二维狭义相对论-黄鹏辉

二维狭义相对论

目 录

二维狭义相对论 (1)

1 一维狭义相对论 (1)

1.1 一维洛伦兹变换 (1)

1.2 一维狭义相对论速度变换 (2)

1.3 一维狭义相对论质量公式 (3)

1.4 一维狭义相对论应用于光子(X方向效应) (5)

1.4.1 一维速度变换应用于光子(X方向光行差效应) (5)

1.4.2 一维相对论质量公式应用于光子(X方向多普勒效应) (5)

1.5 一维狭义相对论应用于光子(Y方向效应) (7)

1.5.1 一维速度变换应用于光子(Y方向光行差效应) (7)

1.5.2 一维相对论质量公式应用于光子(Y方向多普勒效应) (7)

2 二维平面旋转相对论 (8)

3 二维狭义相对论 (9)

3.1 二维洛伦兹变换（几何法） (9)

3.2 二维洛伦兹变换（代数法） (12)

3.3 二维狭义相对论速度变换 (16)

3.4 二维狭义相对论质量公式 (17)

3.5 二维狭义相对论应用于光子 (19)

3.5.1 二维速度变换应用于光子(二维光行差效应) (19)

3.5.2 二维相对论质量公式应用于光子(二维多普勒效应) (20)

4 总结 (22)

二维狭义相对论

黄鹏辉

中国北京

QQ号和邮箱644537151@https://www.360docs.net/doc/1a16105389.html,，QQ群69657010

摘要

在狭义相对论中，推导洛伦兹变换的一个基本假设是两个惯性参考系相互平行于X 轴方向运动，因此爱因斯坦的狭义相对论其实应该是一维狭义相对论。但是这个假设并不总是成立的，因为事实上大多数时候两个惯性参考系的相互运动方向可能都不是平行于X轴，而是与X轴之间有个角度。正如费曼所说：当然，其他运动方向也是可能的，但是最一般性的洛伦兹变换将是相当复杂的(Feynman: Of course other directions of motion are possible, but the most general Lorentz Transformation is rather complicated.

[11])。本文在考虑了这种角度因素后，推导出了一套新的二维狭义相对论理论，并得到了一系列结论：二维洛伦兹变换、二维速度变换、二维光学多普勒效应等。这些结论可能将对狭义相对论理论和天文物理学带来深远影响。

1 一维狭义相对论

1.1 一维洛伦兹变换

洛伦兹变换是爱因斯坦狭义相对论的基础，它的推导包括如下几步：

1) 两个基本假设：相对性原理和光速不变原理[12][13]。

2) 假设两个惯性参考系I和I′彼此以相对速度v沿X轴做匀速直线运动。如图1所示。（本文所提到的参考系一律指惯性参考系）。

Y

参考系 I

O O′

图1 洛伦兹变换是在两个参考系I和I′中观察同一坐标点P

3) 在两个参考系中观察同一个点P：在参考系I中，P点坐标为(x, y, z, t)；在参考系I′中，P点坐标为(x′, y′, z′, t′)。

4) 假设在t = t ′ = 0时刻两个参考系的原点重合，在这个时刻，位于原点O 或O ′ 的一个光源发出一个光信号。根据光速不变原理，在两个参考系中，这个光信号将以相同的速度c 到达P 点，但所用的时间间隔不同，分别为t 和 t ′。于是P 点的坐标方程为

2222)ct (z y x =++ 和

2222)t c (z y x ′=′+′+′或

0)t c (z y x )ct (z y x 22222222=′?′+′+′=?++ (1.1.1)

因为只在X 轴方向有相对运动，应当有y = y ′ 和z = z ′，这样，方程(1.1.1)变为

2222)t c (x )ct (x ′?′=? (1.1.2)

5) 方程(1.1.2)的线性解就是一维洛伦兹变换[1][2][3][14]。

22c /v 1vt

-x x ?=

′ y ′ = y z ′ = z 2

22

c /v 1)x (v/c -t t ?=′ (1.1.3) 2

2c /v 1t v x x ?′

+′= y = y ′ z = z ′ 2

22c /v 1x )(v/c t t ?′+′=

(1.1.4) 6) 如果两个参考系相对于Y 轴方向运动，那么相应的一维洛伦兹变换就是

x ′ = x 2

2c /v 1vt

-y y ?=′ z ′ = z 222

c /v 1)y (v/c -t t ?=

′ (1.1.5)

1.2 一维狭义相对论速度变换

一维洛伦兹变换(1.1.3)、(1.1.4)、(1.1.5)式可以给出一维速度变换公式。首先，(1.1.3)

式可以写成微分形式：

2

2c /v 1vdt

-dx x d ?=′ dy ′ = dy dz ′ = dz 2

22c /v 1)dx (v/c -dt t d ?=

′ (1.2.1) 在参考系I ′ 中，质点速度分量的微分形式为

t d x d u x ′′=

′ t d y d u y ′

′=

′ t d z d u z ′′=′ (1.2.2) 在本文中，u 表示质点的速度，v 表示参考系的速度；后面还将用φ表示质点的运

动方向，θ表示参考系的运动方向；以区分这两对容易混淆的物理量。

在参考系I 中，质点速度分量的微分形式为

dt dx u x =

dt dy u y = dt

dz u z = (1.2.3) 于是，一维速度变换公式就是：

2x x x v/c u -1v -u u =′ 2

x 22y y v/c

u -1c /v 1u u ?=′ 2x 22z z v/c u -1c /v 1u u ?=′ (1.2.4)

