压杆临界力的计算公式
材料力学10压杆稳定_2经验公式
这类杆称为中长杆（或中柔度杆），亦即直线公式适用于中长杆 （或中柔度杆）
说明： 当 ≤ s，称为粗短杆，则应按强度问题处理。
三、临界应力总图
压杆的临界应力 cr 可视作压杆柔度 的分段函数，即
π2E 2
cr
查表得 a = 461 MPa、b = 2.567 MPa
临界应力 临界力
cr a b 461 2.567 64.7 294.9 MPa Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比
π 2 EI min
0.7l 2
870 kN
2）两端固定但可沿轴向相对移动
长度因数 = 0.5， 立柱柔度
3600
zz
s
l
imin
0.5 3600 24
75 p
此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算其临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa
临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210×109 GPa， 屈服极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的 设计是否合理。
解： 由于连杆在两 个方向上的约束情 况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面即为失稳平面
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
细长压杆的临界力公式—欧拉公式.
细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式.10.2 细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式⼀、两端铰⽀压杆的临界⼒图9—4为两端受压杆件，⼈们经过对不同长度（l ），不同截⾯（I ），不同材料（E ）的压杆在内⼒不超过材料的⽐例极限时发⽣失稳的临界⼒P cr 研究得知： 22lPcr EI=π（9—1）式中：π—圆周率；E —材料的弹性摸量；l —杆件长度；I —杆件截⾯对⾏⼼主轴的惯性矩。
图9-4当杆端在各⽅向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最⼩的纵向平⾯内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截⾯最⼩的形⼼惯性矩I min 。
瑞⼠科学家欧拉（L.Eular ）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进⾏了研究。
从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式⼜称为计算临界⼒的欧拉公式。
⼆、杆端⽀承对临界⼒的影响图9-5（a）（b）（c）（d）⼯程上常见的杆端⽀承形式主要有四种，如图9-5所⽰，欧拉进⼀步研究得出各种⽀承情况下的临界⼒。
如⼀端固定，⼀端⾃由的杆件，这种⽀承形式下压杆的临界⼒，只要在（9-1）式中以2l 代替l 即可。
()222l P cr EI=π（a ）同理，可得两端固定⽀承的临界⼒为()225.0l P cr EI=π（b ）⼀端固定，⼀端铰⽀压杆的临界⼒为 ()227.0l P cr EIπ（c ）式（a ），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统⼀的表达式()22l P cr µπEI = （9-2）式中l µ称为压杆计算长度，µ称为长度系数，⼏种不同杆端⽀承的各µ值列于表9—1中，µ反映了杆端⽀承情况对临界⼒的影响。
表9-1 各种杆端⽀承压杆的长度系数图例9.1 图⽰轴⼼受压杆，截⾯⾯积为10mm ?20mm 。
已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界⼒。
2m20图9-6单位：mm解：由杆件的约束形式可知：7.0=µ4333min1067.112102012mm hb I I y ?=?===临界⼒：223320010 1.67101076.2 1.076()(0.7 2.510)cr EI P N kN l ππµ====?? 三、临界应⼒和柔度在临界⼒的作⽤下，细长压杆横截⾯上的平均应⼒叫做压杆的临界应⼒，⽤cr σ表⽰。
工程力学28-压杆的临界应力
——重点
（1） P cr S时： cr 临界a应力总b图
cr
a b
s
a s b
s
s p称为中柔度杆，用经验公式求其临界应力。
（2） S 时： cr S
S 称为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
目录
4
总结：
•压杆柔度
l μ的四种取值情况
i
i
I A
•临界柔度
P
2E P
9-
与长度、截面性质、约束条件有关
目录
4
2
2.欧拉公式的适用范围 着眼点——临界应力在线弹性内（小于比例极限）
cr
2E 2
P
2E P
P
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用欧拉公式求临界力。
3 目录
3.经验公式、临界应力总图
直线型经验公式
32. 压杆的临界应力
1.临界应力和柔度
（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
Fcr cr A （2）细长压杆的临界应力：
cr
Fcr A
2EI (E 2
即： cr
（3）柔度：
l i
2E 2
i I — 惯性半径
A
— —杆的柔度（或长细比）
P 比例极限
•临界应力
s
a s b
s 屈服极限
P
(大柔度杆) cr
2E 2
欧拉公式
S P (中柔度杆)cr a b直线公式
s (小柔度杆) cr s 强度问题
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
