临界力和欧拉公式定理
2.5.2细长压杆临界力计算—欧拉公式讲解
1 6 10 120 110 200 i 4
l
三、欧拉公式的适用范围
E E cr 2 p 2 P
2 2
p
的压杆为细长压杆（或大柔度杆件）。
小结：
稳定性的概念：压杆稳定是指平衡状态的稳定性。
欧拉公式：
EI Pcr 2 l
2
E cr
2
2
欧拉公式的适用范围：大柔度杆件或细长杆件。
LOGO
51.26kN
Pcr
2 EI
2l
2 200103 2.6 106
2
2 5000
2
z
86 102
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式 支承情况
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 一端固定 另端自由 Pcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Pcr
2
Pcr
2 EI
(2l )
2
Pcr
2 EI
l2
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
二、临界应力
在临界力的作用下，细长压杆横截面上的平均应力叫做压杆的临界应力。
Pcr 2 EI cr A l 2 A
令
I 2 i A
则
i
I A
式中
i — 回转半径（惯性半径） ，单位mm。
工程力学应用
细长压杆的临界力公式—欧拉公式
一、临界力
压杆的临界力大小可以由实验测试或理论推导得到。
临界力的大小与压杆的长度、截面形状及尺寸、材料以及
两端的支承情况有关。
两端铰支的细长压杆临界力计算公式：
临界力和欧拉公式
临界力和欧拉公式一、临界力在力学中，临界力指的是结构体在受到外界作用力时，临界状态下刚好发生失稳的力。
也就是说，当外力超过了临界力时，结构体将发生屈曲和破坏。
临界力是结构体设计和分析的重要参考参数，能够帮助工程师预测和评估结构体的稳定性。
临界力的计算通常采用结构力学的理论和方法，其中最常用的是弹性理论和刚性理论。
在弹性理论中，临界力通常通过计算结构体的杨氏模量、截面形状和长度等参数来确定。
而在刚性理论中，临界力则通过结构体的刚度和载荷计算得到。
临界力的大小与结构体的几何形状、材料性质、约束条件等因素密切相关。
一般来说，较短和较粗的结构体临界力较大；材料的强度越高，临界力越大；约束条件越好，临界力也越大。
因此，在结构设计和分析中，工程师需要综合考虑这些因素，确保结构体能够承受外界作用力，并且不发生失稳和屈曲。
临界力在各个工程领域中都具有重要的应用。
例如在建筑工程中，临界力用于评估房屋和桥梁等结构体的稳定性和可靠性；在航空航天工程中，临界力用于确定飞机和航天器的飞行稳定性；在机械工程中，临界力用于设计各种机械结构、零件和设备；在电力工程中，临界力用于评估输电线路和塔架的稳定性等。
通过对临界力的计算和分析，可以有效地指导和优化结构体的设计和施工。
二、欧拉公式欧拉公式是描述结构体在受到外力作用时发生屈曲的理论公式。
该公式由瑞士数学家欧拉在18世纪提出，被广泛应用于结构体的稳定性计算和分析。
欧拉公式的表达式为：Fc=π²EI/(KL)²其中，Fc是屈曲临界力；E是结构材料的弹性模量；I是截面转动惯量；K是约束系数；L是结构长度。
根据欧拉公式，当外力小于屈曲临界力时，结构体呈现线性弹性行为。
当外力超过屈曲临界力时，结构体将发生屈曲和失稳。
欧拉公式能够提供临界力大小的计算结果，为结构体的设计和分析提供重要依据。
欧拉公式的应用范围非常广泛。
在工程实践中，欧拉公式可以用于评估截面尺寸的合理性，判断结构体的稳定性；可以用于指导和指导结构体的优化设计，减少材料和成本的浪费；可以用于预测结构体在受力过程中的失稳和屈曲现象，保证结构体的安全性和可靠性。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。
压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。
然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。
因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。
欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。
它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。
根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：Pcr = (π^2 * E * I) / L^2其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。
从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。
例子：假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。
根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。
这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。
如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。
总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。
欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式1.欧拉公式：欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。
根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。
欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。
同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。
2.莱昂哈德公式：莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。
该公式计算压杆的临界力如下：Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。
3. Adomian分解法：Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。
该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。
Adomian分解法的具体步骤如下：-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。
-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。
-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。
Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。
4.极限平衡法：极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。
该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。
具体步骤如下：-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。
-(2)根据平衡条件计算外力和内力。
细长压杆的临界压力欧拉公式
(2)
Fc r正 Fc r圆
π2EI正
( l)2
π2 EI圆
I正 I圆
a4
12 πd 4
( l)2
64
πd 2 4
2
12 πd 4
64
π 3
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 F1和F2 分别为这两个
桁架稳定的最大载荷，则
(A) F1 = F2；
π2EI
( l )2
称为长度因数，l 称为相当长度
π2EI (0.5l ) 2
0.5
Fc r
π2EI (0.7l ) 2
0.7
Fc r
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
π2EI (2l ) 2
2
Fc r
π2EI l2
1
Fc r
例1：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的
直径缩小一半，则其临界力为原压杆的多少倍？若将压杆的横截面改变为面
积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的多少倍？
解：(1)
Fc r
π2EI
(l)2
π2E πd 4 64
第一讲 基本概念与欧拉公式
一：压杆稳定的概念
钢板尺：一端固 定 一端自由
Fcr ：临界压力
二：细长压杆的临界压力
一、两端铰支细长压杆的临界压力
M (x) F w
EI w M (x) F w
临界力和欧拉公式定理
第二节临界力和欧拉公式浏览字体设置：- 11pt+ 10pt12pt14pt16pt放入我的网络收藏夹第二节临界力和欧拉公式杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。
这个压力的限度称为临界力P cr。
它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。
为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。
通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：(1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即(3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数，列于表1-10。
表1-10 压杆长度系数杆端约束情况两端固定一端固定一端铰支两端铰支一端固定一端自由长度系数0.5 ≈0.7 1.0 2.0压杆的挠曲线形状为计算方便，写成细长中心受压直杆临界力的欧拉公式对于两端铰支的细长中心受压直杆，当其在临界力cr P，的作用下处于不稳定直线形式的平衡状态，若其材料仍处于理想的线弹性范围内，从力学的观点讲，这类稳定问题称为线弹性稳定问题。
这是压杆稳定问题中最简单的一种。
由临界力的定义可知，中心受压直杆只有在临界力的作用下才有可能在微弯形态下维持平衡(见图7-3)。
现假设压杆轴线在临界力cr P作用下呈图7-3(b)所示的曲线形态。
在图示的坐标系下，压力cr P取正值，位移忙V=f(x)以沿y轴正方向为正，弯矩的正负号规定同2.3节。
压杆任一x 截面上弯矩为将式(7-1a)代入挠曲线的近似微分方程(6-8h)中，并利用压杆支承处的边界条件就可求出压杆的挠曲线的表达式，并进一步导出压杆承受的临界力crP 。
这个临界力实际也就是使压杆维持微弯平衡的．．．．．．．．．．最小压力．．．．。
将式(7-1a)代入公式(6-8h)可得其中I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
令公式(7-1b)可改写为如下形式的二阶常系数线性微分方程其通解为式中A 、B 、k 三个待定常数可利用该挠曲线的三个边界条件来确定。
怎样推导压杆的临界力和临界应力公式
怎样推导压杆的临界力和临界应力公式压杆（也称为压杆杆件或柱件）是一种承受压力的结构元素，常见于建筑、机械以及其他工程领域。
