临界力和欧拉公式
2.5.2细长压杆临界力计算—欧拉公式讲解
l
I
——杆件横截面对形心轴的惯性矩。
一端固定，一端自由：
Pcr
Pcr
EI
2
2l
2
两端固定：
0.5l 2
2 EI
一端固定，一端铰支：
Pcr
0.7l
2 EI
2
临界力公式可写成下面的统一形式：
式中：
2 EI Pcr 2 l
— 长度系数。
l — 计算长度；
工程力学应用
细长压杆的临界力公式—欧拉公式
一、临界力
压杆的临界力大小可以由实验测试或理论推导得到。
临界力的大小与压杆的长度、截面形状及尺寸、材料以及
两端的支承情况有关。
两端铰支的细长压杆临界力计算公式：
Pcr
Pcr
EI
2
l
2
---欧拉公式
式中：
E
——圆周率； ——材料的弹性模量； ——杆件长度；
当两个方向约束相同时，杆将绕EI值较小的轴产生
弯曲，所以欧拉公式中的I取Imin。
例1：一端固定、一端自由的受压柱，长l 5，材料 m
弹性模量
解：
。试计算柱子的临界力。 E 200 GPa
I
D 64
y
4
d
4
64 102
4
86 4 2.6 10 6 mm 4
E cr 2
2
例２ 一两端铰支的圆截面细长木柱，l 6 m 直径
d 200 mm ，材料的弹性模量
E 10GPa, p 110 求木柱的临界力和临界应力。
解：（１）计算临界应力
(2)计算临界力
临界力和欧拉公式定理
临界力和欧拉公式定理临界力（Critical Force）是指在材料中引发塑性变形的最小应力，它与材料的抗拉强度有关。
当材料受到应力作用时，当应力超过临界力时，材料会发生塑性变形。
在此之前，材料只会发生弹性变形。
对于许多材料来说，临界力与其抗拉强度成正比。
然而，对于一些材料，特别是在高温或非常脆弱的情况下，临界力可能更低。
欧拉公式定理（Euler's formula）是数学上的一条公式，它描述了一个复数的幂函数与三角函数之间的关系。
这个公式可以用于解决许多复杂的数学问题，特别是在微积分和工程中常见的问题。
欧拉公式定理可以表示为：e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，即i^2 = -1，x是任意实数。
这个公式将复杂的指数函数转化为了简单的三角函数，从而方便了复杂的计算。
临界力在工程中被广泛用于确定结构材料的负荷能力。
通过了解材料的抗拉强度和临界力，工程师可以确保结构在预期负荷下能够保持安全。
在材料科学中，临界力还可用于开发新的高强度材料。
通过调整材料的组分和处理过程，可以增加材料的临界力，从而提高材料的抗拉强度。
欧拉公式定理在工程和物理学中也有着广泛的应用。
在电路分析中，欧拉公式定理可以用来描述交流电路中的电压和电流之间的关系。
在流体力学中，欧拉公式定理可以用来描述流体的运动。
例如，欧拉公式定理可以用来描述液体或气体的流动速度和压力之间的关系。
另外，欧拉公式定理在信号处理和图像处理中也有广泛的应用。
例如，通过将复数表达为幅度和相位的形式，可以更方便地对信号进行处理和分析。
总之，临界力和欧拉公式定理在物理学和工程学中都有重要的应用。
通过了解临界力，我们可以更好地了解材料的负荷能力和强度，从而保证结构的安全性。
而欧拉公式定理则为解决复杂的数学问题提供了一个便捷的工具，可以应用于各种领域，包括物理学、工程学和信号处理等。
[常识]临界力和欧拉公式
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临界力和欧拉公式杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。
这个压力的限度称为临界力P cr。
它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。
为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。
通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：(1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即(3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数 ，列于表1-10。
为计算方便，写成欧拉计算的结果（此处从略），细长压杆的临界力为， (1-72)上式称为欧拉公式。
当已知压杆的材料、尺寸和支座形式时，即可由欧拉公式求得临界力根据欧拉公式，若要提高细长杆的稳定性，可从下列几方面来考虑：(1) 合理选用材料临界力与弹性模量E成正比。
钢材的E值比铸铁、铜、铝的大，压杆选用钢材为宜。
合金钢的E值与碳钢的E值近似，细长杆选用合金钢并不能比碳钢提高稳定性，但对短粗杆，选用合金钢可提高工作能力。
(2) 合理选择截面形状临界力与截面的轴惯性矩J成正比。
应选择J大的截面形状，如圆环形截面比圆形截面合理，型钢截面比矩形截面合理。
并且尽量使压杆横截面对两个互相垂直的中性轴的J值相近。
如下图中的(a)所示的截面就比(b)好。
(3) 减少压杆长度临界力与杆长平方成反比。
在可能的情况下，减小杆的长度或在杆的中部设置支座，可大大提高其稳定性。
(4) 改善支座形式临界力与支座形式有关。
固定端比铰链支座的稳定性好，钢架的立柱，其柱脚与底板的联系形式，能提高立柱受压时的稳定性。
