传热学-第四章-热传导问题数值解法
《传热学》第4章-导热问题的数值解法
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
= ti, j
−
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
4适用于内节点和边界节点3二控制容积热平衡法0nsew根据导热付里叶定律对于垂直于纸面方向单位宽度而言01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijixttyjijiw?????1xttyjijie????1yttxjijis?????1yttxjijin????1二控制容积热平衡法如果选择步长??xy01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijitttttijijijijij???111140二维稳态导热均匀步长情况下的节点温度差分方程1上上式为内部节点温度差分方程二控制容积热平衡法2边界节点温度差分方程第一类边界条件边界节点温度已知
四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
传热学第四章
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
a)温度分布；b)两侧表面上导热量随时间的变化
图4-1
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
（1）温度场：【如图4-1a）所示】 ①首先，紧挨高温表面部分的温度很快上升， 而其余部分仍保持原来的温度t0，如图中曲线FBC所示； ②其次，随着时间的推移，温度变化波及的范围不断扩大， 以致在一定时间以后，右侧表面的温度也逐渐升高， 如图中曲线FC、FD所示； ③最后，达到一个新的稳态导热时，温度分布保持恒定， 如图中曲线FE所示。（λ为常数时，FE 为直线。）
t f ( x, y, z, )
dt （3）物体在非稳态导热过程中的温升速率： d
（4）某一时刻物体表面的热流量Φ(W) 或从某一时刻起经过一定时间后表面传递的总热量Q(J)。 要解决以上问题，必须首先求出： 物体在非稳态导热过程中的温度场。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
※求解非稳态导热过程中物体的温度场，通常可采用
第四章 非稳态导热
第一节 概 述 一、基本概念
非稳态导热即指温度场随时间而变化的导热过程 1、定义（P53）
t f ( x, y, z, )
※在自然界和工程中有许多非稳态导热问题。 例如，锅炉、蒸汽轮机和内燃机等动力机械在起动、停机和变 工况运行时的导热； 又如，在冶金、热处理和热加工等过程中，工件被加热或冷却 时的导热； 再有，大地和房屋等白天被太阳加热、夜晚被冷却时的导热。 ※由此可见，研究非稳态导热具有很大的实际意义。
l
—— 导热物体的某一尺寸，详见后述。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
1、毕渥数Bi （P55）
有时用引用尺寸l
e
l ——导热物体的某一尺寸
传热学第4章 导热问题的数值解法
2014-10-1
-9-
第4章 导热问题的数值解法——§4-0 引言
●第二阶段，开始走向工业应用阶段(1975－1984)
（5）1981年英国的CHAM公司把PHOENICS软件正式投入市场，开创了 CFD&NHT商用软件市场的先河。 （6）1982年Rhie与Chou提出了同位网格方法。 随着计算机工业的进一步发展，CFD/NHT的计算逐步由二维向三维，由规则 区域向不规则区域，由正交坐标系向非正交坐标系发展。于是，为克服棋盘 形压力场而引入的交错网格的一些弱点，1982年Rhie与Chou提出了同位网格 方法[50]。这种方法吸取了交错网格成功的经验而又把所有的求解变量布臵在 同一套网格上，目前在非正交曲线坐标系的计算中得到广泛的应用。 （7） SIMPLER与SIMPLEC算法 关于处理不可压缩流场计算中流速与压力的耦合关系的算法，在这一段时期 内也有进一步的发展，先后提出了SIMPLER，SIMPLEC算法。
理量的值；并称之为数值解； (3) 实验法：就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法。 3、三种方法的特点 (1) 分析法 a. 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b. 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c. 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性； 与实验法相比成本低。 (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好；b 费用昂贵
《传热学》课程教学大纲-蔡琦琳
《传热学》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标(-)总体目标：《传热学》是研究由温差引起的热能传递规律的科学，是建筑环境与能源应用工程专业的一门基础课程和学位课程。
在制冷、热能动力、机械制造、航空航天、化工、材料加工、冶金、电子与电气和建筑工程等生产技术领域中存在大量的传热问题，课程旨在使学生掌握传热的基本概念、基本原理和计算方法，使学生对热量传递这一普遍存在的现象有理性的认识，并能熟练运用基础知识来思考、分析和解决实际传热问题。
(二)课程目标：本课程旨在使学生掌握热量传递的三种基本方式及其物理机制，掌握传热基础理论与计算方法；掌握传热学的基本实验，具备分析工程传热问题的能力，能够解决增强传热、削弱传热和温度控制等工程传热问题；了解传热学的前沿知识及其在科学技术领域的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力，以及团队合作意识。
课程目标1：系统深入学习，掌握传热基础理论与计算方法。
1.1 掌握传热的基本概念、理论、机理及影响因素；1.2 掌握热传导、热对流和热辐射三种传热模式的基本公式，能够进行各种工况下传热量的计算，并能对工程传热问题进行描述和分析。
课程目标2：掌握传热实验，应用传热学知识，解决工程传热问题。
2.1 掌握传热学中的实验研究方法，使学生对热量传递这一普遍存在的现象有理性的认识。
