数值微分公式的误差分析
常微分方程数值解法的误差分析汇总
淮北师范大学2013届学士学位论文常微分方程数值解法的误差分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向计算数学学生姓名李娜学号 20091101070指导教师姓名陈昊指导教师职称讲师年月日常微分方程数值解法的误差分析李娜（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。
许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。
因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。
数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。
随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。
关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差Error Analysis of Numerical Method for Solving theOrdinary Differential EquationLi Na(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractIn nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential.Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error目录引言 (1)一、常微分方程 (1)1、定义 (1)2、常微分方程初值问题描述 (2)3、数值解法的基本思想与途径 (2)4、数值解的分类 (3)5、问题(1)解的存在惟一性定理 (4)二、几种常用的数值解法及其误差分析 (4)1、单步法 (4)(一)、欧拉法 (5)(二)、向后EuIer方法 (6)(三)、- 法 (7)(四)、改进欧拉法 (7)(五)Runge—Kutta方法 (9)2、线性多步法 (14)总结 (16)参考文献: (17)引 言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。
数值微积分截断误差的一种简易求法
数 值 积 分 和 数 值 微 分 的 误 差 估 计 是 一 个 很 重要 的问题 ， 般 文献 中利 用辅 助 函 数等 方 法 ， 一 繁
琐 不便 。 文 给 出 的 广 义 Ｐ ａ ｏ定 理 不 仅 直 观 明 本 ｅｎ 了 ， 且 方便 易 行 。 据 此 定理 可 以很 容 易地 得 出 而 根
维普资讯
第２ ２卷
第 ２期
宝鸡文理学院学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＢ ｏｉ ｏ ｌｇ ｆＡｒｓ ｎ ｃ ｎ ｅ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ａ ｊ Ｃ ｌ ｅｏ ｔ ａ ｄＳ ｉ ｃ （ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅ ｏ ｅ ｅ Ｓ
ＶＯ｝ ２ ＮＯ． ． ２ ２
２０ ０ ２年 ６月
Ｊ ｎ． ０ ２ ｕ ２ ０
数 值 微 积 分 截 断 误 差 的 一 种 简 易 求 法
强 晓 艺
（ 鸡文理学 院 计算机科 学系 ． 西 宝鸡 ７１０ ） 宝 陕 ２ ０ ７
摘 要 ： 出 并 证 明 了 求 数 值 积 分 与 数 值 微 分 公 式 截 断 误 差 的 一 种 方 法 —— 广 ￣ Ｐｅ ｎ 给 ａ ｏ定 理 。利 用
中 图分 类 号 ： ４ ． ０２ １ １
文 献标 识 码 ： Ａ
文章 编号 ：０ ７１ ６ （ ０ ２ ０ — １ ８ ０ １ ０ —２ １ ２ ０ ） ２０ １— ２
Ａ ｓｍｐｅｍｅｈ ｄｆｒｅ ｔａ ｔ ｇｔｕ ｃ ｔｏ ｒ ｏ ｉ ｌ ｔｏ ｏ ｘｒｃｉ ｒ ｎ ａｉｎｅｒ ｒ ｎ
若 厂 ） 次 数 不 高 于 ， （ 是 的任 意 多项 式 时 ， 该
近 似 式 变 为 等式 ， 当 ／（ 是 ＋ １ 多项 式 时 而 ‘ ） 次
数值计算中的误差估计与分析
数值计算中的误差估计与分析在数值计算中，误差是无法避免的。
无论是数值积分、求根、线性方程组求解还是常微分方程求解，我们都需要对误差进行估计与分析，以保证结果的可靠性。
