临界荷载的欧拉公式
临界力和欧拉公式
临界力和欧拉公式第二节临界力和欧拉公式12pt 14pt 16pt 浏览字体设置: - 11pt + 10pt放入我的网络收藏夹第二节临界力和欧拉公式杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。
这个压力的限度称为临界力Pcr。
它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。
为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。
通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关:(1) 压杆的材料，Pcr与材料的弹性模量E成正比，即(2)压杆横截面的形状和尺寸，Pcr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即(3) 压杆的长度，Pcr与长度的平方l2成反比，即(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数,，列于表1-10。
表1-10 压杆长度系数杆端约束情况两端固定一端固定一端铰支两端铰支一端固定一端自由长度系数 , 0.5 ?0.7 1.0 2.0压杆的挠曲线形状为计算方便，写成细长中心受压直杆临界力的欧拉公式Pcr 对于两端铰支的细长中心受压直杆，当其在临界力，的作用下处于不稳定直线形式的平衡状态，若其材料仍处于理想的线弹性范围内，从力学的观点讲，这类稳定问题称为线弹性稳定问题。
这是压杆稳定问题中最简单的一种。
由临界力的定义可知，中心受压直杆只有在临界力的作用下才有可能在微弯形态下维持平衡(见图7-3)。
现假设PPcrcr压杆轴线在临界力作用下呈图7-3(b)所示的曲线形态。
在图示的坐标系下，压力取正值，位移忙V=f(x)以沿y轴正方向为正，弯矩的正负号规定同2.3节。
压杆任一x截面上弯矩为将式(7-1a)代入挠曲线的近似微分方程(6-8h)中，并利用压杆支承处的边界Pcr条件就可求出压杆的挠曲线的表达式，并进一步导出压杆承受的临界力。
这个临界力实际也就是使压杆维持微弯平衡的最小压力。
(((((((((((((( 将式(7-1a)代入公式(6-8h)可得I其中为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
临界力和欧拉公式定理
临界力和欧拉公式定理临界力（Critical Force）是指在材料中引发塑性变形的最小应力，它与材料的抗拉强度有关。
当材料受到应力作用时，当应力超过临界力时，材料会发生塑性变形。
在此之前，材料只会发生弹性变形。
对于许多材料来说，临界力与其抗拉强度成正比。
然而，对于一些材料，特别是在高温或非常脆弱的情况下，临界力可能更低。
欧拉公式定理（Euler's formula）是数学上的一条公式，它描述了一个复数的幂函数与三角函数之间的关系。
这个公式可以用于解决许多复杂的数学问题，特别是在微积分和工程中常见的问题。
欧拉公式定理可以表示为：e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，即i^2 = -1，x是任意实数。
这个公式将复杂的指数函数转化为了简单的三角函数，从而方便了复杂的计算。
临界力在工程中被广泛用于确定结构材料的负荷能力。
通过了解材料的抗拉强度和临界力，工程师可以确保结构在预期负荷下能够保持安全。
在材料科学中，临界力还可用于开发新的高强度材料。
通过调整材料的组分和处理过程，可以增加材料的临界力，从而提高材料的抗拉强度。
欧拉公式定理在工程和物理学中也有着广泛的应用。
在电路分析中，欧拉公式定理可以用来描述交流电路中的电压和电流之间的关系。
在流体力学中，欧拉公式定理可以用来描述流体的运动。
例如，欧拉公式定理可以用来描述液体或气体的流动速度和压力之间的关系。
另外，欧拉公式定理在信号处理和图像处理中也有广泛的应用。
例如，通过将复数表达为幅度和相位的形式，可以更方便地对信号进行处理和分析。
总之，临界力和欧拉公式定理在物理学和工程学中都有重要的应用。
通过了解临界力，我们可以更好地了解材料的负荷能力和强度，从而保证结构的安全性。
而欧拉公式定理则为解决复杂的数学问题提供了一个便捷的工具，可以应用于各种领域，包括物理学、工程学和信号处理等。
13.4 欧拉公式的应用范围及临界应力总图
13.4 欧拉公式的应用范围及临界应力总图欧拉公式的另一形式()2cr 2πEIF l μ=A F cr cr =σ()π22EIl A μ=()222πEi l μ=欧拉公式的一般形式AIi =2记il μλ=称为压杆的柔度。
