《数列的概念》示范公开课教案【高中数学北师大】

第一章 数列
1.1 数列的概念
1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义与分类；
2.能由通项公式求出数列的各项，反之能根据数列的前几项发现规律，写出数列的通项公式；
3.通过学习，培养学生观察抽象的能力，认识数列是刻画自然规律的数学模型.
教学重点：理解数列的概念，认识数列是刻画自然规律的数学模型． 教学难点：根据数列的前几项发现规律，写出数列的通项公式．
一、情境导入
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:
1、从2000年到2022年我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：28,32,52,38,26,38.
2、拉面师傅在拉面过程中，随着拉的次数增多，面条根数依次增多：1,2,4,8,16，... 3.人们在1740年发现了一颗彗星，并且每隔83年出现一次.从发现那次算起，这颗彗星近五次出现的年份依次为:1740，1823，1906，1989，2072.
4.庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为:
问题1：这几列数的共同特点是什么？ 答：①规律都用一列数表示 ②都有一定顺序
设计意图：从生活实例引入课题，让学生认识数学是刻画自然规律的数学模型.
二、新知探究
定义概念
1.
数列：一般地，按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫
作这个数列的项.数数列的一般形式： 123,,,,,n a a a a ⋯⋯ , 简记为数列 {}n a .
其中数列第一项 1a ，也叫首项，n a 是数列的第n 项，也叫数列的通项.
11111,,,,,2481632⋯◆教学目标
◆教学重难点
◆教学过程
想一想：将数列：1，2，3，4，5，6改成：6，5，4，3，2，1.两个数列一样吗？ 答：不一样.
2.
数列的分类：
✮以项数来分类：
(1) 有穷数列：项数有限的数列； (2) 无穷数列：项数无限的数列. ✮ 以各项的大小关系来分类：
(1) 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.即对任意n ∈N ∗，总有a n+1>a n (或a n+1−a n >0).
(2) 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.即对任意n ∈N ∗，总有a n+1<a n (或a n+1−a n <0). (3) 常数列：各项都相等的数列；
(4) 摆动数列：从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
问题2： 数列与数集有什么异同？
答：（1）数列{}n a 中是一列数，而集合中的元素不一定是数； （2）数列{}n a 中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有次序； （3）数列{}n a 中的数可以重复，而集合中的元素不能重复. 问题3：数列{}n a 的项与序号n 有怎样的关系？
答：数列的每一项都对应一个序号，反之，数列的每一个序号都对应着一个项. 如数列:2,4,8,16,32,64,⋯
这个数列的每一项的序号n 与这一项的对应关系可用如下公式表示： 这样，只要依次用序号1,2,3,4,⋯代替求出数列相应的项.
总结：1.对任意数列 {}n a ，其每一项的序号与项都有对应关系：
2.如果数列 {}n a 的第 n 项n a 与序号 n 之间的关系可以用一个式子表示成:
(),.n a f n n N +=∈这个式子叫做数列的通项公式.
a n =2n
问题4： 任意一个数列都能写出通项公式吗？它是唯一的吗？ 答：不是每一个数列都能写出它的通项公式；如：1248319，，，， ② 一些数列的通项公式不是唯一.如：数列 1-11-1，，，，
1(1)n n a +=-1(1)n n a -=-或11,n n a n ⎧=⎨-⎩，为奇数或为偶数
设计意图：从具体的一个数列出发，分析数列项与序号间的关系，培养学生从特殊到一般的思想与分析问题习惯.
三、应用举例
例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项.
(1)
1
;
1n a n =
+
(2)
sin .2
n n a π=
解：(1)依次取 1,2,3,4,5,n = 得到数列 {}n a 前5项为11111
,,,,;23456
(2)依次取 1,2,3,4,5,n = 得到数列 {}n a 前5项为1,0,1,0,1.-
例2 如果数列 {}n a 的通项公式为2
328n a n n =-，那么 -49和 68 是不是这个
数列的项? 如果是，是第几项?
解：令 2
32849n n -=-， 解得：7
7().3
n n ==
或舍去 .∴-49是这个数列的第7项
令 2
32868n n -=， 解得：34
2.3
n n =-=
或均不符合题意， .∴68不是这个数列的项
总结：数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的项数n 之间的关系.已知数列的通项公式
,只要用项数代替通项公式中的n ,即可求出相应的项.反过来,判断某一个数是不是数列中的项,就用数列的通项公式建立以n 为变量的方程,若方程有正整数解,则该数为数列中的项,n 的值即为该数在数列中的项数;若方程没有正整数解,则该数不是数列中的项.
例3 写出下列数列的一个通项公式. (1)1,4,9,16,25,
(2)1,3,5,7,9,
--
(3)9,99,999,9999,
解：（1）2n a n =；(2) ()+1(1)21n n a n =--;(3)101n
n a =- ；
总结：用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，可以： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式；
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(−1)^k 处理符号；
设计意图：通过例1、例2、例3，加深对数列通项公式的理解，同时培养学生观察与归纳能力.
四、课堂练习
1．下列说法:①数列{}31n -的第 5 项是10 ;②数列222
22,1,,,,
,,345n
可以记为 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
;③数列 3,6,9 与数列 6,9,3 是相同的数列;④数列 1,1,2,3,5,8,13,21,
是无穷数列. 其中，正确的有 .
2.写出下列数列的一个通项公式:
（1）1,3,7,15,
（2）7,77,777,7777,
（3) 1,3,1,3,1,3,
参与答案： 1．② ④
2．(1) 21n
n a =- ;(2) 7(101)9
n
n a =
-(3) {
1,3,n n n a =为奇数,
为偶数. 或 2(1)n n a =+- .
3．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是_________．
解：根据题意，三角形数的每一项都是数列{}n 的前n 项的和，即
10123,55n a n a =+++
+=
故答案为:55
设计意图：巩固数列的概念和数列的通项公式，强调数列的有序性，加深学生对数列的概念的认识.
五、课堂小结
一、知识：
1.数列的有关概念：定义、分类、表示;
2.数列的通项公式； 二、数学素养：
培养观察、分析、归纳思维能力
设计意图：总结与归纳本节课所学知识，培养学生的归纳概括能力.
六、布置作业
教材第7页练习1、2、3、4.。