1.舍入误差：计算机中数字的存储精度是有限的，常用的浮点数表示法只能表示有限位数的小数。
当进行计算时，由于舍入操作会使结果产生一定的误差。
舍入误差是由于浮点数计算机表示能力造成的，它依赖于计算机所采用的机器数系统。
2.截断误差：在数值计算方法中，我们通常会使用有限项的级数展开式或多项式插值来近似解析解。
但由于展开或插值时的截断限制，会导致结果与真实结果之间的误差。
3.近似误差：数值计算方法本身就是在对问题进行近似求解，所以解的精确性受到近似精度的限制。
比如，对于数值积分来说，选择积分点的个数、插值多项式的次数都会影响结果的准确性。
4.舍入误差传播：在多步计算的过程中，每一步的舍入误差都会传播到下一步计算中，进而影响最终结果。
舍入误差的传播是一个累积效应，有时即使每一步舍入误差非常小，但在多步计算的累加下，也会导致结果产生很大的误差。
二、误差估计方法1.精度估计：对于一些数值方法，可以通过理论分析推导出误差的范围。
例如，对于数值积分，可以通过误差估计公式进行分析。
这种方法需要对问题进行数学建模，并具备一定的数学推导能力。
2.实验估计：对于一些复杂问题，很难通过理论分析得到精确的误差范围。
此时可以通过实验的方式来估计误差。
实验方法可以是计算机模拟实验，也可以是通过比较数值方法与解析解的差异来估计误差。
3.改进方法：除了估计误差大小，我们还可以通过改进数值方法来减小误差。
比如，可以采用更高阶的数值积分公式、使用更精确的数值微分方法等。
这些改进方法在一定程度上可以提高数值计算的准确性，并减小误差。
三、误差分析策略1.迭代策略：很多数值方法都是通过迭代来逐步逼近真实解的。
在迭代过程中，我们可以通过观察迭代序列的变化情况来判断结果是否趋近真实解，以及误差的变化是否在可接受范围内。
微分方程中的数值解误差分析方法
微分方程中的数值解误差分析方法在数学领域中，微分方程是描述自然现象和物理现象的一个非常重要的工具。
然而，大多数微分方程很难用解析的方法求解，因此我们通常使用数值方法来近似求解。
然而，这些数值解不可避免地会引入误差。
本文将介绍微分方程中的数值解误差分析方法。
一、局部截断误差在使用数值方法求解微分方程时，我们通常会引入一个步长h。
在每个步长上，我们通过一系列迭代计算来逼近真实的解。
然而，由于近似计算和舍入误差等原因，我们得到的数值解与真实解之间存在误差。
这个误差被称为局部截断误差。
局部截断误差可以通过泰勒展开来近似计算。
假设我们使用的数值方法是Euler方法，那么可以得到如下的局部截断误差公式：$$LTE = \frac{y(t_{n+1}) - [y(t_n) + hf(t_n, y(t_n))]}{h}$$其中，$y(t_n)$是真实解在时间点$t_n$的值，$f(t_n, y(t_n))$是微分方程的右侧函数在$t_n$和$y(t_n)$处的取值。
二、全局截断误差除了局部截断误差之外，我们还需要考虑全局截断误差。
全局截断误差是指在整个求解过程中，数值解与真实解之间的误差累积情况。
通过对局部截断误差进行逐步累积，我们可以得到全局截断误差的估计。
例如，使用Euler方法求解微分方程，假设总共迭代了N步，步长为h，则全局截断误差的估计为：$$GTE = \frac{LTE}{h} \times N = \frac{y(T) - y(t_0)}{h} = O(h)$$其中，$y(T)$是真实解在求解区间的终点处的值，$y(t_0)$是真实解在求解区间的起点处的值。
三、稳定性分析除了局部截断误差和全局截断误差，稳定性也是数值解的一个重要性质。
在数值方法中，一个稳定的方法可以保证数值解不会因为舍入误差或者数值不稳定性而发散。
稳定性分析通常通过稳定性函数来进行判断。
对于一个给定的数值方法，我们可以将其误差传播到未来的时间点，然后观察误差是否会趋于无穷大。
微分方程中的数值解误差分析方法
微分方程中的数值解误差分析方法微分方程是描述自然界中各种变化规律的数学工具，在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
然而，在实际问题中，常常无法通过解析方法求得微分方程的精确解，因此需要借助数值方法来求解微分方程的数值解。
但是，数值解并非完全准确，会存在一定的误差。
因此，对数值解的误差进行分析是非常重要的，可以帮助我们评估数值解的可靠性，指导数值方法的选择以及参数的调整。
一、截断误差在数值解微分方程时，我们常常会使用近似方法来替代微分方程中的导数，例如使用差分法或插值法。
这样就会引入截断误差，即在每次近似计算中产生的误差。
截断误差通常与步长有关，步长越小，截断误差越小。
