(参考资料)数值分析笔记
数值代数主要知识点
20世纪最好的十个算法( Computing in Science & Engineering 评选)1.1946.Los Alamos的Von Neumann,Stan Vlam,Nick Metropolis编的Metropolis算法,即Monte Carlo方法2.1947兰德公司的Grorge Dantzig创造的线性规划的单纯性算法3.1950.美国国家标准局数值分析所的Magnus Hestenes,Edward Stiefel, Cornelius Lanczos的Krylovz空间迭代法4.1951 橡树岭国家实验室的Alston Householder矩阵计算的分解方法5.1951 John Backus在IBM领导的小组研制的Fortron最优编译程序6.1959-61 伦敦的Ferranti Ltd的J.G.F.Francis的称为QR的算法的计算机本征值的稳定的算法7.1962London的Elliot Brothers Ltd的Tony Hoare提出的快速(按大小)分类法8.1965 IBM的Cooley与Princeton及Bell的Turkey的FFT算法9.1977 Brighham Young大学的Helaman Ferguson和Rodney Forcede的整数关系侦察算法10.1987 Yale的Leslie Greengard和Vladinimir Rokhlin发明的快速多级算法数值代数上课内容：一、预备知识（基础）1）误差分析2）范数理论3）初等变换与矩阵分解二、线性方程组的求解1）直接法2）迭代法3）最小二乘问题与矩阵广义逆三、矩阵特征值问题1）普通特征值问题a)幂法和反幂法b)QR方法2）对称特征值问题各部分的主要知识要点：（主要看上课笔记）一、预备知识（基础）§1 误差分析基本要求：1）了解数值代数的研究对象与特点及主要研究内容2）了解误差的基本知识及误差来源、误差种类3）了解浮点运算和舍入误差分析4）了解算法的评价及算法的向后稳定§2范数理论基本要求：1）熟练掌握向量范数的定义，会判断给定的某个函数是否是向量范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）2）了解常用向量范数、范数等价定理3）熟练掌握矩阵范数的定义，会判断给定的某个函数是否是矩阵范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）4）熟练掌握几个特殊的矩阵范数－算子范数、相容范数、酉不变范数的定义5）掌握常用矩阵范数1－范数，2－范数， －范数，F－范数的定义，并清楚且会证明它们分别属于算子范数、相容范数、酉不变范数的那一种范数6）会证明常用的范数不等式7）了解矩阵的谱和谱半径的定义二、初等变换与矩阵分解§1初等变换（主要看上课笔记）基本要求：1）了解初等变换的一般形式和一般初等变换的性质2）熟练掌握两种特殊的初等变换－Gauss消元变换、Household变换a)熟练掌握Gauss消元变换的定义和性质，特别是消元性质，会利用Gauss消元变换对向量进行消元b) 熟练掌握Householder变换/初等Hermit阵的定义和性质，特别是变换性质和消元性质，会利用Householder变换对向量进行消元，会求Householder变换矩阵3)熟练掌握Givens旋转变换的定义和性质，特别是消元性质即消元特点，会灵活运用Givens 旋转变换对向量进行消元（消调某一个变量）4）了解交换阵的定义即性质§2 矩阵分解1、基于Gauss消元阵的分解基于Gauss消元阵的分解，包括无主元LU分解、列主元LU分解、对称正定阵的Cholesky 分解基本要求：1）熟练掌握无主元LU分解的具体过程，会写出相应的程序，给定一个矩阵，会计算它的LU 分解矩阵2） 了解LU 分解的不稳定性和LU 分解的唯一性及存在条件det()0(1,2,,).1n n k k n A R D A k n A L U A LU ⨯∈=≠== 若阶方阵的顺序主子式则可唯一地分解为一个单位下三角阵和非奇异的上三角阵的乘积。
数值分析复习资料
数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
数值分析期末复习资料
数值分析期末复习资料数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
2、两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. ・§丄％ 3、 定理1 （P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差虧疗茲T 4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1 （P7例题3） 二、避免误差危害原则 1、原则:（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：xl*x2= c / a ） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. V777-77 =c ・2 X2sin7 或 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三. 