四川省宜宾市高2020级高三数学二诊考试文科

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四川省宜宾市高三数学第二次模拟考试试题文(宜宾二诊)新人教A版

数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、学校填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡规定位置上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：球体的面积公式 S=4πR2球的体积公式V=43πR3其中R 表示球的半径锥体的体积公式V=13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高柱体体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高台体的体积公式V=121()3h S S其中S1，S2分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高如果事件互斥，那么()()()P A B P A P B如果事件相互独立，那么)()()(B p A p B A p ⋅=如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p kn …第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题。

本大题共10个小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合Ａ＝{}10,8,6,4,2，Ｂ＝{}12,8,5,3，Ｃ＝{}8，则可得到（）(A)B C A =U (B)A C B =U (C)C B A =⋂ (D)C B A =U2. 若i 是虚数单位，则=-+)34)(34(i i ( )(A) 25 （B) 7 (C) 25i (D) 7i3. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则该几何体的体积为（）(A)316cm3 （ B ）π316cm3 （C ）364cm3 （D ）π364cm34. 如果执行如图所示的框图，输入Ｎ＝10, 则输出的数等于（）(A)25 (B) 35 (C) 45 (D) 55 5.设l 是直线，βα,是两个不同的平面，下列命题成立的是（）(A) 若βαα⊥⊥,l ，则β⊥l (B) 若αα,⊥l ∥β，则β⊥l (C) 若l ∥α，βα⊥, 则l ∥β (D ）若l ∥α，α∥β，则l ∥β6. 已知等差数列{}n a 中，3,158,44===d S a n n, 则n=( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）77. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只需将g(x)=sin2x 的图象（A ）. 向右平移6π个长度单位（B ）. 向左平移6π个长度单位（C ）. 向右平移3π个长度单位（D ）. 向左平移3π个长度单位8. 设、为非零向量，则“⊥”是“函数)()()(b x b a x a x f +⋅+=是一次函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 已知抛物线C:x y 242=, 直线l 过抛物线C 的焦点，且与Ｃ的交点为Ａ、Ｂ两点，则AB的最小值为（）（A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）2410. 已知函数⎩⎨⎧≥-<+--=)0)(1()0(2)(2x x f x a x x x f ,且函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是(A)),0(+∞ (B))0,1[- (C)),1[+∞- (D)),2[+∞-宜宾市高中新2010级二诊考试题数学(文史类) 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：1．第Ⅱ卷共4页，用蓝、黑的钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡对应的题中横线上.11. 某私立校共有3600人，其中高中部、初中部、小学部的学生人数成等差数列递增，已知公差为600, 现在按1：100的抽样比，用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取小学部学生人数为 .12. 双曲线122=-y a x （a ＞0）的离心率为2，则a 的值是 .13．方程322=+-x x的实数解的个数为_______.14．已知平面直角坐标系xoy 上的区域Ｄ由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 给定，若),(y x M 为Ｄ上的动点，Ａ的坐标为（－1,1），则OM ⋅的取值范围是_____________.15. 在平面直角坐标系xoy 两轴正方向有两点A (a, 0）、Ｂ(0, b)(a>2, b>2), 线段AB和圆012222=+--+y x y x 相切, 则△AOB 的面积最小值为_____________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16．（本小题满分12分）已知函数())sin()()2f x x x ππωωω=---＞0的图像上两相邻最高点的坐标分别为,2)34(),2,3(ππ.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC 中，c b a ,,分别是角A,B,C 的对边，且()2f A =求2b ca -的取值范围.17.（本小题满分12分）如图，在三棱锥Ｐ－ABC 中, AB=AC=4, D 、E 、F 分别为PA 、PC 、BC 的中点, BE=3, 平面PBC ⊥平面ABC, BE ⊥DF. （Ⅰ）求证：BE ⊥平面PAF ；（Ⅱ）求直线AB 与平面PAF 所成的角.AB F H E DP 17题图18. 某校为了解毕业班学业水平考试学生的数学考试情况, 抽取了该校100名学生的数学成绩, 将所有数据整理后, 画出了样频率分布直方图(所图所示), 若第1组、第9组的频率各为x .(Ⅰ) 求x 的值, 并估计这次学业水平考试数学成绩的平均数;（Ⅱ）若全校有1500名学生参加了此次考试,估计成绩在[)100,80分内的人数. 19. （本小题满分12分）在数列{}n a 中，c c a a a n n (,111+==+为常数，)*∈N n ，且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科)