2x x x v/c u 1v u u ′++′= 2

x 22y y v/c

u 1c /v 1u u ′+?′= 2x 2

2z z v/c u 1c /v 1u u ′+?′= (1.2.5) 而合速度u ′ 的值是三个速度分量u x ′、u y ′、u z ′ 的和：

2

2x 22222

z 2

y 2

x )

v/c u -(1)

c /v 1)(c /u 1(-1c u u u u ??=′+′+′=′ (1.2.6) (1.2.6)式可以改写为

222

2222

x c /v 1c /u 1c /u 1v/c u -1?′??=

(1.2.7)

如果两个参考系相对于Y 轴方向运动，那么相应的一维速度变换公式为

2y 22x x v/c u -1c /v 1u u ?=′ 2

y y y v/c

u -1v -u u =′ 2y 2

2z z v/c u -1c /v 1u u ?=′ (1.2.8) 相应的合速度公式为

222

2222

y c /v 1c /u 1c /u 1v/c u -1?′??=

(1.2.9)

(1.2.7)和(1.2.9)式在后面推导质量公式时很有用。

1.3 一维狭义相对论质量公式

得到了一维狭义相对论速度变换公式后，再根据动量守恒定律和能量守恒定律就

可以求出相对论质量公式

2

2

0c

/u 1m m ?=

(1.3.1)

现在有多种方法推导质量公式(1.3.1)式[5][6][14]，这里介绍一种最具对称性和启发性的推导方法[4]。

图2 在质心系I 和参考系I ′ 中观察两个粒子的运动情况

如图2所示，假设两个粒子平行相对相对运动。在质心系I 中看来，粒子1质量为m 1，速度为u 1，粒子2质量为m 2，速度为u 2，两者的运动方向与X 轴正向成φ角。另一参

Y

质心系I

参考系I ′

Y

′

考系I ′ 相对于质心系I 沿X 轴正向的运动速度为v ，在参考系I ′ 中看来，粒子1质量为m ′1，速度为u ′1，粒子2质量为m ′2，速度为u ′2，两者的运动方向与X ′ 轴正向成φ′ 角。

首先注意到，在质心系I 中，质心本身是静止不动的，而且质心系I 中各粒子动量之和为零，因此可以列出如下动量守恒方程

0u m u m 1122=? (1.3.2)

因为参考系I ′ 相对于质心系I 沿X 轴正向的运动速度为v ，那么在参考系I ′ 中看来，就是整个质心系I 沿X ′ 轴反向的运动速度为-v ，这样可以列出如下动量守恒方程

v))(m m (cos u m cos u m 1211

22?′+′=′′′?′′′?? (1.3.3) 对两个粒子分别应用一维速度变换公式(1.2.4)

2111

c /v )cos u (1v cos u -cos u -??????=′′ 2

222c

/v )cos u (1v

cos u cos u ?????=′′ 写成

2111

c /v )cos u (1v cos u cos u ???++=′′ 2

222c

/v )cos u (1v

cos u cos u ?????=′′ (1.3.4) 由(1.3.2)式可得

1221u /u /m m = (1.3.5)

由(1.3.3)式可得

)v cos u (/v)cos u (m /m 1221

?′′+′′=′′?? (1.3.6) (1.3.5) / (1.3.6)

v)cos u ()v cos u (u u m m m m 21

12221

1+′′?′′?

=′?′?? (1.3.7) 把(1.3.4)代入(1.3.7)隐去u ′1cos φ′ 和u ′2cos φ′

2

12

22

22211122211)v/c cos (u 1)v/c cos (u 1v

)v/c cos (u 1v cos u v

)v/c cos (u 1v

cos u u u m m m m ?????+?=+???++?

=′?′ (1.3.8) 把(1.2.7)式应用于粒子1和粒子2

22222

222122

12

2

11/c

u 1/c u 1/c u 1/c u 1m m m m ′???

?′?=′?′ (1.3.9) 注意，(1.3.9)式中含有下标1和下标2的各量，以及带撇和不带撇的各量的位置关

系都是对称的，因此，要满足(1.3.9)式，可以让质量和速度保持如下关系

2

2

c

/u 1m ?=

a

其中a 为常数。

为确定常数a ，考虑到u = 0时的质量m 就是静止质量m 0，所以a = m 0。这样就得到了质量公式(1.3.1)式。

在图2中，如果两个参考系沿着Y 轴方向相互运动，那么采用同样的方法并结合一维速度变换公式(1.2.8)和(1.2.9)式，也可以得到(1.3.1)式。

1.4 一维狭义相对论应用于光子(X 方向效应)

1.4.1 一维速度变换应用于光子(X 方向光行差效应)