欧拉公式的应用范围2cr 2πEσλ=问题：材料和直径均相同（1）能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临界载荷？（2）四根压杆是不是都会发生失稳？FFFFσcr ≤ σp22cr p22ππ(/)E EL i σσμλ==≤pπEλσ≥p pπEλσ=令pλλ>大柔度杆Q235钢 λp = 100铸 铁 λp = 80铝合金 λp = 62.8压杆失稳的条件：λσσp=λσE22πcr λp λ ≥ λp 大柔度细长杆 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）Oλσ σpλpAλ0Bσs σcr =σs cr π22Eσλ=σcr =a−bλ 粗短杆中长杆 细长杆压杆的临界应力三类不同的压杆ilμλ= 柔度（长细比）—影响压杆承载能力的综合指标。
根据压杆柔度不同，可将压杆分成三类。
细长杆 (λ≥λp ) — 发生弹性失稳中长杆 (λo ≤ λ< λp ) — 发生弹塑性失稳（屈曲） 粗短杆 (λ< λo ) — 不发生失稳而发生屈服欧拉公式的一般形式22cr λπσE =小结。
[常识]临界力和欧拉公式
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临界力和欧拉公式杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。
这个压力的限度称为临界力P cr。
它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。
为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。
通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：(1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即(3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数 ，列于表1-10。
为计算方便，写成欧拉计算的结果（此处从略），细长压杆的临界力为， (1-72)上式称为欧拉公式。
当已知压杆的材料、尺寸和支座形式时，即可由欧拉公式求得临界力根据欧拉公式，若要提高细长杆的稳定性，可从下列几方面来考虑：(1) 合理选用材料临界力与弹性模量E成正比。
钢材的E值比铸铁、铜、铝的大，压杆选用钢材为宜。
合金钢的E值与碳钢的E值近似，细长杆选用合金钢并不能比碳钢提高稳定性，但对短粗杆，选用合金钢可提高工作能力。
(2) 合理选择截面形状临界力与截面的轴惯性矩J成正比。
应选择J大的截面形状，如圆环形截面比圆形截面合理，型钢截面比矩形截面合理。
并且尽量使压杆横截面对两个互相垂直的中性轴的J值相近。
如下图中的(a)所示的截面就比(b)好。
(3) 减少压杆长度临界力与杆长平方成反比。
在可能的情况下，减小杆的长度或在杆的中部设置支座，可大大提高其稳定性。
(4) 改善支座形式临界力与支座形式有关。
固定端比铰链支座的稳定性好，钢架的立柱，其柱脚与底板的联系形式，能提高立柱受压时的稳定性。
像下图中所示的(a)的支座形式就比(b)中的要好。
表1-10 压杆长度系数。
midas临界荷载系数
midas临界荷载系数1. 什么是临界荷载系数？在结构力学中，临界荷载系数是指结构在某种特定加载条件下，达到临界稳定状态的荷载与结构自重之比。
临界荷载系数是结构设计和分析中的重要参数，用于判断结构的稳定性。
通过计算临界荷载系数，可以确定结构的安全工作状态。
2. 临界荷载系数的计算方法计算临界荷载系数需要考虑结构的几何形状、材料性质和加载条件等因素。
常见的计算方法包括经验公式和数值模拟方法。
2.1 经验公式经验公式是基于大量试验数据和实际工程经验总结出来的近似计算方法。
根据结构的几何形状和材料性质，可以选择相应的经验公式进行计算。
例如，在柱的临界荷载系数计算中，常用的经验公式有欧拉公式和约化长细比公式。
2.1.1 欧拉公式欧拉公式适用于长细比较小的柱，其计算公式为：P cr=π2⋅E⋅I (K⋅L)2其中，P cr为临界荷载，E为材料的弹性模量，I为截面的惯性矩，K为柱的端部支座系数，L为柱的长度。
2.1.2 约化长细比公式约化长细比公式适用于长细比较大的柱，其计算公式为：P cr=π2⋅E⋅I(K⋅L)2⋅(1−0.25⋅λ2)其中，λ为约化长细比，定义为：λ=L rr为柱截面的半径。
2.2 数值模拟方法数值模拟方法是通过使用计算机软件进行结构力学分析，求解结构的临界荷载系数。
常见的数值模拟方法有有限元法和边界元法。
有限元法是一种将结构离散为有限个单元，通过求解节点上的位移和应力来分析结构的力学行为的方法。
在有限元分析中，通过施加不同的荷载条件，可以得到结构的临界荷载系数。
边界元法是一种将结构离散为有限个边界单元，通过求解边界上的位移和应力来分析结构的力学行为的方法。
边界元法在求解结构的临界荷载系数时具有一定的优势，可以减少计算量并提高计算效率。
3. 临界荷载系数的应用临界荷载系数的应用广泛，涉及到结构的设计、分析和评估等方面。
3.1 结构设计在结构设计中，临界荷载系数可以用于判断结构的稳定性。
欧拉公式的适用范围与经验公式.