2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）设i 是虚数单位，则(23)(32)(i i +-= ) A ．13B ．5iC ．66i -D ．125i +2．（5分）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|60}B x x x =--<，则(A B =I ) A ．{2-，1-，0，1，2，3} B ．{2-，1-，0，1，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，}3．（5分）2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情．如图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是( )A ．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B ．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数C ．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D ．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值4．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )A ．53B 21C ．54D 7 5．（5分）如图，为了估计函数2y x =的图象与直线1x =-，1x =以及x 轴所围成的图形面积（阴影部分），在矩形ABCD 中随机产生1000个点，落在阴影部分的样本点数为303个，则阴影部分面积的近似值为( )A ．0.698B ．0.606C ．0.303D ．0.1516．（5分）函数()cos()2f x x x π=-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是( )A ．11B ．10C ．9D ．88．（5分）已知1tan()242θπ-=，sin (θ= )ABC ．35D ．139．（5分）四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M ，N 分别为PA ，CD 的中点，下列说法错误的是( )A ．MN 与PD 是异面直线B ．//MN 平面PBCC ．//MN ACD ．MN PB ⊥10．（5分）在ABC ∆中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是( ) AB．C ．1D ．311．（5分）过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交抛物线的准线于点C ，若3AF FB =u u u r u u u r，则||(BC = )A ．4 B．C ．6 D ．812．（5分）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=．当[0x ∈，1]，2()1f x x =-，则( )A ．1235(log 2)()(log 3)2f f f >>B ．1235()(log 2)(log 3)2f f f >>C ．1235(log 2)(log 3)()2f f f >>D ．2135()(log 3)(log 2)2f f f >>二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数3214()2333f x x x x =+++的零点个数为．14．（5分）已知()sin f x x x m =++为奇函数，则()2f π= ．15．（5分）在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP =u u u r u u u rg ．16．（5分）已知圆锥的顶点为S ，过母线SA ，SB 的切面切口为正三角形，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB ∆的面积为，则该圆锥的侧面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．（12分）流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）计算变量x ，y 的相关系数r （计算结果精确到0.01)，并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若||[0.75r ∈，1]，则x ，y 相关性很强；若||[0.3r ∈，0.75)，则x ，y 相关性一般；若||[0r∈，0.25]，则x ，y 相关性较弱．)5.477≈参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxybxx xnx ====---==--∑∑∑∑，相关系数()()nii xx y y r --∑．18．（12分）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a +++⋯+=----．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求n T ． 19．（12分）将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点．（1）求证：//OB 平面1ACD ；（2）求几何体111ACB A D 的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(1,0)F -2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线2x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．21．（12分）已知函数21()2x f x e x x =-+．证明：（1）函数()f x 在R 上是单调递增函数；（2）对任意实数1x ，2x ，若12()()2f x f x +=，则120x x +<．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系Ox 中，曲线C 22sin 2sin ρθρθ=-，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=，设l 与C 交于A ，B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E ，F ．以O 为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ．（1）求C 的直角坐标方程及点M 的直角坐标；（2）求证：||||||||MA MB ME MF =g g ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|2|3|f x x x =--+．（1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使不等式23()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围．2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）设i 是虚数单位，则(23)(32)(i i +-= ) A ．13B ．5iC ．66i -D ．125i +【解答】解：(23)(32)6496125i i i i i +-=-++=+．故选：D ．2．（5分）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|60}B x x x =--<，则(A B =I ) A ．{2-，1-，0，1，2，3} B ．{2-，1-，0，1，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，}【解答】解：{|23}B x x =-<<Q ，{2A =-，1-，0，1，2}， {1A B ∴=-I ，0，1，2}．故选：C ．3．（5分）2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情．如图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是( )A ．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B ．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数C ．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D ．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值【解答】解：由图可得，2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，正确，故A 正确，随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数，正确，故B正确，2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大，正确，故C正确，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数，一直在增加，在2月12日左右新增人数达到峰值，故D错误，故选：D．4．（5分）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线方程为43y x=，则双曲线的离心率为()A．53B．213C．54D．7【解答】解：Q双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为22221x ya b-=，(0,0)a b>>由此可得双曲线的渐近线方程为by xa=±，结合题意一条渐近线方程为43y x=，得43ba=，设4b t=，3a t=，则225(0)c a b t t=+=>∴该双曲线的离心率是53cea==．故选：A．5．（5分）如图，为了估计函数2y x=的图象与直线1x=-，1x=以及x轴所围成的图形面积（阴影部分），在矩形ABCD中随机产生1000个点，落在阴影部分的样本点数为303个，则阴影部分面积的近似值为()A．0.698B．0.606C．0.303D．0.151【解答】解：设面积区域为x，由概率的几何概型知，则303 10002x=，解之得0.606x=，则该区域面积的近似值为0.606．故选：B ．6．（5分）函数()cos()2f x x x π=-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，()cos()sin 2f x x x x x π=-=，有()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，即函数()f x 为偶函数，排除B 、D ；又由在区间(0,)π上，0x >，sin 0x >，有()0f x >，排除C ；故选：A ．7．（5分）20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是( )A ．11B ．10C ．9D ．8【解答】解：根据框图可知：2n =，40m =403,202n m === 204,102n m === 105,52n m === 6n =，35116m =⨯+=167,82n m === 88,42n m === 49,22n m === 10n =，212m ==，故选：B ．8．（5分）已知1tan()242θπ-=，sin (θ= )ABC ．35D ．13【解答】解：因为1tan()242θπ-=，所以11112tan tan[()]31224412ππθθ+=-+==-，所以212tan 632sin 119512tan θθθ===++．故选：C ．9．（5分）四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M ，N 分别为PA ，CD 的中点，下列说法错误的是( )A ．MN 与PD 是异面直线B ．//MN 平面PBCC ．//MN ACD ．MN PB ⊥【解答】解：由题意可知四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M ，N 分别为PA ，CD 的中点，MN 与PD 是异面直线，正确；取PB 的中点为H ，连接MH ，HC ，可得//MN HC ，所以//MN 平面PBC ，正确；//MN AC ，不正确；MN PB ⊥正确；故选：C ．10．（5分）在ABC ∆中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是( ) A ．15B ．315C ．1D ．3【解答】解：如图：；因为ABC ∆中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，所以：4AB BDDC AC DC=⇒=； 6BC ∴=；2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⨯⨯g ；2115sin 1()4B ∴=--； 1sin 3152ABC S AB BC B ∆∴==g g 1153ABD ABC S S ∆∆∴=故选：A ．11．（5分）过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交抛物线的准线于点C ，若3AF FB =u u u r u u u r，则||(BC = )A ．4B ．43C ．6D ．8【解答】解：作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，因为3AF FB =u u u r u u u r，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =根据抛物线的定义可得，BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==，则32AH AN HN x x x =-=-=，所以1sin sin 2AH ABH ACN AB ∠=∠==，则12CF =，2CB x =，则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==，故选：D ．12．（5分）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=．当[0x ∈，1]，2()1f x x =-，则( )A ．1235(log 2)()(log 3)2f f f >>B ．1235()(log 2)(log 3)2f f f >>C ．1235(log 2)(log 3)()2f f f >>D ．2135()(log 3)(log 2)2f f f >>【解答】解：因为定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=．所以(2)()0f x f x ++-=即(2)()()f x f x f x +=--=-，所以(4)()f x f x +=，即函数的周期为4，因为当[0x ∈，1]，2()1f x x =-单调递减，因为511()()()0222f f f =--=-<，224(log 3)(log )03f f =-<，1333(2)(log 2)(log 2)0f log f f =-=>，因为2410log 132<<<，所以241(log )()32f f -<-，所以，12314(2)()(log )23f log f f >->-，即1235(2)()(log 3)2f log f f >>，故选：A ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数3214()2333f x x x x =+++的零点个数为 2 ．【解答】解：Q 函数3214()2333f x x x x =+++，2()43(1)(3)f x x x x x '∴=++=++，令()0f x '=得：3x =-或1-，∴当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(3,1)x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， ∴函数()f x 的极大值为4(3)3f -=，极小值为(1)0f -=， ∴函数()f x 的大致图象如图所示：，由图象可知，函数()f x 有2个零点，故答案为：2．14．（5分）已知()sin f x x x m =++为奇函数，则()2f π=22π+ ．【解答】解：由奇函数的性质可得(0)0f m ==，故()sin f x x x =+，所以11()122f ππ=+．故答案为：112π+．15．（5分）在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP =u u u r u u u rg 52- ．【解答】解：取BC 的中点D ，由条件得：22221115()()()0()(23)2222BC AP BC AD DP BC AD BC DP AC AB AC AB AC AB =+=+=-++=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g ．故答案为：52-．16．（5分）已知圆锥的顶点为S ，过母线SA ，SB 的切面切口为正三角形，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB ∆的面积为43，则该圆锥的侧面积为 83π ．【解答】解：依题意画图，如图：SA SB SC l ===，30SAC ∠=︒，3AC l =，AB l =，SAB ∆Q 的面积为2143sin602l =︒g ，解得4l =，43AC ∴=，23r =，∴该圆锥的侧面积为：83rl ππ=．故答案为：83π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．（12分）流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）计算变量x ，y 的相关系数r （计算结果精确到0.01)，并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若||[0.75r ∈，1]，则x ，y 相关性很强；若||[0.3r ∈，0.75)，则x ，y 相关性一般；若||[0r ∈，0.25]，则x ，y 相关性较弱．)5.477≈参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxybxx xnx ====---==--∑∑∑∑，相关系数()()nii xx y y r --∑．【解答】解：（1）由题意得，4,17x y ==，由公式求得51521()()ˆ 3.2()iii ii x x yy bx x ==--==--∑∑，ˆˆ17 3.2429.8ay bx =-=+⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为ˆ 3.229.8yx =-+．（2）()()0.97nii xx y y r --===≈-∑，0r ∴<，∴说明x ，y 负相关，又||[0.75r ∈，1]，说明x ，y 相关性很强．∴可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．18．（12分）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a +++⋯+=----．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求n T ．【解答】解：（1）由题意，令25n n nb a =-，设数列{}n b 的前n项和为n S ，则3n nS =．当1n =时，1113b S ==，当2n …时，111333n n n n n b S S --=-=-=， ∴数列{}n b 是常数列，即1253n n n b a ==-，故352n n a +=，*n N ∈．（2）由（1）知，114411[](35)[3(1)5]3(35)3(1)5n n a a n n n n +==-++++++，12231111n n n T a a a a a a +∴=++⋯+411411411()()[]331532533253353353(1)5n n =-+-+⋯+-⨯+⨯+⨯+⨯++++ 4111111[]3315325325335353(1)5n n =-+-+⋯+-⨯+⨯+⨯+⨯++++ 411[]33153(1)5n =-⨯+++ 411[]383(1)5n =-++ 146924n =-+ 616nn =+．19．（12分）将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点．（1）求证：//OB 平面1ACD ；（2）求几何体111ACB A D 的体积．【解答】（1）证明：取AC 中点为1O ，连接1OO ，11B D ，11O D ．在正方形1111A B C D 中，O Q 为11A C 的中点，O ∴为11B D 的中点．在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC Q ，11AA CC =，11//CC BB ，11CC BB =， 11//OO CC ∴，11OO CC =，11//CC BB ，11CC BB =． 11//OO BB ∴，11OO BB =，∴四边形11OO B B 为平行四边形，11//BO B O ∴，11BO B O =，11//BO D O ∴，11BO D O =．∴四边形11O BOD 为平行四边形，则11//BO O D ．又BO ⊂/平面1ACD ，11O D ⊂平面1ACD ，//OB ∴平面1ACD ；（2）解：Q 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， ∴11118ABCD A B C D V -=，1114222323D ACD V -=⨯⨯⨯⨯=．又11111111111ACB A D ABCC D A B A BCB C B C D V V V V --=--，且111111111203ABCC D A B ABCD A B C D D ACD V V V --=-=，而111143A BCBC B CD V V --==， ∴1112042433ACB A D V =-⨯=．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(1,0)F -，离心率为22．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线2x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．【解答】解：（1）由已知得：21c c a ==，所以2a =；又222a b c =+，解得1b =，所以椭圆的标准方程为：2212x y +=．（2）设T 点的坐标为(2,)m -，则直线TF 的斜率02(1)TF m k m -==----，当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=，直线PQ 的方程是1x my =-；当0m =时，直线PQ 的方程也符合1x my =-的形式．由221,21x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩g 得22(2)210m y my +--=．其判别式△2244(2)0m m =++>，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则1221222,212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩g ，121224()22x x m y y m -+=+-=+，因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =u u u r u u u r，即1(x ，12)(2y x =--，2)m y -，所以1221222,2422m y y m m x x m ⎧+==⎪⎪+⎨-⎪+==-⎪+⎩g 解得0m =，此时四边形OPTQ的面积11||||222OPTQ S OT PQ ===g 21．（12分）已知函数21()2x f x e x x =-+．证明：（1）函数()f x 在R 上是单调递增函数；（2）对任意实数1x ，2x ，若12()()2f x f x +=，则120x x +<．【解答】证明：（1）()1x f x e x '=-+，()1x f x e '''=-，令()0f x '''>，得0x >，即函数()f x '在区间(0,)+∞上单调递增； ()0f x ''<，得0x <，函数()f x '在区间(,0)-∞上单调递减；所以()(0)20min f x f '==>，故函数()f x 在R 上是单调递增函数；（4分）（2）因12()()2(0)2f x f x f +==，()f x 在R 上是单调递增函数，不妨设120x x <<，构造2()()()(0)x x g x f x f x e e x x -=+-=+-<， ()2x x g x e e x -'=--，()20x x g x e e -''=+-…，所以()y g x '=在(,0)-∞上单调递增，所以()(0)0g x g ''<=，所以()y g x =在(,0)-∞上单减，因10x <，11112()()()(0)2()()g x f x f x g f x f x =+->==+，有12()()f x f x ->．由（1）知，()f x 在R 上是单调递增函数，有12x x ->，即120x x +<．（12分）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系Ox 中，曲线C2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=，设l 与C 交于A ，B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E ，F ．以O 为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ．（1）求C 的直角坐标方程及点M 的直角坐标；（2）求证：||||||||MA MB ME MF =g g ．【解答】解：（1）曲线C2sin ρθ，转换为直角坐标方程为2222:22,12x C x y y +=+=即．直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=转换为直角坐标方程为：1y x =-，联立C 与l 的方程得；2340x x -=，解得41(0,1),(,)33A B -．由于AB 中点为M ， ∴21(,)33M -．证明：（2）由（1）利用两点间的距离公式的应用得：||||MA MB = ∴8||||9MA MB =g ．又设AB的垂直平分线2,3:1,3x EF y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入C的方程得：2340233t --=，∴483||||||392ME MF -==g ．||||||||MA MB ME MF ∴=g g ．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|2|3|f x x x =--+．（1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使不等式23()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）7,1()|1|2|3|35,317,3x x f x x x x x x x --⎧⎪=--+=---<<⎨⎪+-⎩…„，当1x …时，71x --<解得1x …；当31x -<<时，351x --<解得21x -<<；当3x -„时，71x +<解得6x <-．综上得6x <-或2x >-．∴不等式的解集为(-∞，6)(2--⋃，)+∞；（2）Q 存在实数x ，不等式23()0m m f x --<成立， ∴存在实数x ，不等式23()m m f x -<成立． ∴存在实数x ，不等式23[()]max m m f x -<成立．又7,1()35,317,3x x f x x x x x --⎧⎪=---<<⎨⎪+-⎩…„，()(3)4max f x f ∴=-=，234m m ∴-<，解得14m -<<． m ∴的范围是(1,4)-．。

2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科)

四川省2020届高三大数据精准教学第二次统一监测文科数学试题及答案详解评分标准(17页)