在图2中如果用光子替换粒子1，就成为图3所示的情况，其中粒子2为亚光速粒子，两者仍然平行相对运动。在质心系I 中看来，光子质量为m 1，速度为c ，粒子2质量为m 2，速度为u 2，两者的运动方向与X 轴正向成φ角。参考系I ′ 相对于质心系I 沿X 轴正向的运动速度为v ，在参考系I ′ 中看来，光子质量为m ′1，速度仍为c ，粒子2质量为m ′2，速度为u ′2，两者的运动方向与X ′ 轴正向成φ′ 角。

图3 在质心系I 和参考系I ′ 中观察一个光子与一个粒子的运动情况

公式(1.2.4)应用于光子

2

)v/c

ccos (1v

ccos ccos ???????=′? 222)v/c ccos (1/c v 1csin csin ???????=′? )/c (vcos 1v/c

cos cos ???++=

′ )/c

(vcos 1/c v 1sin sin 22???+?=′ (1.4.1) (1.4.1)式两式相除

v/c

cos /c v 1sin cos sin tg 2

2+?=

′′=′????? (1.4.2) (1.4.1)或(1.4.2)式就是X 方向光行差效应公式[6][7]。

1.4.2 一维相对论质量公式应用于光子(X 方向多普勒效应)

Y ′

质心系I

参考系I ′

光子没有静止状态和静止质量，因此光子自身不能作为参考系，质量公式(1.3.1)式不适用于光子，只适用于亚光速粒子。但是光子有运动质量，因此可以求出光子的运动质量公式。下面采用推导质量公式(1.3.1)式的方法来求得光子质量公式。

如图3所示，在质心系I 中，质心本身是静止不动的，而且质心系I 中各粒子动量之和为零，因此可以列出如下动量守恒方程

0c m u m 122=? (1.4.3)

因为参考系I ′ 相对于质心系I 沿X 轴正向的运动速度为v ，那么在参考系I ′ 中看来，就是整个质心系I 沿X ′ 轴反向的运动速度为-v ，这样可以列出如下动量守恒方程

v))(m m (ccos m cos u m 121

22?′+′=′′?′′′?? (1.4.4) (1.2.4)式应用于粒子2

2

222c /v )cos u (1v

cos u cos u ?????=

′′ (1.4.5)

由(1.4.3)式可得

c /u /m m 221= (1.4.6)

由(1.4.4)式可得

)v cos (c /v)cos u (m /m 221

?′+′′=′′?? (1.4.7) (1.4.6) / (1.4.7)

v

cos u v/c)

(cos u m m m m 222211+′′?′=

′?′?? (1.4.8) 把(1.4.1)和(1.4.5)式代入(1.4.8)式以消去分子中的cos φ′ 和分母中的u ′2cos φ′

)/c

(vcos 1)v/c cos (u 1v

)v/c cos (u 1v cos u v/c]

)/c (vcos 1v/c

cos [

u m m m m 222

2222211??????+?=

+???++=′?′ (1.4.9) 对粒子2应用(1.2.7)式并代入(1.4.9)式中的分子，得到

2

2222

22

2221

1/c u 1/c u 1)/c (vcos 1/c v 1m m m m ′???

+?=′?′? (1.4.10) 质量公式(1.3.1)应用于粒子2，可得到

)/c (vcos 1/c v 1m m 221

1?+?=

′ (1.4.11)

这就是沿X 轴方向运动的两个参考系中光子的相对论质量公式。

应用光子的能量公式E = mc 2 = hf ，f 是光频率，得到

f )/c

(vcos 1/c v 1f 2

2′+?=? (1.4.12)

这正是一维X 方向光学多普勒效应公式[7][8][9][10]。

1.5 一维狭义相对论应用于光子(Y 方向效应)

1.5.1 一维速度变换应用于光子(Y 方向光行差效应)

在图3中如果参考系I ′ 相对于质心系I 沿Y 轴方向运动，那么将得到不同的结论。 对光子应用Y 轴方向运动的速度变换公式(1.2.8)，得到

222)v/c csin (1/c v 1ccos ccos ???????=′? 2

)v/c

csin (1v

csin csin ???????=′? )/c

(vsin 1/c v 1cos cos 2

2???+?=

′ )/c (vsin 1v/c sin sin ???++=′ (1.5.1) (1.5.1)式两式相除

2

2/c v 1cos v/c

sin cos sin tg ?+=

′′=

′????? (1.5.2) (1.5.1)或(1.5.2)式就是Y 方向光行差效应公式。

1.5.2 一维相对论质量公式应用于光子(Y 方向多普勒效应)

在图3中仍然考虑参考系I ′ 相对于质心系I 沿Y 轴方向运动的情况。 在质心系I 中各粒子动量之和为零，因此

0c m u m 122=? (1.5.3)

因为参考系I ′ 相对于质心系I 沿Y 轴正向的运动速度为v ，那么在参考系I ′ 中看来，就是整个质心系I 沿Y ′ 轴反向的运动速度为-v ，所以

v))(m m (csin m sin u m 121

22?′+′=′′?′′′?? (1.5.4) (1.2.8)式应用于粒子2

2

222c

/v )sin u (1v

sin u sin u ?????=

′′ (1.5.5) 由(1.5.3)式可得

c /u /m m 221= (1.5.6)

由(1.5.4)式可得

)v sin (c /v)sin u (m /m 221

?′+′′=′′?? (1.5.7) (1.5.6) / (1.5.7)

v

sin u v/c)

(sin u m m m m 222211+′′?′=

′?′?? (1.5.8) 把(1.5.1)和(1.5.5)式代入(1.5.8)式以消去分子中的sin φ′ 和分母中的u ′2sin φ′

)/c

(vsin 1)v/c sin (u 1v

)v/c sin (u 1v sin u v/c]

)/c

(vsin 1v/c sin [u m m m m 222

2222211??????+?=

+???++=′?′ (1.5.9) 对粒子2应用(1.2.9)式并代入(1.5.9)式中的分子，得到

22222

22

2221

1c

/u 1c /u 1c /)sin v (1c /v 1m m m m ′???

