2019-2020学年高中数学 第21课时《向量的数乘2》教学案 苏教版必修4.doc
向量的数乘2 学案 高中数学 必修四 苏教版 Word版
第5课时 向量的数乘2【学习目标】1.理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；2.理解两向量共线（平行）的条件，并会判断两个向量是否共线3．培养学生在学习向量数乘的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.【知识要点】一、向量的数乘一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作a λr ，它的长度与方向规定如下：（1）||a λr =___________________________________;（2）当_________时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当_______时，a λr 的方向与a r 方向相反，当_________时，a λr =O u r .二、向量共线定理 1.若存在实数λ，使 ，那么b r 与a r 是共线向量，反之b r 与a r ()0a ≠r r 是共线向量那么 .2.①a r 、b r 同向，则b μa r r =，②若a r 、b r 反向，则记b μa r r =-，总而言之，存在实数λ（λμ=或λμ=-）使b λa r r =.【课堂探究】 例1．已知D ，E 分别为ABC ∆的边AB 、AC 的中点，求证：BC uu u r 与DE uuu r 共线，并将DE uuu r 用BC uu u r 线性表示例2、已知两个向量1e u r 和2e u r 不共线，12AB e e =-u u u r u r u r ，1228BC e e =-u u u r u r u r ，1233CD e e =+u u u r u r u r ，求证：A 、B 、D 三点共线.练习：设两非零向量1e →和2e →不共线，已知12121228,3,2,AB e e CB e e CD e e →→→→→→→→→=-=+=- 试问A,B,D 三点是否共线？A,B,C 三点是否共线？说明理由例3．如图，在三角形ABC 中，C 为直线AB 上一点，(1)AC CB λλ=≠-u u u r u u r 。
苏教版数学高一-必修4导学案 向量的数乘(2)学生版
课题：§2.2 .3 向量的数乘（2） 总第____课时 班级_______________姓名_______________【学习目标】（1）理解向量共线含义,掌握向量共线定理，会判断两个向量是否共线（2）学会综合运用向量的加减法法则、数乘向量运算及向量共线定理,证明简单的几何问题.【重点难点】重点：向量共线定理， 难点：向量共线定理的证明和应用。
【学习过程】一、自主学习与交流反馈： 如图：D 、E 分别为ΔABC 的边AB 、AC 的中点.问题1：与共线吗？问题2：能用线性表示吗？学生活动通过解答以上的问题，我们看到，如果两个向量共线，那么其中的一个向量可以由另一个（非零）向量的数乘来表示，即线性表示。
二、知识建构与应用：向量共线定理：如果有一个实数λ,使)(≠=λ,那么b 与a 是共线向量;反之,如果b 与)(≠是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使a b λ=。
定理的证明（证明要从两方面来进行）。
让学生体会定理中的≠的含义。
三、例题ED CB A例1 如图,ΔOAB 中,C 为直线AB 上一点, =λ (λ≠-1).求证:λλ++=1OB OA A C BO提问：上例中，当λ=1时，你能得到什么结论？提问：当λ>0,λ<0时点C 分别在直线AB 的什么位置上?提问:当C 与A 重合时λ的值是多少? C 与B 能重合吗？探究 例1的结论也可写成λλλ+++=111,其中两个系数之和是常数1，我们发现如果满足以下的要求，则C B A ,,三点共线。
(1) 存在确定的实数λ使 =λ (λ≠-1).(2)平面上另有一点C ，若存在两个实数t s ,且1=+t s ，使t s +=.两者等价（证明选讲）例2 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-；其中1e ，2e 不共线 （2）12a e e =+，1222b e e =-，其中1e ，2e 共线．提问：以上的例题中，“12,e e 不共线”有什么意义？四、巩固练习1．已知,都是非零向量，且,32=+求证：//.2．已知向量1222a e e =-，213()b e e =--，求证：a 与b 是共线向量。
《向量的数乘2》教学设计
《向量的数乘（2）》教学设计一、内容分析本节课是高中数学第二册《第一章平面向量》的第三节向量的数乘第二课时，本课时要求学生理解并掌握共线向量的运算含义和数乘运算律，要求学生理解并掌握量向量共线的性质和判定方法，从而熟练地运用这些知识处理有关的向量共线问题，结合新课标（2017）中的素养要求，在本课时的学习中，需逐步培养学生的数学运算和逻辑推理数学核心素养。
教材首先提出一个实际的问题，问题背景为张明从家到学校行走路线，引出正负数的加法可以看作是计算这些正负数代表的向量的和，然后分别用向量的观点重新认识初中学习过的数轴与实数，再归纳出数乘运算律。
之后通过两个实例分析，深化学生对平面向量数乘运算律的认识以及共线向量定理的应用，并培养其数学问题提出的能力。
二、教学目的通过具体实例，理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量数乘的运算，达到数学运算核心素养水平一的要求；理解并掌握两向量共线的性质和判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线的问题，达到逻辑推理核心素养水平二的要求，从而逐步提高数学运算能力以及逻辑推理核心素养。
三、重点难点重点：平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。
难点：平面向量数乘运算，运算律以及平面向量共线基本定理的应用。
四、核心素养○直观想象、●数学运算、○数据分析、○数学抽象、●逻辑推理、○数学建模．五、教学准备希沃白板5课件.六、教学流程->->->七、教学过程）共线向量是如何定义的？a的长度伸长到原来的倍，方向不变，得到向量b，向量b该如何a,b之间的关系如何？律的学习作准备。
㈡情境探索给出生活情境，思考问题：如图所示，在一条笔直的马路上，张明从家（点O）出发，往东走100m到公交站（点A）乘车，乘车往西行1.2km到达另一公交站（点B），下车后往东走200m到达学校，不乘公交车，张明从家走到学校应往什么方向走？走多远？总结：正负数的加法可以看作是计算这些正负数代表的向量的和。
向量的数量积 教学设计-苏教版高中数学必修第二册
