线性控制系统课件

变量中线性无关的一个极大变量组，也即x1(t), x2(t),
…, xn(t)以外的系统内部变量都必和它们线性相关。
(3) 状态变量组的不唯一性 对一个动态系统，状态变量组 x1(t), x2(t),…, xn(t)的
选取一般具有不唯一性。导致不唯一性的原因在于
系统内部变量的个数一般必大于状态的维数 n, 而任
增加行为表征的信息量即是完全表征系统行为所不需要
的。
(6) 有穷维系统和无穷维系统
动态系统的维数定义为其状态的维数。用 Σ表示系
统，x 表示系统的状态，n=dim x 为状态的维数，则有
dim Σ = dim x = n.
若维数 n 为有穷正整数，称相应系统为有穷维系统 物理上一切集中参数系统都属于有穷维系统；若维数 n为无穷大，称相应系统为无穷维系统，物理上一切分 布参数系统属于无穷维系统。
t t0
(3.9)
y1 g1 ( x1 , , xn ; u1 , , u p ; t ) y2 g 2 ( x1 , , xn ; u1 , , u p ; t ) , y g (x , , x ;u , , u ;t) q 1 n 1 p q
那么，进而可将式(3.4)表为向量方程，
x = Py
(3.5)
同理，通过将 yi (i=1,2, …,n) 表为 xi (i=1,2, …, n) 的一个线性组合，可得到对应的向量方程，
y = Qx
(3.6)
其中，Q为参数矩阵。由式(3.5)和(3.6)可得，
x = PQx, y = QPy
这表明，成立：
。
d 2 y(t ) 1 dy(t ) 1 1 y(t ) u (t ) 2 RC dt LC RLC dt
(3.2)
选择电感电流i和电容两端电压v为内部变量， 则状态空间模型为：
di(t ) 1 1 v ( t ) u ( t ) 0 d (t ) L L 1 1 dv(t ) 1 i(t ) v(t ) d (t ) RC C C 1 1 i(t ) L u (t ) L 1 v(t ) RC 0
定义3.6
动态系统的状态定义为完全表达系统时间域行为的
一个最小内部变量组。这个变量组的变量称为状态变
量，记为x1(t), x2(t), …，xn(t).
(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))=x(t), t≥t0称为系统的状态向量。
状态向量的特性
(1) 状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻t0的任意初始状态变量组
(7) 状态空间的属性
状态空间直观上可理解为状态向量取值的一个向量
空间。基于所有现实动态系统的状态变量 x1(t), x2(t),
…, xn(t)只能取为实数值的事实，考虑到dim x=n，因此
状态空间即为建立在实数域 上的一个 n 维向量空间
n. 对某个确定时刻状态表示为状态空间中的一个点,
线性无关的内部变量。
(2)运用元件和电路的物理定律，列出电路原始
回路方程。
(3) 导出状态方程和输出方程。
例3.2 人口分布问题是一个典型的社会系统。通过对人口
分布问题建立状态空间描述模型，可以分析和预测人口分 布的发展态势。这里所讨论的是一个经过适当简化的城乡 人口分布问题。假设某个国家，据普查统计2001年城乡人
定义3.9 系。
对于图3.3所示的动态系统，其状态空间模型
反映了系统内部变量和外部变量的因果关系和转换关
u (t )
动态 部分
x (t )
输出 部分
y (t )
图3.3 动态系统方块图
x1 f1 ( x1 , , xn ; u1 , , u p ; t ) x2 f 2 ( x1 , , xn ; u1 , , u p ; t ) x f (x , , x ;u , , u ;t) n 1 n 1 p n
PQ = QP I
即矩阵P和Q互逆。从而，系统的任意选取的两个 状态之间为线性非奇异变换的关系。 （可以互相线性表出）
(5) 状态变量组最小性的物理特征 从物理直观上看，定义中“状态变量组 x1(t), x2(t), …,
xn(t)为最小”的含义是指，减少其中的一个变量就会破
坏它们对系统行为表征的完全性，而增加一个变量将不
有
x1 p11 y1 x p y n1 1 n
p1n yn
(3.4)
pnn yn
对变量和参数引入向量和矩阵表示，
x1 y1 p11 , y , P x xn yn pn 1 p1n pnn
图3.2 RLC电路
解：由基尔霍夫定律得
di (t ) u ( t ) L v(t ) dt dv(t ) y (t ) i (t ) C dt v(t ) y (t ) R
i(t 0 ) i0 , v(t 0 ) v0
(3.1)
其中
其输入／输出模型为：
y, u分别是系统的输出量和输入量，n ≥m.