2.2 根据所学传热理论和实验知识，熟练掌握增强或削弱热能传递过程的方法，能够在工程应用中对热能有效利用、热力设备效率的提高、节能降耗技术等问题从传热学角度进行思考、分析和解决问题。
课程目标3：培养学生的自主学习意识、团队合作能力、口头和书面表达能力，探索传热学前沿科学知识。
3.1 通过课堂分组讨论等方式培养团队合作意识、沟通交流能力和对工程问题进行清清晰表达的能力；3.2 通过课外文献调研并撰写课程报告，提升文献查阅能力和书面表达能力。
(H)课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系三、教学内容第一章结论1 .教学目标（1）了解传热的定义；了解传热学的研究内容及其在生活和工程中的应用；（2）掌握热量传递的三种基本方式及其物理机理；（3）掌握傅里叶定律、牛顿冷却定律及斯忒藩定律，并能应用这三个定律分析基础传热问题；（4）了解传热过程的特点以及电.热模拟的作用和意义；（5）掌握热流密度、热阻和综合传热系数的计算方法。
第四版传热学第四章习题解答
第四章复习题1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。
2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。
3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。
4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式表示来建立。
试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。
5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之．6．什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？8．有人对一阶导数()()()221,253x t t t x t i n i n i n in ∆-+-≈∂∂++你能否判断这一表达式是否正确，为什么？ 一般性数值计算4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。
试用数值方法对Bi=0.1,1,10的三种情况计算下列特征方程的根:)6,2,1( =n n μ3,2,1,tan ==n Binn μμ并用计算机查明，当2.02≥=δτa Fo 时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计算中用前六项之和来替代）可能引起的误差。
Bi n n =μμtanFo=0.2及0.24时计算结果的对比列于下表：第一项的值 0.94513 0.61108 0.10935 前六项的值 0.94688 0.6198 0.11117 比值 0.998140.986940.98364 Bi=0.1 Bi=1 Bi=10 第一项的值 0.99277 0.93698 0.77311 前六项和的值0.99101 0.92791 0.76851 比值1.001771.009781.005984-2、试用数值计算证实，对方程组⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+5223122321321321x x x x x x x x x用高斯-赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。
热传导问题的数值解法
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离
散，而是直接对元体应用热力学第一定律
和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 w
e
散方程。
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热
问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
s
w e n s 0
➢ 从元体西界面导入的热量为: ➢ 从元体东界面导入的热量为: ➢ 从元体北界面导入的热量为: ➢ 从元体南界面导入的热量为:
控制方程
t
a
2t x2
对该方程，扩散项在i时刻采用中心差分格式， 非稳态项取向前差分格式进行离散，得：
t (i1) n
t (i) n
a
t (i) n1
2tn(i)
x2
t (i) n1
t (i1) n
a x 2
t t (i)
(i)
n1 n1
1
2a x 2
t
(i n
)
上述离散方程一旦i时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未 知量，因此可以立即求出i+1时层上各内部节点的温度，而不必联立求解
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
tm1,n
tm1,n
2tm,n
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
2t x 2
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
0(x2 )
m,n
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t
tm1,n tm1,n 2tm,n
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场 分布
传热学课件第四章 导热问题数值解法基础
i , j
t x
t i 1 , j t i , j x
0 x
2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：
i , j
t x
t i , j t i 1 , j x
0 x
第一节 建立离散方程的方法
二、泰勒级数展开法（有限差分法）
k 2 k 1
对 流 h t f t1 A
k k
显式
△x
C.内能增量△u：
u c
x 2
A t1
k
k 1
t1 /
k
△x/2
k hx
据热平衡A+B=C并整理得：
k f
t 2 t1
k
t
t1
k
1 2
c
x
2
t1
k 1
LP
△y
t i 1 , j t i , j x
t i , j 1 t i , j y
y 2
x 2
1
BP
1
x 2
y 2
EP h t f t i , j
△x
1
FP h t f t i , j
t x
t
2
2
x i , j 2!