第九章平面向量第9.2.2节向量的数量积与数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的．如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的．特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的．教学中要特别重视向量的运算．运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算．虽然学生对运算并不陌生，但是，在此之前他们接触的运算只有数的运算、字母(式)的运算(还有集合的运算)．现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破．要多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识．课程目标学科素养1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其几何意义.2.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.3.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.a数学抽象: 通过理解平面向量数量积的物理背景，学习向量的夹角及数量积的概念.b数学运算: 利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.1.教学重点：掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.教学难点：理解平面向量数量积的概念及其几何意义.多媒体调试、讲义分发。
如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ. 功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s的“数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么呢？问题情景中涉及F与s的夹角.你能结合平面内角的定义及向量的概念给向量夹角下定义吗？两向量夹角的范围是怎样的呢？1.向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角.(2)显然，当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向. 如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .2.向量的数量积及其几何意义向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)投影如图，设a ，b 是两个非零向量，AB →＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量. 3.向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . 在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方 (4)|a ·b |≤|a |·|b |.4.平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律与运算性质与实数的运算律及运算性质类似，可类比记忆 类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律ab ＝baa ·b ＝b ·a正确结合律 (ab )c ＝a (bc ) (a ·b )c ＝a (b ·c ) 错误 分配律 (a ＋b )c ＝ac ＋bc (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c 正确 消去律 ab ＝bc (b ≠0)⇒a ＝ca ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝c错误题型一 求向量的夹角【例1】 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 与a 的夹角是多少？a －b 与a 的夹角又是多少？解 如图所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°.以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b . 因为|a |＝|b |＝2，所以平行四边形OACB 是菱形， 又∠AOB ＝60°，所以OC →与OA →的夹角为30°，BA →与OA →的夹角为60°. 即a ＋b 与a 的夹角是30°，a －b 与a 的夹角是60°.规律方法 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. 题型二 向量数量积的几何意义【例2】 已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的投影.解 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (2)a 在b 上的投影为|a |·cos θ＝a ·b |b |＝－104＝－52.【变式】 在例题题设不变的情况下，求b 在a 上的投影. 解 b 在a 上的投影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－105＝－2.题型三 求向量的数量积【例3】 已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.规律方法 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b .题型四 向量数量积的运算性质【例4】 对于任意向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是( ) A.|a ·b |＝|a ||b | B.|a ＋b |＝|a |＋|b | C.(a ·b )c ＝a (b ·c )D.|a |＝a 2解析 因为a ·b ＝|a ||b |cos θ， 所以|a ·b |≤|a ||b |，所以A 错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a ＋b |≤|a |＋|b |，只有当a ，b 同向时取“＝”，所以B 错误； 因为(a ·b )c 是向量，其方向与向量c 相同，a (b ·c )是向量，其方向与向量a 的方向相同，所以C 错误； 因为a ·a ＝|a ||a |cos 0＝|a |2， 所以|a |＝a 2，所以D 正确. 答案 D题型五 求向量的模与夹角【例5】 (1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ为π3.