临界力和欧拉公式
2.5.2细长压杆临界力计算—欧拉公式讲解
l
I
——杆件横截面对形心轴的惯性矩。
一端固定，一端自由：
Pcr
Pcr
EI
2
2l
2
两端固定：
0.5l 2
2 EI
一端固定，一端铰支：
Pcr
0.7l
2 EI
2
临界力公式可写成下面的统一形式：
式中：
2 EI Pcr 2 l
— 长度系数。
l — 计算长度；
工程力学应用
细长压杆的临界力公式—欧拉公式
一、临界力
压杆的临界力大小可以由实验测试或理论推导得到。
临界力的大小与压杆的长度、截面形状及尺寸、材料以及
两端的支承情况有关。
两端铰支的细长压杆临界力计算公式：
Pcr
Pcr
EI
2
l
2
---欧拉公式
式中：
E
——圆周率； ——材料的弹性模量； ——杆件长度；
当两个方向约束相同时，杆将绕EI值较小的轴产生
弯曲，所以欧拉公式中的I取Imin。
例1：一端固定、一端自由的受压柱，长l 5，材料 m
弹性模量
解：
。试计算柱子的临界力。 E 200 GPa
I
D 64
y
4
d
4
64 102
4
86 4 2.6 10 6 mm 4
E cr 2
2
例２ 一两端铰支的圆截面细长木柱，l 6 m 直径
d 200 mm ，材料的弹性模量
E 10GPa, p 110 求木柱的临界力和临界应力。
解：（１）计算临界应力
(2)计算临界力
临界力和欧拉公式定理
临界力和欧拉公式定理临界力（Critical Force）是指在材料中引发塑性变形的最小应力，它与材料的抗拉强度有关。
当材料受到应力作用时，当应力超过临界力时，材料会发生塑性变形。
在此之前，材料只会发生弹性变形。
对于许多材料来说，临界力与其抗拉强度成正比。
然而，对于一些材料，特别是在高温或非常脆弱的情况下，临界力可能更低。
欧拉公式定理（Euler's formula）是数学上的一条公式，它描述了一个复数的幂函数与三角函数之间的关系。
这个公式可以用于解决许多复杂的数学问题，特别是在微积分和工程中常见的问题。
欧拉公式定理可以表示为：e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，即i^2 = -1，x是任意实数。
这个公式将复杂的指数函数转化为了简单的三角函数，从而方便了复杂的计算。
临界力在工程中被广泛用于确定结构材料的负荷能力。
通过了解材料的抗拉强度和临界力，工程师可以确保结构在预期负荷下能够保持安全。
在材料科学中，临界力还可用于开发新的高强度材料。
通过调整材料的组分和处理过程，可以增加材料的临界力，从而提高材料的抗拉强度。
欧拉公式定理在工程和物理学中也有着广泛的应用。
在电路分析中，欧拉公式定理可以用来描述交流电路中的电压和电流之间的关系。
在流体力学中，欧拉公式定理可以用来描述流体的运动。
例如，欧拉公式定理可以用来描述液体或气体的流动速度和压力之间的关系。
另外，欧拉公式定理在信号处理和图像处理中也有广泛的应用。
例如，通过将复数表达为幅度和相位的形式，可以更方便地对信号进行处理和分析。
总之，临界力和欧拉公式定理在物理学和工程学中都有重要的应用。
通过了解临界力，我们可以更好地了解材料的负荷能力和强度，从而保证结构的安全性。
而欧拉公式定理则为解决复杂的数学问题提供了一个便捷的工具，可以应用于各种领域，包括物理学、工程学和信号处理等。
临界力和欧拉公式
临界力和欧拉公式一、临界力在力学中，临界力指的是结构体在受到外界作用力时，临界状态下刚好发生失稳的力。
也就是说，当外力超过了临界力时，结构体将发生屈曲和破坏。
临界力是结构体设计和分析的重要参考参数，能够帮助工程师预测和评估结构体的稳定性。
临界力的计算通常采用结构力学的理论和方法，其中最常用的是弹性理论和刚性理论。
在弹性理论中，临界力通常通过计算结构体的杨氏模量、截面形状和长度等参数来确定。
而在刚性理论中，临界力则通过结构体的刚度和载荷计算得到。
临界力的大小与结构体的几何形状、材料性质、约束条件等因素密切相关。
一般来说，较短和较粗的结构体临界力较大；材料的强度越高，临界力越大；约束条件越好，临界力也越大。
因此，在结构设计和分析中，工程师需要综合考虑这些因素，确保结构体能够承受外界作用力，并且不发生失稳和屈曲。
临界力在各个工程领域中都具有重要的应用。
例如在建筑工程中，临界力用于评估房屋和桥梁等结构体的稳定性和可靠性；在航空航天工程中，临界力用于确定飞机和航天器的飞行稳定性；在机械工程中，临界力用于设计各种机械结构、零件和设备；在电力工程中，临界力用于评估输电线路和塔架的稳定性等。
通过对临界力的计算和分析，可以有效地指导和优化结构体的设计和施工。
二、欧拉公式欧拉公式是描述结构体在受到外力作用时发生屈曲的理论公式。
该公式由瑞士数学家欧拉在18世纪提出，被广泛应用于结构体的稳定性计算和分析。
欧拉公式的表达式为：Fc=π²EI/(KL)²其中，Fc是屈曲临界力；E是结构材料的弹性模量；I是截面转动惯量；K是约束系数；L是结构长度。
根据欧拉公式，当外力小于屈曲临界力时，结构体呈现线性弹性行为。
当外力超过屈曲临界力时，结构体将发生屈曲和失稳。
欧拉公式能够提供临界力大小的计算结果，为结构体的设计和分析提供重要依据。
欧拉公式的应用范围非常广泛。
在工程实践中，欧拉公式可以用于评估截面尺寸的合理性，判断结构体的稳定性；可以用于指导和指导结构体的优化设计，减少材料和成本的浪费；可以用于预测结构体在受力过程中的失稳和屈曲现象，保证结构体的安全性和可靠性。
[常识]临界力和欧拉公式
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临界力和欧拉公式杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。