四川省2020届高三大数据精准教学第二次统一监测文科数学试题文科数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}130A x x x =--≤，{}12B x x =-<<，则A B =（）A.(]1,1-B.[)1,2C.[]1,3D.(]1,3-2.若复数z 满足()1234z i i ⋅+=+，则z =（） A.12i +B.12i -C.510i +D.510i -3.某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（） A.周跑步里程逐渐增加B.这20周跑步里程平均数大于30kmC.这20周跑步里程中位数大于30kmD.前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差4.若x ，y 满足0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（）A.6B.4C.3D.05.ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin B A =，3C π=，则ca的值为（）B.3C.2D.126.函数()2x xxf x e e -=+的大致图像是（）A. B. C . D .7.已知直线l 经过圆(22:4C x y -+=的圆心，l 与圆C 的一个交点为P ，将直线l 绕点P 按顺时针方向旋转30°得到直线l '，则直线l '被圆C 截得的弦长为（）A.4B. C.2D.18.如图，已知圆锥底面圆的直径AB 与侧棱SA ，SB 构成边长为点C 是底面圆上异于A ，B 的动点，则S ，A ，B ，C 四点所在球面的半径是（）A.2B. C.4D.与点C 的位置有关9.以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现.如图，D ，E ，F 为正三角形ABC 各边中点，作出正三角形DEF 的勒洛三角形DEF （阴影部分），若在ABC △中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A.2π- B.39- C.36- D.26- 10.若函数()sin 0,0,0y A x A x ωω=>>>的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A ω⋅=（）A.2π B.π C.2π D.4π11.若函数()1ln 1xf x x x-=-+，且()()210f a f a +->，则a 的取值范围是（） A.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.11,23⎛⎫-⎪⎝⎭ C.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12.已知直线l 与抛物线24x y =交于A ，B 两点，0OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）.若OP OA OB =+，则直线OP 的斜率的取值范围是（） A.(][),22,-∞-+∞B.(][),44,-∞-+∞C.(),2,⎡-∞+∞⎣D.(),22,⎡-∞-+∞⎣二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,2a λ=+，()3,4b =，若//a b ，则实数λ=______________.14.若cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2α=____________. 15.所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S '，S ，0S ，高为h ，则拟柱体的体积为()016V h S S S '=++.若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为______________________.16.若关于x 的不等式ln 1x ax ≤+恒成立，则a 的最小值是________________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2222log n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项的和n T 的最大值. 18.（12分）某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系.现收集了该种植物月生长量y （cm ）与月平均气温x （℃）的8组数据，并制成如图所示的散点图.根据收集到的数据，计算得到如下值：（1）求出y 关于x 的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y 的预报值；（2）根据y 关于x 的回归方程，得到残差图如图所示，分析该回归方程的拟合效果.附：对于一组数据()()()122,,,,,,n n v v v ωωω⋯，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnli i nii v v ωωβωω==--=-∑∑，ˆˆv αβω=-. 19.（12分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB AD ⊥，30ABE ∠=︒，90BEC ∠=︒，2AD =，E 是AD 的中点.现将ABE △沿BE 翻折，使点A 移动至平面BCDE 外的点P .（1）若3FC PF =，求证：//DF 平面PBE ；（2）若平面PBE ⊥平面BCDE ，三棱锥C PDE -的体积为14，求线段BE 的长. 20.（12分）在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，P 是坐标平面内的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积等于14-.设点P 的轨迹为C . （1）求轨迹C 的方程；（2）设过点()1,0且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求证：直线AM ，BN 的交点在直线4x =上. 21.（12分）已知函数()()()21102xa x f x x a e +=+≠. （1）若曲线()y f x =在1x =-处切线的斜率为1e -，判断函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线14:x C y t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线21cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线tan 0,02y x x παα⎛⎫=≥<<⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点，求OB OA的最大值.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()32f x x x =++. （1）求()f x 的值域；（2）记函数()f x 的最小值为M .设a ，b ，c 均为正数，且a b c M ++=，求证：14912a b c++≥.四川省2020届高三大数据精准教学第二次统一监测文科数学参考答案及评分标准评分说明：1.本解答只给出了一种（或两种）解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在菜一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后部分的给分，但不得超过该正确部分解答得分的一半；如果后继部分的解得有严重错误，就不再给分.3.只给整数分.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.本小题主要考査一元二次不等式的解法、并集等基础知识；考查运算求解能力. 由()()130x x --≤得13x ≤≤，所以[]()(]1,31,21,3AB =-=-.2.本小题主要考査复数模的概念、复数运算其运算等基础知识；考査运算求解能力. 由()3451212125i i z i i +-===-+. 3.本小题主要考查统计图表等基础知识；考查数据处理能力和应用意识；考查统计思想. 根据统计图表可知，A ，B ，C 项错误；D 项正确.4.本小题主要考查线性规划问题等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合等思想方法.不等式组表示的可行域是以()0,0，()2,0，()0,2为顶点的三角形及其内部，当目标函数2z x y =+过点()2,0时，z 取得最大值4.5.本小题主要考查正弦定理，余弦定理等基础知识；考查运算求解能力及应用意识；考查化归与转化等思想方法.由sin 2sin B A =，据正弦定理有2b a =；又3C π=，据余弦定理有223c a =.故ca= 6.本小题主要考查函数图象和性质等基础知识；考查抽象概括能力；考查数形结合、特殊与一般等思想方法. 由()()f x f x -=-可知，()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x >时，()f x x <=.7.本小题主要考查直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考査运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化、数形结合等思想方法.由题意知，2PC =.如图，设l '与圆交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为H ，则在Rt PHC △中，cos30PH PC =︒=，故直线l '被圆C 截得的弦长PQ =.8.本小题主要考查圆锥的概念、球面面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. 如图，设底面圆的圆心为O ，S ，A ，B ，C 四点所在球面的球心为1O ，连接SO ，则SO ⊥平面ABC ，且1O在线段SO 上.易知3SO =，AO =.设球1O 的半径为R ，在1Rt O AO △中，由勾股定理得()223R R -+=，解得2R =.9.本小题主要考査概率等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识.设三角形ABC 边长为2，则正三角形DEF 边长为1，图中勒洛三角形面积为36442ππ⎛-⨯-+= ⎝⎭，ABC △36P -==.10.本小题主要考查正弦函数的图象及其性质等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法.作出函数()sin 0,0,0y A x A x ωω=>>>的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点.设其中两个最大值点为M ，N ，最小值点为P .根据正弦函数图象的对称性，易知MNP △为等腰直角三角形，且斜边上的高2PQ A =，所以斜边4MN A =，则sin y A x ω=周期4T A =.由2T πω=，有224T Aππω==，所以2A πω⋅=.11.本小题主要考查函数基本性质、不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力、抽象概括能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法. 由题知()f x 的定义域为()1,1-，且()12lnln 111x f x x x x x -⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭，所以()f x 为奇函数且在()1,1-上单调递减.由()()210f a f a +->，可知()()21f a f a >-，于是有11112121a a a a -<-<⎧⎪-<<⎨⎪<-⎩，解得103a <<. 12.本小题主要考査直线与抛物线的方程及其位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力及创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法.如图，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1212,P x x y y ++，依题意，0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，即221212016x x x x +=，即1216x x =-，从而，直线OP 的斜率为k ，则1212y y k x x +=+()()()2221212121212121228444x x x x x x x x x x x x x x +-++===++++，121284x x k x x +=++≥=，当且仅当121284x x x x +=+，即12x x +=时等号成立，故(),22,k⎡∈-∞-+∞⎣.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.本小题主要考查共线向量、平面向量的数量积等基础知识；考查运算求解能力. 因为//a b ，所以()4123λ+=⨯，解得12λ=. 14.本小题主要考查诱导公式、余弦的二倍角公式、三角函数求值等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想.法一：根据已知，有223sin 2cos 22cos 1212455ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.法二：由cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭得cos sin αα+=，两边平方得212sin cos 5αα+=，所以32sin cos 5αα=-，即3sin 25α=-.15.本小题主要考査三视图等基础知识；考査空间想象能力、推理论证能力、应用意识及创新意识. 由三视图可还原几何体直观图如右，易知43S =⨯，23S '=⨯，07522S =⨯，4h =，代入公式可求得1063V =.16.本小题主要考查函数的导数等基础知识；考查抽象概括、运算求解等数学能力；考査化归与转化、数形结合等思想方法.法一：由于0x >，则原不等式可化为ln 1x a x -≤，设()ln 1f x x x=-，则()()221ln 12ln x x x x f x x x⋅---'==，当()20,x e ∈时，()0f x '>，()f x 递增；()2,x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 递减，可得()f x 在2x e =处取得极大值，且为最大值21e .所以21a e ≥，则a 的最小值为21e. 法二：直线1y ax =+过定点()0,1，由题，当直线1y ax =+与曲线ln y x =相切时，直线斜率即为所求的最小值，设切点()00,ln x x ，切线斜率为01x ，则切线方程为()0001ln y x x x x -=-，过点()0,1，则()00011ln 0x x x -=-，解得20x e =，切线斜率为21e ，所以a 的最小值为21e. 三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）本小题主要考查等比数列和等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式等基础知识；考查运算求解能力及应用意识；考查分类与整合、化归与转化等思想方法.（1）对于数列{}n a ，当1n =时，由22n n S a =-得12a =..…………………………1分当2n ≥时，由22n n S a =-，1122n n S a --=-两式相减得12n n a a -=，.……………………3分所以数列{}n a 是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式2n n a =.………………………………5分（2）由（1）知：()*2222log 2222n n b n n N =-=-∈.……………………7分由()1222022210n n b n b n +=-≥⎧⎨=-+≤⎩，解得1011n ≤≤.………………………………9分所以当10n =或11时，数列{}n b 的前n 项和n T 取得最大值，其最大值为()()11010111052021102T b b T T +===+==最大值.…………………………12分 18.（本小题满分12分）本小题主要考査回归方程、统计案例等基础知识；考查抽象概括、数据处理、运算求解等能力和应用意识.（1）设月生长量y 与月平均气温x 之间的线性回归方程为ˆˆˆya bx =+.()()()81821235.96ˆ 1.053224.04i ii ii y y x x b x x ==--==≈-∑∑，.………………………………4分所以ˆˆ12.325 1.05318 6.63ay bx =-=-⨯≈-，则y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.05 6.63yx =-.………………………………6分当28x =时， 1.0528 6.6322.77y =⨯-=（cm ）.所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm.…………………………8分（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好.…………………………12分19.（本小题满分12分）本小题主要考查平面与平面垂直的性质、直线与平面平行的判断、棱锥体积公式等基础知识；考査空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识.（1）法一：设DE a =，依题意得2BE a =，4BC a =，1//4DE BC .…………………………1分如图，在线段PB 上取靠近点P 的四等分点G ，连接FG ，EG ，因为14PG PF PB PC ==，所以1//4GF BC . 所以//DE GF .……………………………………3分所以四边形DEGF 为平行四边形.所以//DF EG .…………………………4分又DF ⊄平面PBE ，EG ⊂平面PBE ，.………………………………5分所以//DF 平面PBE .………………………………6分法二：如图，在线段BC 上取靠近点B 的四等分点H ，连接FH ，DH ，因为34CF CH CP CB ==，所以//HF PB . 又HF ⊄平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以//HF 平面PBE .……………………………………2分设DE a =，依题意得2BE a =，4BC a =，1//4DE BC ，而14BH BC =，所以//DE BH . 所以四边形DEBH 为平行四边形.所以//DH EB .又DH ⊄平面PBE ，EB ⊂平面PBE ，所以//DH 平面PBE .………………………………4分而DH ⊂平面DFH ，FH ⊂平面DFH ，DHFH H =，所以平面//DFH 平面PBE .因为DF ⊂平面DFH ，所以//DF 平面PBE .………………………………6分（2）由90BEC ∠=︒，得BE EC ⊥.又因为平面PBE ⊥平面BCDE ，平面PBE 平面BCDE BE =，所以EC ⊥平面PBE .……………………………………8分由（1），4BC DE =，4BEC DEC S S =△△，所以111444C PDE P CDE P BEC C PBE V V V V ----====.…………………………10分则1C PBE V -=.由2111332C PBE PBE V EC S a a -=⨯=⨯⨯==△，解得1a =. 所以2BE =………………………………12分20.（本小题满分12分）本小题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法.（1）由1224y y x x ⋅=-+-，得2244y x =-，即()22104x y y +=≠. 故轨迹C 的方程为：()22104x y y +=≠.………………………………4分（2）根据题意，可设直线MN 的方程为：1x my =+，由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()224230m y my ++-=.…………………………6分其中，()222412416480m m m ∆=++=+>.设()11,M x y ，()22,N x y ，则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+. 因直线l 的倾斜角不为0，故1x ，2x 不等于2±（1y ，2y 不为0），从而可设直线AM 的方程为()1122y y x x =++①，直线BN 的方程为()2222y y x x =--②，所以，直线AM ，BN 的交点()00,Q x y 的坐标满足：()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--.………………………………………………9分而()()()()2121122121212123321y x y my my y y y x y my my y y +++==--- ()()2122121123239344433344m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫+-- ⎪--+++⎝⎭===---+-+，因此，04x =，即点Q 在直线4x =上.………………………………12分21.（本小题满分12分）本小题主要考查函数图象和性质、函数零点、不等式、函数的导数等基础知识；考査运算求解能力、推理论证能力、应用意识和创新意识；考查分类与整合、化归与转化、数形结合等思想方法.（1）由题()x x x ax e a f x x x e e ⎛⎫-'=-= ⎪⎝⎭，.…………………………1分则()111f ea e '-=-=-，得1a =，.……………………………………2分此时()1x x e f x x e ⎛⎫-'= ⎪⎝⎭，由()0f x '=得0x =.则0x <时，()0f x '>，()f x 为增函数；0x >时，()0f x '>，()f x 为增函数，且()00f '=，所以()f x 为R 上的增函数.………………………………4分（2）①当0a >时，由()0f x '=得0x =或ln x a =，若1a =，由（1）知，()f x 为R 上的增函数.由()1102f -=>，()2220f e -=-+<，所以()f x 只有一个零点，不符合题意.……………………………………6分若01a <<，则ln x a <时，()0f x '>，()f x 为增函数；ln 0a x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；0x >时，()0f x '>，()f x 为增函数.而()()00f x f a ==>极小，故()f x 最多只有一个零点，不符合题意.……………………8分若1a >时，则0x <时，()0f x '>，()f x 为增函数；0ln x a <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 为增函数.得()()()21ln ln ln 102f a a a f x =++>=极小，故()f x 最多只有一个零点，不符合题意.……………………………………10分②当0a <时，由()0f x '=得0x =，由0x ≤得()0f x '≤，()f x 为减函数，由0x >得()0f x '>，()f x 为增函数，则()()00f x f a ==<极小.又x →-∞时，()0f x >，x →+∞时，()0f x >，所以当0a <时，()f x 始终有两个零点.综上所述，a 的取值范围是(),0-∞.………………………………12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的参数方程、极坐标方程及其互化等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合、化归与转化等思想方法.（1）消去参数t ，得曲线1C的直角坐标方程为40x +-=，则曲线1C的极坐标方程为cos sin 40ρθθ-=.…………………………2分消去参数θ，得曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=.……………………4分（2）射线tan 0,02y x x παα⎛⎫=≥<< ⎪⎝⎭的极坐标方程为02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，.………5分联立cos sin 40ρθθ+-=，得A ρ=，所以OA =；.………………………………6分由2cos θαρθ=⎧⎨=⎩，得2cos B ρα=，则2cos OB α=，.…………………………7分因此()2cos cos 4OBOA ααα=11sin 2264πα⎛⎫==++ ⎪⎝⎭.…………………………9分由02πα<<，得72666πππα<+<. 所以，当262ππα+=，即6πα=时，max 113244OB OA ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 故OBOA 的最大值为34.…………………………………………10分 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲本小题主要考查含绝对值不等式的解法、基本不等式、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化等思想方法.（1）当3x <-时，()3233f x x x x =---=--，此时()()6,f x ∈+∞；当30x -≤≤时，()323f x x x x =+-=-+，此时[]3,6f x ∈（）；.……………………3分当0x >时，()3233f x x x x =++=+，此时()()3,f x ∈+∞，综上，函数()f x 的值域为[)3,+∞.……………………5分（2）由（1）知，函数()f x 的最小值为3，则3M =，即3a b c ++=.因为()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭.……………………7分14≥+ 36≥.……………………………………………………9分其中，当且仅当12a =，1b =，32c =取“=”. 又因为3a b c ++=，所以14912a b c ++≥.…………………………………………10分。

