全国高中数学 青年教师展评课 三次函数的图象和性质教学设计(山西太谷中学) (2)

《三次函数》教学设计一．教学内容解析三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材.本节课是在复习了函数（二次函数）和导数的基础上的一节高三复习探究课.通过本节课的学习，有助于学生对导数知识的进一步理解和掌握.二．教学目标设置通过本节的学习，达到以下三个目标：1.知识与技能（1）用函数的观点系统梳理三次函数的概念、图象等有关性质。

（2）利用三次函数的导数(二次函数)进一步研究三次函数的图象特征,并准确记忆三次函数的图象及性质.（3）掌握与三次函数有关的常见问题及解决办法，以及在此过程中所渗透的转化,分类讨论,数形结合等数学思想.2.过程与方法利用导数及二次函数的知识去研究三次函数的图象，进一步利用导函数与原函数图象间的关系来解决函数单调性、极值、最值、方程根的个数（图象的交点个数）、和恒成立问题. 3.情感态度价值观让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，体会事物之间的内在联系. 三．学生学情分析本节课是在学生学习了二次函数以及导数的基础上进行的扩展探究，是对导数知识的拔高训练，虽有一定的知识储备，但是仍有一定的理解难度.四．教学策略分析利用学生已有的知识去探究其未了解的知识，一切以学生的认知结构为出发点，去设置问题和选题.层层递进，由浅入深，引导并鼓励学生自己发现并解决问题.五．教学过程1.知识梳理预设结果:① 在(,)a b 上,'()0f x >,则()f x 在(,)a b 上单调递增; '()0f x <,则()f x 在(,)a b 上单调递减;②当0∆≤时,原函数都是单调的且无极值点,而 0∆>时,原函数都是有三个单调区间且有两个极值点.设计意图: 是让学生更深刻的理解记忆二次导函数图象与原函数图象的关系. 2. 基本应用例1. 设函数32()21,f x x x x x R =-++∈. （1）求函数()f x 的单调区间和极值; （2）求函数()f x 在[]0,3上的最大值. 解:2'()341(1)(31)f x x x x x =-+=--由导数图知,1(,)3x ∈-∞或(1,)x ∈+∞,'()0f x >,()f x 单增, 1(,1)3x ∈,'()0f x <,()f x 单减,∴()f x 的单调递增区间为1(,)3-∞,(1,)+∞,单调递减区间为1(,1)3.原函数图象单调区间12(,),(,)x x -∞+∞ 单增12(,)x x 单减(,)-∞+∞ 单增极值极大值1()f x极小值2()f x无极值又131()327f =,(1)1f =. ∴()f x 的极大值为131()327f =,极小值为(1)1f =.(2)当1(0,)3x ∈,'()0f x >,()f x 单增,当1(,1)3x ∈,'()0f x <,()f x 单减,当(1,3)x ∈,'()0f x >,()f x 单增,131()327f =,(3)13f =,max ()(3)13.f x f == 设计意图:利用基本问题,巩固基本方法. 变式(1)题干条件不变，分别讨论a 的取值范围,使得关于x 的方程()f x a = 有一个,两个，三个实根？(2)若关于x 的不等式()f x a ≤在[]0,3上恒成立,求a 的取值范围. 解:(1)当3127a >或1a <时, 方程()f x a =有一个根; 当3127a =或1a =时, 方程()f x a =有两个根;当31127a <<时, 方程()f x a =有三个根;(2)max ()()a f x a f x ≥⇔≥,即13a ≥.问题2:（1）请同学们总结求函数单调区间，极值，最大（小）值的一般处理方法. ①求单调区间a.求'()f x (定义域)b.解不等式'()0,'()0f x f x ><c.对应的解集为单调增减区间.②求极值a. 求'()f x (定义域)b. 解方程'()0f x =c. 判断根两侧导数值符号 ③求函数最大(小)值 a. 求'()f x (定义域)b. 研究'()f x 在给定区间上图象情况,进而还原原函数图象c. 找到最大(小)值（2）总结求方程根的个数问题的一般处理方法.转化为直线与图象的交点问题. （3）总结恒成立问题的一般处理方法.转化为求最值问题.设计意图:通过变式进一步巩固基本方法,学生自己解决,获得成就感. 3.拓展升华例2.已知函数32()1,f x x ax x a R =+++∈.（1）讨论函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，求a 的取值范围. 问题3: 该题目与例1有什么不同之处?如何转化求解?预设结果:例2系数中不含参数,本题含参,导致∆含参,使得()f x '图象与x 轴位置不确定,要通过讨论使之确定.而第(2)问则要去限制二次导函数的图象,用到一元二次方程根的分布.