+?=′?′? (1.5.10) 最后得到沿Y 轴方向运动的两个参考系中光子的相对论质量公式

c /)sin v (1c /v 1m m 221

1?+?=

′ (1.5.11)

应用光子的能量公式E = mc 2 = hf ，就可得到Y 方向光学多普勒效应公式。

f c

/)sin v (1c /v 1f 22′+?=? (1.5.12)

2 二维平面旋转相对论

费曼曾经介绍过二维平面旋转参考系的情况，并且给出了坐标变换方程[11]。如图4所示。

I ′

Y O, O ′

参考系I

图4 在两个相对旋转参考系I 和I ′ 中观察同一坐标点P

根据图4，在参考系I 中，x = OA ，y = AP 。而在参考系I ′ 中

x ′ = OD = OC + CD y ′ = DP = BC = AB - AC

其中

OC = OA cos θ = xcos θ CD = BP = APsin θ = ysin θ

AB = APcosθ= ycosθAC = OAsinθ= xsinθ

考虑到在Z轴方向没有运动，而且参考系原点没有移动，光信号在两个参考系中会同时到达坐标点P，这样时间就没有发生变化。于是得到P点的坐标方程

x′ = xcosθ+ ysinθy′ = ycosθ– xsinθz′ = z t′ = t (2.1) 这就是二维平面旋转变换公式，对应着洛伦兹变换。它们同样满足方程(1.1.1)。

(2.1)式可以看成逆时针方向旋转变换公式，如果以角度-θ代替θ就可以得到顺时针方向旋转变换公式

x′ =xcosθ– ysinθy′ = ycosθ+ xsinθz′ = z t′ = t (2.2) 从(2.1)式求解出x和y，就得到反旋转变换公式

x = x′cosθ- y′sinθy = y′cosθ+ x′sinθz = z′t = t′(2.3) 从(2.1)式也能够推导出速度旋转变换公式

u x′ = u x cosθ+ u y sinθu y′ = u y cosθ- u x sinθu z′ = u z(2.4) 在平面旋转变换中没有时间变换，这一点对于后面推导二维狭义相对论十分重要。

3 二维狭义相对论

3.1 二维洛伦兹变换（几何法）

与推导一维洛伦兹变换类似，推导二维洛伦兹变换也包括如下几步：

1) 两个基本假设：相对性原理和光速不变原理。

2) 假设两个参考系I和I′彼此以相对速度v做匀速直线运动。运动方向相对于X 轴成θ角，如图5所示。

3) 在两个参考系中观察同一个点P：在参考系I中，P点坐标为(x, y, z, t)；在参考系I′中，P点坐标为(x′, y′, z′, t′)。

Y

′

O

参考系I

图5 二维洛伦兹变换也是在两个参考系I和I′中观察同一坐标点P

4) 假设在t = t ′ = 0时刻两个参考系的原点重合，在这个时刻，位于原点O 或O ′ 的一个光源发出一个光信号。根据光速不变原理，在两个参考系中，这个光信号将以相同的速度c 到达P 点，但所用的时间间隔不同，分别为t 和t ′。 P 点的坐标方程仍然是(1.1.1)式，考虑到z = z ′，(1.1.1)式变成

222222)t c (y x )ct (y x ′?′+′=?+ (3.1.1)

5) 方程(3.1.1)的线性解就是二维洛伦兹变换。我们首先来看用几何方法如何求得一组线性解，求解过程如图6所示。

在t = t ′ = 0两个参考系原点重合的时刻，参考系I ′ 绕着原点O ′ 逆时针方向旋转到角度θ，即临时参考系I I ′ 的位置；然后参考系I ′ 沿X I ′ 轴运动到临时参考系I II ′ 的位置，所用时间间隔为t ；最后参考系I ′ 顺时针旋转到角度θ，即参考系I ′ 的位置。

临时参考系 I I ′II

Y I X

参考系I

O, O I ′

图6 三次坐标变换合成二维平移运动

这样参考系的二维平移过程就被分解为参考系的三次变换：两次旋转变换和一次一维洛伦兹变换，上一次变换后的坐标就是下一次变换的初始坐标。

一个疑问是，为什么我们不能把二维平移过程分解为沿X 轴和Y 轴的两次一维洛伦兹变换？我们来试一试。

我们首先推导沿X 轴的一维洛伦兹变换。这里参考系I ′ 的相对速度是vcos θ 。一维洛伦兹变换为

2

2

/)(vcos 1)t (vcos -x x c

θθ?=

′Ι y I ′ = y z I ′ = z 2

2

2/)(vcos 1)x /c (vcos -t t c

θθ?=

′Ι (3.1.2)