2020届四川省宜宾市高三第二次诊断检测数学(文)试题(解析版)

2020届四川省宜宾市高三第二次诊断检测数学（文）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（） A ．125i + B ．66i - C ．5i D ．13【答案】A【解析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()22332656125i i i i i +-=+-=+.故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.2．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则A B =I （）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--【答案】A【解析】求出集合B ，利用交集的定义可得出集合A B I . 【详解】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<Q ，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A. 【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.3．2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人心抗击疫情.下图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误．．的是（）A．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数C．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值【答案】D【解析】根据新增确诊曲线的走势可判断A选项的正误；根据新增确诊曲线与新增治愈曲线的位置关系可判断B选项的正误；根据2月10日至2月14日新增确诊曲线的走势可判断C选项的正误；根据新增确诊人数的变化可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，由图象可知，2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，A选项正确；对于B选项，由图象可知，随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数，B选项正确；对于C选项，由图象可知，2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大，C选项正确；对于D选项，在2月16日及以前，我国新型冠状病毒肺炎新增确诊人数大于新增治愈人数，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数不在2月12日左右达到峰值，D选项错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计图表的应用，考查数据处理能力，属于基础题.4．已知双曲线2222x y1(a0,b0)a b-=>>的一条渐近线方程为4y x3=，则双曲线的离心率为()A．53B21C．54D7【答案】A【解析】结合渐近线方程得到43b a =，根据,,a bc 关系可求得离心率. 【详解】Q 双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上∴设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>由此可得双曲线的渐近线方程为by x a =± 结合题意一条渐近线方程为43y x =，得43b a =设4b t =，3a t =，则()2250c b t a t =+=>∴该双曲线的离心率是53c e a == 本题正确选项：A 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够构造出关于,,a b c 的齐次关系式，属于基础题.5．如图，为了估计函数2y x =的图象与直线1x =-，1x =以及x 轴所围成的图形面积（阴影部分），在矩形ABCD 中随机产生1000个点，落在阴影部分的样本点数为303个，则阴影部分面积的近似值为（）A ．0.698B ．0.606C ．0.303D ．0.151【答案】B【解析】先求出矩形面积为2，设区域面积为x ，利用几何概型的概率公式列等式求出x 的值，即可得出结果.【详解】设阴影部分区域的面积为x ，由几何概型概率公式知，则30310002x=，解得0.606x =，则该阴影部分区域面积的近似值为0.606. 故选：B ．【点睛】本题考查利用几何概型求区域面积，考查计算能力，属于基础题． 6．函数()cos 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数()y f x =的奇偶性以及函数()y f x =在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】根据题意，()cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，定义域为R ，定义域关于原点对称. 有()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，即函数()y f x =为偶函数，排除B 、D ；当()0,x π∈时，0x >，sin 0x >，有()0f x >，排除C. 故选：A ．【点睛】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性以及特殊值，属于基础题． 7．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40202m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20102m ==； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1052m ==；415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1682m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则842m ==； 718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224m ==； 819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则212m ==；9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.故选：C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 8．已知1tan 242θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin θ=（） ABC ．35D ．13【答案】C【解析】由已知结合两角和的正切公式可求tan2θ，然后利用22tan2sin 1tan 2θθθ=+，代入即可求解．【详解】因为1tan 242θπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以1tan tan 12442tan tan 31224411tan tan 2244θππθθππθππ⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭，所以2222sin cos 2tan63222sin 2sin cos 22195cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ=====+++．故选：C ．【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系在求解三角函数值的应用，属于基础试题．9．四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M 、N 分别为PA 、CD 的中点，下列说法错误的是（） A ．MN 与PD 是异面直线 B ．//MN 平面PBC C ．//MN AC D ．MN PB ⊥【答案】C【解析】画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的判定定理，判断选项A 、B 、C 的正误，由线线垂直可判断选项D ．【详解】由题意可知四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M 、N 分别为PA 、CD 的中点，MN 与PD 是异面直线，A 选项正确；取PB 的中点为H ，连接MH 、HC ，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴且AB CD =，M Q 、H 分别为PA 、PB 的中点，则//MH AB 且12MH AB =， N Q 为CD 的中点，//CN MH ∴且CN MH =，则四边形CHMN 为平行四边形， //MN CH ∴，且MN ⊄平面PBC ，CH ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，B 选项正确；若//MN AC ，由于//CH MN ，则//CH AC ，事实上AC CH C ⋂=，C 选项错误；PC BC =Q ，H 为PB 的中点，CH PB ∴⊥，//MN CH Q ，MN PB ∴⊥，D 选项正确.故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及直线与平面的平行与垂直的位置关系的判断，是中档题.10．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（） A ．15B ．315C ．1D ．3【答案】A【解析】先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．【详解】如图：()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD ABCD AC=， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 14B ⎛⎫=--=⎪⎝⎭1sin 152ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.11．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若3AF FB =uu u r uu r，则BC =（） A ．4 B ．3C ．6D ．8【答案】D【解析】作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1sin 2ACN ∠=，则可求出x 的值，进而得到BC 的值. 【详解】作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，因为3AF FB =uu u r uu r，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =，根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==，则32AH AN HN x x x =-=-=，所以1sin sin 2AH ABH ACN AB ∠=∠==，则212CF FP ==，2CB x =，则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==，故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题． 12．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=．当[]0,1x ∈，()21f x x =-，则（）A ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．()2135log 3log 22f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】推导出函数()y f x =的周期为4，根据题意计算出51022f f ⎛⎫⎛⎫=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()133log 2log 20f f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，再利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可得出结论. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()20f x f x +-=，即()()20f x f x +-=，即()()2f x f x =--，()()()24f x f x f x ∴=--=-，所以，函数()y f x =的周期为4，因为当[]0,1x ∈时，()21f x x =-单调递减，因为5110222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ()()1333log 2log 2log 20f f f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，因为2410log 132<<<，所以241log 32f f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，12314log 2log 23f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中等题.二、填空题 13．函数()32142333f x x x x =+++的零点个数为__________．【答案】2【解析】先求出导函数()f x '，令()0f x '=求出极值点，进而求出函数的极值，根据单调性和极值画出函数的大致图象，从而得到函数的零点个数．【详解】Q 函数()32142333f x x x x =+++，()()()24313f x x x x x '∴=++=++，令()0f x '=得：3x =-或1-，当(),3x ∈-∞-时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增；当()3,1x ∈--时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减；当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增. 所以，函数()y f x =的极大值为()433f -=，极小值为()10f -=，则函数()y f x =的大致图象如图所示：由图象可知，函数()y f x =有2个零点. 故答案为：2．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值，以及函数的零点，是中档题． 14．已知()sin f x x x m =++为奇函数，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．【答案】12π+【解析】由()00f =可求出m ，然后代入计算即可得出2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值．【详解】由奇函数的性质可得()00f m ==，故()sin f x x x =+，所以122f ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故答案为：12π+．【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数解析式及求解函数值，属于基础试题． 15．在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅=u u u r u u u r__________.【答案】52-【解析】作出图形，设点E 为线段BC 的中点，可得出()12AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r且AP AE EP=+u u u r u u u r u u u r，进而可计算出AP BC ⋅u u u r u u u r 的值. 【详解】设点E 为线段BC 的中点，则EP BC ⊥，0EP BC ∴⋅=u u u r u u u r，()()111222AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()()12AP BC AE EP BC AE BC EP BC AC AB AC AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()222211523222AC AB =-=⨯-=-u u u r u u u r . 故答案为：52-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.16．已知圆锥的顶点为S ，过母线SA 、SB 的切面切口为正三角形，SA 与圆锥底面所成角为30o ，若SAB V 的面积为43__________．【答案】3π【解析】设AC 是圆锥底面圆的一条直径，设SA SB SC l ===，30SAC ∠=o ，3AC l =，AB l =，根据三角形的面积求得l ，由此能求出该圆锥的侧面积．