这个压力的限度称为临界力P cr。
它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。
为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。
通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：(1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即(3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数 ，列于表1-10。
为计算方便，写成欧拉计算的结果（此处从略），细长压杆的临界力为， (1-72)上式称为欧拉公式。
当已知压杆的材料、尺寸和支座形式时，即可由欧拉公式求得临界力根据欧拉公式，若要提高细长杆的稳定性，可从下列几方面来考虑：(1) 合理选用材料临界力与弹性模量E成正比。
钢材的E值比铸铁、铜、铝的大，压杆选用钢材为宜。
合金钢的E值与碳钢的E值近似，细长杆选用合金钢并不能比碳钢提高稳定性，但对短粗杆，选用合金钢可提高工作能力。
(2) 合理选择截面形状临界力与截面的轴惯性矩J成正比。
应选择J大的截面形状，如圆环形截面比圆形截面合理，型钢截面比矩形截面合理。
并且尽量使压杆横截面对两个互相垂直的中性轴的J值相近。
如下图中的(a)所示的截面就比(b)好。
(3) 减少压杆长度临界力与杆长平方成反比。
在可能的情况下，减小杆的长度或在杆的中部设置支座，可大大提高其稳定性。
(4) 改善支座形式临界力与支座形式有关。
固定端比铰链支座的稳定性好，钢架的立柱，其柱脚与底板的联系形式，能提高立柱受压时的稳定性。
像下图中所示的(a)的支座形式就比(b)中的要好。
表1-10 压杆长度系数。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。
压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。
然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。
因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。
欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。
它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。
根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：Pcr = (π^2 * E * I) / L^2其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。
从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。
例子：假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。
根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。
这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。
如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。
总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。
欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式1.欧拉公式：欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。
根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。
欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。
同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。
2.莱昂哈德公式：莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。
该公式计算压杆的临界力如下：Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。
3. Adomian分解法：Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。
该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。
Adomian分解法的具体步骤如下：-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。
-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。
-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。
Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。
4.极限平衡法：极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。