二、舍入误差在计算机上进行数值计算时，由于计算机的存储精度有限，会导致舍入误差的产生。
舍入误差是由于对于无限小数进行有限位数的近似表示而引起的误差。
舍入误差在数值计算中是不可避免的，但可以通过控制计算精度和合理选择数值方法来减小舍入误差的影响。
三、稳定性分析除了截断误差和舍入误差外，还有一个重要的误差来源是数值方法的稳定性。
稳定性分析主要是研究数值方法对微小扰动的抵抗能力，即微小误差是否会被放大。
一个稳定的数值方法可以保证数值解的误差不会随着计算的进行而迅速增大，而是保持在一个可控范围内。
四、数值解误差的评估对于数值解的误差评估是数值计算中非常重要的一环。
常用的评估方法包括绝对误差、相对误差、误差限制和收敛性分析等。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的误差评估方法，并根据误差分析的结果来调整数值方法的参数。
通过以上的误差分析，我们可以更加全面地了解数值解的可靠性和精度，指导我们选择合适的数值方法和参数，提高数值计算的准确性和效率。
在研究微分方程和进行工程计算时，对数值解误差的分析是必不可少的一步，有助于我们更加有效地利用数值方法解决实际问题。
第一章数值计算方法与误差分析分析
控制误差传播的例子
例10 计算积分 In=∫01 xn ex-1dx，n=0,1, 2, … , 9 利用分部积分法，可得 In= xn ex-1| 01 –∫01 ex-1dxn
=1– n∫01 xn-1 ex-1dx =1– nIn-1
从而有递推公式
I0= ∫01 ex-1dx= ex-1 | 01 = 1-e-1 ≈0.6321 In= 1– nIn-1 （n=0, 1, 2, … , 9）
所谓算法，是指对一些数据按某种规定的顺序 进行的运算序列。在实际计算中，对于同一问题我 们选用不同的算法, 所得结果的精度往往大不相同。 这是因为初始数据的误差或计算中的舍入误差在计 算过程中的传播，因算法不同而异，于是就产生了 算法的数值稳定性问题。一个算法, 如果计算结果 受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳 定性。否则，就称这个算法的数值稳定性不好。
简化计算步骤、减少运算次数、避免误差积累的例子
又如计算
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(1000*1001)
的值。 若一项一项进行计算，不仅计算次数多，而 且误差积累也很大。若简化成 1－1/1001 进行计 算，则整个计算只要一次求倒数和一次减法。
（四）要避免绝对值小的数作除数
由式 ε(x1/x2)≈d(x1/x2)≈[x2ε(x1)－x1ε(x2)]/ x22 , (x2≠0) 可知，当除数x2接近于零时，商的绝对误差就可能很大。因此 , 在数值计算中要尽量避免绝对值小的数作除数, 避免的方法是把 算式变形或改变计算顺序。 例8 当x接近于0时 (1-cosx)/sinx 的分子、分母都接近0，为避免绝对值小的数作除数，可将原式 化为 (1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx) 例9 当x 很大时，可化 x/[(x+1)0.5－x0.5]=x[(x+1)0.5 + x0.5]
数值分析基础
数值分析基础数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算的学科，它涉及到数学、计算机科学和工程学等多个领域。
数值分析基础是数值计算领域最基本的理论和方法，为实现高精度、高效率的数值计算提供了重要的基础。
一、数值分析的概念数值分析是通过数值方法解决数学问题的过程。
它的基本思想是将连续的数学问题转化为离散的数值问题，并利用计算机进行求解。
数值分析的应用范围非常广泛，包括线性代数方程组的求解、非线性方程求根、插值与逼近、数值微积分、常微分方程的初值问题和边值问题的数值解等。
二、数值计算的误差分析在数值分析中，误差分析是非常重要的一环。
数值计算过程中产生的误差可以分为截断误差和舍入误差。
截断误差是由于在离散化和近似计算中引入的近似误差，而舍入误差是由于计算机在表示实数时的有限精度引起的。
准确估计和控制误差是数值计算的核心问题之一。
三、常用的数值计算方法1. 插值与逼近方法：插值是在给定一组数据点的情况下，通过构造一个函数来近似这组数据点之间未知函数值的方法。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