数值运算的误差估计 1、公式：（1） 一元函数：I £*（ f 3））1 Q |「（於）1・| £*（力|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f （卅））eg. P19习题1、2、5(2) (3) ln(x + £)- In x = In 1；1 — cos X =（2）多元函数（P8） eg. P8例4, P19习题4第二章插值法一、插值条件1、定义：在区间［a, b］上，给定n+1个点，aWxoVx［V・・・VxWb的函数值yi=f(xi),求次数不超过n的多项式P(x),饋兀)=儿 i =0,1,2,…，力2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式(P26 (2.8))2、插值多项式表达式(P26 (2.9))3、插值余项(P26 (2.12))：用于误差估计4、插值基函数性质(P27 (2. 17及2. 18)) eg. P28例1三、差商(均差)及牛顿插值多项式1、差商性质(P30)：(1)可表示为函数值的线性组合(2)差商的对称性：差商与节点的排列次序无关(3)均差与导数的关系(P31 (3.5))2、均差表计算及牛顿插值多项式例：已知X=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求"的近似值。
数值分析主要知识点
第三章
非线性方程的数值解法
二分法的思想以及其中对分次数的计算；
不动点迭代法、迭代格式的收敛性判定方法、
误差估计式；
Newton迭代法及其收敛性; 割线法迭代格式；
迭代加速方法。
第四章
线性方程组的直接解法
Gauss消去法与列主元素Gauss消去法； 三角分解（LU）法； 平方根方法（Cholesky分解）； 向量与矩阵范数； 条件数与病态方程组求解。
第五章
曲线拟合与最小二乘问题
拟合与插值的异同点、矛盾方程组的最小二乘解； 满秩分解、法方程组、可化为线性拟合的非线性拟合；
（极小）最小二乘解的存在唯一性、广义逆与极小
最小二乘解;
GS与MGS正交化与最小二乘解；
Householder正交化与最小二乘解。
第六章代法与Gauss-Seidel迭代法及其收敛性；
SOR迭代法及其收敛的必要条件、最佳松弛因子； 解非线性方程组的Newton迭代法与拟Newton思想。
第七章
最优化方法与共轭梯度法
与方程组等价的变分问题、线性寻查（线搜索）法；
最速下降法； 解线性方程组的共轭梯度法。
写、不得打印、不得复印，纸上签有姓名和学号；
可以携带计算器（考试期间不允许互借）。
《数值分析》复习主要知识点 第一章
绪论 基本概念：误差的分类（截断误差、舍入误差）、 绝对误差和相对误差、有效数字;
数值稳定性; 误差分析的原则：1）尽量避免相近的数相减，2）
尽量避免绝对值小的数做除数，3）防止大数吃小数， 4）先化简再计算，5）选用数值稳定的算法;
浮点数系统特征（四个整数表征）。
第八章
数值微分与数值积分
数值分析笔记
第一章1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。
ε*=|e*|叫做近似值的误差限，e ∗x=x ∗−x x为相对误差，εr∗=ε∗|x ∗| 为相对误差限。
2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3.ε(x 1∗±x 2∗)≤ ε(x 1∗)+ε(x 2∗) ε(x 1∗·x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗) ε(x 1∗/x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗)|x 2∗|24.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。
T1. 已测得某场地长Ɩ的值为Ɩ*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |Ɩ - Ɩ*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=Ɩd 的绝对误差限与相对误差限。
解：因为s= Ɩd, ðs ðƖ=d,ðsðd =Ɩ.故 ε(s∗)≈|(ðs ðl)∗|ε(l ∗)+|(ðs ðd)∗|ε(d ∗), (ðs ðl )∗=d ∗=80m (ðsðd)∗=l ∗=110m ε(l ∗)=0.2m ε(d ∗)=0.1m得绝对误差限 ε(s ∗)=27(m 2)相对误差限εr∗=ε(s ∗)|s ∗|=ε(s ∗)l ∗d ∗≈0.31%T3. 计算I n =e −1∫x n e xdx(n =0,1,…)1并估计误差。
解：由分部积分可得I n =e −1∫x n d (e x )=e −1(x n e x |01−∫e x d (x n )1)1=1−e −1n ∫x n−11e xdx =1−nI n−1 I 0=e−1∫e x10dx =1−e −1得到通式{I n =1−nI n−1 (n =1,2,…)I 0=1−e −1(1)为计算出I 0须先计算e -1,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数计算。