下一步推导沿Y 轴的一维洛伦兹变换。现在参考系I ′ 的相对速度是vsin θ 。一维

洛伦兹变换为

x ′ = x I ′ 22/)(vsin 1t )(vsin -y y c θθ?′′=′Ι

Ι z ′ = z I ′ 2

22

/)(vsin 1y )/c (vsin -t t c θθ?′′=

′ΙΙ (3.1.3) 从数学的角度来看，把(3.1.2)式代入(3.1.3)式就能够得到二维洛伦兹变换，并且结

果也将满足方程(1.1.1)和(3.1.1)。因为根据(3.1.2)式和(3.1.3)式，我们有

22222I 2

I 2

I 2

I )ct (z y x )t c (z y x ?++=′?′+′+′

2I 2

I 2I 2I 2222)t c (z y x )t c (z y x ′?′+′+′=′?′+′+′

然而，数学上没有矛盾并不表明物理上没有矛盾。这里第一个物理上的矛盾是：根据矢量特性，位移矢量的X 、Y 分量是同时发生的，这意味着t ′ = t I ′ 。但是(3.1.2)式和(3.1.3)式要求t I ′ 是t ′ 的初始条件，是不可能相等的。

第二个物理上的矛盾是：根据对称性，先求X 轴方向变换再求Y 轴方向变换，与先求Y 轴方向变换再求X 轴方向变换，两者应该完全等效，也就是说应该得到相同的结果。但实际上用上面的方法将得到不同的结果，因为时间分量的变换结果不相同。

因此两次坐标变换存在致命的困难，困难的症结就在于两次坐标变换都包含了时间变换。而另一方面，三次坐标变换只包含一次时间变换，能够同时保证数学上不矛盾和物理上合理。这样，三次坐标变换就被用来推导二维洛伦兹变换。

首先，把(2.1)式应用于参考系的反方向旋转变换

θθsin y cos x x I +=′ θθsin x cos y y I ?=′z z I =′ t t I =′ (3.1.4)

其次，给出以速度v 沿X ′I 轴运动的一维洛伦兹变换

2

2

I I I Ιc

/v 1t v -x x ?′′=

′ I II y y ′=′ I II z z ′=′ 2

2

2II c

/v 1x )(v/c -t t ?′′=

′ΙΙ (3.1.5)

再次，把(2.2)式应用到顺时针方向旋转变换

θθsin y cos x x I ΙI Ι′?′=′ θθsin x cos y y II II ′+′=′ II z z ′=′ (3.1.6)

II t t ′=′把(3.1.4)式代入(3.1.5)式

2

2I Ιc

/v 1vt -ysin xcos x ?+=′θθ θθsin x cos y y II ?=′ z z II

=′ 222II c /v 1)ysin xcos ()(v/c -t t ?+=′θθ (3.1.7) 把(3.1.7)式代入(3.1.6)式，二维洛伦兹变换就得到了

θθθθ

θθ)sin xsin (ycos c

/v 1vt)cos -ysin (xcos x 2

2

???+=

′ 2

22c /v 1)ysin xcos ()(v/c -t t ?+=

′θθ

θθθθ

θθ)cos xsin (ycos c

/v 1vt)sin -ysin (xcos y 2

2

?+?+=

′ z ′ = z (3.1.8)

(3.1.8)式比较复杂，他们必须满足三个条件：I) 当 θ = 0度时，(3.1.8)式退化为(1.1.3)

式。II) 当θ = 90度时，(3.1.8)式退化为(1.1.5)式。III) (3.1.8)式必须满足方程(3.1.1)。

第一和第二个条件很容易验证，现在让我们来验证第三个条件：

引入两个变量A 和B ，令A = xcos θ + ysin θ, B = ycos θ – xsin θ 。方程(3.1.8)将简化为

θθBsin c /v 1vt)cos -(A x 22??=′ θθ

Bcos c /v 1vt)sin -(A y 22+?=′ 2

22

c /v 1)A (v/c -t t ?=

′

222222

2

222

2

2

2

c /v 1)Av/c -(t c B c /v 1vt)-(A t c y x ??+?=′?′+′ 2

22B )Av/c ct vt -A )(Av/c -ct vt -A (c /v 11++?+?=

2

2

2B )]v/c ct(1v/c)1(A )][v/c -ct(1v/c)-1(A [c /v 11++?++?=

2

2

2B v/c)1(ct)A (v/c)-1(ct)A (c /v 11

++?+?=

22222222t c y x B t c A ?+=+?=

因此，(3.1.8)式确实是满足方程(3.1.1)的。 根据对称性，反向变换公式也可以得到

θθθθ

θθ)sin sin x cos y (c

/v 1)cos t v sin y cos x (x 2

2

′?′??′+′+′=

2

22c /v 1)sin y cos x ()(v/c t t ?′+′+′=

θθ

θθθθ

θθ)cos sin x cos y (c

/v 1)sin t v sin y cos x (y 2

2

′?′+?′+′+′=

z = z ′ (3.1.9)

二维洛伦兹变换公式(3.1.8)和(3.1.9)具有数学上的对称性。

3.2 二维洛伦兹变换（代数法）

正如3.1节中所说的，求二维洛伦兹变换实际上就是求方程(3.1.1)的代数解：

222222)t c (y x )ct (y x ′?′+′=?+ (3.1.1)

考虑线性解，我们令

Dt By Ax x ++=′ Gt Fy Ex y ++=′ Jt Iy Hx t ++=′ (3.2.1)

把(3.2.1)代入方程(3.1.1)后展开，得到

BDyt 2ADxt 2ABxy 2t D y B x A )ct (y x 222222222+++++=?+

FGyt 2EGxt 2EFxy 2t G y F x E 222222++++++ IJyt c 2HJxt c 2HIxy c 2t J c y I c x H c 222222222222??????