该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。
具体步骤如下：-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。
-(2)根据平衡条件计算外力和内力。
细长压杆的临界压力欧拉公式
(2)
Fc r正 Fc r圆
π2EI正
( l)2
π2 EI圆
I正 I圆
a4
12 πd 4
( l)2
64
πd 2 4
2
12 πd 4
64
π 3
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 F1和F2 分别为这两个
桁架稳定的最大载荷，则
(A) F1 = F2；
π2EI
( l )2
称为长度因数，l 称为相当长度
π2EI (0.5l ) 2
0.5
Fc r
π2EI (0.7l ) 2
0.7
Fc r
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
π2EI (2l ) 2
2
Fc r
π2EI l2
1
Fc r
例1：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的
直径缩小一半，则其临界力为原压杆的多少倍？若将压杆的横截面改变为面
积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的多少倍？
解：(1)
Fc r
π2EI
(l)2
π2E πd 4 64
第一讲 基本概念与欧拉公式
一：压杆稳定的概念
钢板尺：一端固 定 一端自由
Fcr ：临界压力
二：细长压杆的临界压力
一、两端铰支细长压杆的临界压力
M (x) F w
EI w M (x) F w
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式压杆是一种常见的结构元件，常用于支撑和稳定物体或构件。
在设计和使用压杆时，需要确定其临界力，以确保结构的安全和可靠性。
压杆临界力的计算公式是压杆弹性稳定性理论的基础，可以通过以下两种方法进行计算：欧拉理论和约化截面方法。
一、欧拉理论欧拉理论是压杆临界力计算中最常用的方法，它基于对杆件弯曲和稳定性失效模式的分析。
根据杆件的两个主要失效模式，分别为弯曲和扭曲失效。
当压杆受外力作用时，其会出现弯曲失效。
欧拉理论中，弯曲失效的计算公式如下：Pcr = [(π^2 * E * I) / (K * L)^2]其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），E为材料的弹性模量（单位为N/m^2或Pa），I为压杆的截面转动惯量（单位为m^4），K为压杆的约束条件系数，L为压杆长度（单位为m）。
约束条件系数K的取值与杆件的边界条件有关。
对于两个端部固定的压杆，K为1；对于一个端部固定、一个端部自由的压杆，K为2当压杆长度较短或杆件较细时，可能发生扭曲失效。
扭曲失效的临界力计算公式如下：Pcr = [(π^2 * G * J) / (K * L)^2]其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），G为材料的剪切模量（单位为N/m^2或Pa），J为压杆的极值惯量（单位为m^4）。
约束条件系数K的取值与杆件的边界条件有关。
二、约化截面方法约化截面方法是另一种常用的计算压杆临界力的方法，它考虑了截面的纵向应力和弯曲应力分布情况，并将压杆截面的有效面积进行了约化处理。
约化截面方法的计算公式如下：Pcr = Fc * A其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），Fc为约化截面的抗压强度（单位为N/m^2或Pa），A为压杆截面的有效面积（单位为m^2）。
约化截面的抗压强度Fc可以根据压杆所使用的材料和截面形状进行查表或计算。
需要注意的是，欧拉理论和约化截面方法都是理论模型，实际工程中应该根据实际情况选择合适的安全系数。
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临界力和欧拉公式
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杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。
这个压力的限度称为临界力Pcr。
它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。
为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。
通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关:
(1) 压杆的材料，Pcr与材料的弹性模量E成正比，即
(2)压杆横截面的形状和尺寸，Pcr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即
(3) 压杆的长度，Pcr与长度的平方l2成反比，即
(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数,，列于表1-10。
表1-10 压杆长度系数
杆端约束情况两端固定一端固定一端铰支两端铰支一端固定一端自由
长度系数 , 0.5 ?0.7 1.0 2.0
压杆的挠曲线形状
为计算方便，写成
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
