北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是 的比。将“形”的问题转化为“数”的问题。
2.成比例线段：四条线段a,b,c,d中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段。比例线段是有顺序的，即a,b,c,d是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果cbba，那么b叫做a和c的比例中项；
4.比例的性质：
（1）基本性质：如果 ，那么 。
（）等比性质：如果 ，那么
5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////lll，则可得比例式：
DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割： 黄金比
二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应 的两个三角形相似。
（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。 （3）三边 的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和 两种。在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角；
若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例；
若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。
5.常见的基本模型有 ：
D
E
F 1l3l2lmnB A
C
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是 的比。将“形”的问题转化为“数”的问题。
2.成比例线段：四条线段a,b,c,d中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段。比例线段是有顺序的，即a,b,c,d是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果cbba，那么b叫做a和c的比例中项；
4.比例的性质：
（1）基本性质：如果 ，那么 。
（）等比性质：如果 ，那么
5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////lll，则可得比例式：
DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割： 黄金比
二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应 的两个三角形相似。
（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。 （3）三边 的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和 两种。在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试(无答案)
第四章图形的相似单元测试
一、单选题（共10题；共30分）
1、如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（ ）
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
2、如果线段a、b、c、d满足ad=bc，则下列各式中不成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、如图，身高为1.6米的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是（ ）
A、6.4米 B、7.0米 C、8.0米 D、9.0米
4、一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（ ）
A、18 B、12 C、24 D、30
5、线段4cm、16cm的比例中项为（ ）.
A、20cm B、64cm C、±8cm D、8cm
6、如果两个相似三角形的相似比是1：7，则它们的面积比等于（ ）
A、1： B、1：7 C、1：3.5 D、1：49
7、比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2 ， 则实际面积为（ ） A、4× B、4× C、1.6× D、2×
8、如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若AD=3，则AE的长为（
）
A、 B、 C、 D、
9、（2015•黄陂区校级模拟）如图△ABC与△DEF是位似图形，位似比是1：2，已知DE=4，则AB的长是（ ）
A、2 B、4 C、8 D、1
10、如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（ ）
北师大版九年级数学上册知识点归纳：第四章图形的相似
第四章 图形的相似
1 成比例线段
2 平行线分线段成比例
3 相似多边形
4 探索三角形相似的条件
*5 相似三角形判定定理的证明
6 利用相似三角形测高
7 相似三角形的性质
8 图形的位似
一. 成比例线段
※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nmBA.
※2. 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即dcba,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
※3. 注意点:
①a:b=k,说明a是b的k倍;
②由于线段 a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b之外,a:b≠b:a, ba与ab互为倒数;
⑤比例的基本性质:若dcba, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dcba
※1. 如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACBCABAC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. 1:618.0215:ABAC
※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. _ 图1 _ B _ C _ A 二．平行线分线段成比例
※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图2, l1 // l2 // l3,则EFBCDEAB.
三. 相似多边形
¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.
※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.
四. 探索三角形相似的条件
※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
北师大版九年级数学上册知识点归纳：第四章图形的相似 2
第四章 图形的相似
1 成比例线段
2 平行线分线段成比例
3 相似多边形
4 探索三角形相似的条件
*5 相似三角形判定定理的证明
6 利用相似三角形测高
7 相似三角形的性质
8 图形的位似
一. 成比例线段
※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nmBA.
※2. 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即dcba,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
※3. 注意点:
①a:b=k,说明a是b的k倍;
②由于线段 a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b之外,a:b≠b:a, ba与ab互为倒数;
⑤比例的基本性质:若dcba, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dcba
※1. 如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACBCABAC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. 1:618.0215:ABAC
※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. _ 图1 _ B _ C _ A 二．平行线分线段成比例
※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图2, l1 // l2 // l3,则EFBCDEAB.
三. 相似多边形
¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.
※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.
四. 探索三角形相似的条件
※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
北师大版九年级数学上册知识点归纳：第四章图形的相似 3
第 1 页 共 3 页 第四章 图形的相似
1 成比例线段
2 平行线分线段成比例
3 相似多边形
4 探索三角形相似的条件
*5 相似三角形判定定理的证明
6 利用相似三角形测高
7 相似三角形的性质
8 图形的位似
一. 成比例线段
※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nmBA.
※2. 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即dcba,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
※3. 注意点:
①a:b=k,说明a是b的k倍;
②由于线段 a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b之外,a:b≠b:a, ba与ab互为倒数;
⑤比例的基本性质:若dcba, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dcba
※1. 如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACBCABAC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. _ 图1 _ B _ C _ A
第 2 页 共 3 页 1:618.0215:ABAC
※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.
二．平行线分线段成比例
※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图2, l1 // l2 // l3,则EFBCDEAB.
三. 相似多边形
¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.
※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.
四. 探索三角形相似的条件
※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
九年级数学上册 第四章 图形的相似 1 成比例线段 如何利用线段的比值求比例式的值？素材 北师大版
九年级数学上册 第四章 图形的相似 1 成比例线段 如何利用线段的比值求比例式的值？素材
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1 九年级数学上册 第四章 图形的相似 1 成比例线段 如何利用线段的比值求比例式的值?素材 （新版)北师大版
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九年级数学上册 第四章 图形的相似 1 成比例线段 如何利用线段的比值求比例式的值？素材
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2 如何利用线段的比值求比例式的值?
难易度:★★★★★
关键词:线段的比-比例式的值
答案：
解决此类问题的方法是：引进一个参数k，把线段比中的字母用含ｋ的式子表示，再代入比例式求值。
【举一反三】
典题：已知ａ：b:c=2:3：5,求的值.