分类整理

222222222222222222)t J c G D ()y I c F B ()x H c E A ()ct (y x ?++?++?+=?+

IJ)yt c FG BD (2HJ)xt c EG AD (2HI)xy c EF AB (2222?++?++?++ (3.2.2)

根据恒等式原则，从(3.2.2)式可以得到如下一组方程：

1H c E A 2222=?+ (3.2.3) 1I c F B 2222=?+ (3.2.4) 22222c J c G D ?=?+ (3.2.5) 0HI c EF AB 2=?+ (3.2.6) 0HJ c EG AD 2=?+ (3.2.7)

0IJ c FG BD 2=?+ (3.2.8)

考虑到线性解(3.2.1)式是最普遍的情况，也就是两个参考系相互以任意角度θ运动的情况(相对于X 轴方向)。参见图5，如果角度θ = 0度，那么图5就退化到图1中沿X 轴方向的一维运动情况，二维洛伦兹变换也就退化为(1.1.3)式

22c /v 1vt

-x x ?=

′ y ′ = y z ′ = z 2

22

c /v 1)x (v/c -t t ?=′ (1.1.3) 如果角度θ = 90度，那么图5就退化到图1中沿Y 轴方向的一维运动情况，二维

洛伦兹变换也就退化为(1.1.5)式

x ′ = x 2

2c /v 1vt

-y y ?=′ z ′ = z 222

c /v 1)y (v/c -t t ?=

′ (1.1.5) 这样我们就能够根据(1.1.3)和(1.1.5)式给出在角度θ = 0度、θ = 90度和任意角度θ

情况下的系数，如表1所示。

表1 线性解(3.2.1)式的所有系数

注意，任意角度θ 情况下的公式必须保证在角度θ = 0度或θ = 90度时，得到其左边两列的相应值，并且构造的θ函数必须是最简函数，比如sin θ、cos θ与sin 2θ、cos 2θ得到的θ = 0度或θ = 90度值可能是一样的，但是我们必须取最简函数sin θ、cos θ 。 经过表1中的系数处理，所有的系数就只剩下4个未知数A 、B t 、E t 和F ，B t 和E t 是系数B 和E 演变出来的中间变量。

把表1中系数E 和H 的表达式代入方程(3.2.3)中，得到

1cos c

/v 1c /v cos sin E A 2

2

2222

2

2t

2

=??+θθθ (3.2.9) 把表1中系数B 和I 的表达式代入方程(3.2.4)中，得到

1sin c

/v 1c /v F cos sin B 22

22

22

2

2

2t

=??+θθθ (3.2.10) 把表1中系数D 、G 和J 的表达式代入方程(3.2.5)中，等式成立。 把表1中系数B 、E 、H 和I 的表达式代入方程(3.2.6)中，得到

2

22

2t t c

/v 1c /v F E AB ?=+ (3.2.11) 把表1中系数D 、E 、G 、H 和J 的表达式代入方程(3.2.7)中，得到

2

2

2t c

/v 11sin E A ?=

+θ (3.2.12)

把表1中系数B 、D 、G 、I 和J 的表达式代入方程(3.2.8)中，得到

2

2

2t c

/v 11F cos B ?=

+θ (3.2.13)

从(3.2.12)式得到A 并代入(3.2.9)式中

1cos c /v 1c /v cos sin E )sin E c

/v 11

(2

22222

2

2

t

2

2

t 22=??+??θθθθ 1cos c /v 1c /v cos sin E c /v 1sin E 2sin E c /v 1122

2222

22t 2

22t 42t 22=??+??+?θθθθθ 最后简化为

0c /v 1c /v c

/v 1E 2E 222

222t

2t

=?+?? (3.2.14)

方程(3.2.14)的两个根为

1c

/v 11E 2

2

t1+?=

1c

/v 11E 2

2

t2??=

把E t1和E t2代入(3.2.12)式，求得A 相应的两个根为

θθ2

2

221sin c /v 1cos A ??=

θθ22

222sin c /v 1cos A +?=

把A 的两个根放到表1中验算，发现A 1和相应的E t1是增根，只有A 2和E t2才符合要求。由E t2还可以求出E 来。这样，我们最终求得的A 、E t 和E 就是：

θθ22

2

2sin c

/v 1cos A +?=

1c

/v 11E 2

2

t ??=

θθcos sin )1c

/v 11(

E 2

2

??= (3.2.15)