定义3.8 设 y 、u分别是系统的 q 维输出和 p 维输入向量 动态系统的输入/输出模型为 (3.8)
y ( n ) f ( y ( n 1) ,
其中，n ≥ m.
, y, y, u( m ) ,
, u, u, t )
根据函数的形式可以进行如下分类: 非线性系统：f 为 q 维非线性函数向量 线性系统： f 为 y 和 u 的线性函数 时不变系统： 当 f 不显含 t 时变系统：当 f 不显含 t
其中，k = 0, 1, …, 而反映全国人口变化态势的输出变量方程为
y(k) = x1(k) + x2(k)
(4) 导出向量方程形式的状态空间描述.
4 x1 (k 1) 0.9696 0.0202 x1 (k ) 5.05 10 u (k ) x (k 1) 0.0404 0.9898 x (k ) 4 2 5.05 10 2
y (t ) 0
1 i (t ) R v(t )
(3.3)
线性系统的状态空间描述
动力学系统的状态空间描述是建立在状态和状态
空间概念的基础上的。如何建立状态空间描述
(1) 选取状态变量：考虑到给定电路只含有电容C
和电感L两个独立储能元件，可知系统有且仅有两个
x1 (k ) y (k ) 1 1 x ( k ) 2
总结
输入/输出(I/O)模型只是对系统的一种不完全描述， 它不能反映系统内部（黑箱）的某些部分信息。而状态 空间模型则是基于系统内部结构的分析，由两个微分方 程和一个代数方程组成。把反映系统内部变量组与输入 变量组之间因果关系的数学表达式，常是差分方程与微 分方程形式，称为状态方程；另一个是表征系统内部变 量组及输入变量组和输出变量组间的转换关系的代数方 程，称为输出方程。
量是系统的内部变量，常用x表示。
通常一个系统可用方块图来表示
u 动态系统x
图3.1 系统的方框图表示
y
定义3.5 系统模型就是反映系统变量间的因果关系和 变换关系的一种数学模型。根据不同变量组间的因果 关系来表征动态过程，系统模型分为外部描述模型和
内部模型。外部模型又称为输入/输出模型；内部描
述模型又称为状态空间模型。
x1(t0), x2(t0),…, xn(t0)
和 t≥t0 各时刻的任意输入变量组
u1(t), u2(t),…,up(t)
则系统的任何一个内部变量在 t≥t0 时刻的运动行为
也就随之而完全确定了。
(2) 状态变量组最小性的数学特征 从数学的角度看，定义中“状态变量组 x1(t), x2(t),
…, xn(t)为最小”的含义是指，它们是系统所有内部
二、举例
例3.1 RLC电路系统的动态模型 若在初始时刻 t0 时，已知初始电感电流 i(t0)=i0 及初 始电容电压 v(t0)=v0 和 t t0 时输入电压 u(t), 则电路从t0 时刻起的特征就被确定。设 y(t) 为通过负载的电流。
i (t ) L u(t) C v (t ) R y (t )
在研究它的扭转运动时，必须考察其内部各点的
运动，把它当作分布参数系统。
但在研究它的运动轨线时，就不必逐点考虑
其内部运动，把质量集中到质心分析，即把它当
作集中参数系统。
分布参数系统的典型实例有: 电磁场、引力场、 温度场等物理场。此外, 若运动过程包含因在某种场 内传递而造成的时滞,则这种时滞系统也属于分布参 数系统。 分布参数系统广泛应用于热工、化工、导弹、 航天、航空、核裂、聚变等工程系统，以及生态系 统、环境系统、社会系统等。
3-1. 系统模型的建立
一、基本概念
定义3.1 动态系统是指其行为可用时间函数表示的 任何过程，这个过程由有限个微分方程(常微 分方程组，微分-代数方程组、偏微分方程组、 泛函微分方程组或随机微分方程组)确定，如 工程系统、生物系统、经济系统和社会系统 等。
定义3.2 系统的输入是指由外部源（环境）加到系统上 的全部激励，常用u表示。 定义3.3 系统的输出是指系统对环境的作用，由能从外 部直接观测到的信息组成，常用y表示。 定义3.4 系统中用以刻划系统在每个时刻所处状况的变
口的分布是，城市人口为1千万即107, 乡村人口为9千万即
9×107. 人口的自然流动状况是，每年有4%上一年城市人
口迁移去乡村，同时有2%上一年乡村人口迁移去城市。人
口增长情况是，整个国家人口的自然增长率为1%. 我们的 目的是要来建立反映这个国家城乡人口分布的状态空间模 型。