P
2、抛物线型经验公式
在工程实际中，对于中、小柔度压杆的临界应力计 算，也有建议采用抛物线型经验公式的，此公式为
cr a1 b12
式中 a1 、b1 与是与材料
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
定计算中的一个重要综合参数。
• 如果压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值， 由于压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。 因此，压杆的临界应力应按柔度的最大值计算。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在材料符合胡克定律条件下，即在线弹
性范围内，推导出来的。因此只有当cr p 时欧拉
公式才适用，即
临界应力形式 的欧拉公式
临界应力形式 的欧拉公式
cr
2E 2
式中柔度 是一个无量纲的量，它综合反映了压杆
的长度 l 、杆端的约束以及截面尺寸对临界应力 cr
的影响。对于一定材料的压杆，其临界应力仅与柔
度 有关， 值越大，则压杆越细长，临界应力 cr 值也越小，压杆越容易失稳。所以柔度 是压杆稳
cr
2E 2
p
或
P
E
P
大柔度杆或细长杆：对于结构钢的 p 2108 Pa、 E 21011Pa，则由上式可算得欧拉公式的适用
范围为 100；同理对于铸铁，欧拉公式的适用 范围为 80 。这类杆称为大柔度杆或细长杆。
三、经验公式
若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再
cr a1 b12
cr
2E 2
细长压杆的临界压力欧拉公式
(2)
Fc r正 Fc r圆
π2EI正
( l)2
π2 EI圆
I正 I圆
a4
12 πd 4
( l)2
64
πd 2 4
2
12 πd 4
64
π 3
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 F1和F2 分别为这两个
桁架稳定的最大载荷，则
(A) F1 = F2；
π2EI
( l )2
称为长度因数，l 称为相当长度
π2EI (0.5l ) 2
0.5
Fc r
π2EI (0.7l ) 2
0.7
Fc r
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
π2EI (2l ) 2
2
Fc r
π2EI l2
1
Fc r
例1：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的
直径缩小一半，则其临界力为原压杆的多少倍？若将压杆的横截面改变为面
积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的多少倍？
解：(1)
Fc r
π2EI
(l)2
π2E πd 4 64
第一讲 基本概念与欧拉公式
一：压杆稳定的概念
钢板尺：一端固 定 一端自由
Fcr ：临界压力
二：细长压杆的临界压力
一、两端铰支细长压杆的临界压力
M (x) F w
EI w M (x) F w
材料力学压杆稳定第2节 细长压杆的临界载荷
y
h
z
（1）截面对 y、z 轴的惯性矩分别为
b
Iy
hb3 12
100 643 12
m4
2.18106 m4
（1）截面对 y、z 轴的惯性矩分别为：
Iy
hb3 12
2.18106 m4
Iy
bh3 12
5.33106 m4
由于 I y Iz ，故应该将 I y 代入公式，得到
7
N
107 kN
例7-4 有一矩形截面压杆如图所示，两端固定， 但一端可沿轴向相对移动，材料为钢，已知弹性模量
E 200GPa，杆长 l 8m。 （1）当截面尺寸为b 64mm、h
100mm时，试计算压杆的临界载荷；
（2）若截面尺寸为h b 80mm，
此时压杆的临界载荷为多少？
压杆的横截面为圆形，其直径 d 60mm。
Fcr
求该压杆的临界载荷 。
解：查表 7-1 得 0.7
压杆截面 的惯性矩
Iy
d 4
64
0.064 64
m4
6.36107 m4
Fcr
2EI (l)2
3.14
2
210 109 6.36 (0.7 5)2
10
y
A (D2 d 2 ) bh 2b2
(20 2 16 2 ) mm 2 2b2
h
z
b 7.5 mm, h 15 mm
压杆横截面的惯性矩为
b
Iy
hb3 12
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式压杆是一种常见的结构元件，常用于支撑和稳定物体或构件。
在设计和使用压杆时，需要确定其临界力，以确保结构的安全和可靠性。
压杆临界力的计算公式是压杆弹性稳定性理论的基础，可以通过以下两种方法进行计算：欧拉理论和约化截面方法。
一、欧拉理论欧拉理论是压杆临界力计算中最常用的方法，它基于对杆件弯曲和稳定性失效模式的分析。
根据杆件的两个主要失效模式，分别为弯曲和扭曲失效。
当压杆受外力作用时，其会出现弯曲失效。
欧拉理论中，弯曲失效的计算公式如下：Pcr = [(π^2 * E * I) / (K * L)^2]其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），E为材料的弹性模量（单位为N/m^2或Pa），I为压杆的截面转动惯量（单位为m^4），K为压杆的约束条件系数，L为压杆长度（单位为m）。
约束条件系数K的取值与杆件的边界条件有关。
对于两个端部固定的压杆，K为1；对于一个端部固定、一个端部自由的压杆，K为2当压杆长度较短或杆件较细时，可能发生扭曲失效。
扭曲失效的临界力计算公式如下：Pcr = [(π^2 * G * J) / (K * L)^2]其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），G为材料的剪切模量（单位为N/m^2或Pa），J为压杆的极值惯量（单位为m^4）。
约束条件系数K的取值与杆件的边界条件有关。