【详解】依题意画图，如图：设AC 是圆锥底面圆的一条直径，设SA SB SC l ===，30SAC ∠=o ，则30SCA ∠=o ，120ASC ∴∠=o ，由正弦定理得sin120sin 30AC SA=o o，3AC l ∴=，由题意可知，SAB V 是等边三角形，则AB SA l ==，SAB Q △的面积为22133sin 6024l =⋅=o ，解得4l =，43AC ∴= 则该圆锥的底面圆半径为3r = 因此，该圆锥的侧面积为83rl ππ=．故答案为：83π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题17．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄（x ） 2 3 4 5 6患病人数（y ） 2222171410（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）计算变量x 、y 的相关系数r （计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若[]0.75,1r ∈，则x 、y 相关性很强；若[)0.3,0.75r ∈，则x 、y 相关性一般；若[]0,0.25r ∈，则x 、y 相关性较弱．）57.47≈．参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑，相关系数()()niix x y y r --=∑．【答案】（1）$ 3.229.8y x =-+；（2）相关系数为0.97-，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．【解析】（1）结合已知数据和参考公式求出$a、ˆb 这两个系数，即可得回归方程；（2）根据相关系数的公式求出r 的值，再结合r 的正负性与r 的大小进行判断即可．【详解】（1）由题意得，2345645x ++++==，2222171410175y ++++==，()()()()()()()()()51522222212515001327ˆ 3.221012iii ii x x y y b x x ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，$ˆ17 3.2429.8ay bx =-=+⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为$ 3.229.8y x =-+；（2）()()0.97niix x y y r --===≈-∑，0r ∴<，说明x 、y 负相关，又[]0.75,1r ∈，说明x 、y 相关性很强．因此，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．【点睛】本题考查线性回归方程的求法、相关系数的计算与性质，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题． 18．已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a +++⋅⋅⋅+=----．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．【答案】（1）352n n a +=；（2）616n nT n =+. 【解析】（1）先令25n n n b a =-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则3n nS =，再利用公式11,1,2n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可计算出数列{}n b 的通项公式，再计算出数列{}n a 的通项公式；（2）根据第（1）题的结果计算出数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后对通项公式进行转化，再运用裂项相消法计算出n T ．【详解】（1）由题意，令25n n n b a =-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则3n nS =．当1n =时，1113b S ==；当2n ≥时，111333n n n n n b S S --=-=-=. ∴数列{}n b 是常数列，即1253n n n b a ==-，故352n n a +=，*n N ∈；（2）由（1）知，()()()()11441133531535315n n a a n n n n +⎡⎤==-⎢⎥++++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 12231111n n n T a a a a a a +∴=++⋅⋅⋅+ ()41141141133153253325335335315n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()4111111331532532533535315n n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⨯+⨯+⨯+⨯++++⎣⎦()()411411143315315383156924616nn n n n ⎡⎤⎡⎤=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⨯+++++++⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，运用裂项相消法求前n 项和，考查了转化与化归思想，构造思想，逻辑推理能力和数学运算能力，本题属中档题．19．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点．（1）求证：//OB 平面1ACD ；（2）求几何体111ACB A D 的体积．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）取AC 中点为1O ，连接1OO ，11B D ，11O D ，推导出四边形11O BOD 为平行四边形，可得出11//BO O D ，再由线面平行的判定可得//OB 平面1ACD ；（2）由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，求得11118ABCD A B C D V -=，1112223243D ACD V -=⨯⨯⨯⨯=，111143A BCB C B C D V V --==，再由体积作差可得几何体111ACB A D 的体积．【详解】（1）取AC 中点为1O ，连接1OO 、11B D 、11O D ．在正方形1111D C B A 中，O Q 为11A C 的中点，O ∴为11B D 的中点．在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC Q 且11AA CC =，∴四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =，O Q 、1O 分别为11A C 、AC 的中点，11//AO AO ∴且11AO A O =，所以，四边形11AAOO 为平行四边形，11//OO AA ∴且11OO AA =，11//AA BB Q 且11AA BB =，11//OO BB ∴且11OO BB =，所以，四边形11OO BB 为平行四边形，11//O B OB ∴且11O B OB =，O Q 为11B D 的中点，11//OD O B ∴且11OD O B =，则四边形11O BOD 为平行四边形，11//OB O D ∴，又BO ⊄平面1ACD ，11O D ⊂平面1ACD ，因此，//OB 平面1ACD ；（2）∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1111328ABCD A B C D V -∴==，1112223243D ACD V -=⨯⨯⨯⨯=．又11111111111ACB A D ABC C D A B A BCB C B C D V V V V ---=--，且111111111420833ABC C D A B ABCD A B C D D ACD V V V ---=-=-=，而111143A BCBC B CD V V --==， 1112042433ACB A D V ∴=-⨯=．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为()1,0F -．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线2x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P 、Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．【答案】（1）2212x y +=；（2.【解析】（1）由焦点坐标和离心率及a 、b 、c 之间的关系求出a 、b 的值，进而可得椭圆C 的标准方程；（2）由题意设T 的坐标为()2,m -，由（1）得左焦点F 的坐标，可得直线TF 的斜率，由题意可得PQ 的方程，将直线PQ 与椭圆C 的方程联立求出两根之和，运用韦达定理求得1212,y y y y +，再由四边形OPTQ 是平行四边形，可得OP QT =u u u r u u u r，由此求出m 的值，从而可得,OT PQ 的长，进而求出四边形OPTQ 的面积．【详解】（1）由已知得：c a =，1c =，所以a =222a b c =+，解得1b =，所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=；（2）设T 点的坐标为()2,m -，则直线TF 的斜率()21TF m k m -==----，当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=，直线PQ 的方程是1x my =-；当0m =时，直线PQ 的方程也符合1x my =-的形式．由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()222210m y my +--=（），其判别式()()222442810m m m ∆=++=+>，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()12122422x x m y y m +=+-=-+，因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =u u u r u u u r，即()()1122,2,x y x m y =---，所以12212222422m y y m m x x m ⎧+==⎪⎪+⎨⎪+=-=-⎪+⎩，解得0m =，此时，方程（）为2210y -=，得y =，则PQ =此时OPTQ Y的面积11222OPTQ S OT PQ =⋅=⨯=Y【点睛】本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合，及平行四边形的性质，考查了四边形面积的计算，属于中档题． 21．已知函数()212xf x e x x =-+．证明：（1）函数()f x 在R 上是单调递增函数；（2）对任意实数1x 、2x ，若()()122f x f x +=，则120x x +<．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）依题意可得()1x f x e x '=-+，()1x f x e ''=-，通过()y f x ''=的函数值符号的分析，可求得()()min 020f x f ''==>，于是可证得函数()y f x =在R 上是单调递增函数；（2）由（1）知函数()y f x =在R 上是单调递增函数，设120x x <<，再构造函数()()()()20x x g x f x f x e e x x -=+-=+-<，利用导数分析其单调性即可证得120x x +<成立．【详解】（1）()212xf x e x x =-+Q ，()1x f x e x '∴=-+，()1x f x e ''=-，令()0f x ''>，得0x >，即函数()y f x '=在区间()0,∞+上单调递增；()0f x ''<，得0x <，函数()y f x '=在区间(),0-∞上单调递减.所以，函数()y f x '=的最小值为()()min 020f x f ''==>，故函数()y f x =在R 上是单调递增函数；（2）因()()()12202f x f x f +==，()y f x =在R 上是单调递增函数，不妨设120x x <<，构造()()()()20xxg x f x f x e ex x -=+-=+-<，则()2x x g x e e x -'=--，()220x x g x e e -''∴=+->=，所以()y g x '=在(),0-∞上单调递增，所以()()00g x g ''<=，所以()y g x =在(),0-∞上单调递减，因10x <，()()()()()()1111202g x f x f x g f x f x =+->==+，有()()12f x f x ->．由（1）知，函数()y f x =在R 上是单调递增函数，有12x x ->，即120x x +<．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，根据函数的单调性构造合适的函数是关键，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．22．在极坐标系Ox 中，曲线C 2sinρθ=，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A 、B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E 、F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标；（2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅.【答案】（1）22:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析.【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程变形为()22sin 2ρρθ+=，再由222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点A 、B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标；（2）求得3MA MB ==，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得ME MF ⋅的值，进而可得出结论. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程可化为()222sin ρρθ=-，即()22sin 2ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得2222x y +=，所以，曲线C 的直角坐标方程为22:12x C y +=.将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=，联立22112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点()0,1A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由（1）得3MA MB ==，89MA MB ∴⋅=，易知AB 的垂直平分线EF的参数方程为232132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入C的普通方程得2340233t --=，483392ME MF -∴⋅==，因此，MA MB ME MF ⋅=⋅.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数()123f x x x =--+.（1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式()230m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),62,-∞--+∞U ；（2）()1,4-.【解析】（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，然后分3x ≤-、31x -<<、1x ≥三段求解不等式()1f x <，综合可得出不等式()1f x <的解集；（2）求出函数()y f x =的最大值()max f x ，由题意得出()2max 3m m f x -<，解此不等式即可得出实数m 的取值范围.【详解】()7,312335,317,1x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪--≥⎩Q .（1）当3x ≤-时，由()71f x x =+<，解得6x <-，此时6x <-；当31x -<<时，由()351f x x =--<，解得2x >-，此时21x -<<；当1x ≥时，由()71f x x =--<，解得8x >-，此时1x ≥.综上所述，不等式()1f x <的解集()(),62,-∞--+∞U ；（2）当3x ≤-时，函数()7f x x =+单调递增，则()()34f x f ≤-=；当31x -<<时，函数()35f x x =--单调递减，则()()()13f f x f <<-，即()84f x -<<；当1x ≥时，函数()7f x x =--单调递减，则()()18f x f ≤-=-.综上所述，函数()y f x =的最大值为()()max 34f x f =-=，由题知，()2max 34m m f x -<=，解得14-<<m . 因此，实数m 的取值范围是()1,4-.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.。