275.3 103 N
275.3 kN
Iz bh3 / 12 3h 3 60 iz mm 17.32mm A bh 6 6 μzl 1 2300 λ 132.8 z iz 17.32
同理
3b 3 40 iy mm 11.55mm 6 6
在俯视图平面内，取长度系数 y 0.5 ，压杆柔度为
若令 λ p π E/σp ，则上述适用范围又可写成
E λ λ p σp
三、经验公式
(9-6)
欧拉公式只适用于 p 的大柔度杆，对于 λ ＜ λ p
的非细长压杆一般采用经验公式。
(1)合金钢、铝合金、铸铁和木材
cr a b
a s s b
(9-7)
(9-8)
cr a1 b12
式中，a1和b1均为与材料力学性能有关的常数。
例9-1 由Q235钢制成的矩形截面杆，其受力和两端约 束情况如图9-6所示，图a为主视图，图b为俯视图。在杆 的两端A、B处为圆柱销联接。已知l=2300mm，b=40mm，h=
60mm，材料的弹性模量E=205GPa，试求此杆的临界载苛。
μyl 0.5 2300 λ 99.6 y iy 11.55
因λ y ，故压杆首先在主视图平面内失稳，且在此平 z ＞λ 面内λ p =100为细长杆，故临界载荷为 z ＞λ
π2E 2 205103 40 60 Fcr σcrA 2 bh N 2 λ 132.8
cr
cr s
A
如图(9-4)
cr a b
B
s p
2E cr 2
C
1)对于 ＜ s 的小柔度
临界力和欧拉公式定理
第二节临界力和欧拉公式浏览字体设置：- 11pt+ 10pt12pt14pt16pt放入我的网络收藏夹第二节临界力和欧拉公式杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。
这个压力的限度称为临界力P cr。
它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。
为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。
通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：(1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即(3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数，列于表1-10。
表1-10 压杆长度系数杆端约束情况两端固定一端固定一端铰支两端铰支一端固定一端自由长度系数0.5 ≈0.7 1.0 2.0压杆的挠曲线形状为计算方便，写成细长中心受压直杆临界力的欧拉公式对于两端铰支的细长中心受压直杆，当其在临界力cr P，的作用下处于不稳定直线形式的平衡状态，若其材料仍处于理想的线弹性范围内，从力学的观点讲，这类稳定问题称为线弹性稳定问题。
这是压杆稳定问题中最简单的一种。
由临界力的定义可知，中心受压直杆只有在临界力的作用下才有可能在微弯形态下维持平衡(见图7-3)。
现假设压杆轴线在临界力cr P作用下呈图7-3(b)所示的曲线形态。
在图示的坐标系下，压力cr P取正值，位移忙V=f(x)以沿y轴正方向为正，弯矩的正负号规定同2.3节。
压杆任一x 截面上弯矩为将式(7-1a)代入挠曲线的近似微分方程(6-8h)中，并利用压杆支承处的边界条件就可求出压杆的挠曲线的表达式，并进一步导出压杆承受的临界力crP 。
这个临界力实际也就是使压杆维持微弯平衡的．．．．．．．．．．最小压力．．．．。
将式(7-1a)代入公式(6-8h)可得其中I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
令公式(7-1b)可改写为如下形式的二阶常系数线性微分方程其通解为式中A 、B 、k 三个待定常数可利用该挠曲线的三个边界条件来确定。