逼近是通过在给定函数空间中寻找一个尽可能接近原函数的近似函数的方法，常见的逼近方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
2. 数值积分方法：数值积分是计算定积分的近似值的方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和复合求积法。
3. 数值微分方法：数值微分是通过差商逼近导数的计算方法。
常见的数值微分方法有中心差商、前向差商和后向差商。
4. 数值求解线性方程组的方法：线性方程组求解是数值计算中的一个重要问题。
常用的求解方法有直接法和迭代法。
5. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法是通过数值方法求解微分方程的方法。
常用的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法和变步长方法等。
四、数值计算的应用领域数值分析在各个学科领域都有广泛的应用。
在物理学中，数值分析被用于求解天体运动、弹道问题等。
在工程学中，数值分析被用于优化设计、结构力学分析等。
数值微分的计算方法
数值微分的计算方法数值微分是一种近似计算微分的方法，它通过利用函数在其中一点附近的取值来估计函数的导数。
在实际应用中，数值微分经常用于无法解析求得导数的函数或者在计算机中进行数值模拟等情况。
一、数值微分的基本思想f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h其中，h为步长，表示x的增量。
当h足够小的时候，这种近似可以得到较准确的结果。
二、前向差分法前向差分法是数值微分中最简单的一种方法，它利用函数在x和x+h两个点的取值来估计导数。
根据数值微分的定义，可以得到前向差分公式：f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h前向差分法的优点是计算简单，但是误差较大，主要原因是使用了x+h点上的函数值，而未使用x点之前的信息。
三、后向差分法后向差分法也是一种常见的数值微分方法，它类似于前向差分法，但是利用了x-h点上的函数值。
根据数值微分的定义，可以得到后向差分公式：f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h后向差分法的特点是使用了x点之前的函数值，所以可以更好地利用已知的信息来估计导数。
与前向差分法相比，后向差分法可以较好地逼近导数的真实值。
四、中心差分法中心差分法是数值微分中最常用的一种方法，它利用了函数在x-h和x+h两个点的取值。
f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)中心差分法的优点是可以利用x点前后的信息来估计导数，从而减小误差。
与前向差分法和后向差分法相比，中心差分法精度更高，误差更小。
五、其他数值微分方法除了上述的常见数值微分方法外，还有一些其他方法，如高阶差分法、复合差分法等。
高阶差分法通过增加函数在更多点上的取值来提高精度，而复合差分法将函数区间等分成若干子区间，然后在每个子区间上进行数值微分。
六、数值微分的误差分析综上所述，数值微分是一种近似计算微分的方法，常用的数值微分方法包括前向差分法、后向差分法、中心差分法等。
数值微分方法的选择应根据具体问题来确定，需要考虑精度和计算复杂度等因素。
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n1(x) xxi
i 0,1, , n
(6 2)
故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，
以便估计误差。
一般地 Lnk (xi ) f k (xi ) i 0,1, , n; k 1,2,
这类公式称为插值型数值微分公式。
6.1.1 常用的数值微分公式
nn 0
ji
t j hdt i j
j0
j0
b a (1)ni
nn
(t j)dt
n i!(n i)! 0 ji
j0
记
Cin
(1)ni i!(n i)!n
n 0
n
(t j)dt
ji
j0
则 Ai (b a)，CNin-C求积公式表示为
n
In (b a) Cin f (xi ) i0
y2
f (x1 h)
f
( x1 )
hf
( x1 )
h2 2
f
( x1 )
h3 3!
f
( x1
)
h4 4!
f 4 1
y0
f (x1 h)
f
(
x1 )
hf
( x1 )
h2 2
f
(
x1
)
h3 3!
f
( x1
)
h4 4!