2
t x
3
x i , j 3!
3
3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：
i , j
t x
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n=N
元体（element）或控制容积 （control volume）：相邻两 节点中锤线构成的区域。
(m,n)
相邻节点之间的距离—— 步长（step length）
y
y
n=1 m=1
x
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x
m
m=M
8
3.建立物理量的代数方程
节点(m,n)上物理量的代数方程称为离散方程（discretization equation），是数值 求解的重要环节。
同理，在y轴方向有：
这种使用被离散点本身、前后两点作近似的差分方法称为——中心差分 传热学中常用到的一阶二阶导数的差分表达式如下表所示（均分网格）：
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13
Wednesday, November 07, 2018
14
二. 热平衡法
思路：类似于导热微分方程的推导，利用傅里叶定律，直接写出每个控制体的能量守 恒方程。
导热微分方程+边界条件+初始条件
稳态问题：直接积分法 非稳态问题：分离变量法 解析解（analytical solution）
工程实际中面临的大部分问题几何形状和边界条件要复杂的多，由于数学上 的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依 据，不能解决实际问题。
Wednesday, November 07, 2018
4.设立迭代初场
代数方程组的解法分为直接解法和迭代法，有限差分解法主要采用迭代法。其中 每一个未知数都需要给定一个初值，其合集称之为初场（initial field）
5.求解代数方程组
各项系数（l等）经确定后，在求解过程中不发生变化
线性问题 非线性问题
r，c，l，e随温度变化
各项系数在每次迭代中更新
6
研究对象：二维，稳态，常物性，无内热源导热问题
1.建立控制方程，给出定解条件：
B.C.
Wednesday, November 07, 2018
7
2.区域离散化-建立网格系统
网格线：一系列与坐标轴平行且相互交叉的网格线，将求解区域划分成许多子区域 节点（node）：网格线的交点，是需要确定温度值的点，是每个子区域的代表。
均分网格：
(m,n)
非均网格只需对界面面 积做适当处理即可 直接将能量守恒原理与傅里叶定律应用于节点所代表的控制体。物理概念清晰， 推导过程简洁，应予以重点掌握！
Wednesday, November 07, 2018
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
(m,n) (m-1,n) (m,n-1)
qw
y
x
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17
(2) 内部角点
qw
(m,n+1) (m,n) (m-1,n) (m+1,n)
y x
(m,n-1)
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18
(3) 外部角点
(m-1,n) (m,n)
作业：
第四版：3-2，3-31，3-48
2018/11/7
1
第四章 导热问题的数值解法
Numerical Method for Heat Conduction
主要内容（重点掌握）： 导热问题数值求解的基本思想 内外节点离散方程的建立 非稳态导热问题的数值解法
2018/11/7
3
§4-0 引言
(3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
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一. 泰勒级数展开法
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11
a，b相加得：
略去无穷小量有：
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研究传热学问题的三种基本方法：(1)理论分析法； (2)实验法；(3)数值计算法 特点： (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；
b 分析解具有普遍性，各参数的物理意义及影响清晰 c 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
前述2、3章对导热问题的求解思路： 局限性： 简单几何形状及边界条件
n=N
封闭
(m,n+1)
n
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
(m-1,n)
w
e
(m,n)
s
(m+1,
m
m=M
x
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1.边界节点离散方程的建立： (1) 平直边界上的节点
qw
(m,n+1)
6.解的分析
获得温度场不是最终目的，根据傅里叶定律获取界面处的热流q，热应力，热变形等。 若把矩形看成肋片，最终目的可能是求其肋效率等。
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§4-2 内节点离散方程的建立方法
建立离散方程的常用方法：
(1) 泰勒级数展开法；
(2) 多项式拟合法；
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5
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
步骤：
建立控制方程及定解条件 设立温度场的迭代初值
确定节点（建立网格系统） 针对所有节点建立某物理量 的代数方程 改进初场
求解代数方程 否
是否收敛 是
解的分析
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4
(2) 实验法: 是传热学的基本研究方法： a 偏向于机理研究； b.受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复现研究对象，具有时间、 空间上的局限性 c.费用昂贵 (3) 数值方法
数值方法：把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值 的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从 而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解 a. 在很大程度上弥补了分析法的缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其 优越性； b. 与实验法相比成本低 数值解法： 有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
qw
(m,n-1)
y x
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