求|a ＋b |，|a －b |.解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝（a －b ）2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2 ＝25－2×252＋25＝5.(2)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7，则a ，b 的夹角为( )A.π3B.π6C.π4D.2π3解析 设a 与b 的夹角为θ， 由题意得(3a －2b )2＝7， ∴9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7， 又|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝12，∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，∴a ，b 的夹角为π3.答案 A规律方法 求向量夹角的基本步骤及注意事项 1、步骤：2、求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方. (2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.1.在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( ) A.－2B.2C.－2 2D.22解析 BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝2×2×cos 45°＝2. 答案 B2.已知|a |＝8，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.4B.－4C.2D.－2解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案 D3.已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为( )A.2B.2 3C.6D.12解析 ∵|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a －4b |＝2 3. 答案 B4.已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是________. 解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1， 设a 与b 的夹角为θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案3π41.通过平面向量数量积的概念及其几何意义提升数学抽象素养.通过计算平面向量的数量积培养数学运算素养.2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.。
向量的数乘 教案 高中数学 必修四 苏教版 Word版
教学设计2.2.3向量的数乘整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是所得向量与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义．掌握实数与向量的积的运算律．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.实数与向量积的意义．2．实数与向量积的运算律．3．两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算的基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算．思路2.(问题引入)一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a ，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a 吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课新知探究实数与向量积的定义及运算律．活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a ＝0，而不是0·a ＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a ，λ－a 都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa 和λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘(scalar multiplication of vectors)．事实上，通过作图1可发现，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a .类似数的乘法，可把a ＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a .显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即|3a|＝3|a |.同样，由图可知，PN →＝PQ →＋QM →＋MN →＝(－a )＋(－a )＋(－a )，图1即(－a )＋(－a )＋(－a )＝3(－a )．显然3(－a )的方向与a 的方向相反，3(－a )的长度是a 的长度的3倍，这样，3(－a )＝－3a .上述过程推广后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．由(1)可知，λ＝0时，λa＝0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．教师与学生一起归纳总结：数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ||a|确定．它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．应用示例思路1例1课本本节例2.例2课本本节例1. 变式训练如图2(1)，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？活动：本题给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A 、B 、C 三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只需引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a 、b 变化过程中，A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规律．