像下图中所示的(a)的支座形式就比(b)中的要好。
表1-10 压杆长度系数。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。
压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。
然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。
因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。
欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。
它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。
根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：Pcr = (π^2 * E * I) / L^2其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。
从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。
例子：假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。
根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。
这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。
如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。
总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。
欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式1.欧拉公式：欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。
根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。
欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。
同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。
2.莱昂哈德公式：莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。
该公式计算压杆的临界力如下：Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。
3. Adomian分解法：Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。
该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。
Adomian分解法的具体步骤如下：-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。
-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。
-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。
Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。
4.极限平衡法：极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。
该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。
具体步骤如下：-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。
-(2)根据平衡条件计算外力和内力。
细长压杆的临界压力欧拉公式
(2)
Fc r正 Fc r圆
π2EI正
( l)2
π2 EI圆
I正 I圆
a4
12 πd 4
( l)2
64
πd 2 4
2
12 πd 4
64
π 3
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 F1和F2 分别为这两个
桁架稳定的最大载荷，则
(A) F1 = F2；
π2EI
( l )2
称为长度因数，l 称为相当长度
π2EI (0.5l ) 2
0.5
Fc r
π2EI (0.7l ) 2
0.7
Fc r
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
π2EI (2l ) 2
2
Fc r
π2EI l2
1
Fc r
例1：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的
直径缩小一半，则其临界力为原压杆的多少倍？若将压杆的横截面改变为面
积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的多少倍？