四川省宜宾市2020届高三数学第二次诊断性考试试题文

宜宾市2020届高三第二次诊断性诊断测试题数学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知}2|{>=x x A ，{N |4}B x x =∈≤，则=B A IA. {|24}x x <≤B. ,3,4}2{C. }4{3，D. }2|{>x x 2．已知i 是虚数单位，复数i)1(i 2+-=z ，则z 的虚部为A. 2B. i 2-C. i 2D. 2-3．一个袋子中有4个红球,2个白球,若从中任取2个球,则这2个球中有白球的概率是 A. 95 B. 53 C. 158 D. 324．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是20x y ±=，则该双曲线的离心率是A.6B. 5C. 2D. 35．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:16．已知4.02=a ，2.09=b ，343）（=c ，则A. c b a <<B. b c a <<C. b a c <<D. a b c <<7．等比数列}{n a 的各项均为正数，已知向量a ),54a a （=，b ),67a a （=，且a ⋅b 4=，则 1正视图第5题图11俯视图=+++1022212log log log a a a ΛA. 12B. 10C. 5D.5log 22+8．已知ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且︒===30333B c b ，，，则AB 边上的中线的长为A.273 B. 43 C. 23或273 D. 43或273 9．函数11ln sin )(+-⋅=x x x x f 的大致图象为10．在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，22AB BC CA ===P ABC -的体积为83，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A. π4 B.3π16 C. π8 D. π16 11．已知直线0631=-+y x l ：与圆心为)1,0(M ，半径为5的圆相交于B A ,两点，另一直线 033222=--+k y kx l ：与圆M 交于D C ,两点，则四边形ACBD 面积的最大值为A.25 B. 210 C. )12(5+D. )12(5- 12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数2()()(2||)g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是A. )1,(-∞B. ),1(∞+C. ]1,0(D. )1,0(A BCDEFBE FDM第18题图二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知y x ,满足11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≥，则y x z +=2的最大值为 .14．若数列{}n a 中，若13n n a a +=+， 2826a a +=，则12a = ． 15．函数)6π2cos()3π2sin()(-++=x x x f 的单调减区间为 .16．已知直线l 过点），（30M ，l 与抛物线2x y =交于F E 、两点，当l 不与y 轴垂直时，在y 轴上存在一点),0(t P ，使得PEF ∆的内心在y 轴上，则实数=t .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必做题：共60分. 17．（12分）设函数)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）的图象的一个对称中心为），（012π，且图象上最高点与相邻最低点的距离为124π2+. （1）求ω和ϕ的值；（2）若)2π0(4312π2(<<=+αα）f ，求)4πcos(+α的值．18．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED ∆，DCF ∆分别沿DE ，DF 折起，使得C A ,两点重合于点M .（1）求证：EF MD ⊥；（2）求三棱锥EFD M -的体积.xy 90807060504030201098765432119. （12分）艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV 病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能．下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：年份 2020 2020 2020 2020[] 2020 2020 2020 2020 年份代码x 12 3 4 5 6 7 8 感染者人数y（单位：万人）34.338.343.353.857.765.471.885⑴请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图； ⑵请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系；⑶建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数.参考数据：42 6.48≈；,6.44981=∑=i iy,5.231981=∑=ii i yx 821()46.2,ii yy =-=∑参考公式：相关系数,)()())((11221∑∑∑===----=ni ni iini ii y yx x y yx x r回归方程ˆˆˆybx a =+中， 121()()ˆ,()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ˆˆ.ay bx =-20．（12分）已知点()y x M ,与()0,4F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54．（1）求点M 的轨迹C 的方程；第19题图（2）设N 是圆9:22=+y x E 上位于第四象限的一点，过N 作圆E 的切线0l ，与曲线C 交于B A ,两点．求证FAB ∆:的周长为10.21．（12分）设函数12ln )(2+++=ax x x x f ．（1）当23-=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 的定义域为),2+∞+a （，判断)(x f 是否存在极值．若存在，试求a 的取值范围；否则，请说明理由．（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()33πρθ-=，l 与x 轴交于点M ．（1）求l 的直角坐标方程和点M 的极坐标；（2）设l 与C 相交于,A B 两点，若||,||,||MA AB MB 成等比数列，求p 的值．23.（10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x x a =-．⑴ 若关于x 的不等式()0f x b +<的解集为)3,1(-，求,a b 的值； ⑵ 若()(1)()22f x f x g x +=+，求()g x 的最小值．宜宾市2020届高三第二次诊断性考试数学（文史类）试题参考答案注意：一、本解答给出了一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．[[]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.3； 14. 34； 15. Z k k k ∈++],127,12[ππππ； 16.3- 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为1242+π得41212||22πωπ+=+）（∴2=ω………………………………………………………………………………………3分Θ函数)sin(3(ϕω+=x x f ）的图象的一个对称中心为），（012π∴Z k k ∈=+⨯,122πϕπ………………………………………………………………5分Θ22πϕπ<<-∴6πϕ-=………………………………………………………………………………………6分8571.865.457.753.843.338.334.3y(万人）x9080706050403020101 2 3 4 5 6 7 8 9(2) 由（1）知：)62sin(3(π-=x x f ）∴43sin 3]6)122(2sin[3122(==-+=+αππαπα）f ∴41sin =α…………………………………………………………………………8分Θ20πα<< ∴415cos =α………………………………………………………………………………10分∴8230411522)cos sin 22)4cos(-=-⨯=-=+ααπα（…………………………12分18．解：（1）证明： Θ在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，BC CD ⊥∴在三棱锥DEF M -中MF MD ⊥,ME MD ⊥且M MF ME =I ∴MEF MD 面⊥∴EF MD ⊥ ……………………………………………………………………6分（2）ΘF E 、分别是边长为2的正方形ABCD 中BC AB 、边的中点∴1==BF BE ∴211121=⨯⨯==∆∆BEF MEF S S ∴由（1）知MD S VMEF DEFM ⋅=∆-3122131⨯⨯=31=…………………………………………………………………………12分 19.解：（1）如右图………………………………………………………………………………………2分（2）Θ2.56,29==y x 3.2968)()(8181=-=--∴∑∑==y x y x y y x x i ii ii i∑∑∑∑====--=--812812818122)()()()(i ii ii i iiy yx x y yx x376.2992.4642=⨯=∴99.0)()())((11221≈----=∑∑∑===ni ni iini i iy yx xy y x xr 具有强线性相关关系………………………………………………………………………………6分（3）Θ,05.7423.296)()()(121≈=---=∑∑==Λni ii ni ix xy y x xb48.245.405.72.56≈⨯-=-=ΛΛx b y a48.2405.7+=∴Λx y ………………………………………………………………………………10分当9=x 时，93.8747.24905.7=+⨯=y∴预测2019年我国艾滋病感染累积人数为93.87万人……………………………………12分 20. （12分）解：⑴由题意得54425)4(22=-+-x y x 192522=+∴y x 为轨迹C 的方程……………………………………………………………………6分⑵法一：设),(11y x A 到l 的距离为1425x d -=，则54||=d AF ，有154554||x d AF -== Θ19252121=+y x ，∴)251(92121x y -=1212121225425169)(||||||x x y x ON AO AN ==-+=-= 55454511=+-=+∴x x AN FA 同理5=+BN FB 10=++∴AB FB FA∴FAB ∆的周长为定值.10……………………………………………………………………12分法二：设),,(),,(2211y x B y x A 由题知0,0<>m k设直线m kx y m +=:与圆922=+y x 相切 ,312=+∴k m 即)1(922+=k m K K ①把m kx y +=代入192522=+y x 得02252550)925(222=-+++m kmx x k显然92522525,92550,02221221+-=+-=+>∆k m x x k km x x∴925225254)92550(1122222212+-⨯-+-+=-+=k m k km k x x k AB 925112022++=k k k 9251120109255010)(54105455452222121++-=++=+-=-+-=+k k k k km x x x x FB FA [10=++∴AB FB FA∴FAB ∆的周长为定值1021.解：（1）Θ0>x ∴定义域为），（∞+0 当23-=a 时函数），（013ln )(2>+-+=x x x x x f ，321)(-+='x x x f03210)(=-+='x x x f ，即令， 211==x x 或解得单调递增，单调递增，在，，在)121(),1()210()(易知+∞x f4121ln 2111)(-=-=处取得极大值，在处取得极小值在函数x x x f ………………………5分（2））（0122221)(2>++=++='x x ax x a x x x f 令0)(='x f 即01222=++ax x令122)(2++=ax x x g ，则对称轴2a x -= Θ02≥+a ∴2-≥a …………………………………………………………6分① 当22+≤-a a ，即34-≥a 时 1)2(2)2(2)2(2++++=+a a a a g091242≥++=a a 恒成立∴)(x f 在），（∞++2a 无极值点. ……………………………………………………………7分② 当22+>-a a ，即34-<a ，∴342-<≤-a 1)2(242)2(2+-+⨯=-a a a a g 122+-=a ……………………………………………………9分当0122≥+-a 时，0)('≥x f 恒成立，)(x f 无极值. ……………………………………10分当0122<+-a 时，有22>-<a a 或 ∴22-<≤-a存在)2,2(1a a x -+∈，使得0)(1=x f ，存在)2(2∞+-∈，a x ，使得0)(2=x f Θ01)2(2)2(2)2(2>++++=+a a a a g ， 01)2(242)2(2<+-+⨯=-a a a a g 当+∞→x 时，0)(>x g∴当),2(1x a x +∈时，0)('>x f ，当)(21x x x ，∈时，0)('<x f ，当)(2∞+∈，x x 时，0)('>x f ，22-<≤-a 有极值综上所述，12分22.（10分）解：⑴由2sin()3πρθ-sin cos y ρθθ= ∴ l的直角坐标方程y =+ 令0y =得点M 的直角坐标为(1,0)-, ∴点M 的极坐标为(1,)π…………………………5分 ⑵ 由⑴知l 的倾斜角为3π,参数方程为112,x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入22y px = 得23480,t pt p -+=121248,33p p t t t t ∴+== 22212121212||||||,(),()5AB MB MA t t t t t t t t =⋅∴-=∴+=Q24815()5,332p p p ∴=⨯∴=…………………………………………………………………10分 23.（10分）解：由()0f x b +>得，,x a b -<-0b ≥当时，不合题意；110,,32a b a b a b x a b a b b +=-=⎧⎧<+<<-∴⎨⎨-==-⎩⎩当时，由已知得 1,2a b ==-综上，…………………………………………………………………5分 ⑵ 1|)1(||||1|)(≥--≥+-=x x x x x g当0)1(≤-x x ，即]1,0[∈x 时，)(x g 有最小值1.………………………………10分。

