高考中常见数学模型归类分析

高考中常见数学模型归类分析

一、新课标的要求

新数学课程目标的一个重点是让学生全面了解数学背景、意义和价值，尤其是它的应用性与方法。数学建模是达到此目标的一个极好途径。在近几年的高考中，这方面题目的数量和分值逐渐增加，特别是应用题材更贴近实际生活，灵活性也大大提高，那就要求在教学中更应注重培养学生的数学素质。因此，在高中阶段渗透建模思想是非常必要的。

数学应用题的教学重点在新课程中规定的应用：

1、初步掌握建立函数模型解决问题的过程和方法；

2、能运用三角函数知识分析处理实际问题, 掌握利用正弦定理、余弦定理解决实际应用；

3、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决；

4、能用抽样方法解决简单的实际问题, 会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题；

5、能把一些实际问题抽象成两点分布或超几何分布的模型加以解决；

6、能应用导数解决一些简单的实际问题。

这些应用问题会拓展到不等式(一元二次不等式)、数列、解析几何、统计与概率(总体特征数的估计、古典概型)中。

二、高考应用题分类解析

本文从数学建模的角度，对高考应用题中常见类型进行归类分析。

根据数学模型的性质和建立数学模型方法的不同，可以对数学模型有各种不同的分类方法，本文按建立数学模型所使用的数学工具将数学模型分为：函数模型、数列模型、不等式(组)模型、三角模型、立体与平面解析几何模型、统计概率模型等。

1、函数模型

高中常见的函数有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。函数模型经常涉及到成本投入、利润产出及关于效益、价格、流量、面积、体积等实际问题。解答这类问题一般要利用数量关系,列出目标函数式,然后用函数有关知识和方法加以解决。大量的实际问题隐含着量与量之间的关系,建立量与量

的函数关系,就成为解题的关键,一旦函数关系建立即可用函数知识使问题解决。

例1 （2003北京春，理、文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：

50

30003600- =12，所以这时租出了100-12=88辆车.

(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为： 30003000()(100)(150)505050

x x f x x --=---⨯ 整理得：221()16221000(4050)3070505050

x f x x x =-+-=--+. 所以，当4050x =时，()f x 最大，其最大值为(4050)307050f =.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.

例2 (2007年高考试题·广东卷)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）

分析：要刻画现实生活中的量与量的相关关系，可以先做出数据的散点图，再根据散点图呈现的规律性进行数据拟合。回归分析中最重要的是线性回归，即求两个变量的近似函数关系，得到回归方程y bx a =+后，可以用它来预报和控制。

解：(1)略(2)根据数据计算可得：4166.5i i i x y ==∑，4

222221345686i i x ==+++=∑，

4.5x =， 3.5y =，4

142

221466.54 4.5 3.50.7864 4.54i i

i i i x y x y b x x

==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑， 3.50.7 4.50.35a y bx =-=-⨯=，所求回归方程为0.70.35y x =+。

(3)当100x =时，0.71000.3570.35y =⨯+=，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低9070.3519.65-=吨标准煤．

例3 (2009年高考试题·湖南理科卷)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x

米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。

(1)试写出y 关于x 的函数关系式；

(2)当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？

解：(1)设需要新建n 个桥墩，(1)n x m +=,即1m n x =

-，

所以256(1)(2256(1)(2m m y n n x x x x

=++=-++

2562256m m x

=+- (2)由(1)知，1322222561()(512)22m m f x mx x x x

-'=-+=- 令()0f x '=，得32

512x =，所以64x =

当064x <<时, ()0f x '<,()f x 在区间（0，64）内为减函数；

当64640x <<时，()0f x '>,()f x 在区间（64，640）内为增函数，

所以()f x 在64x =处取得最小值，此时，64011964

m n x =

-=-= 故需新建9个桥墩才能使y 最小。

2、数列模型

这类实际问题的数学模型的建立,关键是通过观察、分析、归纳出问题成等差还是等比数列,然后再利用数列知识加以解决,常见问题有利率、产量、降价、繁殖、增长率等。

例4 (2002年高考试题·全国理科卷)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

分析：本题主要考查数列、数列的极限等基础知识。设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则130b ＝，210.94+b b x ⨯＝，130b ＝，21094+b b x ⨯＝．。 对于1n >，有2+110.94+0.94+(1+0.94)n n n b b x b x ⨯⨯－＝＝，……

∴1+110.94+(1+0.94+

+0.94)n n n b b x ⨯－＝ 110.940.94(30)0.940.060.060.06

n n n x x b x -⨯+=+-⨯＝． 当3000.06

x -≥，即 1.8x ≤时，+11=30n n b b b ≤≤≤． 当3000.06x -<，即 1.8x >时， 06

.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-∞→∞→，并且数列{}n b 逐项增加，可以任意靠近06

.0x ． 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60(1,2,3,)n b n ≤＝ 则600.06

x ≤，即 3.6x ≤（万辆）．

综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆．

3、不等式(组)模型

不等式(组)模型经常涉及到统筹安排、最佳决策、最优化、水土流失、安全责任等一些有关不等量或最值的实际问题。解答这类问题一般是先列出不等式(组),然后解之即可,关键是找出各变量的关系。

例5 (2002年高考试题·上海卷)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0．2＋30＝110（元）.设购买商品得到的优惠率＝商品的标价

购买商品获得的优惠额.试问： (1)若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少?