(1) (2)图2解：如图2(2)分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC 〔如图2(2)〕．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．事实上，因为AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ， 而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ，于是AC →＝2AB →. 所以A 、B 、C 三点共线．点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．例3课本本节例3. 变式训练 如图3，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？图3活动：本题的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点． 解：在ABCD 中，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b ， 又∵平行四边形的两条对角线互相平分， ∴MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－MB →＝－12DB →＝－12a ＋12b .点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键.思路2例1凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF 作为三角形的中位线，借助于三角形中位线定理解决．或创造相同起点，以建立向量间的关系．鼓励学生多角度观察思考问题．图4证明：方法一：过点C 在平面内作CG →＝AB →，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 的中点(如图4)．∴EF 是△ADG 的中位线． ∴EF12DG ，∴EF →＝12DG →. 而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →， ∴EF →＝12(AB →＋DC →)．方法二：如图5，连EB 、EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，图5又∵E 是AD 的中点，∴有EA →＋ED →＝0，即有EB →＋EC →＝AB →＋DC →. 以EB →与EC →为邻边作EBGC ，则由F 是BC 的中点，可得F 也是EG 的中点．∴EF →＝12EG →＝12(EB →＋EC →)＝12(AB →＋DC →)． 点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习．做到准确熟练运用．例2课本本节例4.知能训练课本本节练习．课堂小结1．让学生回顾本节学习的数学知识，向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，它是我们学习中伟大的引路人．作业课本习题2.2 8、9.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a ＝0)，它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa 与a 方向相同，当λ<0时，λa 与a 方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线，然后对所探究的结果进行运用拓展．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有(1)λ(μa)＝(λμ)a；①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义有：|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa的方向相同．还可证|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．(3)当a ＝0，b ＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立． 当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：当λ>0且λ≠1时，如图6，在平面内任取一点O 作OA →＝a ，AB →＝b ，OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ；则OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb .图6由作法知AB →∥A 1B 1→，有∠OAB ＝∠OA 1B 1，|A 1B 1→|＝λ|AB →|， 所以|OA 1→||OA →|＝|A 1B 1→||AB →|＝λ.所以△AOB ∽△A 1OB 1.所以|OB 1→||OB →|＝λ，∠AOB ＝∠A 1OB 1.因此O 、B 、B 1在同一条直线上，|OB 1→|＝|λOB →|，OB 1→与λOB →的方向也相同． 所以λ(a ＋b )＝λa ＋λb .当λ<0时，由图7可类似证明λ(a ＋b )＝λa ＋λb .图7所以③式也成立． 二、备用习题1.13[12(2a ＋8b )－(4a －2b )]等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b 2．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．03．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( ) A.65a B ．－6a C ．6a D ．－65a4．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →用a 、b 表示的形式是BF →＝________.5．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝13e 1－12e 2，则OM →＋ON →＋OP →＝________.6．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 求证：OG →＝13(a ＋b ＋c )．参考答案： 1．B 2.C 3.C 4．－a ＋15b 5.13e 1－12e 26．证明：连结AG 并延长，设AG 交BC 于M. ∵AB →＝b －a ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ，∴AM →＝AB →＋12BC →＝(b －a )＋12(c －b )＝12(c ＋b －2a )．∴AG →＝23AM →＝13(c ＋b －2a )．∴OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(c ＋b －2a )＝13(a ＋b ＋c )．(设计者：翟昌丽)。