思路导引：由ａ:b:c=2:3:5,设a=2k,b=3k,c=5k,再将a、b、c代入求值。
标准答案:解：根据题意,设a=２k，b=３k,c=5k,则===1。
以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。高尔基说过:“书是人类进步的阶梯。”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。物质生活极大丰富，科学技术飞速发展,这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了，但只要你依然有着这样一份小小的坚持,你就会不断成长进步,当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候，阅读一文或者做一道题却让我们静下心来，回归自我。用学习来激活我们的想象力和思维，建立我们的信仰,从而保有我们纯粹的精神世界,抵御外部世界的袭扰。
北师大版九年级数学上第四章《图形的相似》测试卷
FEBACDC A
BDOEF第7题图 九年级上学期《相似三角形》单元测试卷 姓名：
1．下列说法正确的是 ( )
A．所有的矩形都是相似形 B．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似
2．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是 ( )
A．1、2、3、4 B．1、2、2、4 C．3、5、9、13 D．1、2、2、3
3．如果x∶(x＋y)＝3∶5，那么xy＝
( )
A.32 B.38 C.23 D.85
4、如图，△ABC中，DE∥BC，则下列等式中不成立的是（ ）
A． ； B． ；Ｃ． ；Ｄ．
5、如图，已知D、E分别是ABC的AB、 AC边上的点，,DEBC
且S△ADE︰S△ABC＝1︰9，那么:AEAC等于（ ）A．1 : 9 B．1 : 3 C．1 : 8 D．1 : 2
6、如图，□ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则△DCF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7、如下图，DEF△是由ABC△经过位似变换得到的，点O是位似中心，DEF，，分别是OAOBOC，，的中点，则DEF△与ABC△的相似比是（
）
A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2
8、如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （ ）A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》第1课时成比例线段典型题同步练习题及答案 (1)
1 成比例线段同步练习
（典型题汇总）
知识点 1 线段的比
1．下列说法中正确的有( )
①两条线段的比是两条线段的长度之比，比值是一个正数；
②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比；
③两条线段的比值是一个数量，不带单位；
④两条线段的比有顺序，ab与ba不同，它们互为倒数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB之比为( )
A．3∶4 B．2∶3
C．3∶5 D．1∶2
知识点 2 成比例线段
3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )
A．1，2，3，4 B．1，2，2，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
4．教材随堂练习第3题变式题若线段a，b，c，d成比例，其中a＝3 cm，b＝6 cm，c＝2 cm，则d＝__________．
知识点 3 比例的基本性质
5．已知x2＝y3，那么下列式子中一定成立的是( )
A．2x＝3y B．3x＝2y
C．x＝2y D．xy＝6
6．若3a＝5b，则ab＝________．
2 7．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( )
A.3∶2 B.3∶1
C．2∶3 D．1∶3
8．如果a＋2bb＝52，那么ab的值是( )
A.12 B．2 C.15 D．5
9．如图4－1－1所示，已知矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm.
(1)求A′B′AB和B′C′BC的值；
(2)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？
图4－1－1
10．教材习题4.1第2题变式题如图4－1－2，已知ADDB＝AEEC，AD＝6.4 cm，DB＝4.8
cm，EC＝4.2 cm，求AC的长．
图4－1－2
3
11．已知三条线段的长度分别是4，8，5，试写出另一条线段的长度，使这四条线段为成比例线段．
北师大九年级数学上第四章图形的相似相似三角形应用——A型X型 讲义
相似三角形应用——A型X型
知识要点
相似三角形的几种基本图形：
图①为“A”型图，条件是DE∥BC，基本结论是△ADE∽△ABC；
图②为“X”型图，条件是ED∥BC，基本结论是△ADE∽△ABC；
图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；
图⑥是“母子”型图，条件是CD为斜边上的高，基本结论是△ACD∽△ABC∽△CBD。
典型例题
作辅助线构造“A”“X”型
例1、如图，1DEAECDBD，求BFAF。（试用多种方法解）
方法一：
A
B C D E F A
C E D B
① E D
C B A
② A
③ C B D
E
D B C
A
⑥ A
C B
④ D A
C
D B P
⑤
A
B C D E F 方法二：
方法三：
例2、如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=31AD，CE交AB于点F，若AF=1.2cm，求AB的长。
例3、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，过O点的直线EF∥BC，若AD=9，BC=12。求EF的长.
A
B C D E F
A
B C D E F
A
B C D E F 例4、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，O为对角线AC、BD的交点，过B作BE∥CD交CA延长线于E。求证：OC2=OA·OE
例5、已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE=EF=BF，DF、DB与CE分别交于G、H。
求EG∶GH∶HC．
巩固练习与能力拓展
1.已知：如图，△ACD中，EB∥CD交AC、AD于B、E，AG交BE、CD于F、G。
4 2.已知：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，M是AC上一点，ME⊥BC于E，MF⊥AD于F．
3.已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，DE∥BC交AC于E，EF⊥AB于F。求证：AD2=AF·AB
4.已知：如图，在△ABC中，AD为中线，F为AB上一点，CF交AD于E．求证：BFAFDEAE2
九年级数学上册知识点归纳(北师大版)_
九年级数学上册知识点归纳(北师大版) 北师大版
- 2 - 九年级数学上册知识点归纳（北师大版）
第一章 特殊平行四边形
第二章 一元二次方程
第三章 概率的进一步认识
第四章 图形的相似
第五章 投影与视图
第六章 反比例函数
（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行北师大版
- 3 - 北师大版
- 4 - 北师大版
- 5 - 所示)：
※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
平行四边形 菱形
矩正方形 一组邻边相等
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直平分）
一内角为直角 一邻边相等
或对角线垂直 一个内角为直角
（或对角线相等）
图3 北师大版
- 6 -
第二章 一元二次方程
1认识一元二次方程
※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02cbxax（a、b、c为
常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02cbxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。