜率。
使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h1.3 中心差分中心差分是向前差分和向后差分的结合，计算导数时使用函数在点前后进行采样。
使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)2. 数值积分数值积分是计算函数定积分的数值方法。
定积分表示函数在某一区间上的面积。
常见的数值积分方法有：矩形法、梯形法和辛普森法则。
2.1 矩形法矩形法是通过将函数曲线分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积之和来近似定积分。
常见的矩形法有：左矩形法、右矩形法和中矩形法。
2.2 梯形法梯形法是通过将函数曲线分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积之和来近似定积分。
使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/2) * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(xn)]2.3 辛普森法则辛普森法则是通过将函数曲线分割成若干个抛物线来近似定积分。
使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/3) * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 4f(x(n-1))+ f(xn)]3. 总结数值微分和积分是实际计算中常用的数值方法，它们通过将连续的数学问题离散化来进行数值计算。
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数值微分
数值微分(numerical differentiation)
根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。
通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值。
例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。
此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。
当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。
如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。
数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。
7.1 数值微分
7.1.1 差商与数值微分
当函数是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算
的导数。
在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。
以下是导数的三种定义形式：
（7.1）
在微积分中，用差商的极限定义导数；在数值计算中返璞归真，导数取用差商（平均变化率）作为其近似值。
最简单的计算数值微分的方法是用函数的差商近似函数的导数，即取极限的近似值。
下面是与式（7.1）相应的三种差商形式的数值微分公式以及相应的截断误差。
向前差商
用向前差商（平均变化率）近似导数有：
（7.2）
其中的位置在的前面，因此称为向前差商。
同理可得向后差商、中心差商的定义。
由泰勒展开
得向前差商的截断误差：
向后差商
用向后差商近似导数有：（7.3）
与计算向前差商的方法类似，由泰勒展开得向后差商的截断误差：
中心差商
用中心差商（平均变化率）近似导数有：
（7.4）
由泰勒展开
得中心差商的截断误差：
差商的几何意义
微积分中的极限定义，表示在处切线的斜率，
即图7.1中直线的斜率；差商表示过和两
点直线的斜率，是一条过的割线。
可见数值微分是用近似值内接弦的斜率代替准确值切线的斜率。
图7.1 微商与差商示意图
例7.1给出下列数据，计算，
解：（5.07－5.06）/（0.04－0.02）= 0.5
（5.05－5.07）/（0.08－0.04）= －0.5
（5.05－5.055）/（0.08－0.10）= 0.25
（(0.10) －(0.06)）/（0.10－0.06）= 18.75
设定最佳步长
在计算数值导数时，它的误差由截断误差和舍入差两部分组成。
用差商或插值公式近似导数产生截断误差，由原始值的数值近似产生舍入误差。
在差商计算中，从截断误差的逼
近值的角度看，越小，则误差也越小；但是太小的会带来较大的舍入误差。
怎样选择最佳步长，使截断误差与舍入误差之和最小呢？
一般对计算导数的近似公式进行分析可得到误差的表示式，以中心差商为例，截断误差不超过
而舍入误差可用量估计（证明略），其中是函数的原始值的绝对误差限，总误差
为
当时，总误差达到最小值，即
（*）
可以看到用误差的表达式确定步长，难度较大，难以实际操作。
通常用事后估计方法选取步长，例如，记为步长等于的差商计算公式，给定误差界，当时，就是合适的步长。
例7.2对函数，取不同的步长计算，观察误差变化规律，从而确定最佳步长。
解：
表中数据显示，当步长从0.10减少到0.03时，数值微分误差的绝对值从0.0048减少到0.0001，而随着 的进一步减少，误差的绝对值又有所反弹，表明当步长小于0.03时，舍入误差起了主要作用。
在实际计算中是无法得到误差的准确数值的，这时以最小为标准确定
步长，本例中取= 0.04。
7.1.2 插值型数值微分 对于给定的的函数表，建立插值函数
，用插值函数
的导数近似函数
的导数。
设
为上的节点，给定，以
为插
值点构造插值多项式
，以
的各阶导数近似
的相应阶的导数，即
当
时，
（7.5）
误差项为：
例7.3给定，并有，计算。
解：作过的插值多项式：
将代入得三点端点公式和三点中点公式：
利用泰勒（Taylor）展开进行比较和分析，可得三点公式的截断误差是。
类似地，可得到五点中点公式和五点端点公式：
7.1.3 样条插值数值微分
把离散点按大小排列成，用关系式构造插值点
的样条函数：
当则当时，可用计算导数。
曲线拟合-正文
用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系。
更广泛地说，空间或高维空间中的相应问题亦属此范畴。
在数值分析中，曲线拟合就是用解析表达式逼近离散数据，即离散数据的公式化。
实践中，离散点组或数据往往是各种物理问题和统计问题有关量的多次观测值或实验值，它们是零散的，不仅不便于处理，而且通常不能确切和充分地体现出其固有的规律。
这种缺陷正可由适当的解析表达式来弥补。
数学表述设给定离散数据
(1)
式中x k为自变量x(标量或向量,即一元或多元变量)的取值；y k为因变量y（标量）的相应值。
曲线拟合要解决的问题是寻求与(1)的背景规律相适应解析表达式
(2)
使它在某种意义下最佳地逼近或拟合(1),ƒ(x,b)称为拟合模型；为待定参数,当b)仅在ƒ中线性地出现时，称模型为线性的，否则为非线性的。
量
称为在x k处拟合的残差或剩余，衡量拟合优度的标准通常有
式中ωk>0为权系数或权重（如无特别指定，一般取为平均权重，即
(k=1,2,…,m),此时无需提到权）。
当参数b)使T(b))或Q(b))达到最小时，相应的(2)分别称为在加权切比雪夫意义或加权最小二乘意义下对(1)的拟合，后者在计算上较简便且最为常用。
模型中参数的确定一般的线性模型是以参数b)为系数的广义多项式，即
,(3)
式中g0,g1,…，g n称为基函数。
对诸g j的不同选取可构成多种典型的和常用的线性
模型。
从函数逼近的观点来看，式(3)还能近似地体现许多非线性模型的性质。
在最小二乘意义下用线性模型(3)拟合离散点组(1)，参数b可通过解方程组
(i=0,…,n)来确定，即解关于b0,b1,…,b n的线性代数方程组
(4)
式中(i,j＝0,1,…，n),
方程组(4)通常称为法方程或正规方程，当m>n时一般有惟一解。
至于非线性模型以及非最小二乘原则的情形,参数b)可通过解非线性方程组或最优化计算中的有关方法来确定（见非线性方程组数值解法、最优化）。
模型的选择对于给定的离散数据(1),需恰当地选取一般模型(2)中函数ƒ(x,b))的类别和具体形式,这是拟合效果的基础。
若已知(1)的实际背景规律，即因变量y对自变量x的依赖关系已有表达式形式确定的经验公式，则直接取相应的经验公式为拟合模型。
反之，可通过对模型(3)中基函数g0,g1,…,g n(个数和种类)的不同选取，分别进行相应的拟合并择其效果佳者。
函数g0,g1,…,g n对模型的适应性起着测试的作用，故又称为测试函数。
另一种途径是:在模型(3)中纳入个数和种类足够多的测试函数，借助于数理统计方法中的相关性分析和显著性检验，对所包含的测试函数逐个或依次进行筛选以建立较适合的模型（见回归分析）。
当然，上述方法还可对拟合的残差（视为新的离散数据）再次进行，以弥补初次拟合的不足。
总之，当数据中变量之间的内在联系不明确时，为选择到相适应的模型，一般需要反复地进行拟合试验和分析鉴别。