f 4(2 )
这里 x1 1 x2 , x0 2 x1
相加得
y2
x2 x2
y0
x x0 x x2 x1 x0 x1 x2
y1
x x0 x x2 x0 x2
x1 x1
y2
f
(x0 )
L2 (x0 )
3 y0
4 y1 2h
y2
得:
f
( x1 )
L2 (x1)
y2 y0 2h
y2 x2
y0 x0
f
(x2 )
L2 (x2 )
这称为两点公式。
若给定三点上的函数值
yi f (xi ), xi x0 则 i由h, i 0,1,2,
L2
x
x x0
x1 x1
x x2 x0 x2
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
x x1 x x0 x1x0
给定两点上的函数值
f (x0 ), f (x1),
L1( x)
x x1 x0 x1
f
(x0 )
x x0 x1 x0
f (x1)
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f
(
x0
)
f
(
x1
)
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f (x1) f (x0 ) x1 x0
(6 3a) (6 3b)
3
f 2 h2
6
i 0 i 1
(6-7)
f 3 h2
3
i 2
这里 1,2 , 3 x0 , x2
例 6.1 为计算
在 x=2 处的一阶导数值，我们可选用中点公式
当计算保留四位小数时，得到计算结果。
而精确值为 小计算效果均不好。
，可见当 h=0.1时近似结果最好，步长太大或太
为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设 f (x) 四阶连续可微，故得
~ Ai f (xi )
n
Aiei
i0
i0
i0
注意到 n 7 时，Cin 均同号（见表 6 1），所以
n
n
Ai Ai b a
i0
i0
这时
In I~n
n i0
Ai
max
1in
ei
(b
a)
max
1in
ei
计算稳定
复合求积的方法：
对区间a,b 作等距分割 xk
a kh, (h
似计算公式f (xi ) (i 0,1, , n), a x0 x1 xn b ,
b a
Ln
(
x)dx
b a
f
(x)dx
这里
n
n
记为
b a
Ln
(x)dx
f (xi )
b a
li
(
x)dx
Ai f (xi ) In
i0
i0
(6 9)
称为插值型求积公式，
x0 , x称1,为求, 积xn节点，
y0
4 y1 3y2 2h
这称为三点公式，其中（6—4b）又称为中点公式。
6 4a
(6 4b) (6 4c)
进一步由
L2(x)
y2
2可y1得计y0算公式 h2
f
(xi )
y2
2 y1 h2
y0
i 0,1, 2
6.1.2 数值微分公式的误差分析
两点公式的截断误差为
f (xi )
6.1 插值型数值微分公式
由
n
1
(
x)
(6 1)
得
f (x) Ln (x)
f
n1 (x) n 1!
n 1
(x)
(n
1 1)!
df
n1
dx
n1
(x)
当 x 为插值节点 时，xi上式简化为
f (xi ) Ln (xi )
f n1 (x)
y0
2 y1
h2
f
( x1 )
h4 4!
f 41 f 42
2 y1
h2
f
(
x1
)
h4 12
f
4
从而得到误差估计式
(x0 x2 )
f (x1)
y2 2 y1 y0 h2
h2 12
f 4
(6 8)
6.2 插值型数值积分
插值型数值积分的思想是：
若已知
则利用拉格朗日插值多项式建立近
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f
(
2
x)
(
x
x0
)
(
x
x1
)x
xi
f 1 h
2
f 2 h
2
i 0
(6-6)
i 1
这里 1,2 (x0 , x1)
三点公式的截断误差为
f (xi ) L2 (xi )
f
(
3!
x)
(
x
x0
)
(
x
x1
)
(
x
x2
)
x
xi
f 1 h2
Cotes系数
(6 10)
特别地
n 1时, 有
I1
b
a 2
f
(a)
f
记为
(b) T
这称为梯形公式；
n 2时, 有
I2
ba 6
f
(a)
4
f
a
b 2
f
记为 (b) S
这称为Simpson公式；
n 4 时, 有
I4
ba 90
7
f0
32
f1
12
f2
32
f3
7
记为
f4 C
这称为Cotes公式。
对应于 n 情8形的Cotes系数见表6-1（书92页） 。
6.2.2 复合求积公式
求积公式的稳定性分析：
设
f
(xi ) 的近似值为 ~f (xi )
i
0,1,
, n, 误差为ei
f
(xi )
~ f (xi ) ,
记 I~n
n
~ Ai f (xi ).
i0
则 In I~n
n
n
Ai f (xi )
def
Ai
b a
li
(x)dx
(i 0,1, , n)
称为求积系数，其和
n
n
Ai
b a
li (x)dx
b a
dx
b
a
i0
i0
6.2.1 牛顿柯特斯公式
由
xi
a
ih
h
b
n
a
;i
0,1,
, n,
x
a
th
得
Ai
b
a li (x)dx
b a
n ji
x x j dx xi x j