二、约化截面方法约化截面方法是另一种常用的计算压杆临界力的方法，它考虑了截面的纵向应力和弯曲应力分布情况，并将压杆截面的有效面积进行了约化处理。
约化截面方法的计算公式如下：Pcr = Fc * A其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），Fc为约化截面的抗压强度（单位为N/m^2或Pa），A为压杆截面的有效面积（单位为m^2）。
约化截面的抗压强度Fc可以根据压杆所使用的材料和截面形状进行查表或计算。
需要注意的是，欧拉理论和约化截面方法都是理论模型，实际工程中应该根据实际情况选择合适的安全系数。
压杆临界力的计算公式[整理版]
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压杆临界力的计算公式：悬臂梁端部的最大位移为：5抗震概念设计：（1）选择对抗震有利的场地，开阔平坦密实均匀中硬土地段；（2）建筑物形状力求简单、规则，质量中心和刚度中心靠近，以免地震发生扭转和应力集中而形成薄弱环节；（3）选择技术先进经济合理的抗震结构体系；（4）保证结构整体性，结构和连接部位具有较好的延性；（5）选择抗震性能较好的材料；（6）非结构构件应与承重结构有可靠的连接以满足抗震要求。
1）多层砌体房屋设构造柱；设圈梁，并与构造柱相连；加强墙体的连接，楼板和梁应有足够的长度和可靠连接；加强楼梯间整体性。
（2）框架结构①把框架设计成延性框架，遵守强柱、强节点、强锚固，避免短柱、加强角柱，框架沿高度不宜突变，避免出现薄弱层；②控制最小配筋率，限制配筋最小直径；③受力筋锚固适当加长，节点处箍筋的适当加密。
1楼梯的梯段净宽应根据建筑使用的特征，一般按每股人流为0.55+（0～0.15）m的人流股数确定，并不应少于两股人流。
2住宅套内楼梯的梯段净宽，当一边临空时，不应小于0.75m；当两侧有墙时，不应小于0.9m。
套内楼梯的度不应大于0.20m，扇形踏步转角距扶手边0.25m处，宽度不应小于0.22m。
3楼梯休息平台宽度应大于或等于梯段宽度；楼梯踏步的宽度b和高度h的关系应满足：2h+b=600～620mm；每个梯段的踏步一般不应超过18级，亦不应少于3级。
4楼梯平台上部及下部过道处的净高不应小于2m，梯段净高不应小于2.20m。
5室内楼梯扶手高度自踏步前缘线量起不宜小于0.90m。
楼梯水平段栏杆长度大于0.50m时，其扶手高度不应小于1.05m。
7、建筑工程质量不符合要求时的处理：（1）经返工重做或更换器具、设备的检验批，应重新进行验收；（2）经有资质的检测单位检测鉴定能够达到设计要求的检验批，应予以验收；（3）经有资质的检测单位鉴定达不到设计要求，但经原设计单位核算认可能够满足结构安全和使用功能要求的检验批，可予以验收；（4）经返修或加固处理的分部、分项工程，虽然改变外形尺寸但仍能满足安全使用要求，可按技术处理方案和协商文件进行验收。
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压杆临界力的计算公式
1.欧拉公式：
欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。
根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：
Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)
其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。
欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。
同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。
2.莱昂哈德公式：
莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。
该公式计算压杆的临界力如下：
Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)
其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。
3. Adomian分解法：
Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。
该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。
Adomian分解法的具体步骤如下：
-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。
-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。
-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。
Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。
4.极限平衡法：
极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。
该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。
具体步骤如下：
-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。
-(2)根据平衡条件计算外力和内力。
-(3)调整杆的形状，直到满足平衡条件。
-(4)根据调整后的形状计算压杆的临界力。
极限平衡法的优点是可以考虑复杂的形状和加载情况，但是需要通过试错法来获取满足平衡条件的初始形状。
总结：
压杆临界力的计算公式主要有欧拉公式、莱昂哈德公式、Adomian分解法和极限平衡法。
不同的计算方法适用于不同的压杆稳定性问题，选择合适的方法可以更准确地求解压杆临界力。
其中，欧拉公式和莱昂哈德公式是最常用的方法，适用于直线变形的压杆。
而Adomian分解法和极限平衡法适用于非线性问题和复杂形状的压杆分析。