《数值分析》复习笔记
始向量 x(0) = (0, 0, 0)T，用该迭代方法求近似解 x(k+1)（取小数点后四位） ，使 x
( k 1)
x(k )
10 3 。
7、 （某考题）为求方程 x3-x2-1=0 在初始值 x0=1.5 邻近的一个根，把方程改写成一下等价形式：
（1）求 f (x)的二次牛顿（Newton）插值多项式； （2）求 f (0.25)的近似值（取小数点后五位） ，并写出余项。 5、 （06 期末）给出 f (x)=3.6/x 的数值表： x f (x ) （1）求均差表； （2）写出三次牛顿插值多项式 N3 (x)； （3）利用上述插值多项式 N3 (x)计算 f (2.5)的近似值，并估算其误差大小。 6、 （12 期末）确定 a、b、c、d、e 的取值，使得下列函数是以： x y 0 1 1 1 2 0 3 10 1 3.60 2 1.80 3 1.20 4 0.90
1
-1
f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) 中的高斯点 x0、x1、x2
和求积系数 A0、A1、A2 的值，并指明该求积公式的代数精度； （2）用上述求积公式求积分
3
1
dx 的近似值。 x
4、 （03 期末） （1）写出数值积分梯形法的递推化算法； （2）用龙贝格（Romberg）算法计算积分 I
★ 小明哥说要考的题型
填空题（15 分）、选择题（15 分）、计算及证明题（70 分）
一、插值与逼近（§2、3 章）
☆ 计算题： 1、 （05 期末）已知 y=sinx 的下列数据： x y π/6 0.5000 π/4 0.7071 π/3 0.8660
数值分析1.1
2、上机编程能力。 3、养成守时的习惯。 4、培养诚实守信的品质. 5、培养做事认真的态度。
QQ群： 群名称：2016科大硕士数值分析 群 号：435580365
加入QQ要求： 1、真实姓名。 2、格式：班级+姓名
举例：材料1601陈小军
1、求下列方程的根或零点：
x2 2x sin x 1 0
2、怎么求下列积分？
1ex2 dx
3、已知y=f0(x)在下列点的值，求 f (x)
应用问题举例
1、“鸡兔同笼”问题
a11 a12 a1n x1 b1
a21
an1
etc. ）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在”
21世纪信息社会对科技人才的要求： --会用数学解决实际问题 --会用计算机进行科学计算
55196 66207 82992 98705 114333 126743
6、铝制波纹瓦的长度问题
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机 器将一块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸 为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的 长度L.
理科 论学 研实 究验
科 学 计 算
使用计算机通过计算方 法或数值模拟的手段去 解决科学或工程中的关 键问题，简称为科学计 算。
现代科学研究的三大支柱
计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分:
数值分析4.21笔记
数值分析笔记4.21
笔记只是上课的辅助部分，远远不如老师讲的精彩！只看笔记是很枯燥的，而听老师上课时很有趣的。
前半小时复习上次所学，（此处省略300字）
把zuotu1 改成如下
再新建一个文件myfun 作为子程序，以便被zuotu1调用。
双击打开写入
含义如下 1. 输入量为x 输出量为y
回到zuotu1 继续写
保存，运行
第二节插值
一、插值的定义（老师讲的时候没记下来，此处省略100字）
二、插值的方法
三、用matlab解决插值问题
下面详细介绍
二插值方法
一维插值
1.拉格朗日插值（略，老师说了解一下，我就没记定义）结论，用拉格朗日插值与原曲线有很大差异
黑色是原曲线其他颜色是 n取不同值拉格朗日插值的图形
2.分段线性插值（略定义）
3. 三次样条插值 （略定义）
（老师在黑板上 讲解了用三次样条曲线 插值的原理，我的高数学的太差，复述不明白，略） 三种插值的比较 （取自老师课件）
例题1
打开软件命名 chazhi.m
程序如下：
保存运行
结果如下：
例题2
打开老师的文件夹，找到双击打开运行
老师用三种插值方法做了图（程序老师解释了，可惜我没完全记下来）
二维插值的定义
这里 z0 表示一个矩阵以x0为列数以y0 为行数例题3
打开老师程序里 wendu.m
运行后
老师把步长改为 0.01
运行结果如下
例题4
打开 HD1
11
运行
（当然程序内容更多不懂了，老师说以后多练习就好了。
）。
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常用的矩阵范数
n
矩阵的 1-范数:
A
1
max
1 jn
i 1
aij
矩阵的 2-范数:
A 2
max (AT A)
n
矩阵的-范数:
A
max 1in
j 1
aij
n
矩阵的 F-范数: A F
ai2j
i, j1
,也称矩阵的列范数. ,也称为谱范数. ,也称为行范数.