同样，从(3.2.13)式得到F 并代入(3.2.10)式中

1sin c /v 1c /v cos sin B )cos B c

/v 11

(2

22222

2

2

t

2

2

t 22=??+??θθθθ 1sin c /v 1c /v cos sin B c /v 1cos B 2cos B c /v 1122

2222

22t 2

22t 42t 22=??+??+?θθθθθ 最后简化为

0c /v 1c /v c

/v 1B 2B 222

222t

2t

=?+?? (3.2.16)

我们看到，方程(3.2.16)与(3.2.14)的形式完全相同，因此其两个根也是一样

1c

/v 11B 2

2

t1+?=

1c

/v 11B 2

2

t2??=

把B t1和B t2代入(3.2.13)式，求得F 相应的两个根为

θθ2

2

221cos c /v 1sin F ??=

θθ22

222cos c /v 1sin F +?=

经验算，F 1和B t1是增根。最终求得的B t 、B 和F 为

1c /v 11B 2

2t ??=

θθcos sin )1c /v 11(

B 2

2??= θθ22

22cos c /v 1sin F +?=

(3.2.17)

把A 、B t 、E t 和F 代入(3.2.11)式验算，发现等式成立。

比较表一中相关数据、(3.2.9)与(3.2.10)式、(3.2.12)与(3.2.13)式，我们发现，B 和E 、A 和F 之间存在着对称相似性，数学求解的结果(3.2.15)和(3.2.17)式也表明了这种对称相似性。

这样，我们就把方程(3.1.1)的线性解(3.2.1)式的全部系数都求出来了。把这些系数代入(3.2.1)式就得到了二维洛伦兹变换：

θθθθθcos c /v 1v -t

cos sin )1c

/v 11(

y )sin c

/v 1cos x(

x 2

2

2

2

22

2

2?+??++?=′

)sin c /v 1v -t(

)cos c /v 1sin y(

cos sin )1c /v 11(x y 2

222

222

2θθθθθ?++?+??=′

2

2

2

2

22

2

2c

/v 11t

sin c

/v 1c /v -y

cos c

/v 1c /v -x

t ?+?+?=′θθ (3.2.18)

(3.2.18)式经整理和分类，再加上z ′ = z 分量，就得到与(3.1.8)式完全一样的结果

θθθθ

θθ)sin xsin (ycos c /v 1vt)cos -ysin (xcos x 2

2???+=

′ 2

22c /v 1)ysin xcos ()(v/c -t t ?+=

′θθ θθθθ

θθ)cos xsin (ycos c

/v 1vt)sin -ysin (xcos y 2

2

?+?+=′ z ′ = z (3.2.19)

这样，我们通过两种不同的方法：几何法和代数法，都得到了二维洛伦兹变换，而且结果相同。

3.3 二维狭义相对论速度变换

从二维洛伦兹变换(3.1.8)和(3.1.9)式可以得到二维速度变换公式

)

sin u cos u ()(v/c -1c /v 1)sin sin u cos (u v)cos -sin u cos (u u y x 22

2x y y x x θθθθθθθθ+???+=

′

)

sin u cos u ()(v/c -1c /v 1)cos sin u cos (u v)sin -sin u cos (u u y x 2

2

2x y y x y θθθθθθθθ+??++=

′

)

sin u cos u ()(v/c -1c /v 1u u y x 2

2

2z z θθ+?=′ (3.3.1) (3.3.1)式还可以写成如下形式，从中可以看到一维速度变换公式的轮廓

)

sin u cos u ()(v/c -1)

c /v 1-(1)sin sin u cos (u )vcos -(u u y x 2

22x y x x θθθ+??+=

′θθθ

)

sin u cos u ()(v/c -1)

c /v 11()cos sin u cos (u -)vsin -(u u y x 222x y y y θθθθ+???=

′θθ

)

sin u cos u ()(v/c -1c /v 1u u y x 2

2

2z z θ+?=′θ (3.3.2) 考虑到质点运动方向角φ和φ′ ，我们还有如下形式

))ucos((v/c -1)

c /v 1-(1)sin -usin()vcos -(ucos cos u 2

22θθθ??+=′′??θ?? )

)ucos((v/c -1)

c /v 11()cos -usin(-)vsin -(usin sin u 222θθθθ???=

′′????

)

-)ucos((v/c -1c /v 1u u 2

2

2z z θ??=′ (3.3.3) (3.3.2)式的反向变换为

)

sin u cos u ()(v/c 1)

c /v 1-(1)sin sin u cos u ()vcos u (u y x 2

22x y x x θθθθθθ′+′+?′?′++′=

)

sin u cos u ()(v/c 1)

c /v 11()cos sin u cos u (-)vsin u (u y x 222x y y y θθθθθθ′+′+??′?′+′=

)

sin u cos u ()(v/c 1c /v 1u u y x 2

2

2z z θθ′+′+?′= (3.3.4) (3.3.3)式的反向变换为

)

cos(u )(v/c 1)

c /v 1-(1)sin -sin(u )vcos cos u (ucos 2

22θθθ?′′+?′′++′′=??θ?? )

cos(u )(v/c 1)

c /v 11()cos -sin(u -)vsin sin u (usin 2

22θθθθ?′′+??′′+′′=???? )