解：(1)
Fc r
π2EI
(l)2
π2E πd 4 64
第一讲 基本概念与欧拉公式
一：压杆稳定的概念
钢板尺：一端固 定 一端自由
Fcr ：临界压力
二：细长压杆的临界压力
一、两端铰支细长压杆的临界压力
M (x) F w
EI w M (x) F w
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式压杆是一种常见的结构元件，常用于支撑和稳定物体或构件。
在设计和使用压杆时，需要确定其临界力，以确保结构的安全和可靠性。
压杆临界力的计算公式是压杆弹性稳定性理论的基础，可以通过以下两种方法进行计算：欧拉理论和约化截面方法。
一、欧拉理论欧拉理论是压杆临界力计算中最常用的方法，它基于对杆件弯曲和稳定性失效模式的分析。
根据杆件的两个主要失效模式，分别为弯曲和扭曲失效。
当压杆受外力作用时，其会出现弯曲失效。
欧拉理论中，弯曲失效的计算公式如下：Pcr = [(π^2 * E * I) / (K * L)^2]其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），E为材料的弹性模量（单位为N/m^2或Pa），I为压杆的截面转动惯量（单位为m^4），K为压杆的约束条件系数，L为压杆长度（单位为m）。
约束条件系数K的取值与杆件的边界条件有关。
对于两个端部固定的压杆，K为1；对于一个端部固定、一个端部自由的压杆，K为2当压杆长度较短或杆件较细时，可能发生扭曲失效。
扭曲失效的临界力计算公式如下：Pcr = [(π^2 * G * J) / (K * L)^2]其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），G为材料的剪切模量（单位为N/m^2或Pa），J为压杆的极值惯量（单位为m^4）。
约束条件系数K的取值与杆件的边界条件有关。
二、约化截面方法约化截面方法是另一种常用的计算压杆临界力的方法，它考虑了截面的纵向应力和弯曲应力分布情况，并将压杆截面的有效面积进行了约化处理。
约化截面方法的计算公式如下：Pcr = Fc * A其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），Fc为约化截面的抗压强度（单位为N/m^2或Pa），A为压杆截面的有效面积（单位为m^2）。
约化截面的抗压强度Fc可以根据压杆所使用的材料和截面形状进行查表或计算。
需要注意的是，欧拉理论和约化截面方法都是理论模型，实际工程中应该根据实际情况选择合适的安全系数。
压杆稳定计算简介
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
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临界力和欧拉公式
一、临界力
在力学中，临界力指的是结构体在受到外界作用力时，临界状态下刚
好发生失稳的力。
也就是说，当外力超过了临界力时，结构体将发生屈曲
和破坏。
临界力是结构体设计和分析的重要参考参数，能够帮助工程师预
测和评估结构体的稳定性。
临界力的计算通常采用结构力学的理论和方法，其中最常用的是弹性
理论和刚性理论。
在弹性理论中，临界力通常通过计算结构体的杨氏模量、截面形状和长度等参数来确定。
而在刚性理论中，临界力则通过结构体的
刚度和载荷计算得到。
临界力的大小与结构体的几何形状、材料性质、约束条件等因素密切
相关。
一般来说，较短和较粗的结构体临界力较大；材料的强度越高，临
界力越大；约束条件越好，临界力也越大。
因此，在结构设计和分析中，
工程师需要综合考虑这些因素，确保结构体能够承受外界作用力，并且不
发生失稳和屈曲。
临界力在各个工程领域中都具有重要的应用。
例如在建筑工程中，临
界力用于评估房屋和桥梁等结构体的稳定性和可靠性；在航空航天工程中，临界力用于确定飞机和航天器的飞行稳定性；在机械工程中，临界力用于
设计各种机械结构、零件和设备；在电力工程中，临界力用于评估输电线
路和塔架的稳定性等。
通过对临界力的计算和分析，可以有效地指导和优
化结构体的设计和施工。
二、欧拉公式
欧拉公式是描述结构体在受到外力作用时发生屈曲的理论公式。
该公
式由瑞士数学家欧拉在18世纪提出，被广泛应用于结构体的稳定性计算
和分析。
欧拉公式的表达式为：Fc=π²EI/(KL)²
其中，Fc是屈曲临界力；E是结构材料的弹性模量；I是截面转动惯量；K是约束系数；L是结构长度。
根据欧拉公式，当外力小于屈曲临界力时，结构体呈现线性弹性行为。
当外力超过屈曲临界力时，结构体将发生屈曲和失稳。
欧拉公式能够提供
临界力大小的计算结果，为结构体的设计和分析提供重要依据。
欧拉公式的应用范围非常广泛。
在工程实践中，欧拉公式可以用于评
估截面尺寸的合理性，判断结构体的稳定性；可以用于指导和指导结构体
的优化设计，减少材料和成本的浪费；可以用于预测结构体在受力过程中
的失稳和屈曲现象，保证结构体的安全性和可靠性。
总结起来，临界力和欧拉公式是结构力学中的两个重要概念。
临界力
描述了结构体在受力时的失稳现象，是结构设计和分析的重要参考参数；
而欧拉公式则提供了结构体发生屈曲和失稳的计算公式，为工程师提供了
重要的设计和分析工具。
通过对临界力和欧拉公式的研究和应用，可以提
高结构体的稳定性和可靠性，确保工程的安全和可持续发展。