(2)对于标价在［500，800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可

得到不小于3

1的优惠率? 解：(1)购买标价为1000元的商品得到的优惠率=1000

1302.01000+⨯＝33％． (2)设商品的标价为x 元，则500800x ≤≤，消费额：4000.8640x ≤≤．

由已知得①0.260134000.8500x x x +⎧≥⎪⎨⎪≤<⎩或②⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+640

8.0500311002.0x x x 不等式组①无解，不等式组②的解为625750x ≤≤．

因此，当顾客购买标准在［625，750］元内的商品时，可得到不少于3

1的优惠率.

例6 (2008年高考试题·广东文科卷)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼

房建为(10)x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

(注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 分析：本小题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法。要求某变量的最值,需找出该变量的函数关系。建立平均综合费的函数关系,设楼房每平方米的平均综合费为()f x 元，则

()()2160100001080056048560482000f x x x x x

⨯=++=++()10,x x Z +≥∈ 此处用基本不等式求函数最小值

()10800108005604856024856027202000f x x x x x

=++≥+=+⨯= 当且仅当1080048x x

=时，等号成立，解得15x = 即为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

例7 (2010年高考试题·广东卷)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为

该儿童分别预定多少个单位的午餐

和晚餐？

解：设预订的午餐和晚餐分别为x

个单位和y 个单位，所花的费用为

z 元，依题意可得

128646642610540,0,x y x y x y x x N y y N +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪>∈⎪>∈⎪⎩，即3216735270,0,x y x y x y x x N y y N

+≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪>∈⎪>∈⎪⎩ ①

目标函数为 2.54z x y =+。

作出不等式组①所表示的平面区域(如图所示的阴影部分)，即可行域。 让目标函数 2.54z x y =+所表示的直线在可行域平移，由图可知，当直线2.54z x y =+经过可行域上的点B(4,3)时，目标函数 2.54z x y =+取得最小值。 因此，应该为儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求。

4、三角模型

三角模型主要涉及求距离、高度、角度、视角、航向、与周期性振动有关或类似的问题，如电流、水流、声波等。解决这类问题的关键在于：准确画出三角形，确定边角关系，运用正弦、余弦定理、面积公式及三角变换公式求解，或找出周期变化的函数表达式sin()y A x B ωϕ=++。

例8 (2010年高考试题·江苏卷)某兴趣

小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示

意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角

∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值，

tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？

解：(1)tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan H AB α

=，tan h BD β=。 AD AB DB -=，故得

tan tan tan H H h βαβ-=，解得：

tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--。因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。 (2)由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h H h d AD DB AD DB d

αβ--=

====-， 2tan tan tan()()

1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d

αβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+ 因为()2()H H h d H H h d -+≥-，（当且仅当()125121555d H H h =-=⨯=时，等号成立），故当555d =时，tan()αβ-最大。

因为02π

βα<<<，则02π

αβ<-<，所以当555d =时，α-β最大。

例9 (2010年高考试题·福建理科卷)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

解：(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C 处相

遇，在Rt OAC ∆中，3cos3020103OC OA ==⨯=，30,AC t OC vt ==，此时轮船的航行时间101303t =

=，1033033

v ==，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时的航行距离最小。

(2)如图，由(1)得103,AC=10OC =,故>OC AC ，且对于线段AC 上任意点P ，有OP OC AC ≥≥，而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船

与小艇不可能在AC (包含C ）的任意位置相遇，设=(0<<90)COD θθ∠，则在Rt COD ∆中，103tan CD θ=，103OD =，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为10103tan 30t θ+=和103cos t v θ=，所以10103tan 10330cos v θθ+=，解得153sin (+30)

v θ=,又30v ≤，故3sin (+30)θ≥，从而30<90θ≤，由于30θ=时，tan θ取得最小值，且最小值为

33，于是当30θ=时，10103tan 30t θ+=取得最小值，且最小值为23

。此时，在OAD ∆中，20OA OD AD ===，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。

5、平面解析几何与立体几何模型

立体几何型经常涉及到空间观测、面积、体积、地球的经纬度等实际问题。这类问题主要是用立体几何、三角函数方面的有关知识来解决。解析几何型经常涉及到人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁等实际问题。这类问题通常是通过建立直角坐标系,运用解析几何方面的有关知识来解决。