30.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§2.2.3向量的数乘(二)
§2.2 向量的线性运算§2.2.3 向量的数乘(2)教学目标：掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用.教学重点：实数与向量积的运用.教学难点：实数与向量积的运用.教学过程： Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件.这一节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用.Ⅱ.讲授新课练习 1. 已知向量a =122e e +，向量b =123e ke - ，其中12,e e 不共线，若向量a和向量b 共线，则实数k = .2．已知ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：//AE CF .3．已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，证明AO ＝OC ，BO ＝OD.1.证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点，∴12DE DC = ， 12BF BA = ，由向量加法法则可知：12AE AD DE AD DC =+=+，12CF CB BF CB BA =+=+ .∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ＝－CB ， DC＝－BA ，∴AE＝－CB －12BA ＝－(CB ＋12BA )＝－CF ，∴AE CF， ∴ AE CF ．2.分析：本题考查两个向量共线的条件，实数与向量积的运算以及平面向量基本定理的综合应用.证明：∵A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线，∴存在实数λ和μ，使得AO ＝AC λ ，BO＝BD μ .设AB ＝a ， AD＝b ，则AC ＝a ＋b ，BD ＝b －a∴AO ＝λ(a ＋b )，BO ＝μ(b －a ).又∵AB ＋BO＝AO ， ∴a ＋μ(b －a )＝λ(a ＋b)，即(1－μ－λ)a ＋(μ－λ)b＝0，又∵a 与b不共线，由平面向量基本定理，⎩⎨⎧=-=--001λμλμ，∴μ＝λ＝12， ∴AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，即AO ＝OC ，BO ＝OD.例1(课本P67例4)如图2-2-11,OAB ∆中,C 为直线AB 上一点，(1)AC CB λλ=≠-．求证：1OA OB OC λλ+=+ ．分析：将已知条件中的AC 、CB用结论式中的OA 、OB 、OC 表示，进而解出OC．BAO证：因为AC ＝OC －OA ，CB ＝OB －OC，又因为AC ＝λCB ，所以OC －OA ＝λ(OB －OC），即(１＋λ）OC ＝OA＋λOB ，又因为1λ≠-，即１＋λ≠０， 所以1OA OB OC λλ+=+ ．思考：所证的结论1OA OBOC λλ+=+ 表明：起点为Ｏ，终点为直线AB 上一点C 可以用OA 、OB表示．那么吗？答：可以，即用不共线的向量OA 、OB可以表示平面内任一向量．将平面内的向量分成两类：一类是不与AB 共线的；另一类是与AB共线的．则有：不与AB 共线时，必与AB所在直线相交，设交点为C ，由例可得1OA OB OC λλ+=+ ，而该任意向量又可表示为μOC，故该向量能用向量OA 、OB表示；与AB 共线时，由向量共线定理可得该向量能用AB表示，而又显然有AB ＝OB－OA ，故该向量也能用向量OA 、OB 表示，综上所述，有“两个不共线的向量OA 、OB可以表示平面内任一向量”这一结论．例2．已知G 为△ABC 的重心，P 为平面上任一点，求证：1()3PG PA PB PC =++ .证明：如图，设△ABC 三条中线分别为AM 、BK 和CL ，则易知AM ＝3GM ，由向量中线公式有：GM ＝1()2GB GC +， 1()2AM AB AC =+ ，∴GB ＋GC ＝1()3AB AC +①同理可得GA GB + ＝1()3CA CB +②GA GC + ＝1()3BA BC +③由式①＋②＋③得：2()GA GB GC ++＝1()3AB BA AC CA CB BC +++++＝0∴GA GB GC ++ ＝0∴3PG PG PG PG =++＝()PA AG + ＋()PB BG + ＋()PC CG +＝()()PA PB PC AG BG CG +++++ ＝PA PB PC ++ ∴1()3PG PA PB PC =++ ．例4．AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线，若EG AB ，FG BE. 求证：AD =GC.证明：如图，因为四边形BEGF 是平行四边形.所以FB GE = ，又因为D 是BC 的中点，所以BD DC =，所以AD AB AC AD -=- ，所以1()2AD AB AC =+ ＝FB EC +＝GE EC GC +=所以AD =GC .BA点评：D 为B 、C 中点时，1()2AD AB AC =+可以作为公式来用，这个结论还可以由上一节课的例3推出，此时为1λ=的情形． 问题的本质是：设C 为直线AB 上一点，(1)AC CB λλ=≠-．则对于平面内的任一点O ，总有1OA OB OC λλ+=+ ，并且称C 为AB 的定比分点，λ为C 分AB所成的比． 显然，1λ=时，C 为A 、B 的中点．例3．设四边形ABCD 的两对角线AC 、BD 的中点分别是E 、F ，求证：11||||||||(||||)22AB CD EF AB CD -≤≤+.证明：如图，∵EF EA AB BF =++， EF EC CD DF =++ ， ∴2()()()EF EA EC AB CD BF DF =+++++ ，∵E 、F 分别是AC 、BD 的中点，∴0EA EC += ，0BF DF +=， ∴1()2EF AB CD =+又∵||||||||||||AB CD AB CD AB CD -≤+≤+ ，∴11||||||||(||||)22AB CD EF AB CD -≤≤+．Ⅲ.课堂练习 课本P 68练习Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.Ⅴ.课后作业１．课时训练P47 第5课时 向量共线定理； ２．课本P 69习题 9，10，12，13．。
向量的基本运算 教学设计-苏教版高中数学必修第二册