2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科)含答案解析

2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1≤x＜3}D．{x|1≤x＜3}2．在复平面内，复数z=所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．2020年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（）A．5 B．6 C．7 D．104．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．B．y=|sinx|C．D．y=sin2x+cos2x5．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．6．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（5）•g（﹣3）＞0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知直线2x+y﹣10=0过双曲线的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．设，则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的（（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．设实数x，y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．110．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，它的准线与对称轴的交点为H，过点H的直线与抛物线C交于A、B两点，过点A作直线AF与抛物线C交于另一点B1，过点A、B、B1的圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则下列各式成立的是（）A．a2=r2﹣ B．a=r C．a2=r2+D．a2=r2+1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：=________．12．已知等腰三角形ABC的底边AB的长为4，则=________．13．已知α，β，，，则=________．14．某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是________．15．若存在实数x0和正实数△x，使得函数f（x）满足f（x0+△x）=f（x0）+4△x，则称函数f（x）为“可翻倍函数”，则下列四个函数①；②f（x）=x2﹣2x，x∈[0，3]；③f（x）=4sinx；④f（x）=e x﹣lnx．其中为“可翻倍函数”的有________（填出所有正确结论的番号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+6a2=1，a32=9a1a7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n，求数列{}的前n项和S n．17．某人设置一种游戏，其规则是掷一枚均匀的硬币4次为一局，每次掷到正面时赋值为1，掷到反面时赋值为0，将每一局所掷4次赋值的结果用（a，b，c，d）表示，其中a，b，c，d分别表示掷第一、第二、第三、第四次的赋值，并规定每局中“正面次数多于反面次数时获奖”．（Ⅰ）写出每局所有可能的赋值结果；（Ⅱ）求每局获奖的概率；（Ⅲ）求每局结果满足条件“a+b+c+d≤2”的概率．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b﹣c）（a﹣b+c）=bc．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）已知向量=，=（b，2），若与共线，求tanC．19．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB⊥底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点E，F，G分别是AB，OD，BC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面BOC；（Ⅱ）证明：OD⊥平面EFG；（Ⅲ）求三棱锥G﹣EOF的体积．20．已知椭圆Γ：的离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点E（0，4）作关于y轴对称的两条直线分别与椭圆Γ相交，y轴左边的交点由上到下依次为A，B，y轴右边的交点由上到下依次为C，D，求证：直线AD过定点，并求出定点坐标．21．已知函数f（x）=me x﹣x﹣2．（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（0，1），求曲线f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＞0在R上恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）的两个零点为x1，x2，且x1＜x2，求的值域．2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1≤x＜3}D．{x|1≤x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x≤1}，故选：A．2．在复平面内，复数z=所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，即可判断对应点所在象限．【解答】解：复数z==（1﹣i）﹣i=﹣i，复数对应点为（，﹣）在第四象限．故选：D．3．2020年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（）A．5 B．6 C．7 D．10【考点】分层抽样方法．【分析】先计算青年职工所占的比例，再根据样本容量即可计算中青年职工抽取的人数．【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为350：500：150=7：10：3，根据分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数=7，故选：C．4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．B．y=|sinx|C．D．y=sin2x+cos2x【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】先化简函数的解析式，再利用正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由于y=cos（2x+）=﹣sin2x为奇函数，它的图象的关于原点对称，故排除A；由于y=|sinx|的最小正周期为π，且它是偶函数，图象关于y轴对称，故满足条件；由于y===﹣sin2x为非奇非偶函数，它的图象不关于y轴对称，故排除C；由于y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，它的图象不关于y轴对称，故排除D，故选：B．5．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣5，则输出y的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当x=﹣5时，满足进行循环的条件，故x=8，当x=8时，满足进行循环的条件，故x=5，当x=5时，满足进行循环的条件，故x=2，当x=2时，不满足进行循环的条件，故y==﹣1，故选：A6．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（其中a＞0且a≠1），若f（5）•g（﹣3）＞0，则f（x），g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用条件f（5）•g（﹣3）＞0，确定a的大小，从而确定函数的单调性．【解答】解：由题意f（x）=a x﹣2是指数型的，g（x）=log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（5）•g（﹣3）＞0，可得出g（﹣3）＞0，则g（3）＞0因为a＞0且a≠1，所以必有log a3＞0，解得a＞1．所以函数f（x）=a x﹣2，在定义域上为增函数且过点（2，1），g（x）=log a|x|在x＞0时，为增函数，在x＜0时为减函数．所以对应的图象为C故选：C．7．已知直线2x+y﹣10=0过双曲线的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得直线2x+y﹣10=0与x轴的交点，可得c=5，求出渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=2b，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：直线2x+y﹣10=0经过x轴的交点为（﹣5，0），由题意可得c=5，即a2+b2=25，由双曲线的渐近线方程y=±x，由直线2x+y﹣10=0和一条渐近线垂直，可得：=，解得a=2，b=，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：B．8．设，则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的（（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先判定函数f（x）的奇偶性与单调性，即可得出．【解答】解：∵，x∈R．∴f（﹣x）+f（x）=（﹣x）5++x5+ln=ln（﹣x2+x2+1）=0，∴函数f（x）是R上的奇函数，又函数f（x）在R上单调递增．则对任意实数a，b，“a+b≥0”⇔a≥﹣b⇔f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）⇔“f（a）+f（b）≥0”．∴对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要条件．故选：C．9．设实数x，y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得a值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），联立，解得B（），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z分别经过A，B时，直线y=﹣2x+z在y轴上的截距有最小值和最大值，z有最小值和最大值，则，解得a=1．故选：D．10．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，它的准线与对称轴的交点为H，过点H的直线与抛物线C交于A、B两点，过点A作直线AF与抛物线C交于另一点B1，过点A、B、B1的圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则下列各式成立的是（）A．a2=r2﹣ B．a=r C．a2=r2+D．a2=r2+1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，取A（4，4），直线AB：y=（x+1），求出B的坐标，进一步求出B1的坐标，即可得出结论．【解答】解：由题意，取A（4，4），直线AB：y=（x+1），代入y2=4x，可得4x2﹣17x+4=0，∴可得B（，1），直线AF的方程为y﹣0=（x﹣1）代入y2=4x，可得4x2﹣17x+4=0，∴可得B1（，﹣1），AB的中点为（，），线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣），令y=0，可得x=，∴a=，r2=（﹣4）2+（0﹣4）2=，∴r2+1==a2，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：=．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：=2﹣2+=．故答案为：．12．已知等腰三角形ABC的底边AB的长为4，则=8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，进行数量积的运算便可得到，而，从而便可得出的值．【解答】解：如图，=．故答案为：8．13．已知α，β，，，则=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知可求角α+β，的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），sin（），由=sin[（α+β）﹣（）]利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α，β，，，∴α+β∈（，2π），=（，），可得：sin（α+β）=﹣=﹣，sin（）==，∴=sin[（α+β）﹣（）]=sin（α+β）cos（）﹣cos（α+β）sin （）=（﹣）×（﹣）﹣=．故答案为：．14．某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体是三棱锥，根据三视图数据计算表面积．【解答】解：由三视图得到几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，高为1，它的四个面分别是边长为2 的等边三角形，两个直角边分别为1，2的直角三角形，腰长为，底边为2的等腰三角形，如图：所以其表面积为=4+；故答案为：15．若存在实数x0和正实数△x，使得函数f（x）满足f（x0+△x）=f（x0）+4△x，则称函数f（x）为“可翻倍函数”，则下列四个函数①；②f（x）=x2﹣2x，x∈[0，3]；③f（x）=4sinx；④f（x）=e x﹣lnx．其中为“可翻倍函数”的有①④（填出所有正确结论的番号）．【考点】函数的值．【分析】假设是可翻倍函数，从而可得f（x0+△x）=，f（x0）+4△x=4△x+，从而化简可得4（+）=1，存在即可；从而依次判断即可．【解答】解：假设是可翻倍函数，而f（x0+△x）=，f（x0）+4△x=4△x+，故﹣=4△x，故=4△x，故4（+）=1，故x0=，△x=3•时，成立，故①正确；而f（x0+△x）=（x0+△x）2﹣2（x0+△x），f（x0）+4△x=（x0）2﹣2x0+4△x，故2x0△x+△x2﹣6△x=0，故x0==3﹣，故x0+△x=3﹣+△x=3+＞3，故②不成立；同理可得，③不正确，④正确；故答案为：①④．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+6a2=1，a32=9a1a7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n，求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】解：（Ⅰ）由等比数列的关系可得到a1、q，即可写出通项公式，（Ⅱ）根据对数函数性质，b n=，=，再累计求前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列公比为为q，因各项为正，有q＞0由∴（n∈N*）（Ⅱ）b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n=log3（a1•a2…a n）==∴∴的前n项和=17．某人设置一种游戏，其规则是掷一枚均匀的硬币4次为一局，每次掷到正面时赋值为1，掷到反面时赋值为0，将每一局所掷4次赋值的结果用（a，b，c，d）表示，其中a，b，c，d分别表示掷第一、第二、第三、第四次的赋值，并规定每局中“正面次数多于反面次数时获奖”．（Ⅰ）写出每局所有可能的赋值结果；（Ⅱ）求每局获奖的概率；（Ⅲ）求每局结果满足条件“a+b+c+d≤2”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）一一列举即可，（Ⅱ）设每局获奖的事件为A，以（Ⅰ）中结果为基本事件，A所含的基本事件有5个，根据概率公式计算即可，（Ⅲ）设满足条件“a+b+c+d≤2”的事件为B，由（Ⅰ）知B所含的基本事件有11个，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）每局所有可能的赋值结果为：（1，1，1，1），（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，1，0，0），（1，0，1，1），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（1，0，0，0），（0，1，1，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，1，0，0），（0，0，1，1），（0，0，1，0），（0，0，0，1），（0，0，0，0）（Ⅱ）设每局获奖的事件为A，以（Ⅰ）中结果为基本事件，A所含的基本事件有5个，∴每局获奖的概率P（A）=，（III）设满足条件“a+b+c+d≤2”的事件为B，由（Ⅰ）知B所含的基本事件有11个，∴P（B）=法2：a+b+c+d≤2⇔所掷4次中至多2次正面向上，为（Ⅱ）中A的对立事件，∴18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b﹣c）（a﹣b+c）=bc．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）已知向量=，=（b，2），若与共线，求tanC．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（Ⅰ）整理已知等式可得b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理可得，结合范围0＜A＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）由m与n共线可得，由正弦定理可得，结合sinB=sin（A+C），由三角函数恒等变换的应用即可求值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵（a+b﹣c）（a﹣b+c）=bc，∴a2﹣b2﹣c2+2bc=bc，∴b2+c2﹣a2=bc…由余弦定理知：∵b2+c2﹣a2=2bccosA，…∴，∵0＜A＜π，∴…（Ⅱ）∵m与n共线∴，…由正弦定理知：，…又∵在△ABC中，sinB=sin（A+C），∴，…即：，∴…19．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB⊥底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点E，F，G分别是AB，OD，BC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面BOC；（Ⅱ）证明：OD⊥平面EFG；（Ⅲ）求三棱锥G﹣EOF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）取OC的中点H，连接FH，BH，根据中位线定理和平行公理可知四边形BEFH 是平行四边形，故EF∥BH，于是EF∥平面BOC；（II）连结DE，OE，DG，OG，通过勾股定理计算可知DE=OE=D=OG=，由三线合一得出OD⊥EF，OD⊥FG，于是OD⊥平面EFG；（III）根据中位线定理计算EG，得出△EFG是边长为的正三角形，以△EFG为棱锥的底面，则OF为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【解答】（Ⅰ）证明：取OC的中点H，连接FH，BH，∵F，H分别是OD，OC的中点，∴FH，又∵在正方形ABCD中，E是AB的中点，∴EB，∴EB FH，∴四边形BEFH是平行四边形，∴EF∥BH，又∵EF⊄平面BOC，BH⊂平面BOC，∴EF∥平面BOC．（Ⅱ）证明：连结DE，OE，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，∴∵侧棱OB ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ， ∴OB ⊥AB又∵OB=2，EB=1，∴， ∴，∴△ODE 是等腰三角形， ∵F 是OD 的中点，∴EF ⊥OD ．同理DG=OG=，∴△ODG 是等腰三角形， ∵F 是OD 的中点，∴FG ⊥OD ．又∵EF ∩FG=F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂面EFG ， ∴OD ⊥平面EFG ．（Ⅲ）解：∵侧棱OB ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ， ∴OB ⊥BD ，∵四边形ABCD 是边长为2的正方形， ∴BD=2，∴OD==2．∵F 分别是OD 的中点，∴， ∵，EF ⊥OD ，，FH ⊥OD ， ∴，，∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，E ，G 是AB ，BC 的中点， ∴EG==，∴三角形EFG 是等边三角形，∴，∴V G ﹣OEF =V O ﹣EFG ===．20．已知椭圆Γ：的离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点E （0，4）作关于y 轴对称的两条直线分别与椭圆Γ相交，y 轴左边的交点由上到下依次为A ，B ，y 轴右边的交点由上到下依次为C ，D ，求证：直线AD 过定点，并求出定点坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2，列出方程组，求出a，b，c，由此能求出椭圆Γ的方程．（Ⅱ）设AB方程为y=kx+4（k＞0），代入，得（1+2k2）x2+16kx+24=0，由此利用韦达定理、椭圆对称性，结合已知条件能证明AD恒过定点（0，1）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆Γ：的离心率等于，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2，∴由已知，解得，∴椭圆Γ的方程为证明：（Ⅱ）由已知可设AB方程为y=kx+4（k＞0），代入，得（1+2k2）x2+16kx+24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由对称性知D（﹣x2，y2），∴AD方程为，∵y1=kx1+4，y2=kx2+4，∴AD方程可化为===∴AD恒过定点，定点为（0，1）21．已知函数f（x）=me x﹣x﹣2．（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（0，1），求曲线f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＞0在R上恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）的两个零点为x1，x2，且x1＜x2，求的值域．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出m的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）问题转化为，令，根据函数的单调性求出u（x）的最大值，从而求出m的范围即可；（Ⅲ）令x2﹣x1=t（t＞0），构造函数，根据函数的单调性求出g（t）的范围，从而求出函数的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）当x=0时，f（0）=m﹣2=1⇒m=3，f′（x）=3e x﹣1，f′（0）=3﹣1=2，∴所求切线方程y=2x+1，即2x﹣y+1=0（Ⅱ）由f（x）＞0，得：me x﹣x﹣2＞0，即有，令，则，令u′（x）＞0⇒x＜﹣1，u′（x）＜0⇒x＞﹣1，∴u（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，∴u（x）max=u（﹣1）=e，∴m＞e（III）由题意，，，==，令x2﹣x1=t（t＞0），又，∴g（t）在（0，+∞）上单调递减∴g（t）＜g（0）=0∴g（t）∈（﹣∞，0）∴的值域为（﹣∞，0）2020年9月7日。