1, 2, …, n 为矩阵 A 的 n 个特征值,
向量的 1-范数:
向量的 2-范数:
向量的-范数:
x 1 x1 x2 xn
x 2
x12 x22 xn2
范数的等价性 m ‖x‖ ‖x‖ M ‖x‖ , xRn
x
max
1in
|
xi
|
常用的三种向量范数等价关系 ‖x‖ ‖x‖1 n‖x‖ , xRn
x x n x ,x Rn
2
x x n x ,x Rn
凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半
个单位。
2.设近似值 x 的相对误差限位 10-5，则 x 至少具有（5）为有效数字。
第二章 解线性方程组的直接法
1、Gauss 消去法
是一种规则化的加减消元法，通过逐次消元计算，转化为等价的上三角形方程组。
顺序 Gauss 消去法(简称为 Gauss 消去法):
a11 U
a12 a22 l21u12
a13
a23 l21u13
a33 l31u13 l32u23
（2）平方根法
u11
LDM 分解 和 Cholesky 分解(GGT) D u22
1 u12 / u11
M
1
A = LU = LDM = LDLT = GGT
u33
（平方根法：Ax=b 且 A= GGT，则先用 Gy=b 求 y，再用 GTx=y 求 x）
全公式：若记 G=(gij), 则有: 对 k=1,2,…,n
（3）追赶法 Crout 分解(TM) A = LU = LDM = TM
g
kk
(akk
k 1
g ) 2
1 2
km
m1
k 1
gik
(aik
gim gkm ) gkk
m1
,i k 1,, n
a1 c1
d2 a2 c2
迭代法） x(k1) i
1 aii
(bi
i 1 j 1
aij
x
(k
j
)
n
aij
x
(k
j
)
)
j i 1
0 a12 a1n
a11
a11
,i 1,2,n, k 0,1,2,
迭代矩阵
B
a21 a22
an1 ann
0
anx2 (k1) ai
nn
a2n a22
1 aii
0(bi
2、直接三角分解法
（1）Doolittle 分解(LU) 前提条件：A 的各阶顺序主子式不为零。
则存在唯一单位下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U 使 A = LU
Doolittle 分解(LU)法：Ax=b 且 A=LU，则先用 Ly=b 求 y，再用 Ux=y 求 x。
a11 a12 ... a1n
则
(A)
max
1in
i
为矩阵
A 的谱半径。
Cond(A)=‖A‖‖A-1‖,
称为方程组 Ax=b 或矩阵
A 的条件数。
第三章 解线性方程组的迭代法
x(k+1)=Mx(k)+g , k=0,1,2,…
其中 M 称为迭代矩阵。
1、Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法
Jacobi
迭代法（J
i 1 j 1
若记
g ( b1 , a11
则 x(k+n1)=B x(k)+g
a x(k 1) ij j
aij
a21
an1
a22
an2
... a2n
...
ann
1
l21 1
L
l31
l32
1
l
n1
ln2
ln3
1
u11 u12 ... u1n
U
u22 ... u2n
unn
1
三阶的 LU 计算公式
L a21 / u11
1
a31 / u11 (a32 l31u12 ) / u22 1
2
1
2
若 lim x(k) x* 0 则向量序列{x(k)}收敛于向量 x*, 记作 lim x(k) x* ,或x(k) x*
k
k
x(k )
x*
x(k) i
xi* , i
1,2,, n
4、矩阵的范数
①非负性②齐次性③三角不等式‖A+B‖‖A‖+‖B‖和‖AB‖‖A‖‖B‖
‖A‖为矩阵 A 的范数， 为矩阵的特征值 A E 0
第一章 绪 论
1、设 x 是精确值 x*的一个近似值，
近似值 x 的绝对误差 e= x*-x
绝对误差限 |e|≤
有关系式 x-≤x*≤x+ 或 x*=x±
相对误差 er 相对误差限 r
er
e x*
x* x*
x（x*未知，用
x
代替）er
=/|x|
|er|≤r
e x* x xx
有效数字 n 从 x 左起第一个非零数 字到该数位共有 n 位
1i
a1, 1 c1 1, i di , i ai dii1, i 2,3,, n
2,3,,
n
i ci i ,i 2,3,, n 1
（1）向量的范数 ‖x‖为向量 x 的范数
①非负性：‖x‖0 ,且‖x‖=0 当且仅当 x=0； ②齐次性：实数 ,‖x‖=| |‖x‖； ③三角不等式:‖x+y‖‖x‖+‖y‖。 x=(x1,x2,…,xn)T
u13 / u11 u23 / u22
1
紧凑格式 a11 三阶公式 a21
a31
a22 a32
g11 g21 a33 g31
g 22 g32
g
33
a21 a31
a11 / g11 / g11
a22
g
2 21
(a32 g31g21) / g22
a33
g
2 31
g322
a(k) kk
(k
1,2,...,n)
为主元素
前提条件：主元素都不为零 矩阵 A 的各阶顺序主子式都不为零。
主元 Gauss 消去法:
前提条件：矩阵 A 的行列式不为零。
分为列主元消去法和全主元消去法，常用的方法为列主元消去法。列主元 Gauss
消去法是在每一步消元前,在主元所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元素。
d n1 an1 cn1
dn
an
1 2
T
2
n1
n1 n
Hale Waihona Puke 1Mn1 1
2
1
n1
1
三对角矩阵 A 的各阶顺序主子式都不为零 的一个充分条件是: |a1|>|c1|>0;|an|>|dn|>0;|ai||ci|+|di|, cidi0,i=2,3,…,n-1. 3、向量和矩阵的范数