第九章平面向量第9.2.1节向量的基本运算向量作为代数对象，可以如同数和字母一样进行运算．运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索．数的运算，字母运算，向量运算，函数运算等都是数学中的基本运算．从数的运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用．本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．课程目标学科素养1.掌握平面向量的加法、减法、数乘运算法则.2.理解向量加法、减法、数乘的几何意义.3.理解两个平面向量共线的含义.a数学抽象:通过物理模型的研究，体会向量加法、减法、数乘运算的形成过程.b数学运算:平面向量的加法、减法、数乘运算.1.教学重点：掌握平面向量的加法、减法、数乘运算法则.2.教学难点：理解向量加法、减法、数乘的几何意义.多媒体调试、讲义分发。
2019年6月17日四川宜宾长宁县发生6.0级地震，地震发生后一架救援直升机从甲地飞往乙地，再从乙地飞往丙地视察灾情.问题我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？提示从甲地经乙地到丙地两次位移与从甲地直接到丙地的位移相同，但距离不相同.1.向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算. (2)运算法则：向量求和的法则 图示几何意义三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b ，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的向量OC →(OC 是▱OACB 的对角线)就是向量a 与b 的和2.相反向量 利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法，向量的减法是向量加法的一种逆运算。
《向量的数乘运算》教案、导学案、课后作业
《6.2.3 向量的数乘运算》教案【教材分析】实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
【教学目标与核心素养】 课程目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【教学重点和难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【教学过程】 一、情景导入我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.aaa ()()()a a a二、预习课本，引入新课阅读课本13-16页，思考并完成以下问题1、向量数乘的定义及其几何意义是什么？2、向量数乘运算满足哪三条运算律？3、向量共线定理是怎样表述的？4、向量的线性运算是指的哪三种运算？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、定义实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：（1）.（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.2、实数与向量的积的运算律设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）；（2）；（3）.3、向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.四、典例分析、举一反三题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．λaλa||||||λaλaλλa a0λλa a 0λ0a0λaa bλμ()λμaλaμa()()λμaλμa()λa bλaλbb aλbλa【答案】(1) 14a －9b . (2)－2a ＋4b .【解析】(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b ) ＝－2a ＋4b .解题技巧（向量线性运算的方法）(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练一1、设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )． 2、已知a 与b ，且5x ＋2y ＝a,3x －y ＝b ，求x ，y .【答案】1、－53i －5j . 2、⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .．【解析】1、原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝－53i －5j .2、联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝a ，3x －y ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .题型二 向量线性运算的应用例2 如图所示，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，DC ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ―→，MN ―→.【答案】 BC ―→－a ＋b ＋c . MN ―→＝12a －b －12c .【解析】 BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－a ＋b ＋c . ∵MN ―→＝MD ―→＋DA ―→＋AN ―→，又MD ―→＝－12DC ―→，DA ―→＝－AD ―→，AN ―→＝12AB ―→，∴MN ―→＝12a －b －12c .解题技巧： (用已知向量表示未知向量)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．跟踪训练二1、如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用a ，b 分别表示DE ―→，CE ―→，MN ―→.【答案】DE ―→＝12a . CE ―→＝－12a ＋b . MN ―→＝14a －b .【解析】由三角形中位线定理，知DE 平行且等于12BC ，故DE ―→＝12BC ―→，即DE ―→＝12a .CE ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ―→＝MD ―→＋DB ―→＋BN ―→＝12ED ―→＋DB ―→＋12BC ―→＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .题型三 共线定理的应用例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值． 【答案】（1）见解析，（2）k ＝±1.【解析】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ． ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1.解题技巧（用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路）(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ―→＝λAC ―→，则AB ―→，AC ―→共线，又AB ―→与AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练三1、已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线；2、已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．【答案】1、见解析.2、x ＋y ＝1.【解析】1、证明：∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2， ∴BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2. 又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB →＝2BD →，∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．2、解 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， 所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本15、16页练习，22页习题6.2的8，9，12，13，14，15题. 【教学反思】向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A 和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.《6.2.3 向量的数乘运算》导学案【学习目标】 知识目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.核心素养l aa1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【学习重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 【学习难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本13-16页，填写。
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2019-2020学年高中数学 第21课时《向量的数乘2》教学案 苏教版
必修4
总 课 题 向量的线性运算 总课时 第21课时 分 课 题 向量的数乘（2）
分课时
第2课时
教学目标 理解两个向量共线的含义，并掌握向量共线定理。
能运用实数与向量的积解决有关问题。
重点难点 两个向量共线含义的理解及其应用。
3、共线向量定理：如果存在一个实数λ，使=b
，)0(
≠a ，那么 。
反之，如果b 与a )0(
≠a 是共线向量，那么 。
注意：)0(≠=λλa b 可写成b a λ1
=，但不能写成λ=a b 或λ=b
a 。
4、提问：上述定理中，若无条件0
≠a ，会有什么结果？
5、向量共线定理如何用来解决点共线或线共点问题。
例题剖析
例1、设e 是非零向量，若e b a e b a 32,2-=-=+，试问：向量a 与b
是否共线？
例2、如图，OAB ∆中，C 为直线AB 上一点，)1(-≠=λλCB AC ，
求证：λ
λ++=1OB
OA OC 。
思考：上例证明的结论λ
λ++=
1OB
OA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的
向量OC 可以用OB OA ,表示。
那么两个不共线的向量OB OA ,可以表示平面内任一向量吗？
巩固练习
1、已知向量)(3,221221e e b e e a --=-=，求证：a 与b 是共线向量。
2、已知向量21212,24e e PQ e e MP +=+=，求证：Q P M ,,三点共线。
3、如图，在△ABC 中，,21==EB AE DA CD 记,,b CA a BC ==求证：)(3
1
a b DE -=。
4、如图，设点Q P ,是线段AB 的三等分点，若b OB a OA ==,，试用b a ,表示向量
OQ OP ,
课堂小结
共线向量定理及其运用；若OB t OA s OC +=，则1=+t s 时，C B A ,,三点共线。
A B
C
A B
C
D
E
A
B Q P O
a
b
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、点R 在线段PQ 上，且PQ PR 3
=
QR PR λ=，则=λ （ ） A 、32 B 、23 C 、32- D 、2
3
-
2、若O 是平行四边形ABCD 的中心，且216,4e BC e AB ==，则=-1223e e ( )
A 、AO
B 、BO
C 、CO
D 、DO
3、已知向量c a b c a 5
3,2-==
，则a 与b （填“共线”或“不共线”）。
4、给出下列命题：①若||||b a =，则b a =；②若b a =，则a ∥b ；③若0||=a ，则0=a ；
④,3,2c b c a -==则a ∥b 。
其中，正确的序号是 。
5、若G 是△ABC 的重心，则=++GC GB GA 。
6、已知)(3,82,5b a CD b a BC b a AB -=+-=+=，则 三点共线。
二、提高题
7、已知非零向量1e 和2e 不共线，若21e e k +和21e k e +共线，求实数k 的值。
8、设F E D ,,分别是ABC ∆的边AB CA BC ,,上的点，且AB AF 21=
，BC BD 3
1
=， CA CE 4
1
=。
若记n CA m AB ==,，试用n m ,表示FD EF DE ,,。
9、如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，AE 交BD 于M ， 试用向量的方法证明：M 是BD 的一个三等分点。
10、在第9题中，当点Q P ,三等分线段AB 时，有OB OA OQ OP +=+。
如果点
121,,,-n A A A 是AB 的)3(≥n n 等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论。
C。