为了确定压杆在受力时的安全性，需要推导出压杆的临界力和临界应力公式。
首先，需要理解压杆在受力时的基本概念。
假设有一根长度为L、截面积为A的无限细长压杆，其两端受到等大反向的压力P。
压杆在受到压力时会发生弯曲，压杆的形状会发生改变。
当压力达到一定临界值时，压杆将完全失去稳定，从而发生屈曲（即压杆产生弯曲形变）。
临界力和临界应力是指当压力达到一定临界值时，压杆发生屈曲的压力和应力。
推导过程如下：1. 经典欧拉公式（Euler公式）欧拉公式是分析以柱轴为边界的理想无限长压杆屈曲的基本公式。
该公式基于以下假设：-压杆是均质、各向同性的杆件；-杆件的材料性质可用弹性线性理论描述；-压杆长度远大于其最小截面尺寸，即L>>d(d为压杆的最小截面尺寸)。
欧拉公式表达式如下：Pcr = (π²EI) / L²其中，Pcr为压杆的临界力，E为杨氏模量，I为压杆截面的惯性矩，L为压杆长度。
2. 完整欧拉公式（Timoshenko-Bazant公式）欧拉公式只适用于边界条件为完全铰接（即不受弯曲力矩）的压杆。
然而，在实际情况中，压杆的边界条件一般为受到端部弯曲力矩的约束。
在这种情况下，完整欧拉公式（Timoshenko-Bazant公式）需要被使用。
完整欧拉公式修正了边界条件的影响，并考虑到了剪切变形和截面的非对称性。
完整欧拉公式的表达式如下：Pcr = (π²EI) / [L²(1 + αL / r)^²]其中，α为修正系数，考虑了压杆的边界条件，r为截面回转半径。
3.临界应力临界应力的定义是在压杆屈曲时，杆件中最大的应力值。
根据杆件截面受到均匀分布的压力P，应力σ可以表示为：σ=P/A将欧拉公式（或完整欧拉公式）中的临界力Pcr代入上述表达式可得到临界应力的表达式。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力演示文稿
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力演示文稿一、引言大家好，今天我将为大家介绍材料力学中的压杆稳定概念以及欧拉公式的计算方法。
压杆稳定是材料力学中重要的概念，对于设计结构的稳定性和安全性具有重要意义。
欧拉公式是计算压杆临界力的关键公式，我们将通过演示来说明其应用方法。
二、压杆稳定概念在材料力学中，压杆指的是在受压载荷作用下会出现屈曲失稳现象的结构元件。
在受压载荷下，压杆往往会发生弯曲、屈服、断裂等失稳形态，这些失稳形态都会导致结构的破坏和力学性能的下降。
因此，压杆的稳定性是设计和分析结构的重要考虑因素之一压杆稳定主要受以下因素影响：1.压杆的几何形状，包括长度、截面形状等；2.压杆的材料力学性质，如弹性模量、屈服强度等；3.压杆的边界条件，如固定端、自由端等。
三、欧拉公式的推导欧拉公式是计算压杆临界力的经典公式，其推导基于材料力学中的弹性稳定理论。
其表达式为：Pcr = (π²EI)/(Kl/r)²其中，Pcr为压杆的临界力；E为材料的弹性模量；I为截面的惯性矩；K为端部系数（取决于边界条件）；l为压杆的长度；r为截面的半径或半宽。
四、欧拉公式的应用1.计算压杆的临界力将具体的压杆参数代入欧拉公式，即可计算出压杆的临界力。
临界力是指当压杆受到该力时，会发生屈曲失稳现象。
因此，设计和使用压杆时，其受力不应超过临界力以保证结构的稳定性和安全性。
2.优化设计结构欧拉公式的计算结果可以用于优化设计结构。
通过改变压杆的长度、截面形状或材料，可以得到不同的临界力。
在满足结构强度和刚度的前提下，可以选择较大的临界力，以提高结构的稳定性和安全性。
五、演示为了更好地理解欧拉公式的应用，接下来我将进行一次实际的演示。
1.实验准备准备一个压杆样品，测量其长度和截面尺寸，并记录下材料的弹性模量。
2.欧拉公式计算根据测量得到的压杆参数，代入欧拉公式，计算临界力。
3.施加载荷将一定的载荷作用于压杆样品上。
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临界力和欧拉公式定理
临界力（Critical Force）是指在材料中引发塑性变形的最小应力，
它与材料的抗拉强度有关。
当材料受到应力作用时，当应力超过临界力时，材料会发生塑性变形。
在此之前，材料只会发生弹性变形。
对于许多材料来说，临界力与其抗拉强度成正比。
然而，对于一些材料，特别是在高温或非常脆弱的情况下，临界力可能更低。
欧拉公式定理（Euler's formula）是数学上的一条公式，它描述了
一个复数的幂函数与三角函数之间的关系。
这个公式可以用于解决许多复
杂的数学问题，特别是在微积分和工程中常见的问题。
欧拉公式定理可以表示为：e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e是
自然对数的底，i是虚数单位，即i^2 = -1，x是任意实数。
这个公式将
复杂的指数函数转化为了简单的三角函数，从而方便了复杂的计算。
临界力在工程中被广泛用于确定结构材料的负荷能力。
通过了解材料
的抗拉强度和临界力，工程师可以确保结构在预期负荷下能够保持安全。
在材料科学中，临界力还可用于开发新的高强度材料。
通过调整材料
的组分和处理过程，可以增加材料的临界力，从而提高材料的抗拉强度。
欧拉公式定理在工程和物理学中也有着广泛的应用。
在电路分析中，
欧拉公式定理可以用来描述交流电路中的电压和电流之间的关系。
在流体力学中，欧拉公式定理可以用来描述流体的运动。
例如，欧拉
公式定理可以用来描述液体或气体的流动速度和压力之间的关系。
另外，欧拉公式定理在信号处理和图像处理中也有广泛的应用。
例如，通过将复数表达为幅度和相位的形式，可以更方便地对信号进行处理和分析。
总之，临界力和欧拉公式定理在物理学和工程学中都有重要的应用。
通过了解临界力，我们可以更好地了解材料的负荷能力和强度，从而保证
结构的安全性。
而欧拉公式定理则为解决复杂的数学问题提供了一个便捷
的工具，可以应用于各种领域，包括物理学、工程学和信号处理等。