例10 (2004年高考试题·广东卷) 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340/m s ，各相关点均在同一平面上）

以接报中心为原点O ，正东、正北

方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标

系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观

测点，则(1020,0)A -，(1020,0)B ，

(0,1020)C 。设(,)P x y 为巨响发生点，

由A 、C 同时听到巨响声，得PA PC =，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y x =-，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故34041360PB PA -=⨯=。

由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22

221x y a b

-=上，依题意得680a =, 1020c =，所以22222210206805340b c a =-=-=⨯，故双曲线方程为22

22

16805340x y -=⨯。 用y x =-代入上式，得6805x =±。

因为PB PA >,所以6805,6805x y =-=，即(6805,6805)P -， 故68010PO =。即巨响发生在接报中心的西偏北45距中心m 10680处. 例11 (2007年高考试题·江西卷)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）

A ．214h h h >>

B ．123h h h >>

C ．324h h h >>

D ．241h h h >>

分析：本题考查的是几何体的体积公式，但是并不要求计算，只要求由几何体形状推想体积由V 变为

2V 时，h 的变化程度。四个几何体的底面积和高相等，当体积由V 变为2

V 时，h 变化最大的是圆柱体形的酒杯，变化最小的是圆锥体形的酒杯，所以肯定有214h h h >>、234h h h >>，答案选A 。

例12 (2009年高考试题·湖北理科卷) 如

图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电

视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直

播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已

知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为

km.(结果中保留反余弦的符号).

分析：如图所示，36000640042400AO =+=，6400OA OB ==,圆'O 为卫星覆盖区域的边界，

AB 为圆'O 的直径，则在Rt ABO ∆中，Rt △ABO 中，8cos 53

AOB ∠=

，所以覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值8212800arccos 53l R AOB R =∂⋅=∠⋅=。 6、统计概率模型

离散型随机变量是中学统计的重点内容，而分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律。

概率模型可以分为古典概型和几何概型两种。它们的区别就在于基本事件的个数的有限性，古典概型的基本事件的个数是有限的，几何概型的基本事件是无限的；对古典概型而言，基本事件的总数和事件包含的基本事件的个数一般用加法原理和乘法原理来计算；而几何概型关键在于找到随机试验中所有结果代表的几何区域和事件代表的几何区域。

例13 (2010年高考试题·广东理科卷)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如右图所示．

(1)根据频率分布直方图，求重量超过

505克的产品数量．

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，

设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y

的分布列．

(3)从流水线上任取5件产品，求恰有2

O O'B C

件产品的重量超过505克的概率．

解：(1)根据频率分布直方图可知：重量超过505克的产品数量是

(0.050.01)54012+⨯⨯=件。

(2) Y 的可能取值是0、1、2。

22824063(0)130C P Y C ===,11281224056(1)130C C P Y C ===,21224011(2)130

C P Y C ===。 Y 的分布列为

(3)该流水线上产品重量超过505克的概率是0.3。令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的的产品数量，则ξ满足二项分布(5,0.3)B ξ，故恰好有2件产品的重量超过505克的概率为2235(2)0.3(10.3)0.3087P C ξ==-=

例14 (2007年高考试题·海南宁夏文科卷)设有关于x 的一元二次方程 2220x ax b ++=。

(1)若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从01

2，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

(2)若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

解：设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．

当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．

(1)基本事件共12个：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0), (2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．

事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124

P A ==． (2)试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤．

构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2132222323

⨯-⨯==⨯． 三、对数学应用题教学的启示

1、由于高考应用题普遍的文字都比较多，给学生造成比较的心理压力，所以在平常的教学中首先要解决的问题是：提高学生的数学文字语言理解能力，即文字阅读能力和语言转换能力,进而提高对试题条件表述的理解。

文字阅读能力就是能将应用题中的“长句”变成“短句”，从而将长句读通。 语言转化能力就是能够在符号语言、图形(图象)语言、文字语言之间相互转化,这对数学应用题教学尤为重要。

2、新教材中有许多数学问题的实际背景都以应用题的形式给出，因此在教学中应该不断地渗透数学建模思想，让学生不断增强数学应用意识，熟练掌握数学应用问题的建模、用模、解模程序与步骤。特别要重视解模的过程，高考应用题很大的失分就在于解模过程中的计算和代数式的变形与变换。

3、加强对考试大纲的研读，明确有关数学应用的教学要求和考试要求，做到有的放矢，方为上策。

参考文献

1、王林全 吴有昌 2009 中学数学解题研究 北京：科学出版社

2、刘宝林 2004 近年高考数学应用题特点及解法的探讨 广西教育学院学报

3、陈海峰 2009 新课程高考数学应用题模型分析与复习策略 中学数学月刊