设计意图:鼓励学生对含参问题进行研究,深化学生的知识结构.分析: (1)1)(23+++=x ax x x f ,则123)(2++='ax x x f ,∆=1242-a 中含参,则()f x '图象与x 轴位置不确定,则要对∆来分类讨论.（2）需要限制二次导函数的图象. 解: ①当0≤∆，33≤≤-a ,'()0,()f x f x ≥单调增函数,单调增区间为),(+∞-∞②当0>∆ 令()0f x '=,此时3321---=a a x 3322-+-=a a x 显然12x x >，由导函数图象知，得出三次函数单调性.所以函数)(x f 的单调递增区间为)33,(2----∞a a 和),33(2+∞-+-a a 单调递减区间为)33,33(22-+----a a a a(2)法一: ()f x Q 在区间21(,)33--内是减函数,'()0f x ∴≤在21(,)33--恒成立.由导函数图象知,27'()032412'()03f a a a f ⎧-≤⎧⎪≥⎪⎪⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥-≤⎩⎪⎩, 2a ∴≥.法二:2'()3210f x x ax =++≤在21(,)33--上恒成立,即23111(3)22x a x x x --≥=-+ 令1()3g x x x=+,由对勾函数图象得,27()32g -=-,1()43g -=-,3()233g -=-,4()23g x ∴-<≤,13()22g x ≤-<,2a ∴≥例3 已知函数323()1,2f x ax x x R =-+∈.0a >,若在区间112,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上, ()0f x >恒成立,求a 的取值范围.问题4: 函数()f x 在区间112,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调性如何?讨论的标准是什么? 预设结果:同样都是含参的问题,而此函数的导函数图象随着a 的确定基本可以确定,有两个不等实根,我们只需讨论区间端点与极值点的大小关系.亦或者使参数分离转而求函数的最值.设计意图:更深层的考查学生对知识的掌握情况,提高学生的转化问题应变能力.解:法一: 323()1,2f x ax x x R =-+∈,'2()33f x ax x =-, '10.()3()a f x ax x a>=-,如图.ⅰ)11,022a a ≥<≤即,'1,0,()0,()2x f x f x ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭单增,'10,,()0,()2x f x f x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭单减.1()02551()02f a f ⎧->⎪⎪∴⇒-<<⎨⎪>⎪⎩,02a ∴<≤. ⅱ)11,22a a <>即, '1,0,()0,2x f x ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭()f x 单增, '10,,()0,x f x a ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭()f x 单减,'11,,()0,2x f x a ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭()f x 单增,1()0251()0f a f a⎧->⎪⎪∴⇒<<⎨⎪>⎪⎩,25a ∴<<.综上, 05a <<.法二: 323102ax x -+>对于任意的11[,]22x ∈-恒成立. 当0x =时, a R ∈;当1(0,]2x ∈时, 3312a x x >-;当1[,0)2x ∈-时, 3312a x x <-;令1,(,2][2,)t t x =∈-∝-+∝U ,33(),2t g t t =-+23'()3,2g t t =-+当[2,)t ∈+∝时,'()0,g t < ()g t 单调递减, max ()(2)5,5g t g a ==-∴>-; 当(,2]t ∈-∝-时,'()0,g t < ()g t 单调递减, min ()(2)5,5g t g a =-=∴<;55a ∴-<<.又0,05a a >∴<<Q4.梳理总结问题5:本节课你的收获有哪些？请你从知识、经验、问题、方法等方面进行总结. 1、利用导数研究三次函数的图象和性质；2、利用图象与性质解决三次函数的几类问题:①单调性、极值、最值问题；②讨论三次方程根的问题；③恒成立问题.3、思想方法：数形结合,函数与方程，分类讨论，转化思想。

设计意图：梳理总结，形成理性的认识，丰富学生解决问题的经验。

5．板书设计6.课后巩固提升(见导练案)。