Pcr 对于两端铰支的细长中心受压直杆，当其在临界力，的作用下处于不稳定直线形式的平衡状态，若其材料仍处于理想的线弹性范围内，从力学的观点讲，这类稳定问题称为线弹性稳定问题。
这是压杆稳定问题中最简单的一种。
由临界力的定义可知，中心受压直杆只有在临界力的作用下才有可能在微弯形态下维持平衡(见图7-3)。
现假设
PPcrcr压杆轴线在临界力作用下呈图7-3(b)所示的曲线形态。
在图示的坐标系下，压力取正值，位移忙V=f(x)以沿y轴正方向为正，弯矩的正负号规定同2.3节。
压杆任一x截面上弯矩为
将式(7-1a)代入挠曲线的近似微分方程(6-8h)中，并利用压杆支承处的边界
Pcr条件就可求出压杆的挠曲线的表达式，并进一步导出压杆承受的临界力。
这个临界力实际也就是使压杆维持微弯平衡的最小压力。
(((((((((((((( 将式(7-1a)代入公式(6-8h)可得
I其中为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
令
公式(7-1b)可改写为如下形式的二阶常系数线性微分方程
其通解为
kAB式中、、三个待定常数可利用该挠曲线的三个边界条件来确定。
xv由=0，=0的边界条件可得
因此式(7-1e)可化为
xvL利用杆的另一边界条件=, =0代入式(7-1f)可得
kvALA这就要求=0或sin=0。
若=0，则由式(7-1f)可得=0，即杆的挠度为零，这和假定
Pcr杆在临界力作用下维持微弯状态的平衡的前提相矛盾。
因此，只可能
Pcr这就是压杆有可能在微弯形态下维持平衡的必备条件。
由此还可进一步求出压杆的临界力。
由式(7-1g)可知
故
将此关系代入式(7-lc)得
所以
n由于使杆维持微弯平衡的最小压力才是临界力，故在公式(7-1i)中应取=l。
于是得欧拉(L.Euler)在1774年推得的公式，常称欧拉公式，即
由于杆的两端系球铰，它对端截面的转动约束在各方向上都是相同的，而杆的弯曲变形总是发
Imin生在抗弯能力最弱的主惯性平面内，故上式中的，应是横截面的最小形心主惯性矩。
L,
,kLxvn2 另外，当=时，令=代入式(7-1f)，考虑到当=l时，=故式(7-1f)可化为
,这说明两端铰支压杆的挠曲线是一个半波正弦曲线。
式(7-2b)中的具体值无法确定，似乎压
,杆在临界压力作用下于微弯状态时的平衡是随遇的，可取任意值。
之所以这样，是因为推导过程中采用了挠曲线近似微分方程的缘故。
若采用挠曲线的精确微分方程，则挠曲线中点的挠,度与轴向压力P存在一一对应关系(见图7-2(b))。
不同杆端约束-F细长压杆临界力的
欧拉公式?压杆的长度系数
在工程中，除了两端铰支的压杆外，还会遇到其他不同形式的杆端约束的情况。
对于这些情况下压杆临界力的公式，可用与上节相同的方法来推导。
当然这里我们仍然强调，压杆在临界力的作用下于微弯状态时仍处于弹性范围内。
压杆的临界力也可通过变形类比的方法得出。
以一端固定、一端自由的细长压杆为例，其在微弯状态的平衡如图7-4(b)所示。
将它和两端铰支杆在微弯形态下的挠曲线(图7-4(a))相比较，可见它的变形曲线和两端铰支杆的变形曲线的上半部是一样的。
设想将图7-4(b)所示的曲线对称的延长一倍，所得的曲线将完全和图7-4(a)所示的曲线一样。
在弹性范围内，相同的变形对应相同的力，故一
L2L端固定，一端自由，长为的压杆的临界力就等于两端铰支但长度为的压杆的临界力，故此种压杆的临界力应为
L4对于两端固定的细长压杆，其失稳后挠曲线如图7-4(c)所示。
在距两端为上处，挠
L2曲线有拐点，此处的弯矩为零，因而可把该处视为一个铰，这样就可把其中长为的中
L间部分当作是两端铰支的杆。
因此，由前面相似的论证可知，两端固定，长为的压杆的
L2临界力就等于两端铰支但长度为的压杆的临界力，故此种压杆的临界力应为
同样，对一端固定，一端铰支的细长压杆，其失稳后挠曲线如图7-4。
对于这种情况可近似
0.7L地把长为他的那一部分杆当作两端铰支杆，故
综上所述，以上各式可统一写成
,L这就是细长压杆欧拉公式的普遍形式。
式中是把不同支座约束条件下的压杆折算成和其临界力相当的两端铰支杆时所用的一个折算长度，称为相当长度。
称为长度系数，图7-4中列出了各种情况下压杆的长度系数。
以上几种约束只是几种典型的情况，实际问题中压杆的支座还可有其他形式。
例如杆端与其他弹性构件固接的压杆，这种情况相当于压杆的端面是介于固定支座和铰支座之间的弹性支座。
另外，作用在压杆上的荷载也可以有不同的形式。
例如压力可以是沿压杆轴线分布而不
,是集中作用在杆的两端。
所有这些因素对压杆临界力的影响，可以用不同的长度系数值
,来反映。
在有关的设计规范中对各种压杆值的选取均有具体的规定。
例题7-1 例题7—1图(a)所示为两端固定，但上端可有水平位移的等截面细长中心受压直
PlcrEL杆，其长度为，抗弯刚度。
试推导其临界力，的欧拉公式，并求出挠曲线方程。
PcrB解:在临界力作用下，压杆可在图(b)所示的微弯状态下维持平衡。
此时杆上端处有支反
mx，转向如图示。
杆任意横截面上的弯矩为力偶矩
此时，压杆挠曲线近似微分方程为
引入参数
可得
此微分方程通解为其一阶导数为
'vxv由下端A处的边界条件=0, =0, =0可得
于是由式(7-5a)有
',vxv再由上端B处的边界条件=l，=,=0可得
由式(7-5e)可知，使压杆微弯条件下维持平衡的条件为满足此条件的最小非零解为
故此压杆临界力的欧拉公式为
kl,,将代入式(7-5d)得
将代入式(7-5c)，压杆挠曲线方程
现在讨论此挠曲线的拐点。
为此，取二阶导数
当
M,0l()2故杆的中点C即为挠曲线的拐点，亦即该点处的弯矩又由式(7-5f)可知，该点处挠
,
2度为。