-)ucos((v/c 1c /v 1u u 2

2

2z z θ?′+?′= (3.3.5) (3.3.1)、(3.3.2)、(3.3.3)、(3.3.4)和(3.3.5)式都是二维狭义相对论速度变换公式的不

同形式。

合速度u ′ 的值是三个分量u x ′、u y ′ 和u z ′ 的总和

2

222222

z 2

y 2

x )]

-)ucos((v/c -[1)

c /v 1)(c /u 1(-1c u u u u θ???=′+′+′=′ (3.3.6) (3.3.6)式可以写成下面形式

222

2222

c /v 1c /u 1c /u 1)-)ucos((v/c -1?′??=

θ? (3.3.7)

3.4 二维狭义相对论质量公式

在得到二维洛伦兹变换和二维速度变换公式后，自然就会产生一个新的问题：二维狭义相对论质量公式是否还是(1.3.1)式？下面将采用同样的方法来进行验证。 参见图2，这里的假设条件与图2基本一样，唯一的差别是参考系I ′ 相对于质心系I 的运动方向与X 轴正向成θ角。

在质心系I 中，质心静止不动，而且质心系I 中各粒子动量之和为零，因此

0u m u m 1122=? (3.4.1)

因为参考系I ′ 相对于质心系I 沿θ角方向的运动速度为v ，那么在参考系I ′ 中看来，就是整个质心系I 沿θ角反向的运动速度为-v ，这样可以列出方程

)vcos )(m m (cos u m cos u m 1211

22θ???′+′=′′′?′′′ (3.4.2) )vsin )(m m (sin u m sin u m 1211

22θ???′+′=′′′?′′′ (3.4.3) 对两个粒子分别应用二维速度变换公式(3.3.3)中的u ′x 分量

)

cos()u (v/c 1)

c /v 1-(1)sin -sin(u )vcos cos (u cos u 12

22111

θθθ?+?++=′′??θ?? )

cos()u (v/c -1)

c /v 1-(1)sin -sin(u )vcos -cos (u cos u 22

22222θθθ??+=′′??θ?? (3.4.4) 由(3.4.1)式可得

1221u /u /m m = (3.4.5)

由(3.4.2)式可得

)vcos cos u (/)vcos cos u (m /m 1221

θ?θ??′′+′′=′′ (3.4.6) (3.4.5) / (3.4.6)，并且应用 (3.4.4)式隐去u ′1cos φ′ 和u ′2cos φ′

)vcos cos u ()vcos cos u (u u m m m m 21

12221

1θ?θ?+′′?′′?

=′?′ θ??θ?θ??θ?vcos )

cos()u (v/c -1)

c /v 1-(1)sin -sin(u )vcos -cos (u vcos )cos()u (v/c 1)

c /v 1-(1)sin -sin(u )vcos cos (u u u 22

222212

221112+??+??+?++?

=θθθθθθ )

cos()u (v/c -1]

)cos()u (v/c -1[vcos )c /v 1-(1)sin -sin(u )vcos -cos (u )cos()u (v/c 1])cos()u (v/c 1[vcos )c /v 1-(1)sin -sin(u )vcos cos (u u u 222222221212221112θθθθθθθθ??+?+?+?+??++?

=??θ?θ???θ?θ? )cos()u (v/c -1]

)cos()u (v/c [vcos )c /v 1-(1)sin -sin(u )cos (u )

cos()u (v/c 1]

)cos()u (v/c [vcos )c /v 1-(1)sin -sin(u )cos (u u u 222222221212221112

θθθθθθθθ????+?+???+?

=

??θ????θ?? )

cos()u (v/c -1]

))cos((v/c [vcos )c /v 1-(1)sin -sin()(cos )cos()u (v/c 1]

))cos((v/c [vcos )c /v 1-(1)sin -sin()(cos 222

2

2

12222θθθθθθθθ????+?+???+=??θ????θ??

得到

)cos()u (v/c 1)

cos()u (v/c -1m m m m 12

22221

1θθ?+?=′?′?? (3.4.7) (3.2.7)式应用于两个粒子

22222

222122

122

1

1c

/u 1c /u 1c /u 1c /u 1m m m m ′???

?′?=′?′ (3.4.8) 最后我们仍然得到质量公式(1.3.1)式。

如果应用(3.4.3)、(3.4.5)和(3.3.3)式中的u ′y 分量，采用同样的方法最后也可以得到

质量公式(1.3.1)式。

因此二维狭义相对论与一维狭义相对论质量公式的形式完全一样。

3.5 二维狭义相对论应用于光子

3.5.1 二维速度变换应用于光子(二维光行差效应)

如图7所示，这里的情况与图3的情况几乎完全一样，唯一的差别是参考系I ′ 相对于质心系I 沿着与X 轴正向成θ角的方向运动。

图7 在质心系I 和参考系I ′ 中观察同一对光子与粒子的运动情况

把(3.3.3)式应用于光子

)

)(-c)cos((v/c -1)

c /v 1-(1)sin -csin()vcos -(-ccos ccos -2

22θθθ???=′??θ?? )

)(-c)cos((v/c -1)

c /v 11()cos -csin()vsin -(-csin csin -2

22θθθθ???+=′???? 即

)

(v/c)cos(1)

c /v 1-(1)sin -sin(](v/c)cos [cos cos 22θθθ?+?++=

′??θ?? (3.5.1)

Y

′

质心系I

参考系I ′