2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科)

三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 设函数
的图象的一个对称中心为
，
且图象上最高点与相邻最低点的距离为
．
（）求 ω 和 φ 的值；
第 2 页，共 16 页
（2）若
，求
的值．
18. 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 边的中点，将△AED，△DCF 分别沿 DE，DF 折起，使得 A，C 两点重合于点 M．（1）求证：MD⊥EF；（2）求三棱锥 M-EFD 的体积．
第 3 页，共 16 页
参考数据：
；
，
参考公式：相关系数
回归方程
中，
，
，
，
，
．
20. 已知点 M（x，y）与 F（4，0）的距离和它到直线
的距离的比是常数．
（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）设 N 是圆 E：x2+y2=9 上位于第四象限的一点，过 N 作圆 E 的切线 l0，与曲线 C 交于 A，B 两点．求证：△FAB 的周长为 10．
则 log2a1+log2a2+…+log2a10=（）
A. 12
B. 10
C. 5
8. 已知△ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且
AB 边上的中线的长为（）
D. 2+log25
，则
A.
B.
C. 或
D. 或
9. 函数
的大致图象为( )
第 1 页，共 16 页
A.
B.
C.
D.
一直线 l2：2kx+2y-3k-3=0 与圆 M 交于 C，D 两点，则四边形 ACBD 面积的最大值

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宜宾市高中２００９级第二次诊断性考试题
数学（文史类）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+ 24πS R =
如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径
()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=L ，，，
一、选择题
⑴ 若集合}4,3,2,1{=A ，}8,7,4,2{=B ，}9,5,4,3,1{=C ，则集合C B A I Y )(＝
(A) }4,2{
(B) }4,3,2,1{ (C) }8,7,4,2{ (D) }4,3,1{ ⑵ 已知函数23)(1-=-x x f ，那么函数)(x f 的反函数)(1x f
-的定义域为 (A) }2|{>x x (B) }1|{>x x (C) }2|{->x x
(D) R ⑶ 已知向量)sin ,cos (,)cos ,(sin αααα-=-=，则⋅＝
(A) α2sin - (B) α2cos (C) α2sin (D) 1
⑷ 从总数为M 的一批零件中用简单随机抽样方法抽取一个容量为25的样本，若每个零件被抽取的概率都为25.0，则M 等于
(A) 200 (B) 150 (C) 100 (D) 80
⑸ 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
(A) 若α∥β，,l a n β⊂⊂，则l ∥n (B) 若l ⊥α， l ∥β，则α⊥β
(C) 若α⊥β，l a ⊂，则l ⊥β (D) 若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m ⑹ 若0,0>>b a 且1≠a ,则“0log >b a ”是“0)1()1(>-⋅-b a ”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
⑺ 若正项数列}{n a 满足21=a ，0432121=--++n n n n a a a a ，则}{n a 的通项公式为
(A)n n a 2= (B) 122-=n n a (C) 122+=n n a (D) 322-=n n a
⑻ 如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是
(A)]2,0[ (B) ]1,0[ (C) ]21,0[ (D) ]0,2
1[- ⑼ 若ππ43<<x ，则2
cos 12cos 1x x -++等于 (A))24cos(2x -π
(B) )2
4cos(2x --π (C) )24sin(2x -π (D) )2
4sin(2x --π ⑽ 设实数)0(∞+∈，、、c b a ，则三个数c c b b a a 1,1,1+++的值必满足 (A) 都大于２ (B) 都小于２
(C) 至少有一个不大于２ (D) 至少有一个不小于２
⑾ 已知长方体的三个相邻面的面积分别为２、３、６，且这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的球面积为 (A)27π (B) π14 (C)π56 (D) π64
⑿ 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21F F 、， B A 、是以点O 为圆心（O 为坐标原点），以||1OF 为半径的圆与椭圆在第二、三象限的两个交点，且AB F 2∆为等边三角形，则椭圆的离心率e 的值是 (A)324- (B) 21 (C) 13- (D) 12-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
(13) 已知n
x x )1(+展开式的各项系数之和大于32且小于128，则展开式中的常数项是 (14) 已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≤+-≥50121y x y x x ，且目标函数y x Z -=2的最大值是 .
(15) 在三棱锥ABC S -中，已知⊥SA 底面ABC ，D AB SA ,3,4==为AB 的中点，且︒=∠90ABC ，则点D 到面ABC 的距离等于 .
(16）给出下列几个命题：
①若函数()f x 的定义域为R ，则()()()g x f x f x =+-一定是偶函数；
②若()f x 是定义域为R 的奇函数,对于任意的x ∈R 都有()(2)0f x f x +-=,则函数()f x 的图象关于直线1x =对称；
③已知1x ,2x 是函数()f x 定义域内的两个值，且12x x <，若12()()f x f x >，则()f x 是减函数；
④ 若f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x +2)也为奇函数，则f (x )是以4为周期的周期函数.
其中正确的命题序号是________（写出所有正确命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17) 在ABC ∆中，已知552)2sin(
=+A π. (Ⅰ) 求A 2tan 的值；
(Ⅱ) 若10,10
103cos ==c B ，求ABC ∆的面积.
(18）在某次考试中，第14题和第15题为选做题，规定每位考生必须且只须在这两题中选做一题.设4名考生选做第14题或第15题的可能性均为
2
1. (Ⅰ) 求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(Ⅱ) 求这4名考生中有3名选做同一道题的概率.
(19) 在矩形ABCD 中，已知22==AB AD ，设点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到EC D '∆的位置，使二面角B EC D --'是直二面角.
(Ⅰ) 证明：'CD BE ⊥；
(Ⅱ) 求二面角E BC D --'的大小.
(20) 对于数列}{n a ，若满足*)(1N n a a a n n n ∈-=∆+就定义}{n a ∆为数列}{n a 的一阶差分数列.
(Ⅰ) 若数列}{n a 的通项公式为*)(2
13252N n n n a n ∈-=，求}{n a ∆的通项公式； (Ⅱ) 若数列}{n a 的首项是１，且n n n a a 2=-∆，设n n n a b 2=
，求}{n b 的通项公式并求}{n a 的前n 项和n S .
(21) 已知函数x bx x x f 33)(23++=有极值点.
(Ⅰ) 求函数)(x f 的单调区间并求b 的取值范围；
(Ⅱ) 若)(x f 有两个极值点21x x 、，且0)()(21=+x f x f ，求b 的值.
(22) 已知点)1,0(F ，直线1:-=y l ，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且⋅=⋅.
(Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；
(Ⅱ) 设过动点P （非原点）处作轨迹C 的切线与y x 、轴分别交于E D 、点，若λ=，求λ的值；
(Ⅲ) 过点)1,0(M 作直线m 交轨迹C 于B A 、两点，若8-=⋅，求FAB ∆的面积.
A B C D E D ’。

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