欧拉公式的适用范围经验公式
I A
π2E
μl 2
i2
引入记号
λ＝ μl i
是一无量纲参数，压杆的柔度或长细比，综合 反映了压杆的长度、约束方式与截面几何性质对临界
应力的影响。
细长压杆的临界应力可表示为
σcr
=
π2E λ2
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程所建立，只 适于杆横截面上的应力不超过材料的比例极限的情况。
σcr
=
π2E λ2
σp
或者
λ
π2E σp
=
λp
p—仅与材料的弹性模量 E 及比例极限p有关。 即： ≥p 时，欧拉公式才成立。压杆称为大柔度杆。
三、临界应力的经验公式
当临界应力超出比例极限时，欧拉公式已不能使 用。此类压杆是在应力超过比例极限后失稳的，属于 非弹性稳定问题。工程中大多采用经验公式计算其临 界应力，最常用是直线公式，即
(b)、s<p：中柔度杆，
根据经验公式计算。
λ = μl i
σcr = a - bλ (c)、<s：小柔度杆，根据强度问题计算。
σcr = σs
例：Q235钢制成的矩形截面杆，受力及两端约束情况
如图所示，A、B二处为销钉连接。已知l=2300mm，
b=40mm，h=60mm，材料的弹性模量E=205GPa，试 求此杆的临界载荷。
σcr = a - bλ
式中：—压杆的长细比； a、b—与材料有关的常数，可查表确定。
对于直线公式，杆件的柔度存在一最低界限值，
其值与材料的压缩极限应力u有关。 对于塑性材料的压缩极限应力为屈服应力s。
σcr = a - bλ σs
或者
λ
a
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临界荷载的欧拉公式
临界荷载的欧拉公式是结构力学中的重要概念。
它描述了当柱
子或杆件受到轴向压力时，即压杆受到的最大压缩荷载时，突然
发生屈曲的情况。
临界荷载是结构工程设计中需要考虑的重要参数，因为了解临界荷载可以帮助工程师设计更安全和稳定的结构。
欧拉公式是描述临界荷载的数学方程，由著名的数学家欧拉在18世纪中期提出。
该公式给出了临界荷载与压杆的几何形状和材
料性质之间的关系。
欧拉公式的一般形式可以表示为：Pc = (π^2 * E * I) / (L^2)
其中，Pc是临界荷载，E是弹性模量，I是截面惯性矩，L是杆件的有效长度。
这个公式适用于理想化的杆件，即杆件的截面形
状是均匀的，材料是均匀的，且处于完全压缩状态。
根据欧拉公式，我们可以得出以下几个关键观察点：
1. 杆件的临界荷载与其弹性模量成正比。
弹性模量越大，杆件
的临界荷载就越大。
这是因为弹性模量反映了材料的刚度，刚度
越大，杆件就越能够抵抗压缩荷载。
2. 杆件的临界荷载与其截面惯性矩成正比。
截面惯性矩是描述
杆件截面形状和尺寸的参数，它反映了截面抵抗变形和变形的能力。
截面惯性矩越大，杆件的临界荷载就越大。
3. 杆件的临界荷载与其长度的平方成反比。
杆件长度越长，临界荷载就越小。
这是因为较长的杆件更容易发生屈服和屈曲。
根据以上几个观察点，我们可以得出一些结论和设计指导：
1. 为了增加杆件的临界荷载，可以选择具有高弹性模量和大截面惯性矩的材料和截面形状。
2. 如果无法改变材料特性或截面形状，可以通过减小杆件的长度来增加其临界荷载。
在设计中，我们通常会选择较短的杆件，以增加其稳定性。
3. 在设计过程中，需要对杆件的临界荷载进行合理的估计和验证。
如果杆件承受的荷载超过了其临界荷载，就需要采取一些稳定措施，以防止结构的崩塌或失效。
综上所述，临界荷载的欧拉公式提供了一种估计杆件稳定性的方法。
通过理解临界荷载与材料特性、截面形状和长度之间的关系，工程师可以更好地设计结构，并确保其在实际使用中的安全和稳定性。
在实际设计工作中，需要综合考虑杆件的材料、构造和使用条件等因素，以得出最优的设计方案。